Fiabilité

Fiabilité
Afnor La fiabilité est la caractéristique d'un dispositif exprimée par la probabilité que ce
dispositif accomplisse une fonction requise dans les conditions d'utilisation et pour une
période e temps déterminée
1. Définitions
Temps de bon fonctionnement (TBF) Time between failures
T est la variable aléatoire qui a tout dispositif associe son temps de bon
fonctionnement ou sa durée de vie avant une défaillance. La densité de probabilité
de T, notée f(t) est appelée densité de défaillance.
Fonction de défaillance du système : Fonction de répartition de la variable
aléatoire T
t
F t= ProbT t =∫ f  x. dx
F ' t= f t
0F t 1
0
F(t) est la probabilité que le système ait eu une défaillance entre 0 et t
Fonction de fiabilité du système :
R(t) est la probabilité que le système n'ait pas de défaillance avant l'instant t.
R t= P T t =1−P T t =1−F t 
2. Estimation de F(t)
Dans le cadre des animations de fin d'année la ville met en service 5000 ampoules
pour les illuminations de la ville. Les services municipaux souhaitent suivre le taux
de fiabilité de ces ampoules pour cela ils contrôlent régulièrement l'état des
ampoules et compte les ampoules défectueuses. Le tableau suivant récapitule les
informations relevées les 5 premières semaines
Durée de vie Nombre total
en heures
d'ampoules
défectueuses
168
20
336
49
504
156
672
678
840
712
Estimation de la défaillance
n
F t= i
n
1.
Méthode des rangs bruts si l'effectif de l'échantillon est suffisamment important
n
on peut estimer la défaillance par F t= i
n
n
2.
Méthode des rangs moyens si n>20
F t= i
n1
La fiabilité des équipements
Page 1/5
3.
Méthode des rangs médians si n<20
F t=
ni
n1
Exemple
L'historique d'un équipement fait appararaître les temps de bon fonctionnement
suivants : 23,67,34,48,72,124,52.
Estimez la loi F(t) de cet équipement.
TBF
3.
ni
F(t)
Dans ce type d'étude on estime qu'a chaque nouvelle
intervention on est en présence d'un équipement neuf. On trie par
conséquent les temps de bon fonctionnement par ordre croissant
et on applique les formules précédente avec n= nombre
d'interventions et ni = rang de l'intervention
Taux de défaillance (ou taux d'avaries)
1. Exemple
tii
Nombre de survivants
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
13
9
6
4
2
1
0
Entre t3 et t4 le nombre d'avaries est N3 - N4 = 2
N 3− N 4 2 1
= =
Le taux d'avaries entre t3 et t4 est
N3
6 3
Entre t4 et t5 le nombre d'avaries est N4 - N5 = 2
N 4 −N 5 1
=
Le taux d'avaries entre t3 et t4 est
N4
2
Taux moyen par unité de temps
0.33
=0.07
500
0.5
=0.1
t5 - t4 =500 : le taux d'avarie étant de 0.5, le taux moyen sera
500
On peut donc égaiement calculer des estimation de f(t) F(t) et R(t) par tranche à l'aide
des relations suivantes :
t4 - t3 =500 : le taux d'avarie étant de 0.33, le taux moyen sera
f t =
2.
N i − N i1
N −N 0
N
et F t = i1
et enfin R t= i1
Ni
N0
N0
Généralisation
le taux d'avarie à l'instant t est égal au nombre de défaillances divisé par le nombre
de survivants ce qui peut s'écrire en utilisant le lois de probabilité vues
précédemment:
La fiabilité des équipements
Page 2/5
f  t
−R '  t
f t
λ t =
ou λ  t−
ou λ  t=
Rt 
R t
1− F t
on peut donc calculer (t) si l'on connait F(t) ou R(t) réciproquement on peut obtenir
R(t) et F(t) à partir de λ(t)
− R'  t
= λ t donne Rt =exp [−∫ 0 λ  x dx ]et F t =1−exp [−∫ 0 λ  x dx]
R t
t
t
Remarque expérimentalement • (t) est une courbe en baignoire
4. Moyenne des temps de bon fonctionnement
C'est la moyenne de la variable T
MTBF −E T −∫ ∞ t.f  t  . dt− lim ∫ x t.f t  . dt
0
x →∞
0
Elle représente l'espérance de vie du produit.
5. Lois usuelles de fiabilité
1. Loi exponentielle
La loi exponentielle est la loi suivie par la variable T lorsque le taux d'avarie est
constant.
Pour tout t≥0
λ(t) = λ constante strictement positive
Fonction de fiabilité R t −e −λ.t
Fonction de défaillance F t=1−e−λ.t
Densité de défaillance f t =λ. e −λ.t
1
1
MTBF =E T = et écart type σ=
λ
λ
L'utilisation de papier semi logarithmique permet de mettre en évidence une loi
La fiabilité des équipements
Page 3/5
exponentielle et la détermination graphique de λ
Montrez que la loi représentée sur le graphique ci dessous correspond à la loi
de fiabilité R t=e −0,002 . t
1
0,1
2.3/λ
0,01
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700
Exercice loi exponentielle
2. Loi de Weibull
Mathématicien suédois qui a choisi une loi paramétrique dépendant de trois
paramètres lui permettant de décrire de multiples comportements: décroissante,
constante ou croissante.
β−1
β t−γ
λ t =
pour tγ ; η , β et γ sont des constantes avec β0 et η0
η η
 
La constante γ traduit un décalage d'origine
f(t)
<0
=0
>0
t
La constante η est un facteur d'échelle
f(t)
1
avec
2
2
<
1
t
La constante β est le facteur de forme
β = 1 λ(t) constante correspond à la loi exponentielle si de plus γ = 0
β < 1 courbe λ(t) décroissante
β > 1 courbe λ(t) décroissante
La fiabilité des équipements
Page 4/5
1,5≤β≤2.5 phénomène de fatigue
f(t)
3≤β≤4 usure ou corrosion
(t)
R(t)
1
=1
0,5
=0,5
=1
t
=3
on retrouve pour t>γ
La fonction de fiabilité
=3
1
=3
t
t
[  ]
[  ]
  [  ]
t −γ
R t=exp −
η
La fonction de défaillance
=1
=0,5
β
t−γ
F t =1−exp −
η
β− 1
β
β
β t−γ
t−γ
Et la densité de défaillance f t =
exp −
η η
η
Connaissant les valeurs des paramètres γ et η on peut alors calculer :
MTBF= Aη + γ et σ= Bη les coefficients A et B étant lus sur une table en fonction
de la valeur de β.
L'utilisation du papier fonctionnel imaginé par Weibull pour représenter F(t)
permet de déceler une loi de Weibull. Les points de coordonnées (ti ,F(ti)) sont
alignés si γ=0. On retrouve alors graphiquement les valeurs de β et η
Exercices sur Weibull
6. Fiabilité d'un système en fonction de ses composants.
On suppose pour ces calculs que les composants ont des taux de défaillance
constants et donc que la loi de fiabilité est une loi exponentielle.
1. Composants en série
Tous les composants sont nécéssaires au fonctionnement du système. Celui ne
fonctionne que si tous les constituants fonctionnent.
R t= R1  t . R 2 t . R 3 t ...... R n t .
R1(t)
R2(t)
2. Composants en parallèle
Le système ne sera défaillant que si tous les constituants sont défaillants
F t =F 1 t . F 2 t . F 3  t...... F n t .
R1(t)
R2(t)
La fiabilité des équipements
Page 5/5