Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence
Transcription
Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence
2nde Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence Correction Devoir Surveillé 7 : Exercice 1. fonctions de référence ▸ 2nde (Cours) 1. Donner la définition de la fonction carré : son expression et son ensemble de définition. ♠♠ Définition : Le fonction « carré » est la fonction c définie sur R par c(x) = x2 . ♠ ♠ ♠ R Ð→ R ♠ ♠ C’est à dire c∶ ♠ x z→ x2 ♠ ♠ Remarque : L’expression de la fonction carré est x2 . Son ensemble de définition est R. 2. Dresser le tableau de variations de la fonction inverse. On note i la fonction inverse. x 0 −∞ +∞ Var. de i Exercice 2. Soit h une fonction linéaire telle que h(−3) = 9. Déterminer l’expression h(x). h est une fonction linéaire donc h(x) = mx (p = 0) où m est une constante réelle à déterminer. De plus h(0) = 0 car h est linéaire. h(0) − h(−3) 0 − 9 −9 D’après le cours, m = = = = −3. 0 − (−3) 0+3 3 Par conséquent, l’expression de h est h(x) = −3x. Exercice 3. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = −3x2 + 2. 1. Démontrer que f est strictement croissante sur ]−∞; 0]. Soient deux réels a et b tels que a < b ≤ 0. Donc a2 > b2 car la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞; 0]. D’où −3a2 < −3b2 : l’inégalité a changé de sens car on a multiplié par un nombre négatif (−3). Ainsi −3a2 + 2 < −3b2 + 2 (on ajoute 2 de part et d’autre de l’inégalité). C’est-à-dire f (a) < f (b). Conclusion : f est strictement croissante sur ]−∞; 0]. 2. Démontrer que f est strictement décroissante sur [0; +∞[. Soient deux réels a et b tels que 0 ≤ a < b. Donc a2 < b2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0; +∞[. D’où −3a2 > −3b2 : l’inégalité a changé de sens car on a multiplié par un nombre négatif (−3). Ainsi −3a2 + 2 > −3b2 + 2 (on ajoute 2 de part et d’autre de l’inégalité). C’est-à-dire f (a) > f (b). Conclusion : f est strictement décroissante sur [0; +∞[. Roussot 1/ 4 2014 - 2015 2nde Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence 3. Dresser le tableau de variation de f . D’après les deux questions précédentes, et sachant que f (0) = −3 × 02 + 2 = 2, on obtient : x 0 −∞ +∞ 2 Var. de f 4. Trouver le meilleur encadrement de f (x) quand x ∈ [1; 4], en justifiant à l’aide des propriétés adéquates. Si x ∈ [1; 4] c’est-à-dire (0 ≤) 1 ≤ x ≤ 4 alors f (1) ≥ f (x) ≥ f (4) car la fonction f est strictement décroissante sur [0; +∞[, or f (1) = −3 × 12 + 2 = −3 + 2 = −1 et f (4) = −3 × 42 + 2 = −48 + 2 = −46. Donc −1 ≥ f (x) ≥ −46 ie −46 ≤ f (x) ≤ −1. Exercice 4. 2x − 7 suivant les valeurs réelles de x dans un même tableau, afin d’en 3 2x − 7 déduire dans ce même tableau le signe de (5 − x) ( ). 3 1. Établir le tableau de signes des expressions 5 − x et On résout 5 − x = 0 ⇐⇒ 5 = x ; 7 2x − 7 = 0 ⇐⇒ 2x − 7 = 0 ⇐⇒ 2x = 7 ⇐⇒ x = . puis 3 2 D’où, sachant que le coefficient directeur du premier facteur est −1 < 0 et celui du second facteur 2x − 7 2 7 2 ( = x − ) est > 0 : 3 3 3 3 x 7 2 −∞ 5 5−x + 2x−7 3 − 0 + ) (5 − x) ( 2x−7 3 +∞ + 0 − + − 0 + 0 − 2. Résoudre dans R l’inéquation (5x − 2) (x + 3) < 0. On résout cette inéquation en faisant un tableau de signes comme dans la question précédente : 2 D’abord on résout : 5x − 2 = 0 ⇐⇒ 5x = 2 ⇐⇒ x = ; 5 puis x + 3 = 0 ⇐⇒ x = −3. D’où, sachant que le coefficient directeur du premier facteur est 5 > 0 et celui du second facteur est 1>0 : x −∞ 2 5 −3 +∞ 5x − 2 − − 0 + x+3 − 0 + (5x − 2) (x + 3) + 0 − 0 + + 2 Donc les solutions dans R l’inéquation (5x − 2) (x + 3) < 0 sont S = ]−3; [. 5 Roussot 2/ 4 2014 - 2015 2nde Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence Exercice 5. On considère les fonctions suivantes : ● f définie sur R par f (x) = −3x + 2 ● h définie sur R par h(x) = 5x Dresser les tableaux de variations de chacune de ces fonctions, en justifiant. f est une fonction affine de coefficient directeur (−3) strictement négatif donc : x −∞ +∞ Var. de f h est une fonction affine (et linéaire) de coefficient directeur (5) strictement positif : x −∞ +∞ Var. de h Exercice 6. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = − x + 1 dont la courbe représentative est notée Cg . La droite D 5 représentée ci-dessous est la courbe représentative de la fonction affine f . D C Cg A Ð → j O K Ð → i B D 1. Déterminer l’expression de f (x) en utilisant les points à coordonnées entières marqués du graphique ci-dessus. On lit sur le graphique les points suivants sur la droite D : A (4; 1) et B (0; −1) (et F (6; 2)). On cherche les réels m et p tel que f (x) = mx + p car f est une fonction affine. B (0; −1) ∈ D se traduit par f (0) = −1 ie m × 0 + p = −1 ie p = −1. Donc f (x) = mx − 1. Il reste alors m à déterminer. 2 1 De plus A (4; 1) ∈ D se traduit par f (4) = 1 ie m × 4 − 1 = 1 ie 4m = 2 ie m = = . 4 2 1 Conclusion : L’expression de f est f (x) = x − 1. 2 2. En faisant apparaître les calculs, tracer Cg dans le repère ci-dessus. g est une fonction affine donc Cg est une droite, ainsi nous avons besoin de 2 points de cette droite pour la tracer. Pour cela, on calcule 2 images par g : g(−5) = 1 + 1 = 2 d’où C (−5; 2) ∈ Cg ; et g(10) = −2 + 1 = −1 d’où D (10; −1) ∈ Cg . Donc Cg = (CD), représenté dans le repère précédent. Roussot 3/ 4 2014 - 2015 Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence 2nde 3. Déterminer par le calcul les coordonnées du point K d’intersection de Cg et D. Un point K (x; y) est point d’intersection de Cg et D si et seulement si ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x x x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ K ∈ C y = g(x) y = − + 1 + 1 y = − g ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y = −5 + 1 5 5 ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 x x x 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ K ∈ D y = f (x) y = − 1+1= + x − 1 + 1 = x − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 5 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 5 ⎩ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 7 10 20 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y = −5 + 1 ⎪ 2 = 10 x ⎪ 2× 7 =x ⎪ 7 =x ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ 20 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5x x x 2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2= y =− +1 y =− +1 y =− 7 +1 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 10 10 5 5 5 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 20 20 20 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = x = x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 7 ⎪ 7 ⎪ 7 =x ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⇐⇒ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 20 15 3 35 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y = − y = y= + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 35 35 35 7 ⎩ ⎩ ⎩ 20 3 Donc les coordonnées du point K d’intersection de Cg et D sont ( ; ) (en remarquant que 7 7 20 3 ≃ 2, 86 et ≃ 0, 43). 7 7 Autre rédaction : Un point K d’abscisse x est point d’intersection de Cg et D = Cf nous amène à résoudre l’équation g(x) = f (x). 1 x x 5x 2x 7 10 x + ⇐⇒ 2 = x ⇐⇒ 2 × = g(x) = f (x) ⇐⇒ − + 1 = x − 1 ⇐⇒ 1 + 1 = + ⇐⇒ 2 = 5 2 2 5 10 10 10 7 20 x ⇐⇒ =x 7 20 20 20 20 35 15 3 L’ordonnée de K est alors y = f ( ) = g ( ) = − 7 + 1 = − + = = 7 7 5 35 35 35 7 Exercice 7. Bonus Être ou non à la page Le livre des maîtres du mystère est ouvert sur une table et on peut y lire les 2 numéros de pages, composés chacun de 3 chiffres différents. Le produit des 6 chiffres est égal à 2400. À quelles pages est ouvert ce livre ? Donner une des possibilités. 2400 = 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5 = 25 × 3 × 52 Ainsi les chiffres des 2 pages peuvent être seulement parmi : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8. En essayant les différentes combinaisons, les possibilités de pages sont 542/543 et 452/453. Barème Exercice. 1. 1, 25 = 0, 5 + 0, 75 Exercice. 2. 1, 5 Exercice. 3. 6, 5 = 2 + 2 + 1 + 1, 5 Exercice. 4. 3, 75 = 1, 75 + 2 Exercice. 5. 1, 5 Exercice. 6. 5, 5 = 2 + 1, 5 + 2 Exercice. 7. Bonus 1 Roussot 4/ 4 2014 - 2015