Math SVTE : Initiation `a l`analyse

Licence Sciences de la Vie, de la Terre et de l’Environnement
Math SVTE : Initiation à l’analyse
Septembre 2013
Cité Scientifique - Bâtiment M2, Villeneuve d’Ascq 59655 Cédex
+33(0)3 20 43 42 34 |
mathematiques.univ-lille1.fr
Programme
Calcul différentiel
[14h]
Rappels sur les fonctions usuelles :
domaine de définition, graphe, dérivée, limites (fonctions
affines, polynomiales, racine, inverse, exp, ln, puissance, sin, cos, tan).
Dérivée : règles de calculs (à partir des dérivées des fonctions usuelles) : somme, produit, quotient,
composition de fonction.
Limites :
– règles de calculs à partir de limites connu et formes indéterminées ;
– règle de l’Hôpital et comparaison en +∞ ;
– une fonction monotone bornée admet une limite en ±∞.
Études de fonctions :
domaine de définition, tableaux de variations, extrema, limites aux bords.
Équation différentielles :
– explication des termes d’une équation différentielle à partir des notions comme
taux de croissance ,
effectif ,
proportionnalité ;
– vérification qu’une fonction est solution d’une équation, mais pas besoin de savoir la résoudre ;
– recherche des solutions constantes ;
– obtenir des informations sur (la monotonie de) une solution avec une condition initiale, sous la
condition que les courbes des solutions ne se croisent pas.
Calcul différentiel à plusieurs variables
Fonctions de deux variables :
Dérivées partielles :
Points critiques :
[12h]
domaine de définition, graphe.
fonctions partielles, dérivée partielles d’ordre 1 et 2, lemme de Schwarz.
extrema locaux (maximum, minimum, point selle).
Équations aux dérivées partielles :
– décrire des domaines faciles de R2 : rectangles, cercles, couronnes ;
– vérification qu’une fonction est solution d’une équation, mais pas besoin de savoir la résoudre.
Calcul intégral
[14h]
Intégrale de Riemann :
idée de la construction, interprétation comme surface sous une fonction
positive.
Règles de calcul :
lien avec les primitives, intégration par parties.
Applications :
calculs des volumes, surfaces et longueur
La notion d’intégrale multiple n’est pas nécessaire pour traiter les exercices de calcul d’aire ou de
volume.
Quelques conseils
Comment travailler
a) Il est important d’aller en cours et en TDs, car votre enseignant essaye oralement de mettre
en évidence les aspects essentiels d’une manière qui n’est en général pas visible dans des notes
prises par vos collègues.
b) N’hésitez pas à poser des questions. Vous avez peut-être peur qu’elles soient stupides, mais ce
qui serait stupide serait de ne pas essayer de comprendre au mieux. Il ne faut pas hésiter à vous
adresser à votre enseignant, que ce soit pendant ou après le cours ou le TD.
c) Il faut travailler toutes les semaines. Il n’est pas suffisant de le faire avant les examens, car il faut
progressivement se fabriquer des automatismes. De plus, les notions nouvelles sont construites
à partir des plus anciennes, qu’il faut avoir suffisamment comprises et manipulées.
d) C’est une très bonne idée de travailler en groupe, de discuter ainsi à plusieurs de vos difficultés.
e) Relisez rapidement un cours après y avoir assisté, afin de l’avoir encore assez fraı̂chement en
tête. Lors de cette première relecture vous pouvez marquer en marge du texte les endroits qui
vous posent problème, puis revenir dessus plus attentivement lors d’une deuxième relecture.
f) Il est important de bien comprendre les définitions et les théorèmes, et d’être capable de les
reproduire. Il ne s’agit pas de les apprendre par cœur, mais de les mettre à l’épreuve lors de
résolutions d’exercices. Ainsi, la première chose à faire lorsque l’on aborde un exercice est de
comprendre toutes les notions en jeu.
g) Il ne faut pas avoir honte de faire des erreurs, au contraire il faut savoir en profiter. Ainsi,
lorsque vous découvrez que vous en avez faite une, il faut réfléchir à ce qui l’a causé : inattention,
compréhension erronée d’une notion, confusion entre deux notions différentes.
h) Pour lutter convenablement contre les erreurs d’inattention, il faut toujours se relire. Pour
lutter contre les confusions et les compréhensions erronées, il faut rédiger de la manière la plus
claire possible, en bon français, en expliquant les théorèmes utilisés.
i) Afin d’indiquer que vous comprenez pourquoi un théorème peut être utilisé à un certain endroit,
il faut être bien conscient de ses hypothèses. Il faut expliquer pourquoi celles-ci sont vérifiées
dans votre contexte.
j) N’hésitez pas à lire d’autres présentations de la même théorie dans les ouvrages de la bibliothèque ou sur Internet. Vous découvrirez ainsi une diversité de points de vue, certains vous
parlant plus que d’autres.
Quelques sites Internet qui peuvent vous intéresser
– Le Portail des universités numériques thématiques. Il s’agit d’une base de donnée de
documents gratuits pour l’enseignement supérieure dans une multitude de matières.
http://www.universites-numeriques.fr
– Le site Exo7 où on trouve des feuilles d’exercices et des résolutions filmées d’exercices de
mathématiques pour l’enseignement supérieur.
http://exo7.emath.fr
– Le site Images des Mathématiques de la communauté mathématique française adressé
au grand public. Permet de découvrir des sujets de recherche contemporains, des aspects de
l’histoire des maths, des interactions des maths avec d’autres disciplines, des débats et bien
d’autres choses.
http://images.math.cnrs.fr
– Le site CultureMath, ayant le même esprit que le précédent, mais en plus scolaire.
http://www.math.ens.fr/culturemath
– Wikipedia, encyclopédie générale en ligne. N’hésitez pas à aller y lire les explications données
sur les notions du cours. Si vous lisez d’autres langues, c’est aussi un bon exercice de lire les
explications dans celles-ci.
http://fr.wikipedia.org
CALCUL DIFFERENTIEL
1
Échauffement
Exercice 1 Déterminer le domaine de définition maximal des expressions suivantes :
q
a) f1 (x) = x2 + x + 1
c) f3 (x) = 2+3x
5−2x
√
d) f4 (x) = ln(4x + 3)
b) f2 (x) = x − 1
Exercice 2 Soit f : x 7→ −x2 + x + 2.
a) Déterminer les racines de f .
b) Tracer le graphe de la fonction f . Donner son image.
c) Décrire les intervalles de monotonie de f .
d) Résoudre les inégalités f (x) ≤ 0, f (x) > 1, f (x) < 5.
Exercice 3 Soit f : x 7→
√
x + 1.
a) Déterminer le domaine de définition de la fonction f .
b) Tracer le graphe de la fonction f .
c) Décrire les intervalles de monotonie de f .
d) Résoudre les inégalités f (x) ≤ 1, f (x) > 2.
Exercice 4 Résoudre les équations suivantes :
a) 3 log (x + 4) = 9
b) log x2 + 3 log (x) = 5
e) ex = e1−x
c) log (x + 2) + log (x) = 3
g) 2x = 4 × 2−x
d) [log (x)]2 − 2 = 0
h) 3x − 2x = 0
f) e3x − 2e−x = 0
2
2
Exercice 5 Calculer les limites suivantes.
ex
x2 + 3
a) lim
c)
lim
x→+∞ x
x→+∞ 2x2 + x + 1
b) lim
x−1
x→1 ln(x)
sin(x)
x→0
x
d) lim
e) lim
x−1
+1
x→1 x
f)
1
lim x x
x→+∞
g)
lim x − ln(x)
1
lim x tan( )
x→+∞
x
h)
x→+∞
Exercice 6 Étudier les fonctions suivantes.
r
x2 − x − 2
x+1
a)
c)
x−3
x+2
b) x + e−x
d) x2 − 8 ln(x) + 1
i)
e) ln(x −
lim
x→+∞
1
)
x
p
x2 − x − x
2x3
x2 − 1
h) ln(x + 1) − ln(x) +
g)
1
f) x x
x
Problèmes d’optimisation
Exercice 7
L’énergie dépensée par un poisson pour re-
d
monter une distance d d’un courant de vitesse u à la vitesse v est donnée par
E(v) = v 3
v
u
d
.
v−u
a) Quel est le domaine de définition de cette fonction ?
b) On se restreindra ici au domaine ]u, +∞[. Expliquer pourquoi.
c) Étudier la fonction E sur ]u, +∞[.
d) En déduire la vitesse v qui minimise l’énergie E(v).
x
Exercice 8
On souhaite construire un casier rectangulaire en découpant
en rabattant les bords restants. La feuille mesure 42 cm de long
32 cm
quatre carrés de même taille aux coins d’une feuille cartonnée et
x
et 32 cm de large. Le volume du casier dépendra de la taille des
carrés découpés. Dans cet exercice on cherche à trouver la taille
des carrés qui maximisera le volume du casier.
42 cm
a) On note x la longueur d’un des côtés des carrés. Montrer que l’on a 0 < x < 16.
b) Montrer que le volume V s’exprime en fonction de x sous la forme
V (x) = 4(336x − 37x2 + x3 )
c) Étudier la fonction V sur ]0; +∞[. En déduire la taille des carrés qui maximisera le volume du
casier.
Exercice 9 Un camion doit faire un trajet de 150 km. On sait que sa consommation en gazole est de
2
v
(10 + 250
) litres par heure, où v désigne la vitesse du camion en km/h. Le prix du gazole est de 1 euro
et 20 centimes par litre (en Belgique). Dans cet exercice, on cherche la vitesse du camion (supposée
constante en fonction du temps) qui minimisera le prix de revient de la course.
a) Expliquer pourquoi le nombre de litres N (v) consommés par le camion en 150 km, en fonction
de v, est
N (v) = (10 +
v 2 150
)
.
250 v
b) En déduire l’expression du prix de revient P (v) (en euros) de la course en fonction de v.
c) Étudier la fonction P sur ]0; +∞[. En déduire la vitesse v qui minimise le prix de revient de la
course.
Exercice 10 Un campeur décide de se construire un tipi, c’est-à-dire une tente conique. Pour cela,
il dispose de S = 9π mètres carrés de toile, soit environ 28m2 . Il veut que le volume habitable sous
le tipi soit le plus grand possible.
Si le tipi a un rayon au sol x et une hauteur h, le volume habitable
est donné par la formule
h
1
V = πx2 h
3
√
et la superficie de toile utilisée vaut πx x2 + h2 = 9π.
a) Montrer que h =
q
81
x2
0
x
− x2 .
b) En déduire que le volume habitable vaut
V (x) =
πx p
81 − x4 .
3
c) Étudier la fonction V en fonction de x sur l’intervalle [0, 3].
d) Quel doit être le rayon au sol du tipi pour que le volume habitable soit maximal ? Quelle sera
alors sa hauteur ?
Exercice 11 La variole est une maladie très contagieuse. Lorsqu’un individu est infecté, soit il meurt,
soit il est immunisé pour le reste de sa vie. On a donc cherché à savoir s’il fallait inoculer la variole
de façon préventive (et inoffensive) à toute la population.
Si la variole a été inoculée, le nombre P (x) d’individus encore vivants à l’âge x (en décennies)
satisfait l’équation différentielle suivante.
y 0 (x) = −
x+1
y(x)
x+2
pour x ≥ 0.
(1)
a) Soit K > 0. Vérifier que la fonction définie par P (x) = K(x + 2)e−x est solution de l’équation
différentielle (1).
b) Montrer que P (x) > 0 pour tout x ≥ 0.
Si la variole n’avait pas été inoculée, on aurait eu
T (x) =
On pose f (x) =
T (x)
P (x)
9x
K
(7ex/8 + 1)(x + 2)e− 8
8
individus d’âge x.
pour tout x ≥ 0.
a) Montrer que f (x) = 81 (7 + e−x/8 ).
b) Établir le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0, +∞[.
c) A-t-on intérêt à inoculer préventivement la variole aux nourrissons ?
La variole a été éradiquée en 1979.
Équations différentielles
Exercice 12 On observe une population de microbes se développant de manière malthusienne, c’est
à dire dont le taux de croissance au temps t (en heures) est proportionnel à la taille de la population
N (t).
a) En notant k la constante de proportionnalité, donner une équation différentielle modélisant
cette situation.
b) Montrer que les fonctions f (t) = Cekt (où C est une constante) sont solutions de cette équation
différentielle.
c) Que représente C ?
d) Si k = ln 2, que peut-on dire de la population au bout d’une heure ?
e) Si k = ln 2 et N (0) = 100, quelle sera, d’après le modèle, la taille de la population au bout de
4 heures et 20 minutes ?
f) Si k = ln 2 et N (0) = 100, au bout de combien de temps la population atteindra-t-elle 1000
individus ?
Exercice 13 On modélise le refroidissement d’une roche lors d’une éruption volcanique, en partant
du principe que le taux de refroidissement est proportionnel à la différence de température entre la
roche et l’air ambiant. On note Ta la température de l’air ambiant et T (t) la température (en degrés
Celsius) de la roche au temps t (en heures).
a) En notant k > 0 la constante de proportionnalité, donner une équation différentielle modélisant
cette situation.
b) Montrer que les fonctions f (t) = (C − Ta )e−kt + Ta (où C est une constante) sont les solutions
de cette équation différentielle.
c) Si k = ln 3, Ta = 50 et T (0) = 500, quelle sera, d’après le modèle, la température de la roche
après 30 minutes ?
d) Si k = ln 3, Ta = 50 et T (0) = 500, au bout de combien de temps la température de la roche
sera-t-elle de 100 degrés Celsius ?
Exercice 14 On considère une population de bactéries. On note x(t) le nombre de bactéries à l’instant
t, et x0 le nombre de bactéries au début de l’expérience (instant t = 0).
Lorsque la bactérie est isolée, l’effectif x(t) possède une vitesse de croissance x0 (t) proportionnelle
à x(t) (on note α > 0 ce coefficient de proportionnalité). Lorsqu’une certaine toxine est présente dans
le milieu de culture en quantité y(t), le coefficient de proportionnalité α est diminué de la quantité
y(t). On suppose que y(t) croit de façon affine en fonction du temps, par exemple y(t) = 2t + 1.
a) Expliquer pourquoi x(t) est solution du problème
x0 (t) = (α − 2t − 1)x(t)
(2)
x(0) = x0
(3)
Dans la suite, on suppose qu’il y a des bactéries lorsqu’on débute l’expérience : x0 > 0.
b) On cherche une solution sous la forme x(t) = x0 ep(t) où p(t) = at2 + bt + c est un polynôme
de degré 2. A quelle condition sur les coefficients de p l’équation (3) est-elle vérifiée ? A quelle
condition sur les coefficients de p l’équation (2) est-elle vérifiée ? En déduire x(t).
c) On suppose α > 1. Étudier les variations de la fonction x(t). A quel moment la population de
bactéries est-elle maximale ? La population a-t-elle une chance de survie en grand temps ?
Exercice 15 On considère le problème
y 0 (t) = −t2 y(t)
pour t ≥ 0
y(0) = y0
(4)
(5)
a) Montrer que la fonction constante f (t) = 0 est solution de (4). Y a-t-il d’autres solutions
constantes ?
b) On suppose que y est une solution de (4) et (5), et on suppose y0 > 0.
(i) Montrer que y(t) > 0 pour tout t ≥ 0 (on admettra que les graphes de deux solutions
distinctes de (4) ne se coupent jamais).
(ii) Montrer que y est décroissante sur [0; +∞[. En déduire que y(t) a une limite quand t →
+∞.
c) On pose u(t) = at3 + b et Y (t) = eu(t) , où a et b sont des constantes.
(i) Calculer u0 (t) et Y 0 (t).
(ii) Déterminer la constante a pour que Y (t) soit solution de (4).
(iii) Calculer Y (0). Comment faut-il choisir b pour avoir Y (0) = y0 ?
(iv) Calculer limt→+∞ Y (t), en prenant pour a et b les valeurs trouvées dans les questions
précédentes.
Exercice 16 On étudie la progression d’une maladie contagieuse dans une population donnée. On
note x(t) la proportion des personnes malades à l’instant t, y(t) celle des personnes saines, et y0 la
proportion de personnes saines à l’instant initial t = 0. On a donc x(t) + y(t) = 1 pour tout t ≥ 0.
On suppose que la vitesse de propagation de la maladie x0 (t) est proportionnelle au produit
x(t)y(t) (ce qui signifie que la maladie se propage par contact).
a) Expliquer pourquoi il existe une constante K > 0 telle que y(t) soit solution du problème
y 0 (t) = −Ky(t)(1 − y(t))
(6)
y(0) = y0
(7)
pour tout t ≥ 0.
b) Chercher les solutions constantes de l’équation (6).
Dans la suite, on supposera 0 < y0 < 1.
c) Déduire de l’équation différentielle (6) que la fonction y est décroissante (indication : étudier
le signe de y 0 (t) en admettant que les graphes de deux solutions distinctes de (6) ne se coupent
jamais).
d) En déduire que limt→+∞ y(t) = l existe. On admet que dans ce cas y 0 (t) −−−−→ 0. En déduire,
t→+∞
en utilisant (6), que l = 0. La population peut-elle survivre sans intervention extérieure ?
e) On considère la fonction
Y (t) =
1
1+
1−y0 Kt .
y0 e
(8)
(i) Montrer que Y (t) est défini pour tout t ≥ 0.
(ii) Montrer que Y (t) est solution du système (6-7). Répondre à la question (d) en utilisant
l’expression (8).
Exercice 17 On étudie l’évolution d’une population de thons en Alaska. On note p(t) le nombre
(en centaines) de thons à l’instant t ≥ 0 (en heures). On observe que cette population a un taux
de croissance de 3% à chaque instant t. Cette population subit les assauts d’une pêche intensive
qui réduit la population de 10−2 p(t)2 thons par heure. De plus, à chaque heure, 2 thons quittent la
population pour des causes naturelles. On obtient alors l’équation différentielle satisfaire par p(t) :
p0 (t) = 10−2 (−p(t)2 + 3p(t) − 2)
(9)
a) Expliquer chaque terme de l’équation (9) à l’aide du texte introductif.
b) Calculer les solutions de l’équation −p2 + 3p − 2 = 0.
c) En déduire les solutions constantes de l’équation (9).
d) On considère maintenant la solution p(t) de (9) vérifiant p(0) = 10.
(i) Montrer que le nombre de thons diminue au cours du temps en admettant que les graphes
de deux solutions distinctes de (9) ne se coupent jamais.
(ii) Montrer que l = lim p(t) existe, puis calculer l en admettant que lim p0 (t) = 0. La
t→+∞
t→+∞
population de thons a-t-elle une chance de survie en grand temps ?
Exercice 18 Étudier les variations du polynôme
p(x) = (x − 1)2 (x + 1) = x3 − x2 − x + 1
sur R et montrer en particulier que p(x) > 0 pour tout x ∈] − 1; 1[.
On considère le problème représenté par les deux équations suivantes :
y 0 (t) = (y(t) − 1)2 (y(t) + 1)
(10)
y(0) = 0
(11)
et l’on suppose qu’il existe une fonction y : R+ → R solution de ce problème.
a) Chercher les solutions constantes de l’équation différentielle (10).
b) Montrer que la solution y du problème est croissante sur R+ (indication : étudier le signe de
y 0 (t) en admettant que les graphes de deux solutions distinctes de (10) ne se coupent jamais).
c) En déduire que l = lim y(t) existe. Calculer l en admettant que lim y 0 (t) = 0.
t→+∞
t→+∞
Exercice 19 Lorsqu’une nouvelle espèce s’introduit dans un écosystème, elle évolue d’abord lentement. Son rythme de croissance s’accélère ensuite à mesure qu’elle s’adapte, puis ralentit quand le
nombre d’individus u devient trop important compte tenu des ressources disponibles. Pour ce type
d’évolution, on utilise le modèle de Gompertz suivant :
u0 (t) = −u(t) ln(u(t))
(12)
u(0) = u0
(13)
où u0 désigne le nombre d’individus introduits au départ dans l’écosystème.
a) Chercher les solutions constantes de l’équation (12).
b) Déduire de l’équation différentielle (12) que la fonction u est décroissante si u0 > 1, et croissante
si 0 < u0 < 1 (indication : étudier le signe de u0 (t) en admettant que les graphes de deux
solutions distinctes de (12) ne se coupent jamais).
c) En déduire que l = lim u(t) existe.
t→+∞
d) La population va-t-elle survivre ?
−t
e) On considère la fonction U (t) = eKe
(où K est une constante).
(i) Montrer que U est solution de (12) et que U (0) > 0.
(ii) Trouver K pour que la fonction U soit solution du problème (12-13). Répondre à la
question (c), et calculer l, en utilisant l’expression de U (t).
CALCUL DIFFÉRENTIEL
À PLUSIEURS VARIABLES
2
Calculs d’extrema
Exercice 20 Calculer, quand elles existent, les dérivées partielles premières et secondes des fonctions
suivantes :
2
2
c) h(x, y) = xe−(x +y )
p
d) k(x, y) = x2 + y 2
a) f (x, y) = x2 y + 3xy − x3 + y 2
b) g(x, y) = ln(1 + xy)
Exercice 21 Déterminer les points stationnaires des fonctions suivantes et préciser pour chacun d’eux
s’il s’agit d’un maximum local, d’un minimum local ou d’un col.
x2
2
e) 3x2 −y 2 +2xy −4x−4y +3
i) x3 + y 3 + 3xy
b) x4 + y 4 − 4(x − y)2
f) 4x3 − 3x + y 2 − 4y − 3
j) exp(x2 − y 2 )
c) x3 + x2 y + y 2
g) 3x3 − x + 3y 2 + 3y − 5
p
h) 1 + x2 + y 2
k) 2xy + (1/x2 ) + (1/y 2 )
a) x2 y −
− y2
d) 2x2 −y 2 +2xy −6x−6y +3
l) 2xy 2 − x2 y + 6x
Exercice 22
−1
0
On se propose dans cet exercice de calculer la distance mi-
1
t)
g(
nimale entre les graphes de deux fonctions
f (s)
f (s) = −(s2 + 3s + 3)
g (t) = 2 − t
a) Vérifier que (−1, 1) est un point stationnaire de la fonction à deux variables
D (s, t) = (t − s)2 + 2 − t + s2 + 3s + 3
2
et déterminer s’il s’agit d’un maximum local, minimum local ou col. (Indication : On se rappellera que si u est une fonction à deux variables s et t, on a ∂s u2 = 2 u ∂s u.)
b) Vérifier (sans faire référence au dessin) que le point (−1, −1) fait partie du graphe Γf de f .
Puis vérifier que (1, 1) fait partie du graphe Γg de g.
c) On remarquera que D(s, t) représente le carré de la distance entre le point (s, f (s)) de Γf et le
point (t, g (t)) de Γg . En admettant que le minimum local de D trouvé auparavant est global,
calculer la distance minimale entre les deux graphes.
Extrema et équations différentielles
Exercice 23 Dans un milieu naturel, à tout instant t ≥ 0, on désigne par X(t) la quantité de poissons
d’un lac et par Y (t) le nombre d’habitants vivant aux abords du lac et se nourrissant principalement
de poissons.
a) On représente cette interaction en utilisant le modèle de Lotka-Volterra :

 X 0 (t) = aX(t) − bX(t)Y (t)
 Y 0 (t) = −cY (t) + dX(t)Y (t)

 X(0) = x
0
 Y (0) = y0
(14)
(15)
où a, b, c, d > 0, et où x0 > 0 et y0 > 0 désignent les effectifs de population au début de
l’observation.
(i) Expliquer comment évolue la quantité de poissons en l’absence d’habitants ; que représente
a ? Que devient le taux d’accroissement de la population de poissons en présence d’habitants ?
(ii) Expliquer comment évolue le nombre d’habitants en l’absence de poissons ; que représente
c ? Que devient le taux de mortalité des habitants en présence de poissons ?
b) Donner le domaine de définition D de la fonction
L(x, y) = −a ln(y) + by − c ln(x) + dx.
c) Quels sont les points critiques de la fonction L(x, y) sur D ? Déterminer leur nature.
d) Déterminer les solutions constantes du système différentiel (14). Qu’observe-t-on par rapport
à la question (c) ?
e) Soit X(t), Y (t) des fonctions satisfaisant (14-15). Calculer L(X(t), Y (t)) en fonction de x0 et
y0 (indication : dériver la fonction).
f) On fixe a = b = c = d = 1. Soit K ∈ R. On considère la courbe CK d’équation L(x, y) = K.
(i) Montrer que la fonction L admet un minimum global strict en (1, 1) (indication : on pourra
étudier la fonction x 7→ x − ln(x)).
(ii) Que peut-on dire de l’ensemble des couples (x, y) tels que L(x, y) = K lorsque K = 2 et
lorsque K < 2 ?
(iii) L’allure des courbes CK , pour K > 2, est la suivante :
12
10
K=6
<
8
K=5
<
6
K=4
<
K=3
<
4
2
2
4
6
8
10
12
Se peut-il que le nombre d’habitants devienne très grand pour un temps assez long ?
Exercice 24 Soient a < 0 et b ∈ R. On considère le système différentiel

 x0 (t) = ax(t) − by(t)
 y 0 (t) = bx(t) + ay(t)

 x(0) = x
0
 y(0) = y0
(16)
(17)
On suppose qu’il existe des fonctions x, y : R+ → R qui satisfont le système (16)-(17).
a) Montrer que la fonction H(t) = 21 (x2 (t) + y 2 (t)) satisfait l’équation différentielle
H 0 (t) = 2aH(t).
b) Montrer qu’il existe un réel K que l’on exprimera en fonction de x0 , y0 tel que H(t) = Ke2at
puis que
lim H(t) = 0.
t→+∞
c) En déduire que limt→+∞ x(t) = limt→+∞ y(t) = 0.
d) Montrer que (0, 0) est un minimum local pour la fonction H(x, y) = 21 (x2 + y 2 ).
Extrema et équations aux dérivées partielles
Exercice 25 On considère la fonction w à deux variables définie par :
w(x, t) = xt +
x3
+ 1.
6
a) Déterminer les points critiques (ou stationnaires) de w et préciser leur nature.
b) Montrer que w est solution de l’équation :
∂t w = ∂x2 w
On considère à présent la fonction u à deux variables définie par :
u=
2 ∂x w
w
(18)
c) Montrer que u est bien définie pour tous réels x et t positifs.
d) Montrer que pour tous réels x et t positifs, on a :
u(x, t) =
12t + 6x2
.
6xt + x3 + 6
e) Prouver que u est solution de l’équation :
∂t u − u ∂x u = ∂x2 u .
Indication : On peut montrer (e) soit à partir de (d), soit à partir de (18) et (b).
Cette équation est un cas particulier de l’équation de Burgers, équation issue de la mécanique des
fluides.
Exercice 26 On considère l’équation aux dérivées partielles
∂x2 u(x, y) + ∂y2 u(x, y) + ∂x u(x, y) + ∂y u(x, y) = F (x, y)
où F est une fonction définie sur le domaine
ΩR = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < R2 },
avec R > 0. On suppose que la fonction F vérifie F (x, y) > 0 pour tout (x, y) ∈ ΩR .
On admet qu’il existe une fonction (x, y) 7→ u(x, y) qui est continue sur le domaine
DR = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ R2 }
et qui vérifie l’équation (19) pour tout (x, y) ∈ ΩR .
(19)
a) Dessiner les ensembles ΩR et DR .
b) On admet que la fonction u admet un maximum en un point M = (x0 , y0 ) ∈ DR . Supposons
que M ∈ ΩR .
(i) Quelle est la valeur de ∂x u(x0 , y0 ) et de ∂y u(x0 , y0 ) ?
(ii) Quel est le signe de ∂x2 u(x0 , y0 ) et de ∂y2 u(x0 , y0 ) ?
(iii) Montrer que cela n’est pas possible (indication : utiliser (19)).
c) [Principe du maximum] Où se trouve alors le point M ?
Exercice 27 On considère le problème suivant :
y ∂x u(x, y) + ∂y u(x, y) = x
(20)
u(x, 0) = x
(21)
On considère les fonctions
u1 (x, y) = xy −
y3
y2
+x−
3
2
et
u2 (x, y) = xy −
y2
y3
+ ex− 2
3
a) Montrer que les fonctions u1 et u2 vérifient l’équation (20) pour tous les couples (x, y) ∈ R2 .
b) Laquelle des deux fonctions u1 , u2 vérifie à la fois (20) et (21) pour tous les couples (x, y) ∈ R2 ?
c) Déterminer les points critiques de la fonction u1 et déterminer leur nature.
Équations aux dérivées partielles
Exercice 28
a) Déterminer le domaine de définition Du ⊂ R2 de la fonction u(x, y) = sin(x2 + y1 ) et montrer
que u est solution de l’équation
∂x u(x, y) + 2xy 2 ∂y u(x, y) = 0
pour tout (x, y) ∈ Du .
b) Montrer que la fonction u(x, y) = ln(x + exp(y/x)) est bien définie pour tout (x, y) ∈ R∗+ × R∗+
et satisfait l’équation
x∂x u(x, y) + y∂y u(x, y) = xe−u(x,y)
pour tout (x, y) ∈ R∗+ × R∗+ .
c) Soit a ∈ R∗ . Montrer que la fonction
u(x, t) =
axe−at
a + 1 − e−at
est bien définie sur R × R+ et qu’elle est solution du problème
∂t u(x, t) + u(x, t)∂x u(x, t) + au(x, t) = 0 , u(x, 0) = x
pour tout (x, t) ∈ R × R+ . Calculer limt→+∞ u(x, t).
Exercice 29 On note u(x, t) la concentration (en mol/l) d’un produit chimique à distance x ∈ [0, π]
du bord d’une rivière à l’instant t ≥ 0. On suppose que u(x, t) satisfait le problème suivant :


∂t u(x, t) = ∂x2 u(x, t) − 2 ∂x u(x, t)
pour t ≥ 0
pour x ∈ [0, π]

u(x, 0) = 2 ex sin(x)
(22)
a) Calculer la dérivée de f (x) = 2ex sin(x) sur [0, π] que l’on notera f 0 (x). Montrer que f 0 s’annule
en
3π
4 .
(Bon à savoir : sin( 3π
4 )=
√
2
2
et cos( 3π
4 )=−
√
2
2 .)
On admettra dans la suite que la fonction f admet un unique maximum en
3π
4
sur [0, π].
b) Déterminer des constantes a, b ∈ R telles que la fonction
u(x, t) = b eat ex sin(x)
soit solution du problème (22).
c) On fixe t. Montrer que la fonction x 7→ u(x, t) admet un unique maximum (appelé pic de
pollution) sur [0, π] dont on précisera la valeur en fonction de t. Calculer en particulier la
valeur du pic de pollution initial en t = 0.
Exercice 30 On considère une tige métallique représentée par l’intervalle [0, 1] plongée dans un
environnement de sorte qu’en tout point x ∈ [0, 1] la température (en degrés Celsius) de la tige est
donnée par
f (x) = sin(πx).
a) Quelle est la température de la tige aux points 0 et 1 ? La température est-elle positive pour
tout x ∈ [0, 1] ?
On retire la tige de son environnement à un instant t = 0 en conservant par un système de
chauffage et de refroidissement les extrémités 0 et 1 de la tige à température constante égale à
0o C. On note u(x, t) la température à l’instant t ≥ 0 d’un point x ∈ [0, 1] de la tige.
Les équations de conservation de la physique impliquent que la vitesse d’accroissement ∂t u(x, t)
de la température en temps est proportionnelle à la concavité ∂x2 u(x, t) en espace, pour tout
t ≥ 0, pour tout x ∈ [0, 1].
Il existe donc α > 0 tel que la température u(x, t) vérifie
∂t u(x, t) = α∂x2 u(x, t).
(23)
Dans cette équation de la chaleur, on a la condition initiale
u(x, 0) = f (x),
(24)
pour tout 0 ≤ x ≤ 1, et les conditions au bord
u(0, t) = 0 , u(1, t) = 0,
(25)
pour tout t ≥ 0, tout 0 ≤ x ≤ 1.
b) Montrer que la fonction f est solution du problème
y 00 (x) = −π 2 y(x)
∀x ∈ [0, 1]
y(0) = y(1) = 0
c) Montrer que la fonction g(t) = e−απ
2t
(26)
(27)
est solution du problème
y 0 (t) = −απ 2 y(t)
∀t ≥ 0
y(0) = 1
(28)
(29)
d) En utilisant les équations (26) et (28) vérifiées respectivement par f et g, montrer que la
fonction u(x, t) = f (x)g(t) est solution de (23). Les conditions (24-25) sont-elles satisfaites ?
e) A l’aide de la question précédente, déterminer le comportement de la température de la tige en
tout point x ∈ [0, 1] pour un temps assez long.
Exercice 31 La réaction chimique de Belousov et Zhabotinskii fait intervenir plusieurs composants
dont l’acide bromique HBr O2 .
À l’aide d’une sonde, on mesure la concentration de HBr O2 , u(x, t), à hauteur x ≥ 0 dans le liquide
à l’instant t ≥ 0. Les réactions entre les différents composants impliquent que u(x, t) satisfait une
équation du type
∂t u(x, t) = ∂x2 u(x, t) + f (u(x, t))
(30)
pour tout x ≥ 0, où f est une fonction R → R.
Il s’agit ici d’une version raffinée de l’équation de la chaleur étudiée dans les problèmes précédents.
En plus du phénomène de diffusion, on a d’autres réactions chimiques qui peuvent freiner ou accélérer
l’évolution. Celles-ci peuvent être complexes, mais on suppose qu’elles ne dépendent que de la concentration de HBr O2 (et pas de sa variation ou du temps par exemple). On les modélise donc par le
terme f (u).
a) Soit c > 0. Supposons qu’il existe une fonction V (y) : R → R solution de l’équation différentielle
V 00 (y) − cV 0 (y) + f (V (y)) = 0
(31)
On pose u(x, t) = V (x + ct). Montrer alors que u(x, t) est solution de l’équation (30).
b) Supposons que f soit de la forme f (u) = −au où a > 0. Réécrire les équations (30) et (31).
(i) Soit g(y) = ery . A quelle condition sur la constante r ∈ R la fonction g est-elle solution de
l’équation différentielle (31) ?
(ii) On posera dans la suite r1 = (c −
√
c2 + 4a)/2 et r2 = (c +
√
c2 + 4a)/2. Quelles sont les
signes de r1 et r2 ?
(iii) En déduire que la fonction définie par V (y) = A1 er1 y + A2 er2 y est solution de (31) pour
tout choix de A1 , A2 ∈ R.
c) On suppose que la concentration u(x, t) est donnée par V (x + ct) (voir question a) ). En
particulier, la fonction V doit rester bornée et positive. Quelle condition doivent vérifier les
constantes A1 et A2 pour cela ? En déduire une expression de u(x, t) vérifiant (30).
d) A partir de la question précédente, déterminer le comportement de la concentration à hauteur
x ≥ 0 fixée pour un temps assez long.
3
CALCUL INTÉGRAL
Échauffement
Exercice 32 Calculer les intégrales suivants :
Rπ
R1
c) sin(θ)dθ
a) xdx
b)
e)
0
0
R2
2y 3 dy
d)
−1
R1
ex dx
f)
0
0
R1 √
R1
3y + 1dy
d)
e)
π
2
Rp
3 cos(y) sin ydy
d)
0
b)
R12
f)
y 2 e2y dy
d)
0
tan2 (3θ)dθ
0
0
R5
1
0
1
dt
(2t+1)3
π
e3x dx
e)
R1
0
√
e√x
dx
2 x
f)
R1
0
Exercice 35 Calculer les intégrales suivants :
R1
R1
2
a) xex dx
c) (x3 + x)ex +1 dx
R1
R1
0
0
r−3,2 dr
0
Exercice 34 Calculer les intégrales suivants :
π
R1
2
R4
a) xex dx
c) tan(θ)dθ
b)
R2
1
2
0
1
t dt
1
Exercice 33 Calculer les intégrales suivants :
π
R4
R4
5
a) (x − 2) dx
c) 5 sin(2θ)dθ
b)
R2
e)
Rπ
0
0
R2
R4
2
2x +1
x 1+x
2 +x4 dx
sin(ln(1+θ2 ))
θdθ
1+θ2
θ cos(θ)dθ
π
t ln(t)dt
f)
1
α2 sin(α)dα
0
Exercice 36
a) Déterminer A et B tels que
b) Déterminer A, B tels que
c) Déterminer A, B tels que
1
x2 −1
=
x
2x2 +9x+9
A
x−1
=
x−2
(x2 +1)(2x+1)
+
A
x+3
=
B
x+1 ,
+
puis calculer
2
B
2x+3 ,
Ax
x2 +1
+
R4
puis calculer
B
2x+1 ,
1
dx.
x2 −1
R1
0
x
dx.
2x2 +9x+9
puis calculer
R1
0
x−2
dx.
(x2 +1)(2x+1)
Calcul de débit
Exercice 37 La respiration est cyclique et un cycle respiratoire complet du début de l’inspiration à la
fin de l’expiration dure environ 5 secondes. Le débit maximal du flux d’air entrant dans les poumons
est d’environ 0,5 l/s. Ceci explique en partie pourquoi on modélise souvent le débit d’air f (t) (en l/s
dans les poumons par la fonction de t (en s) :
f (t) =
2πt
1
sin(
).
2
5
(32)
a) Tracer (approximativement) la courbe de f et indiquer où se situent les parties d’inspiration
et d’expiration.
b) Utiliser ce modèle pour trouver le volume (en l) d’air dans les poumons après une phase complète
d’inspiration.
c) Quelle quantité d’air a été inspirée en une minute ?
Exercice 38 Un prélèvement sanguin prend a minutes. À l’instant t compris entre 0 et a, le débit
du sang, mesuré en millilitres par minute, vaut
f (t) =
12
12
at − t2 .
5
5
a) Tracer le tableau de variations de f pour t ∈ [0, a]. A quel instant le débit est-il maximal ?
Donner la valeur maximale du débit en fonction de a.
b) Le volume total de sang prélevé vaut
Z
V =
a
f (t) dt.
0
Calculer V en fonction de a.
c) Quelle doit être la durée du prélèvement si l’on veut obtenir 400 ml de sang ? Quelle sera alors
la valeur maximale du débit au cours du prélèvement ?
Exercice 39 Pour étudier le flux dans un vaisseau sanguin, on peut modéliser le vaisseau par un
tube cylindrique de rayon R et de longueur l.
A cause du frottement contre les parois du tube, la vitesse du sang est maximale au centre du vaisseau et est nulle au niveau des parois. La vitesse en un
l
point à distance r de l’axe central est donnée (en cm/s) par
v(r) =
P
(R2 − r2 )
4ηl
(33)
où P est la différence de pression entre les deux extrémités du tube et η la
viscosité du sang.
a) On considère une section verticale du tube (donc un cercle
de rayon R) que l’on décompose en anneaux concentriques
de rayon intérieur ri et de rayon extérieur ri+1 . Montrer que
l’aire d’un tel anneau est de
R
ri
Ai = π(ri+1 − ri )(ri+1 + ri ).
r i+1
b) Pour ri+1 − ri petit, on approche Ai par 2πri (ri+1 − ri ). En
déduire que le débit sanguin F est égal à
Z
R
2πrv(r)dr.
(34)
0
c) Calculer cette intégrale en utilisant l’expression de v(r). Cette expression de F est appelée la
loi de Poiseuille.
d) L’hypertension est due au rétrécissement des artères. Pour maintenir le même débit, le coeur
doit pomper plus fort, ce qui augmente la pression sanguine. Utiliser la loi de Poiseuille pour
montrer que si R0 et P0 sont les valeurs normales du rayon et de la pression, R et P les valeurs
lors de l’hypertension, alors conserver le même débit sanguin impliquera la relation
P
R0
= ( )4 .
P0
R
(35)
En déduire que si le rayon de l’artère est réduit aux trois quarts de sa valeur normale, la pression
sanguine a plus que triplé.
Longueur, aire, volume
Exercice 40
f (x)
On cherche à calculer le volume d’un objet dont la forme
est obtenue par rotation d’une courbe d’équation y =
f (x) (pour x ∈ [a, b], f une fonction continue) autour de
l’axe des x. On admet que le volume de l’objet est donné
a
x
b
par l’intégrale
Z
b
V =
πf (x)2 dx.
(36)
a
a) Soit f une fonction constante (pour tout x ∈ [a; b], f (x) = c > 0). Quelle est la forme de l’objet
obtenu ? La formule (36) donne-t-elle le résultat attendu ?
b) Calculer le volume de l’objet défini par rotation autour de l’axe x de la courbe représentant
f (x) = kx (k 6= 0) pour x entre 0 et b > 0. Retrouver ainsi le volume d’un cône de rayon r et
de hauteur h.
c) Calculer le volume de l’objet défini par rotation autour de l’axe x de la courbe représentant
f (x) = cos(x) entre − π2 et
π
2
(indication : cos2 (x) =
1+cos(2x)
).
2
d) Calculer le volume de l’objet défini par rotation autour de l’axe x de la courbe représentant
f (x) = xe−x pour x ≥ 0.
Exercice 41 On considère un ballon de longueur 3 dm (décimètres), de rayon équatorial a > 0.
Lorsque a = 23 , le ballon est une sphère.
a
Lorsque a < 23 , cela signifie que l’on a comprimé le ballon
orthogonalement à l’axe des abscisses (Ox) pour obtenir un
3
2
x
ballon ellipsoı̈dal.
a) On obtient un tel balon par rotation autour de l’axe Ox de la fonction
r
r(x) = a 1 −
4x2
.
9
(i) Déterminer le domaine de définition de la fonction r.
(ii) Établir le tableau de variations de la fonction r sur son domaine de définition. Préciser les
valeurs de r(− 32 ), r(0) et r( 32 ).
(iii) Donner l’aire d’un disque de rayon r(x) en fonction de a et x.
b) On cherche à calculer maintenant le volume du ballon.
(i) Donner le volume d’un cylindre de hauteur h > 0 ayant pour base un disque de rayon r(x)
en fonction de a,x et h.
(ii) Expliquer pourquoi le volume du ballon est donné par
Z 3/2
4x2
2
V =
πa 1 −
dx.
9
−3/2
(Par exemple, on pourra approcher V par des sommes de volumes de cylindres que l’on
précisera.)
(iii) Calculer V en fonction du paramètre a.
(iv) En déduire en particulier que le volume d’un ballon sphérique de rayon
3
2
dm vaut
9π
2
dm3 .
Exercice 42 On remplit d’eau un bol hémisphérique, de rayon r (en cm).
f (x)
p
r2 − (x − r)2
0
x
r
x
a) Calculer le volume de l’objet défini par rotation autour de l’axe x de la courbe représentant
p
f (x) = r2 − (x − r)2 pour x ∈ [0, r].
b) En déduire le volume d’eau que peut contenir le bol.
c) Montrer que, s’il est rempli jusqu’à une hauteur h (en cm), le bol contient (en cm3 )
1
V (h) = πh2 (3r − h).
3
d) Écrire l’équation déterminant à quelle hauteur le bol sera à moitié plein.
e) Le bol fait 5 centimètres de rayon et l’eau coule à un débit de 20 cm3 /s.
(i) Combien de temps faudra-t-il pour que la hauteur
de l’eau passe de 2 centimètres à 4 centimètres ?
(ii) Soit h(t) la hauteur (en cm) au temps t (en s). Mon-
x 20 cm3 /s
trer que
h0 (t)(10πh(t) − πh2 (t)) = 20.
r = 5 cm
(iii) A quelle vitesse le niveau de l’eau monte-t-il s’il y
a déjà 2 centimètres d’eau au fond ?
h
0
Exercice 43 Soit f une fonction continue sur le segment [a, b].
a) On admet que la longueur de la courbe d’équation y = f (x) pour x ∈ [a, b] est donnée par
l’intégrale
Z bp
L=
1 + f 0 (x)2 dx.
(37)
a
(i) Soit f une fonction constante : pour x ∈ [a, b], f (x) = c. La formule (37) donne-t-elle le
résultat attendu ?
(ii) Soit f une fonction affine : pour x ∈ [a, b], f (x) = kx+c. Tracer le graphe de f . La formule
(37) donne-t-elle le résultat attendu ?
3
(iii) Calculer la longueur de la courbe d’équation y = x 2 pour x ∈ [0, 1].
b) On fait tourner la courbe d’équation y = f (x) entre x = a et x = b autour de l’axe des x. On
admet que l’aire de la surface ainsi obtenue est donnée par l’intégrale
Z b
p
A=
2πf (x) (1 + f 0 (x)2 ) dx.
(38)
a
(i) Soit f une fonction constante. Quelle est la forme de l’objet obtenu ? La formule (38)
donne-t-elle le résultat attendu ?
(ii) Mêmes questions pour f (x) = kx (k 6= 0) pour x entre 0 et 1.
(iii) Retrouver la formule de l’aire d’une sphère de rayon R.
Exercice 44 On considère le graphe C d’une fonction y : [0, 2] → R vérifiant
y(0) = y(2) = e−1/2 + e1/2 .
Soit
Z
A(y) = 2π
1
p
y(t) 1 + (y 0 (t))2 dt
(39)
y(t)
(40)
0
l’aire de la surface de révolution S engendrée par C par rotation autour de l’axe des abscisses x. La théorie du calcul variationnel (équations d’Euler Lagrange) montre que lorsque
0
2
S
cette aire est minimale, alors il existe un nombre réel α tel
que pour tout x ∈ [0, 2]
p
(y 0 (x))2 y(x)
y(x) 1 + (y 0 (x))2 − p
= α.
1 + (y 0 (x))2
(41)
a) Montrer que l’équation (41) implique que la fonction y satisfait l’équation différentielle
y 2 (x) = α2 (1 + (y 0 (x))2 )
b) Résoudre (42) lorsque α = 0.
pour x ∈ [0, 2].
(42)
On suppose désormais α 6= 0.
b) Vérifier que pour tout β ∈ R, la fonction
y(x) = α
e
x−β
α
+ e−
2
x−β
α
(43)
est solution de (42) pour tout x ∈ R.
c) Déterminer α et β de sorte que la fonction y(x) donnée par (43) satisfasse les contraintes (39)
puis donner le tableau de variation de la fonction y. Montrer en particulier que la fonction y
admet un unique minimum sur [0, 2] que l’on précisera.
Exercice 45
Le principe d’Archimède dit que la force s’exerçant sur un
objet partiellement ou totalement immergé dans un liquide
est égale au poids du liquide que l’objet déplace.
Soit un objet de densité ρ0 et de hauteur totale H partiellement immergé à une profondeur p sous la surface d’un
y
p
H
liquide de densité ρl . On considère l’origine y = 0 de l’axe
verticale placé au point le plus bas de l’objet.
0
a) On admet que le volume de l’objet situé sous une hauteur h ∈ [0, H] est donné par la formule
Rh
0 A(y)dy, où A(y) est la surface de la section horizontale de l’objet à la hauteur y. Cela est-il
justifié, si l’objet est, par exemple, un cube, ou un cylindre vertical ?
RH
b) Justifier que la force de la gravité exercé sur l’objet est F = ρl g 0 A(y)dy, où g est l’accélération
due à la gravité.
c) Que représente P = ρ0 g
Rp
0
A(y)dy et pourquoi P = F pour un objet en équilibre ?
d) Montrer que le pourcentage de l’objet (en volume) au-dessus de la surface du liquide est donné
par
100
ρl − ρ0
.
ρl
e) La densité de la glace est 917 kg/m3 et la densité de l’eau de mer est 1030 kg/m3 . Quel pourcentage d’un iceberg se situe au-dessus de la surface de l’eau ?
f) Un cube de glace flotte dans un verre d’eau rempli à ras bord. L’eau débordera-t-elle lorsque
le cube de glace aura fondu ?