VARIÉTÉ DE PETERSON DANS G(2, 5) Pieter Peeperkorn

VARIÉTÉ DE PETERSON DANS G(2, 5)
Pieter Peeperkorn
Introduction
Soit Gr = G(2, 5) le grassmanien de sous-espaces linéaires de dimension 2 dans
C , plongé par Plücker dans P9 .
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Dans cette note on introduit une ”sous-variété de Peterson” Ȳ ⊂ Gr; c’est une
sous-variété fermée de dimension 4 de Gr, l’intersection Ȳ = L ∩ Gr où L ⊂ P9 est
un sous-espace linéaire de dimension 7.
L’anneau homogène de Ȳ est isomorphe à la petite cohomologie quantique T équivariante d’une surface de Del Pezzo lisse X = S7 ⊂ P5 ; X est une variété
torique sur laquelle le tore T = C∗2 agit naturellement. Autrement dit, si Y est le
∼
cône sur Ȳ, alors HQ∗T (X) = C[Y].
On peut regarder X comme ”la duale miroire” de Y.
1
2
§1. Un grassmanien et une surface Del Pezzo
1.1. Grassmanien. Posons R = C[xij ]1≤i<j≤5 , alors Gr = Proj A(Gr), où
A(Gr) = R/I, I est l’idéal engendré par 5 éléments de Plücker fijkl , 1 ≤ i < j <
k < l ≤ 5,
fijkl = xij xkl − xik xjl + xil xjk
(1.1.1)
Par abus de language on va désigner par les mêmes lettres xij leurs images dans
A(Gr). La variété Gr est lisse de dimension 6.
Soit J = (x12 , x45 ) ⊂ A(Gr) l’idéal engendré par x12 et x45 ; on pose A :=
A(G)/J, Y := Spec A et Ȳ := Proj A; donc Y et le cône sur Ȳ; on a dim Y =
dim Ȳ + 1 = 5 puisque (x12 , x45 ) est une suite régulière dans A(Gr).
Explicitement, Y est une sous-variété fermée de
P7 = Proj C[x23 , x34 , x15 , x13 , x14 , x24 , x25 , x35 ] définie par 5 équations:
−x13 x24 + x14 x23 = 0
−x14 x35 + x15 x34 = 0
−x13 x25 + x15 x23 = 0
(1.1.2)
−x14 x25 + x15 x24 = 0
−x24 x35 + x25 x34 = 0
On définit 3 idéaux de A par:
J ′ = (x13 − x25 − x24 , x35 − x24 − x14 ), J ′′ = (x23 , x34 , x15 ), J ′′′ = J ′ + J ′′
et on pose: A = A/J ′ , B = A/J ′′ , B = A/J ′′′ , ensuite Y = Spec A, Ȳ = Proj A ⊂
Ȳ, Z = Spec B ⊂ Y, Z̄ = Proj B, Z = Spec B = Z ∩ Y .
La suite
x13 − x25 − x24 , x35 − x24 − x14 , x23 , x34 , x15
étant régulière dans A, les dimensions de Krull sont donc: dim A = 3; dim B = 2,
dim B = 0.
L’algèbre B est une algèbre graduée artinienne de Gorenstein; on a dimC B = 5,
les dimensions des composantes homogènes de B sont: 1, 3, 1.
Du côté miroire
1.2. Géométrie torique de la surface Del Pezzo S7 .
Considérons une suite exacte de C-vectoriels:
ι
π
0 −→ C3 −→ C5 −→ C2 −→ 0
(1.2.1)
3
où les applications π et ι sont définies par les matrices

M (π) =
1
0
0 −1
1 0
1
 0
0

; M (ι) =  0
−1

1
−1
−1
−1
0
1
−1
1
0

0
0 

1 

−1
1
respectivement.
Le suite exacte (1.2.1) induit une suite exacte de tores (où BC ∗p = (C/(2πiZ))p ):
ῑ
π̄
0 −→ C∗3 = T ′ −→ C∗5 −→ C∗2 = T −→ 0
En coordonnées:
ῑ(t1 , t2 , t3 ) = (
3
Y
M (ι)ij
ti
(1.2.2)
)j=1,... ,5
i=1
′
5
d’où vient une action de T sur C .
Désignons par {ei }i=1,... ,5 ⊂ C5 la base standarte et posons vi = π(ei ). Introduisons la notation: Vij = {(x1 , . . . , x5 )| xi = xj = 0} ⊂ C5 et posons
X̃ = C5 − (V13 ∪ V14 ∪ V24 ∪ V25 ∪ V35 )
(donc les indices de correspondent aux diagonals du pentagon); c’est une partie
ouverte stable par l’action de T ′ .
Le quotient X = X̃/T ′ est une surface projective lisse torique, isomorphe à
l’éclatement de P2 en 2 points. Autrement dit, on considére un eventail Σ dans
V := R5 qui a 5 cônes de dimension 1 avec les générateurs vi , i = 1, . . . , 5 et 5
cônes de dimension 2 avec les générateurs (vi , vj ), |i − j| = 1, et X = XΣ et la
variété torique corréspondante.
1.3. Cohomologie. La deuxième cohomologie H 2 (X; R) s’identifie à l’espace W
des fonctions
a : V −→ R linéaires sur chaque cône de Σ, modulo le sous-espace W ′ ⊂ W de
fonctions linéaires. On identifie W avec R5 , en choisissant une base {φ1 , . . . , φ5 } ⊂
W, φi (vj ) = δij ; alors
W ′ = {(a, b, −a, −a−b, −b)| a, b ∈ R} = R·(φ1 −φ3 −φ4 )⊕R·(φ2 −φ4 −φ5 ) (1.3.1)
Les images φ̄i ∈ W/W ′ , i = 3, 4, 5 forment une base de W/W ′ .
Introduisons l’anneau de polynômes de Laurent en trois variables e±qi , i = 3, 4, 5:
C ′ = C[e±q3 , e±q4 , e±q5 ] = C[e±q1 , . . . , e±q5 ]/(eq1 −q3 −q4 − 1, eq2 −q4 −q5 − 1)
Un théorème de Batyrev [B] affirme (dans ce cas particulier) que la (petite) cohomologie quantique localisée de X, que l’on notera ici HQ∗ (X)′1 est isomorphe à la
C ′ -algebre commutative en generateurs zi , i = 1, . . . , 5, modulo les relations
z1 − z3 − z4 = 0, z2 − z4 − z5 = 0
1 ”localisée”
et le prime dans la notation veut dire que les eqi sont inversée
(1.3.2a)
4
(cf. (1.3.1)) et
z1 z3 = e−q3 , z1 z4 = eq5 −q4 z5 , z2 z5 = e−q5
z2 z4 = eq3 −q4 z3 , z3 z5 = eq4 −q3 −q5 z4
(1.3.2b)
En plus, les physiciens (cf. [Bap]) affirment que la cohomologie quantique T équivariante localisée HQ∗T (X)′ est une C ′ -algèbre en 5 générateurs zi , modulo
les relations (1.3.2b) seulement. Le morphisme canonique HQ∗T (X)′ −→ HQ∗ (X)′
correspond au quotient par les relations (1.3.2a).
Definissons des autres générateurs de C ′ :
p1 = eq5 −q4 , p2 = eq3 −q4 , p3 = eq4 −q3 −q5
et le sous-anneau
±1 ±1
C := C[p1 , p2 , p3 ] ⊂ C ′ = C[p±1
1 , p2 , p3 ]
On définit les algèbres de cohomologie quantique ”delocalisées” par:
HQ∗T (X) = C[z1 , . . . , z5 ]/K
où
K = (z1 z3 − p1 p3 , z1 z4 − p1 z5 , z2 z5 − p2 p3 , z2 z4 − p2 z3 , z3 z5 − p3 z4 )
et HQ(X) = C[z1 , . . . , z5 ]/(K + K ′ ) où K ′ = (z1 − z3 − z4 , z2 − z4 − z5 ). Donc
HQ∗T (X)′ = HQ∗ (X) ⊗C C ′ et de même avec la cohomologie non-équivariante.
On remarque finalement que le passage de la cohomologie quantique à la cohomologie ordinaire correspond simplement aux quotients par les relations pi = 0, i =
1, 2, 3.
Donc on a considéré quatre algèbres de cohomologie: HQ∗T (X), HQ∗ (X), HT∗ (X)
et H ∗ (X). L’assertion ci-dessous identifie ces algèbres (”style A-modèle”) aux anneaux homogènes de no. 1.1 (”style B-modèle”).
5
1.4. Théorème. Les formules suivantes définissent un isomorphisme des algèbres
∼
graduées φ : A = C[Y] = HQ∗T (X):
φ(x13 ) = z1 , φ(x35 ) = z2 , φ(x25 ) = z3 , φ(x24 ) = z4 , φ(x14 ) = z5
φ(x15 ) = p3 , φ(x23 ) = p1 , φ(x34 ) = p2
Après passage aux quotients, φ induit les isomorphismes des algèbres graduées:
∼
∼
φ′ : A = C[Y ] = HQ∗ (X); φ′′ : B = C[Z] = HT∗ (X)
et
∼
φ′′′ : B = C[Z] = H ∗ (X)
La vérification est immédiate.
1.5. Pentagon dual. Soit P ⊂ V l’enveloppe convexe de {v1 , . . . , v5 }; son dual
P ∨ ⊂ V ∗ est par définition l’intersection
P ∨ = ∩5i=1 {ξ ∈ V ∗ | < ξ, vi >≥ −1}
Il coı̈ncide avec l’enveloppe convexe des points w1 = (1, 0), w2 = (0, 1), w3 =
(−1, 1), w4 = (−1, 0), w5 = (0, −1). Soit X ∨ = XΣ∨ la variété torique qui correspond à l’éventail Σ∨ engendré par P ∨ ; c’est une surface projective mais singulière.
De l’autre côté, considérons l’anneau quotient A′ := A/(p1 − p2 , p2 − p3 ), donc
on a Z̄ ⊂ Proj A′ ⊂ Y, dim Proj A′ = 2.
On peut imaginer A′ comme la déformation quantique de HT∗ (X) dans la direction p1 = p2 = p3 (qui correspond à la classe canonique de X).
Proposition. La variété Proj A′ est isomorphe à la surface torique X ∨ .
D’où viennent les inclusions Z̄ ⊂ X ∨ ⊂ Y.
Plus généralement, á partir d’un polygon arbitraire P suffisamment joli, on
définit la variété torique XP lisse complète et la variété duale XP ∨ ⊂ P plongée
dans une espace projectif, de telle façon que le cohomologie équivariante quantique
”dans la direction de la classe canonique” HQ∗T (XP )w est isomorphe à l’anneau
homogène XP ∨ .
Bibliographie
[Bap] J.M.Baptista, The quantum equivariant cohomology of toric manifolds
through mirror symmetry, arXiv:0806.2091.
[B] V.Batyrev, Quantum cohomology rings of toric manifolds, alg-geom/9310004.
[R] K.Rietsch, A mirror symmetric construction of q HT∗ (G/P )(q) , Adv. Math.,
217 (2008), no. 6, 2401 - 2442.