situations problemes cycles 2 et 3

L'enseignement des mathématiques mathématiques :
RESOLUTION DE PROBLEMES
Exemples de situations et ressources / cycles 2 et 3
Audrey Bertin, CPC
2013-2014
1. La place des problèmes dans les programmes :
B.O n°3 H.S 19 juin 2008
Au Cycle 2
Au Cycle 3
L’apprentissage des mathématiques
La pratique des mathématiques
développe l’imagination, la rigueur développe le
e goût de la recherche et
et la précision ainsi que le goût du
du raisonnement, l’imagination et
raisonnement.
les capacités d’abstraction, la rigueur
et la précision. → dans les 4 domaines
La résolution de problèmes fait
Du CE2 au CM2, dans les quatre
l’objet d’un apprentissage progressif
domaines du programme, l’élève
et contribue à construire le sens des enrichit ses connaissances, acquiert
opérations :
de nouveaux outils, et continue
addition, soustraction et multiplication.
d’apprendre à résoudre des
problèmes.
L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à
une intelligence de leur signification.
signification
1. a ) La place des problèmes au CYCLE 2
Domaines
CP
CE1
B.O : « La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à
construire le sens des opérations ».
PROGRESSIONS POUR LE COURS PRÉPARATOIRE ET LE COURS ÉLÉMENTAIRE PREMIÈRE
ANNÉE
Nombres et calcul
Résoudre des problèmes
simples à une opération
Résoudre des problèmes
relevant de l’addition, la
soustraction et de la
multiplication
Grandeurs et mesures
Résoudre des problèmes de
la vie courante
Résoudre des problèmes de
longueur et de masse
Organisation et gestion
des données
Lire ou compléter un tableau Utiliser un tableau, un
dans des situations
graphique
concrètes simples
Organiser les informations
d’un énoncé
1. b) La place des problèmes au CYCLE 3
Domaines
CE2
CM1
CM2
B.O : La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés,
de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du
raisonnement.
Nombres et calcul
Résoudre des
problèmes relevant des
quatre opérations
Résoudre des
Résoudre des
problèmes engageant
problèmes de plus en
une démarche à une ou plus complexes
plusieurs étapes
B.O :La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux
grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être
fournies puis validées
Grandeurs et
mesures
Résoudre des problèmes
dont la résolution implique
les grandeurs : longueurs,
masses, capacité,
monnaie, temps
Résoudre des problèmes
dont la résolution implique
éventuellement des
conversions
Résoudre des problèmes
dont la résolution implique
des conversions.
Résoudre des problèmes
dont la résolution implique
des unités différentes de
mesure.
Domaines
CE2
CM1
CM2
B.O : Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la
connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les
démarches de mesurage et de tracé.
Géométrie
Reproduire des figures (sur
papier uni, quadrillé, pointé)
à partir d’un modèle
Construire un carré ou un
rectangle de dimensions
données
Compléter une figure par
symétrie axiale
Tracer une figure simple à
partir d’un programme de
construction ou en suivant
des consignes
Tracer une figure simple
(sur papier uni, quadrillé,
pointé) à partir d’un
programme de construction
ou d’un dessin à main
levée ( avec des indications
relatives aux propriétés et
aux dimensions)
B.O :Les capacités d’organisation et de gestion des données se développent par la résolution de problèmes de la vie
courante ou tirés d’autres enseignements
Organisation et
gestion des
données
Savoir organiser les
données d’un problème en
vue de sa résolution
Utiliser un tableau ou « la
règle de trois » dans des
situations très simples de
proportionnalité
Résoudre des problèmes
relevant de la
proportionnalité et
notamment les problèmes
relatifs aux pourcentages,
eux échelles, aux vitesses
moyennes ou aux
conversions d’unité, en
utilisant des procédures
variées (dont « la règle de
trois »)
2. Un problème mathématique ?
a) DÉFINITION DU PROBLÈME
« Est un problème, pour un élève donné, toute situation (réelle ou
imaginaire) dans laquelle des questions sont posées, ces questions
étant telles que l’élève ne peut y répondre de manière immédiate. »
D. Pernoud
« Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher,
que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas
possible de mettre en jeu la mémoire seule ». Equipe Ermel
→ Les problèmes sont donc à distinguer des exercices d’automatisation.
2. b) Différents types de problèmes pour des diverses finalités
Selon la situation d’apprentissage, un même problème peut avoir
différentes fonctions et correspondre à différents types de problèmes
PROBLÈMES
POUR
CHERCHER
PROBLÈMES POUR APPRENDRE
Situationproblème
40 %
Types
de
problèmes
Construction
d’une
nouvelle
connaissance
ou d’un nouvel
aspect d’une
connaissance
antérieure
Problème
d’application
directe
Problème de
réinvestissement
/
transfert
40 %
Entraînement
pour maîtriser
le sens d’une
connaissance
nouvelle
Problème complexe
nécessitant
l’utilisation de
plusieurs
connaissances
construites dans
différents contextes
Problème
ouvert
20 %
Développement
des
capacités à
chercher
Exemple :
« J'ai 250 œufs.
Combien de boîtes de 6 sont
nécessaires pour les ranger ?"
Exemple :
« J'ai 250 œufs Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger ?"
Amorce de programmation
2. c) Typologie de problèmes :
La classification des problèmes arithmétiques à l'école
s'appuient sur la classification des problèmes proposés par
selon G. Vergnaud :
- les problèmes se situant dans le champ conceptuel
des structures additives : Problèmes additifs et
soustractifs.
- les problèmes se situant dans le champ conceptuel
des structures multiplicatives : Problèmes multiplicatifs,
divisifs et de proportionnalité.
➢
Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de transformations 1. Transformation
positive ; recherche
de l’ETAT FINAL
Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5
billes. Combien de billes a maintenant Léo ? »
2. Transformation
négative ; recherche
de l’ETAT FINAL
« Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à
Juliette. Combien de billes a maintenant Léo ? »
3. Transformation
positive ; recherche
de L’ÉTAT INITIAL
« Léo avait des billes. Puis Juliette lui a
donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes.
Combien de billes avait Léo ? »
4. Transformation
négative; recherche
de L’ÉTAT INITIAL
« Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à
Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien
avait–il de billes ?»
5. Recherche de la
transformation
positive
« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des
billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de
billes Juliette a-t-elle données à Léo ? »
6. Recherche de la
transformation
négative
« Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à
Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de
billes Léo a–t–il données à Juliette ? »
➢
Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de combinaison de 2 états
7. Recherche de la
combinaison de deux
états.
« Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes.
Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?»
8. Recherche d’un état
connaissant un second
état et la combinaison
des deux états.
« Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8
billes. Combien Léo a–t–il de billes ? »
Problèmes de comparaison de 2 états
E1
9/10. Recherche de
l’état à comparer
connaissant :
- l’état comparé
- la comparaison
positive ou négative.
C
E2
« Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui.
Combien de billes Juliette a–t-elle ? »
« Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui.
Combien de billes Juliette a–t-elle ? »
E1 _______ ?
C+
C-
➢
Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de comparaison de 2 états
E1
C
E2
11/12. Recherche de
l’état comparé avec
une comparaison
positive ou négative.
« Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette.
Combien de billes Juliette a t-elle ? »
13/14.
Recherche de la
comparaison positive
ou négative
connaissant les deux
états.
« Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes
Juliette a t–elle de plus que Léo ? »
« Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette.
Combien de billes Juliette a–t–elle ? »
« Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes
Juliette a t–elle de moins que Léo ? »
? ______ E2
C+
C-
E1 _______ E2
?
➢
Problèmes additifs et soustractifs:
Problèmes de composition de transformations
T1
T2
T
15- Recherche de la
« Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-tcomposée de plusieurs il plus ou moins qu’au départ? Et combien? »
transformations
16. Recherche d’une
des composantes.
« Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a
maintenant 2 billes de moins qu’au départ.
Combien a-t-il perdude billes »
?
?
➢
Problèmes multiplicatifs:
Problèmes de proportionnalité directe :
a
b
c
d
Problème relevant de « Il y a 4 élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à
chaque élève.
l'addition réitéré.
a=1
Combien distribue–t–elle de jetons en tout ? »
Problème de
division partition
On recherche la
valeur d’une part.
La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4
élèves. Chaque élève a le même nombre de
jetons. Combien de jeton a chaque élève ?
1
b
c
?
1
?
c
d
4 X ? = 12 12 : 4 = ?
Problème de
division quotition
On recherche du
nombre de parts .
« La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à
un groupe d’élèves. Chaque élève reçoit 3
jetons.
Combien y a–t–il d’élèves ? »
1
b
?
d
➢
Problèmes multiplicatifs:
Problème relevant du produit de mesures
Problème relevant du
produit de mesures
La représentation
rectangulaire rend visible la
propriété de commutativité de
la multiplication.
« Quel est le nombre de
carreaux que contient une
tablette de 3 sur 4 ?
3. Représentations des élèves sur la résolution de problèmes
Quand on interroge les élèves sur ce qu’il faut faire pour résoudre un
problème, leurs principales propositions sont :
-Il faut faire des opérations
-Il faut calculer
-Il faut trouver la solution
- Il faut écrire une phrase réponse…
Ils se focalisent principalement sur le résultat attendu et sur des
connaissances supposées ou nécessaires pour y parvenir.
3. Représentations des élèves sur la résolution de problèmes
En revanche, ils répondent rarement :
-Il faut trier les informations pour comprendre ce qui est demandé
-Il faut dessiner, schématiser ou manipuler
-Il faut éliminer ce qui ne sert pas après avoir lu la question
-Il faut écrire, raturer, faire plusieurs essais
-Il faut échanger avec les autres pour savoir s’ils cherchent de la même façon
-Il faut savoir expliquer ce que l’on a voulu dire…
Les savoirs méthodologiques sont flous, voire inexistants, dans leur esprit.
4. Les enjeux d’apprentissage
•Des compétences liées à la capacité de raisonnement :
-percevoir le but de la tâche
-trouver les informations utiles
-construire un argumentaire
-émettre des hypothèses
-percevoir les différentes étapes et les hiérarchiser
•Des compétences liées à la prise d’informations :
-utiliser différents supports (texte, dessin, schéma, tableau…)
-construire des méthodes pour aller rapidement à l’essentiel
-se repérer dans l’espace et dans le temps
-maîtriser le vocabulaire nécessaire
• Des compétences liées à la méthodologie :
-mettre en place d’une stratégie de résolution de problèmes
-choisir une technique de résolution (opératoire ou autre)
•Des compétences liées à la maîtrise des opérations :
-utiliser à bon escient les quatre opérations
5. Les pistes de travail
✔
Manipulation et schématisation lors de
l’apprentissage des notions mathématiques
✔
Manipulation et schématisation lors de la
résolution
✔
Constitution progressive d’une mémoire de
schémas référents
✔
Entraînement aux techniques opératoires et
calcul mental
6. LA DEMARCHE D’ENSEIGNEMENT :
situation-problèmes
1. SITUATION DE DEPART
Présenter la situation problème à l’oral ou à l’écrit à partir
- d’objets concrets ; jeux de cartes, pions…
- d’un énoncé (oral ou écrit)
- d’une situation de la vie de la classe / vie quotidienne
- d’un défi
Identifier le problème à résoudre
Il s’agit de se représenter ce qu’on cherche
2. PRISE EN COMPTE DE CE QUE SAVENT LES ÉLÈVES
temps de recherche individuelle : chaque élève s’approprie l’énoncé
et s’appuie sur ses connaissances préalables / l’enseignant observe,
encourage
temps de recherche en groupe(de 2 à 4) : favoriser les échanges et
la mise en forme d’une trace pour communiquer
confrontation des procédures
Selon la nature du problème et les objectifs
d’apprentissage visés, les élèves feront appel à des
procédures personnelles et/ou expertes :
Procédures personnelles
Procédures expertes
Utiliser des connaissances et
Choisir une procédure
des savoirs pour construire et adaptée à la situation ou à
mener une procédure quand on
la
résolution
du
problème
ne dispose pas en mémoire
d’un schéma de résolution…
Exemples de procédures :
→ importance de garder trace de la recherche
3. MISE EN COMMUN
Prendre en compte et comparer les procédures des
différents groupes :
- rapprocher les procédures identiques,
- confronter celles qui sont différentes,
- analyser les procédures erronées
4. SYNTHÈSE
Réaliser une affiche de référence comportant :
des procédures de résolution possibles
la procédure experte qui permet de résoudre le
problème
5. PHASE D’ENTRAINEMENT
Les problèmes d’application appartiennent à la même catégorie que
celui de la situation problème.
L’élève s’entraîne à maîtriser le sens d’une nouvelle connaissance
dans des problèmes similaires à la situation de référence.
L’élève applique et réinvestit une connaissance dans différents
contextes.
6. PHASE DE TRANSFERT
Les problèmes de réinvestissement correspondent à des problèmes
complexes faisant appel à plusieurs connaissances et compétences
élaborées dans des contextes différents.
L’élève doit :
-reconnaître à quelle catégorie correspond le problème,
-repérer les différentes étapes
→ Au cours de cette tâche complexe l’élève mobilise et intègre des
compétences et des connaissances.
Problématique de l’enseignant :
Comment aider ni trop, ni trop peu?
→ préserver de tout guidage le versant action du processus de
résolution de problème.
→ aider à comprendre le problème, à mieux décoder et
interpréter l’énoncé. (Cf. «Les tâches surajoutées»)
→ ne pas guider la mise en œuvre de telle ou telle procédure.
Les aides minimales sont les plus difficiles à concevoir et à mettre au point,
un simple mot en plus ou en moins dans l’énoncé peut être une aide
efficace à la représentation* de problème.
.*Action par laquelle on rend présent à l’esprit une expérience sensible ou une idée.En d’autres termes, c’est
le contenu de notre mémoire quand elle ne nous échappe pas, c’est ce qui tourne dans nos têtes quand on
réfléchit, c’est le sens qu’on donne à ce qu’on perçoit.
7. Situations : problèmes ouverts
Rappel : un problème ouvert
●
●
●
L’énoncé est court
L’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions
intermédiaires, ni de questions du type « montrer que »). En aucun
cas, cette solution ne doit se réduire à l’utilisation ou à l’application
immédiate des derniers résultats présentés en cours.
Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les
élèves ont assez de familiarité. Ils peuvent ainsi prendre possession
de la situation et s’engager dans des essais, des conjectures, des
projets de résolution, des contre-exemples…
7. Situations : problèmes ouverts
1 ère étape :
2 ème étape :
➔
Connaissances en jeu ;
➔
Procédures attendues ;
➔
Erreurs envisagées ;
Description du dispositif
➔ Pistes de différenciation
➔ Quelles difficultés des élèves ? A quel
stade de la résolution ?
➔ Quelles aides en réponse à ces
difficultés ?
➔
Le nez de Pinocchio
Le nez de Pinocchio a 5 cm de long. Quand Pinocchio dit un
mensonge, la Fée aux cheveux bleus l'allonge de 3 cm, mais quand il
dit la vérité, la Fée le raccourcit de 2 cm. A la fin de la journée,
Pinocchio a dit 7 mensonges et son nez a 20 cm de long.
Combien de fois Pinocchio a-t-il dit la vérité à la Fée au cours de la
journée ?
On a tiré 15 cartes avec des carrés et des triangles. On a obtenu 54
côtés.
Combien y a –t-il de cartes avec des carrés et de cartes avec des
triangles ?
8. Problèmes : Les aides possibles
La reformulation
Les tâches
surajoutées
Les aides tutorielles
La multiprésentation
La reformulation
Les tâches surajoutées
La multi-présentation
La multi-présentation
La multi-présentation
Les aides tutorielles
:
Léo a 36 billes, Zoé en a 5
fois plus.
Combien Zoé en a-t-elle ?
Problème 5
AIDE 1
Vrai ou faux :
Léo a plus de billes que Zoé ?______
5 fois plus que 7, c’est 35 ? ________
5 fois plus que 7, c’est 12 ? ________
AIDE 2
Entoure la bonne réponse :
« 5 fois plus », c’est
…+5
…x5
…-5
AIDE 3
Entoure le calcul qui correspond à
l’énoncé :
6x6=36
36+5=41
5x5=25
36x5=180
25x5=125
36-5=31
AIDE 4
Complète :
Les aides tutorielles
Problème 6
:
Mélissa prépare la table pour un repas.
Elle doit placer 48 roses de la façon
suivante : 12 roses au centre de la table
et le reste partagé aux 4 coins de la
table. Combien de roses y aura-t-il à
chaque coin ?
AIDE 1
Aide à la lecture :
Mélissa prépare la table pour un repas.
Elle doit placer 48 roses :
-12 roses au milieu de la table
-le reste partagé aux 4 coins de la table
Combien de roses y aura-t-il à chaque
coin ?
AIDE 2
Étapes intermédiaires :
Elle doit placer 48 roses.
Elle met 12 roses au milieu de la
table.
Combien lui en reste-t-il après ?
Elle partage le reste aux 4 coins de
la table. Combien de roses y a-t-il à
chaque coin ?
AIDE 3
Schéma :