Diffraction par des réseaux (1)

Diffraction par des réseaux (1)
Définition : Un réseau est un dispositif périodique qui impose à une
onde plane incidente (réfléchie ou transmise) une variation périodique
d’amplitude et/ou de phase.
Sa caractéristique principale = sa période spatiale
En optique : réseaux gravés ou réseaux obtenus par photogravure
Il existe des réseaux par réflexion ou transmission
Diffraction par des réseaux (2)
t(x)
- 4a - 3a - 2a - a
0
a
2a
3a 4a
x
L
La fonction transmission t(x) est périodique
1°) Réseaux par transmission
P
θ
θ0
plan focal
réseau
Diffraction par des réseaux (3)
θ
θ0
plan focal
réseau
1
r2 " r1 = OH " H 0 M
2&
# $% =
(OH " H 0 M )
'
avec OH " H 0 M = a (sin ( " sin ( 0 )
M
H0
2
θ0
H
θ
θ0
a
θ
0
!
Diffraction par des réseaux (4)
Relation fondamentale des réseaux (par transmission) :
Pour que les rayons interfèrent de façon constructive (déphasage = m 2π)
a (sin " # sin " 0 ) = m$
Dans le cas vectoriel, cette formule devient :
r
Soit k 0 et k les vecteurs d'ondes incident et diffusé
r
r
r
et a le vecteur période du réseau tq a = a e x
r
r
k
On obtient a . K = m 2"
r r r
r
k0
!
K = k " k0
Diffraction par des réseaux (5)
1°) Réseaux par réflexion
θ0
θ
i
réseau
Relation fondamentale des réseaux (par réflexion) :
Pour que les rayons interfèrent de façon constructive (déphasage = m 2π)
a (sin " # sin " 0 ) = m$
ou a (sin " + sini) = m$ avec i = " 0 # %
Diffraction par des réseaux (6)
3°) Amplitude et intensité diffractées
Pour une fente de largeur ε centrée à l’origine, l’amplitude de l’onde diffractée
est proportionnelle à l’intégrale
$
2
sin(# u$)
t1 ( u) = % exp("i2# u x ) dx = $
# u$
$
"
2
& " & 0 sin ( " sin ( 0
avec u =
=
'
'
!
Diffraction par des réseaux (7)
Pour N fentes numérotées de -n à +n (N=2n+1) et de transmittance t1(x)
pour chacune :
L /2
EC (P) =
$ t( x)
exp("i2# u x ) dx
"L / 2
n
avec
t( x) =
%t (x " x )
1
j="n
!
j
et
x j = ja
Diffraction par des réseaux (8)
L /2
EC (P) =
$ t( x)
exp("i2# u x ) dx
"L / 2
+n
=
% exp ("i2# u x ) $ t ( x " x ) exp["i2# u ( x " x )] d( x " x )
j
1
j
j="n
+n
=
% exp ("i2# u j a) t (u)
1
j="n
+n
=
% exp ("i j & ) t (u),
1
avec & = 2#ua
j="n
1" exp("iN& )
= t1 ( u) exp(in& )
1" exp("i& )
j
j
Diffraction par des réseaux (9)
On a donc
sin (#u") sin ( N# u a)
EC (P) = N "
#u"
N sin(#ua)
et pour l'intensité
2
2
$
'
$
'
sin (#u")
sin ( N# u a)
2 2
I( P ) = N " &
&
)
)
sin(#ua) (
#u" (
%1N4
%
4244
3
14
4244
3
fonction fente fonction réseau
!
Diffraction par des réseaux (10)
2
2
$ sin ( N# u a) '
$ sin (#u") '
2 2
I( P ) = N " &
&
)
)(
N sin(#ua) (
%
#
u
"
%
14
4244
3
144244
3
fonction fente fonction réseau
fonction périodique de
période 1/a
-1/ε
-1/a 1/a 2/a
1/ε