TP Analyse d`un syst`eme dynamique discret : la suite logistique

TP
Analyse d’un système dynamique discret : la suite
logistique
Enseignants : Laurent Lefèvre et Thierry Mastrosimone
TP d’analyse numérique de l’ESISAR, 2008
Pour la partie programmation, vous mettrez vos fonctions dans un fichier tp suite logistique.sci. Vous écrirez un programme de démonstration qui utilisera vos fonctions : demonstration tp suite logistique.sce afin de montrer la bonne résolution des questions de programmation du TP. Un appel à exec(’demonstration tp suite logistique.sce’); devra résoudre tour à
tour chacune des questions de programmation. Lorsque vous affichez un graphe, n’oubliez pas
de lui donner un titre afin de pouvoir y faire référence dans le rapport.
Vous écrirez un rapport (concis) que vous m’enverrez au format pdf. Si vous avez l’habitude
de travailler sous Word, vous pouvez convertir vos fichiers sur le site http://www.conv2pdf.com.
Pensez à illustrez les résultats théoriques à l’aides des résultats pratiques. Faites références
aux graphes générez par demonstration tp suite logistique.sce.
Vous réaliserez le TP en binôme. Vous m’enverrez au plus tard à la date du prochain TP
l’ensemble des fichiers dans une archive zip ou tar.gz à l’adresse : [email protected].
Vous êtes invité à m’envoyer vos remarques et questions à cette même adresse.
Bon TP !
Introduction
La suite logistique peut être considérée comme une modélisation simple de l’évolution d’une
population. Elle correspond à la discrétisation du modèle de Verhulst en dynamique des
populations. Elle est définie par :

 x0 ∈ [0, 1]
µ ∈ [0, 4]
(1)

xn+1 = µxn (1 − xn )
Pour plus de renseignements :
• article de Wikipedia sur le modèle de Verhulst :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le de Verhulst
• article de Wikipedia sur la suite logistique : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite logistique
Le contexte du TP sera le suivant :
Vous êtes ingénieur informaticien employé par l’entreprise PharmaBioCorp2000. Afin de
réduire ses coûts en recherche et développement, celle-ci décide d’utiliser des méthodes de simulation numérique pour la prévision de croissance d’une population de bactéries. Vos collègues
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biologistes on mis en évidence que le loi d’évolution de la population suit le modèle de Verhulst.
En conséquence, vous décidez d’utiliser la suite logistique pour faire vos simulations.
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Etude des comportements limites
Question 1
Votre premier travail consiste à implémenter la suite logistique.
Question 2
Dans un premier temps, les biologistes vous demandent de valider leur modèle (et votre code).
Leurs expériences montrent que la population de bactéries se stabilise lorsque les paramètres
du modèle prennent les valeurs :
• (µ, x0 ) = (.4, .7)
• (µ, x0 ) = (1.3, .3)
Vérifier que le modèle permet de prévoir ce comportement.
Question 3
Le modèle étant validé, les biologistes veulent que vous les aidiez à classer les comportements
limites en fonction des paramètres du modèle : (µ, x0 ), qui peuvent varier dans le domaine
: [0, 4] × [0, 1]. En quadrillant l’espace des paramètres, établissez une carte grossière des
comportements limites en fonction de ces paramètres. Pour un jeu de paramètres donné, vous
devez associer l’une des catégories suivantes :
• convergence
• cycle limites (le suite oscille entre plusieurs valeurs limites)
• pas d’attracteur apparent
Vérifiez que la condition initiale x0 n’influe pas sur le type de comportement asymptotique.
Question 4
Les biologistes aimeraient que vous leur donniez, pour un maximum de configurations de µ, un
résultat théorique sur la convergence de la suite, beaucoup plus fiable qu’un test numérique.
• En supposant que la suite converge vers une limite, donnez les valeurs possibles de celle-ci
en fonction de µ
• Donnez des conditions nécessaires sur µ pour que la suite converge effectivement
• Vérifiez vos résultats sur des cas tests
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Question 5
Vous savez donc décrire de manière théorique le comportement de la suite lorsqu’elle converge
vers une limite. Les biologistes aimeraient que vous alliez un peu plus loin :
• Dans le cas où la suite se met à osciller entre 2 valeurs indéfiniment, donnez les équations
que doivent vérifier ces 2 valeurs limites
• Vous arrivez à une équation de degré 4, mais celle-ci ne vous fait pas peur : en effet vous
connaissez 2 racines de ce polynôme, ce qui vous permet de vous ramenez à une équation
de degré 2. Trouvez cette équation et résolvez la pour obtenir les 2 valeurs limites en
fonction de µ.
• Donnez une méthode pour calculer les valeurs limites lorsque la suite oscille périodiquement
entre n valeurs
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Mise en évidence d’un comportement chaotique
Dans le cas ou la population ne tend vers aucun attracteur, les biologistes aimeraient tout de
même faire des prévisions à plus ou moins long terme. Mathématicien convaincu, vous savez
que vous devez faire attention à d’éventuels comportements chaotiques.
Question 6
Rappelez ce qu’est un comportement chaotique et ses conséquences sur la qualité des prévisions
du modèle.
Question 7
Proposez un protocole pour tester si un comportement est chaotique.
Question 8
Les biologistes veulent que vous prévoyiez la population de bactéries pour les cas suivants :
• (µ, x0 ) = (3.6, .4) à T = 10
• (µ, x0 ) = (3.7, .4) à T = 100
Faites ces prévisions. Que répondez vous aux biologistes, sachant que leurs mesures sur la
condition initiale est précise à 10−5 ?
Question 9
En supposant que les biologistes ne font aucune erreur de mesure, et sachant que la précision
machine est d’environ 15 chiffres significatifs, indiquez le temps maximums pour lequel vous
pouvez faire des prévisions dans le cas µ > 3.6.
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Question 10
Pour finir, les biologistes veulent pouvoir classer les comportements limites en fonction du
paramètre µ. Pour chaque valeur de µ, il attendent que vous leur indiquiez sur une carte les
valeurs limites de la suite xn . On appelle cette carte diagramme de bifurcation. Établissez
un protocole pour construire numériquement le diagramme de bifurcation. Construisez le et
analysez le. Vérifier que votre étude théorique correspond bien aux valeurs du diagramme,
dans le cas où la suite converge vers une valeur, et dans le cas où la suite se met à osciller entre
2 valeurs.
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