New Directions in Statistical Distributions, Parametric Modeling and

DISS. ETH N◦ 20694
New Directions
in
Statistical Distributions,
Parametric Modeling
and Portfolio Selection
A dissertation submitted to
ETH ZURICH
for the degree of
Doctor of Sciences
presented by
YOHAN CHALABI
MS in Physics EPF Lausanne
born November 13, 1980
citizen of Martisberg, Switzerland
accepted on the recommendation of
PD Dr. Diethelm Würtz
Prof. Dr. Matthias Troyer
Prof. Dr. David J. Scott
2012
Abstract
Quantitative approaches to solving portfolio optimization problems require an understanding of several areas of computational finance. These areas include statistical distributions,
parametric modeling and portfolio design methods. Statistical distributions are used to
model time series data. Parametric models are important components of advanced risk
measures. Optimization methods are used to maximize increasingly complex portfolio
objective functions. This thesis presents innovations in these three areas.
The first part considers the use of the generalized lambda distribution (GLD) family
as a flexible distribution with which to model financial data sets. The GLD can assume
distributions with a large range of shapes. Analysts can therefore work with a single
distribution to model almost any class of financial assets, rather than needing several.
This becomes especially useful in the estimation of risk measures, where the choice of
the distribution is crucial for accuracy. The part presents a new parameterization of the
GLD, wherein the location and scale parameters are directly expressed as the median
and interquartile range of the distribution. The two remaining parameters characterize
the asymmetry and steepness of the distribution. Conditions are given for the existence
of its moments, and for it to have the appropriate support. The tail behavior is also
studied. The new parameterization brings a clearer interpretation of the parameters,
whereby the distribution’s asymmetry can be more readily distinguished from its steepness.
This is in contrast to current parameterizations of the GLD, where the asymmetry and
steepness are simultaneously described by a combination of the tail indices. Moreover, the
new parameterization can be used to compare data sets in a convenient asymmetry and
steepness shape plot.
The second part of this work is related to the estimation of parametric models in the
presence of outliers. The maximum likelihood estimator is often used to find parameter
values. However, it is highly sensitive to abnormal points. In this regard, the weighted
trimmed likelihood estimator (WTLE) has been introduced as a robust alternative. The
part improves the WTLE by adding a scheme for automatically computing the trimming
parameter and weights.
The last part goes beyond the traditional portfolio optimization idea. A new portfolio
i
selection framework is introduced where the investor seeks the allocation that is as close
as possible to his “ideal” portfolio. To build such a portfolio selection framework, the
φ-divergence measure from information theory is used. There are many advantages to
using the φ-divergence measure. First, the allocation is made such that it is in agreement
with the historical data set. Second, the divergence measure is a convex function, which
enables the use of fast optimization algorithms. Third, the objective value of the minimum
portfolio divergence measure provides an indication distance from the ideal portfolio.
A statistical test can therefore be constructed from the value of the objective function.
Fourth, with adequate choices of both the target distribution and the divergence measure,
the objective function of the φ-portfolios reduces to the expected utility function.
ii
Résumé
Les approches quantitatives pour résoudre les problèmes d’optimisation de portefeuille
exigent une compréhension dans plusieurs domaines en finance quantitative. Ces domaines
comprennent les distributions statistiques paramétriques, l’estimation de modèles paramétriques, et la construction de portefeuilles. Les distributions statistiques sont utilisées pour
modéliser les séries chronologiques. Les modèles paramétriques sont importants pour la
construction de mesures de risque avancées. Les méthodes d’optimisation sont nécessaires
pour maximiser des fonctions objectives de portefeuille de plus en plus complexes. Cette
thèse présente des innovations dans ces trois domaines.
La première partie concerne l’utilisation de la famille de distribution généralisée de
lambda (GLD) comme distribution suffisamment flexible pour modéliser différentes sortes
de séries temporelles. La GLD inclut des distributions qui ont une large gamme de formes.
Les analystes peuvent donc travailler avec une distribution unique, plutôt que de devoir
en utiliser plusieures. Cela devient particulièrement utile pour l’estimation des mesures de
risque, où le choix de la distribution est crucial pour obtenir des valeurs précises. Cette
partie présente un nouveau paramétrage de la GLD, dans laquelle les paramètres de
localisation et d’échelle sont directement exprimés par la médiane et l’écart interquartile
de la distribution. Les deux autres paramètres de forme caractérisent la dissymétrie et
l’aplatissement de la distribution. Les conditions requises pour l’existence de ces moments,
ainsi que pour son support sont présentées. Le comportement de la queue est également
étudié. Le nouveau paramétrage apporte une interprétation plus claire de ces paramètres,
de sorte que la dissymétrie de la distribution peut être plus facile à distinguer de son
aplatissement. Ceci est en contraste avec les paramétrages actuels de la GLD, où la
dissymétrie et l’aplatissement sont simultanément décrits par la combinaison de deux
indices de queues. En outre, le nouveau paramétrage peut être utilisé pour comparer un
ensemble de données dans un graphique de dissymétrie et d’applatissement.
La deuxième partie de ce travail se rapporte à l’estimation de modèles paramétriques
en présence de valeurs aberrantes. L’estimateur de la vraisemblance maximal est souvent
utilisé pour trouver les valeurs des paramètres. Cependant, il est très sensible aux points
aberrants. A cet égard, l’estimateur de la vraisemblance pondérée et tronquée (WTLE) a
iii
été proposé comme alternative. La partie améliore le WTLE en présentant une approche
pour calculer automatiquement le paramètre de troncation et de poids.
La dernière partie cherche à dépasser l’idée d’optimisation de portefeuille traditionnelle.
Dans un nouveau cadre pour la sélection de portefeuille, un investisseur cherche l’allocation
la plus proche possible d’un portefeuille “idéal”. Pour cela, on utilisera la mesure de
divergence φ de la théorie de l’information. L’utilisation des mesures de divergence φ
confère plusieurs avantages. Tout d’abord, la répartition est faite de telle sorte qu’elle
est en accord avec les données historiques. Deuxièmement, la mesure de divergence
est une fonction convexe qui permet l’utilisation d’algorithmes d’optimisation rapides.
Troisièmement, la valeur optimale des portefeuilles φ indique l’éloignement par rapport au
portefeuille idéal. Un test statistique peut donc être construit à partir de la valeur de la
fonction objective. Quatrièmement, avec des choix adéquats de la distribution cible et de
la mesure de divergence, la fonction objective des portefeuilles φ est réduite à la fonction
d’utilité espérée.
iv