7.2 réglage tout–ou–rien

Asservissements linéaires
7.2
RÉGLAGE TOUT–OU–RIEN
7.2.1 Principe
Un régulateur tout ou rien produit le signal de commande à partir de l'écart de réglage. Si
la réalisation de tels régulateurs est souvent facile, l'analyse mathématique de son fonctionnement
et de la stabilité du système réglé par lui est loin d'être immédiate.
L'action d'un tel régulateur sera la même pour un faible écart de réglage ou pour un écart
important, ce qui est souvent peu propice à un comportement dynamique de qualité.
L'organe de commutation est souvent un dispositif électromécanique. Un bouilleur pour
l'eau chaude domestique possède un thermostat qui enclenche ou déclenche le corps de chauffe
selon la température de l'eau dans la cuve. Une analyse intuitive montre que plus on augmente la
sensibilité du régulateur aux variations de la grandeur réglée, plus les commutations seront
fréquentes; l'usure sera plus importante et la durée de vie plus courte. Pour limiter les
commutations, on a recours à deux propriétés: la zone morte et l'hystérèse.
ucm
A
ucm
B
e
C
e
D
ucm
ucm
e
e
A simple
C avec zone morte
B avec hystérèse
D avec zone morte et hystérèses
Fig. 7.2 Régulateurs tout-ou-rien.
Comme l'illustre bien la figure 7.2, la zone morte ou seuil, introduit entre deux zones
d'action une zone d'insensibilité dans laquelle le régulateur "ne fait rien". L'hystérèse introduit un
décalage de la commutation selon son sens.
7.2.2 Exemple
On n'entrera pas dans le détail, mais un exemple nous permet d'illustrer la difficulté
mathématique pour un cas simple. Une masse m est ramenée à sa position d'équilibre par une
force F, elle est liée à de amortisseurs qui produisent un frottement visqueux de coefficient f.
x
f/2
m
f/2
F
Fig. 7.3 Masselotte encadrée d'amortisseurs.
mx + f x = F
Jean-Marc Allenbach
(7.1)
7–3
001205
Asservissements linéaires
On agit par un régulateur à deux positions générant une force d'amplitude A opposée à
l'écart de réglage.
F = − A sgn( x )
(7.2)
On peut réorganiser les équations pour mettre en évidence deux équations différentielles
du premier ordre. C'est le modèle de l'espace d'état qui sera développé au chapitre 10.
x = v
m v = − f v − A sgn( x )
(7.3)
On trouve comme solutions deux familles de courbes qui dépendent du signe de l'écart de
réglage: on obtient ces solutions en remplaçant la fonction signe une fois par "1" et l'autre par "–
1". On renonce aux détails de la démarche.
ft
Bm −
A
e m + t+C
x=−
f
f
x<0
v= Be
−
ft
m
(7.4)
A
+
f
ft
Bm −
A
e m − t+C
x=−
f
f
x>0
v=
ft
−
Be m
−
(7.5)
A
f
Les constantes B et C sont déterminées par les conditions initiales [x0, v0]. On définit une
droite de commutation à x = 0. Chaque fois qu'une courbe atteint celle-ci, on change d'équation
en définissant de nouvelles conditions initiales.
v
60
40
x0,v0
20
x
0
-20
-40
-60
-150
-100
-50
0
Fig. 7.4 Trajectoire x, v avec régulateur tout–ou–rien simple.
Jean-Marc Allenbach
7–4
50
100
150
(A = 6; m = 1; f = 2).
001205
Asservissements linéaires
On constate que la trajectoire dans l'espace d'état décrit une figure d'escargot, mettant en
évidence une amplitude décroissante des oscillations, mais aussi une intervalle décroissant entre
commutations. Le système converge vers un écart de position nul et une vitesse nulle également.
Pour un régulateur avec zone morte, on définit un intervalle de position [–xa, xa]pour
lequel on n'applique aucune force correctrice.
F=0
(7.6)
Dans cette intervalle, on calcule la nouvelle famille de solutions: des droites. Les limites
pour les relations (7.4) et (7.5) sont alors déplacées sur les verticales de commutation passant par
–xa, respectivement xa.
ft
− xa < x < xa
Bm −
x=−
e m +C
f
v=
(7.7)
ft
−
Be m
v
60
40
x0,v0
20
x
0
-20
-40
-60
-150
-100
-50
0
50
100
150
Fig. 7.5 Trajectoire x, v avec régulateur tout-ou-rien avec zone morte.
Les trajectoires s'achèvent avec une vitesse nulle en un point quelconque de la zone
morte. La valeur de consigne n'est donc jamais atteinte.
Dans le cas de l'hystérèse, la droite de commutation est décomposée en deux demi-droites
passant par –xa, respectivement xa. Les relations (7.4) et (7.5) s'appliquent de part et d'autre de la
frontière définie par ces demi droites et la portion d'axe x qui les relie.
Jean-Marc Allenbach
7–5
001205
Asservissements linéaires
v
60
40
x0,v0
cycle limite
20
x
0
-20
-40
-60
-150
-100
-50
0
50
100
150
Fig. 7.6 Trajectoire x, v avec régulateur tout-ou-rien avec hystérèse.
Les trajectoires convergent vers un cycle limite d'amplitude constante, pour lequel
l'intervalle entre commutations est constant lui aussi. Paradoxalement, à conditions initiales
nulles, le système convergera aussi vers le cycle limite. Le sens de départ dépendra de l'état du
régulateur à l'instant initial.
Jean-Marc Allenbach
7–6
001205