2IMRT, Corrigé soutien, 08/ 03/ 2010 τ=

2IMRT, Corrigé soutien, 08/ 03/ 2010
I - Dévi
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a
mécanique classique lui sont applicables.
Des protons
au point A0, avec une
 de masse m et de charge q sont injectés dans le « dee » D1 d'un cyclotron,
5
-1
vitesse V1 perpendiculaire au bord rectiligne du « dee» et de valeur v1 = 3,0. 10 m.s . (figure ci-dessous).


Un champ magnétique uniforme B , orthogonal à la vitesse V1 , est appliqué dans chaque « dee »
E
1.1- Un protondécrit une trajectoire circulaire dans le « dee » D1. Exprimer et représenter
la force de

Lorentz FL qui s'exerce sur un proton en A0 ; déduire le sens du vecteur B .


 

 





 


 

 

FL = q v1  B avec q = +e donc FL = e v1  B ; sens de B tel que le trièdre ( FL , e v1 , B )

est direct (ou B donné par la règle des trois doigts de la main droite)
1.2- Les protons ressortent du « dee » D1 en A1 tel que A0A1 = 8,0. 10-2 m. Que représente A0A1? Calculer
la valeur B du champ magnétique.



A0A1 est le diamètre de la trajectoire circulaire (car perpendiculaire à v1 )
Le rayon de la trajectoire est R =
R =
A0A1
= 4,0 x 10-2 m
2
mv1
mv1
1,67 10 27 3, 0 10 5
; B =
=
= 7,8
eB
eR
1,6 10 19 4, 0 10 2
x
10-2 T
(= 78 mT)
1.3- Établir en fonction de B, m et e, la période de rotation T d'un proton dans le champ magnétique puis
calculer la durée du trajet de A0 à A1
v1 =


=
2 mv1
2R
2R
2m
m
; T =
=

; T =
; de A0 à A1 : = T/2 =
v1
v1
eB
T
eB
eB
1,67 10 27
1,6 10 19 7,8 10 2
= 4,2 x 10-7 s (= 0,42 s = 420 ns)
II - Accélération des protons
Pendant le trajet très bref d'un proton de D1 à D2, la tension alternative U = VD1 - VD2 appliquée entre D1 et D2
reste constante et maximale de valeur UM = 2,0. 104 V. Le proton atteint alors le « dee » D2 avec la vitesse v2.

2.1- Préciser les polarités de D1 et D2 et représenter le champ électrique E accélérateur.

Le proton accéléré vers le dee D2 est soumis à la force électrique F dirigée vers D2 ; comme le


proton est chargé positivement, le champ électrique accélérateur E a le le sens de F donc est

dirigé vers le dee D2 or E est dirigé dans le sens des potentiels décroissants donc le dee D2 a le
potentiel de plus faible: Sa polarité est négative ; le dee D1 a alors le potentiel le plus élevé :
Sa polarité est positive.
2.2- Établir l'expression de la vitesse v2 et calculer sa valeur. Quelle énergie W, exprimée en keV, reçoit
le proton à chaque passage entre les « dees » ?
Onappl
i
quel
et
héor
èmedel
’
éner
gi
eci
nét
i
queaupr
ot
onde charge q et de masse m qui se
déplace du point A1 avec la vitesse v1 au point A2 avec la vitesse v2 s
ousl
’
act
i
ondel
afor
ce

électrique F dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

EC(A2) –EC(A1) = WA1A2( F ) soit ½ mv22 –½ mv12 = q(VD1-VD2) = qUM
½ mv22 = ½ mv12 + qUM ; v22 = v12 +

v2 =
3,0 10 5

2
+
2qUM
; v2 =
m
2 1,6 10 19 2, 0 10 4
1,67 10
27
2qUM
v12 
m
= 1,98 x 106 m.s-1

À chaquepas
s
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r
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eçoi
tl
’
éner
gi
eW = WA1A2( F ) = qUM
Soit : W = e x 2,0 x 104 V = 2,0 x 104 eV = 20 keV
2.3- Quelle valeur doit avoir la période de la tension U pour que le proton soit toujours accéléré entre les
« dees » ? Justifier. (le temps de vol d'un proton entre les « dees » est négligeable)
Lepr
ot
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-période de rotation TR/2 entre las
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or
t
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ede
l
’
aut
r
edeeet i
ls
’
écoul
eunedemipér
i
odeTU/2 de la tension U lorsque celle-ci passe de la
valeur UM à la valeur -UM : Il faut donc réaliser TR/2 = TU/2 soit TU = TR
2.4- Une fenêtre permet au proton de sortir quand le rayon de sa trajectoire atteint 1,20 m. Calculer la vitesse de
sortie vS du proton et son énergie cinétique ECS exprimée en joule et en keV.
RS =
mvS
qB
=
mvS
eBRS
1,6 10 19 7,8 10 2 1,20
; vS =
=
= 9,0 x 106 m.s-1
m
eB
1,67 10 27
ECS = ½ mvS2 = ½
ECS =
6, 7 10 14
1,6 10 19
x
1,67
x
10-27 x (9,0 x 106)2 = 6,7 x 10-14 J
eV = 4,2 x 105 eV = 4,2 x 102 keV
2.5- Déterminer le nombre de tours effectués par le proton dans le cyclotron.
Le proton sort du cyclotr
onenayantr
eçul
’
éner
gi
et
ot
al
e ECS–EC1 après N tours; comme le
pr
ot
onr
eçoi
tàchaquepas
s
ageent
r
el
esdeesl
’
éner
gi
eW, le nombre de passages entre les
E EC1
dees est NP = CS
et comme le proton effectue deux passages entre les dees par tour,
W
N
E EC1
le nombre de tours est NT = P = CS
2
2W
2
EC1 = ½ mv1 = ½ x1,67x 10-27x (3,0 x 105)2 = 7,5
NT =
5
2
4,2 10 eV 4, 7 10 eV
2 2, 0 10 4 eV
=
x
10-17 J =
5
2
(4,2 10 4, 7 10 )eV
2 2, 0 10 4 eV
DONNÉES GÉNÉRALES
célérité de la lumière dans le vide:
charge électrique élémentaire:
masse du proton:
masse de l'électron:
c = 3x108 m.s-1
e = 1,6. 10-19C
m = 1,67. 10-27 kg
me = 0,512 MeV.c-2 = 9,1. 10-31 kg
7,5 10 17
1,6 10
=
19
eV = 4,7 x 102 eV
4,2 10 5 4, 7 10 2
2 2, 0 10 4
= 10,5