Exercices de colle de mathématiques, niveau MPSI

Exercices de colle de mathématiques,
niveau MPSI
Version préliminaire sans corrigés
Benjamin Groux
Année 2012-2013
Table des matières
1 Notions générales
4
2 Les nombres entiers
5
I
7
Algèbre
3 Les nombres complexes
8
4 Groupes, anneaux, corps
10
5 Espaces vectoriels
11
6 Applications linéaires
13
7 La dimension finie
15
8 Matrices
16
9 Arithmétique
19
10 Polynômes
21
11 Fractions rationnelles
23
12 Déterminants
25
13 Espaces vectoriels euclidiens
28
II
31
Analyse
14 Équations différentielles
32
15 Fonctions usuelles
34
16 Les nombres réels
36
17 Suites numériques
37
18 Fonctions d’une variable réelle
40
1
19 Dérivation des fonctions à valeurs réelles
42
20 Intégration sur un segment
44
21 Développements limités
47
22 Fonctions de deux variables réelles
49
23 Convexité
52
III
55
Géométrie
24 Géométrie élémentaire du plan
56
25 Courbes planes paramétrées
58
26 Géométrie élémentaire de l’espace
60
27 Coniques
62
28 Géométrie affine
64
29 Étude métrique des courbes
66
2
Ce document regroupe des exercices que j’ai posés lors des colles de mathématiques que
j’ai données en MPSI au lycée Blaise Pascal d’Orsay durant l’année 2012-2013.
Ces exercices sont pour la plupart issus des documents de David Delaunay, Géry Huvent
et Michel Quercia (disponibles sur Internet) et de la collection ≪ Oraux X-ENS ≫ de Serge
Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas.
Tous n’ont pas pu être testés. Il se peut donc que certains exercices soient trop longs,
qu’ils nécessitent des indications supplémentaires et qu’il y ait des erreurs d’énoncé.
3
Chapitre 1
Notions générales
1.1
Questions de cours
1. Définir une fonction injective, resp. surjective, resp. bijective.
2. Donner les tables de vérité de A ou B, A et B et A ⇒ B.
1.2
Exercices
1. Soient E, F, G trois ensembles, f : E → F , g : F → G, h : G → E. On suppose que
h ◦ g ◦ f est injective et que g ◦ f ◦ h et f ◦ h ◦ g sont surjectives. Montrer que f , g et
h sont bijectives.
2. Montrer que l’application f :
N → n 7→
Z
si n est pair
− n+1
sinon
2
n
2
est bien définie et bijective.
3. Soient E un ensemble et A ⊂ E. On définit la relation ∼ sur P(E) par : ∀X, Y ∈ P(E),
X ∼ Y ⇔ X ∪ A = Y ∪ A.
(a) Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur P(E).
(b) Soit φ :
φ(Y ).
P(E) → P(E \ A)
. Montrer que ∀X, Y ∈ P(E), X ∼ Y ⇔ φ(X) =
X
7→
X \A
4. On définit la relation ≺ sur R∗+ par : ∀x, y ∈ R∗+ , x ≺ y ⇔ ∃n ∈ N, y = xn . Montrer
que ≺ est une relation d’ordre sur R∗+ . Cet ordre est-il total ou partiel ?
4
Chapitre 2
Les nombres entiers
2.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer la formule du binôme de Newton.
2. Énoncer et démontrer le lemme des bergers.
3. Démontrer que toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément.
2.2
Exercices
1. Soit (un )n∈N la suite définie par : u0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un .
Calculer un pour tout n ∈ N.
2. Calculer Sn =
3. Calculer Sn =
Pn
k=0 k
n
k
et Tn =
(−1)k+1 n
k=1
k
k
Pn
Pn
n
1
k=0 k+1 k
pour tout n ∈ N.
pour tout n ∈ N∗ .
4. (a) Démontrer par un argument combinatoire que pour tous n, p, q ∈ N :
X
n q
p
p+q
=
n−k
k
n
k=0
(b) Proposer une autre méthode de démonstration de la formule de Vandermonde.
2
q P
P
(c) En déduire les valeurs de nk=0 nk et nk=0 nk p+k
pour tous entiers n, p, q.
5. Pour tous n, p ∈ N∗ , on note I(n, p) (resp. S(n, p)) le nombre d’injections (resp. de
surjections) de J1, nK dans J1, pK.
(a) Calculer les nombres I(n, p).
(b) Calculer S(n, p) dans les cas simples où p = 1, p = n, p > n. Montrer que si
p ∈ J2, nK, alors on a S(n, p) = p(S(n − 1, p − 1) + S(n − 1, p)). En déduire que :
p
X
∗
p−k p
kn
(−1)
∀n ∈ N , ∀p ≤ n, S(n, p) =
k
k=1
5
6. Pour tous
∈ N∗ et p ∈ N, on note S(n, p) le nombre de n-uplets (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn
Pn
tels que ni=1 xi = p.
(a) Calculer les nombres S(n, 0), S(n, 1), S(n, 2), S(1, p), S(2, p).
P
(b) Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀p ∈ N, S(n + 1, p) = pk=0 S(n, k).
(c) En déduire que ∀n ∈ N∗ , ∀p ∈ N, S(n, p) = n+p−1
.
p
7. Montrer que l’application f :
N → n 7→
Z
si n est pair
− n+1
sinon
2
n
2
est bien définie et bijective.
8. Soit E un ensemble à n éléments. Calculer les sommes :
X
X
X
Card(X),
Card(X ∩ Y ),
Card(X ∪ Y )
X⊂E
X,Y ⊂E
X,Y ⊂E
9. Démontrer la formule du crible de Poincaré, ou principe d’inclusion-exclusion : pour
tout n ∈ N∗ et tous ensembles finis A1 , . . . , An , on a
!
!
n
n
X
[
X
(−1)k−1
Card(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik )
Card
Ai =
i=1
k=1
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
En déduire le nombre de dérangements de J1, nK (permutations sans points fixes).
6
Première partie
Algèbre
7
Chapitre 3
Les nombres complexes
3.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer la propriété donnant les racines carrées d’un nombre complexe.
2. Énoncer et démontrer la condition de cocyclicité pour quatre points non alignés du plan.
3.2
Exercices
1. Calculer, pour tout θ ∈ R et n ∈ N, les sommes
Cn =
n
X
cos(kθ)
et
Sn =
sin(kθ)
k=0
k=0
2. Soient n ∈ N∗ , ω = e2iπ/n et z =
|z|2 comme une somme double.)
n
X
Pn−1
k=0
2
ω k . Calculer |z|2 . (Indication : on pourra écrire
3. Soit n ∈ N∗ . Résoudre l’équation (z − 1)n = (z + 1)n .
4. Donner une condition pour que l’équation z 2 − (2 + im)z − (1 + im) = 0 admette deux
racines imaginaires conjuguées.
5. Déterminer et tracer l’ensemble des z ∈ C tels que les points d’affixes 1, z et z 2 forment
un triangle rectangle.
6. Déterminer et tracer l’ensemble des z ∈ C∗ tels que les points d’affixes z, z 2 et
alignés.
1
z
sont
= k . Tracer cet
7. Soient k ∈ R et a, b ∈ C. Déterminer l’ensemble Ek = z ∈ C | z−a
z−b
ensemble pour k = 3 par exemple.
8. Soient un triangle ABC, un réel positif k et un réel θ. Pour tout point M, on note
SM la similitude directe de centre M, de rapport k et d’angle θ. On note A′ = SB (A),
B ′ = SC (B) et C ′ = SA (C). Montrer que les triangles ABC et A′ B ′ C ′ ont le même
8
centre de gravité.
9. Soit ABC un triangle direct. Soit A′ le point tel que A et A′ sont de part et d’autre
′ B = 2π . On construit de manière analogue les
\
de la droite (BC), A′ B = A′ C et CA
3
′
′
points B et C . Montrer que le triangle A′ B ′ C ′ est équilatéral.
10. Soit ABCD un quadrilatère convexe. Soit A′ le point tel que le triangle A′ AB est
iso-rectangle en A′ et A′ appartient au demi-plan délimité par (AB) ne contenant pas
C et D. On construit de manière analogue les points B ′ , C ′ et D ′ . Montrer que les
segments [A′ C ′ ] et [B ′ D ′ ] sont perpendiculaires et de même longueur.
9
Chapitre 4
Groupes, anneaux, corps
4.1
Questions de cours
4.2
Exercices
1. Vérifier que l’opération ∗ définie sur [0, 1] par : ∀x, y ∈ [0, 1], x ∗ y = x + y − xy, est
une loi de composition interne, puis en étudier les propriétés.
2. Montrer que l’ensemble ]−1, 1[ muni de l’opération ∗ définie par : ∀x, y ∈]−1, 1[, x∗y =
x+y
, est un groupe abélien.
1+xy
3. Soit (G, ∗) un groupe tel que ∀g ∈ G, g 2 = e. Montrer que G est abélien.
4. Sur Z2 , on définit deux lois + et ∗ par : ∀(a, b), (c, d) ∈ Z2 , (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
et (a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc).
(a) Montrer que (Z2 , +, ∗) est un anneau commutatif.
(b) Montrer que A = {(a, 0), a ∈ Z} est un sous-anneau de (Z2 , +, ∗).
10
Chapitre 5
Espaces vectoriels
5.1
Questions de cours
1. Montrer qu’une intersection de sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E est
un sous-espace vectoriel de E.
2. Soient F, G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Montrer que la
somme F + G est directe si et seulement si pour tout z ∈ F + G, il existe un unique
couple (x, y) ∈ F × G tel que z = x + y.
3. Soient E un K-espace vectoriel et x1 , . . . , xn ∈ E. Montrer que la famille (x1 , . . . , xn )
est liée si et seulement si un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des
autres.
4. Soit a ∈ R. Montrer que l’ensemble des fonctions de R dans R admettant une limite
finie en a est un R-espace vectoriel.
5.2
Exercices
1. On note C l’ensemble des suites réelles croissantes. C est-il un espace vectoriel ? Montrer
que l’ensemble D = {u − v, u, v ∈ C} est un espace vectoriel.
2. Soient F, G, H trois sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Montrer que
F ∩ (G + H) ⊃ (F ∩ G) + (F ∩ H) et que F + (G ∩ H) ⊂ (F + G) ∩ (F + H).
3. On considère les vecteurs u = (2, 1, 1), v = (1, 2, 1) et w = (1, 1, 2) de R3 . Déterminer
Vect(u, v, w).
4. On considère les vecteurs u = (1, 2, 1), v = (1, 0, 3) et w = (1, 1, 2) de R3 . Déterminer
Vect(u, v, w).
5. Dans R3 , on note x = (1, −1, 1) et y = (0, 1, a), où a ∈ R. Donner une condition
nécessaire et suffisante sur a pour que u = (1, 1, 2) appartienne à Vect(x, y). Comparer
alors Vect(x, y), Vect(x, u) et Vect(u, y).
6. Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E. Montrer que Vect(A ∪ B) =
Vect(A) + Vect(B).
11
7. Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E. Comparer Vect(A ∩ B) et
Vect(A) ∩ Vect(B).
8. Soit E l’ensemble des fonctions continues de [0, π] dans R. Montrer que F = {f ∈
E| f (0) = f ( π2 ) = f (π)} et G = Vect(cos, sin) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires
dans E.
9. Soient a, b, c, d les fonctions de [0, 2π] dans R définies par : ∀x ∈ [0, 2π], a(x) = cos x,
b(x) = x cos x, c(x) = sin x, d(x) = x sin x. Montrer que la famille (a, b, c, d) est libre.
R → R
. Montrer que pour tout n ∈ N, (fk )0≤k≤n
x 7→ ekx
est une famille libre de F (R, R).
10. Pour tout k ∈ N, on note fk :
12
Chapitre 6
Applications linéaires
6.1
Questions de cours
1. Montrer que le noyau et l’image d’une application linéaire sont des espaces vectoriels.
2. Montrer que l’image d’une famille libre par une application linéaire injective est une
famille libre.
3. Énoncer et démontrer la caractérisation des applications linéaires injectives (resp. surjectives).
4. Après avoir rappelé la définition d’un projecteur, énoncer et démontrer la caractérisation
des projecteurs.
6.2
Exercices
1. Étudier la linéarité des applications suivantes :
f:
R3
→
R2
,
(x, y, z) 7→ (x + 2y − z, −3x − z)
g:
R2 → R
,
(x, y) 7→ xy
h:
C([0, 1], R) →
R
R1
f
7→ 0 f (t)dt
2. Soient E un K-espace vectoriel et f, g ∈ L(E). Montrer que f (Ker(g ◦ f )) = Ker(g) ∩
Im(f ).
C ∞ (R, R) →
C ∞ (R, R)
. Montrer que ϕ est une application linéaire et
′′
f
7→ f − 3f ′ + 2f
déterminer son noyau.
3. Soit ϕ :
4. Soient X un ensemble, E un K-espace vectoriel et a ∈ X. Montrer que l’application
F (X, E) → E
est linéaire et déterminer son image.
ϕ:
f
7→ f (a)
5. Soient E un K-espace vectoriel, p un projecteur de E, q = Id −p. On note L (resp. M)
l’ensemble des f ∈ L(E) tels qu’il existe u ∈ L(E) vérifiant f = u ◦ p (resp. f = u ◦ q).
Montrer que L et M sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans L(E).
6. Soient E un K-espace vectoriel et p, q deux projecteurs de E tels que q ◦ p = 0. Montrer
que p + q − p ◦ q est un projecteur de E et déterminer sa base et sa direction.
13
7. Soient E un K-espace vectoriel et f, g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g = Id.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de g ◦ f .
8. Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f 2 − 3f + 2 Id = 0.
(a) Montrer que f est un automorphisme de E et calculer f −1 .
(b) Montrer que E = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f − 2 Id).
(c) En déduire la nature de f .
14
Chapitre 7
La dimension finie
7.1
Questions de cours
7.2
Exercices
15
Chapitre 8
Matrices
8.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer la formule de changement de bases pour une application linéaire.
8.2
Exercices
1. Soient E un K-espace vectoriel, f ∈ L(E) et n ∈ N∗ . On suppose que f n = 0 et
f n−1 6= 0.
(a) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que B = (x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1(x)) est une famille
libre de E.
(b) Dans la suite, on considère que B est une base de E. Déterminer les matrices de
f, f 2 , . . . , f n−1 relativement à la base B.
(c) On note C(f ) = {g ∈ L(E)| g◦f = f ◦g}. Montrer que C(f ) = Vect(Id, f, f 2 , . . . , f n−1 ).
2. Dans R3 muni de sa base canonique B, on considère P l’hyperplan d’équation x + 2y −
z = 0 et D la droite engendrée par u = (1, 0, −1).
(a) Montrer que P et D sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R3 .
(b) Soient p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P et s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D.
Déterminer les matrices de p, q et s relativement à B.


1 1 1
3. Soit A =  0 1 1 . Calculer An pour tout n ∈ N.
0 0 1


2 −1 2
4. Montrer que la matrice A =  5 −3 3  est inversible et calculer A−1 . (Indica−1 0 −2
tion : on pourra calculer (A + I3 )3 .)


1
0
1
5. Calculer l’inverse de la matrice A =  2 −1 1 .
−1 1 −1
16


2 0 1
6. Calculer l’inverse de la matrice A =  −1 1 1 .
1 0 1
7. Soient un entier n ≥ 2, ω = e2iπ/n et A = (ω (k−1)(l−1) )1≤k,l≤n . Montrer que A est inversible et calculer A−1 . (Indication : on pourra calculer AA.)


2 1 −1
8. Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice A =  0 1 0  relativement à la base
1 1 0
3
canonique B de R .
(a) Soient u = (1, 0, 1), v = (−1, 1, 0) et w = (1, 1, 1). Montrer que C = (u, v, w) est
une base de R3 .
(b) Déterminer la matrice de f relativement à la base C.
(c) En déduire la matrice de f n relativement à la base B pour tout n ∈ N.
9. Soit E un K-espace vectoriel muni d’une base B = (e1
, e2 , e3 ). On note
 f l’endomor3 −2 2
phisme de E dont la matrice relativement à B est A =  1 2 0 .
1 1 1
(a) Montrer 
qu’il existe 
une base C de E dans laquelle la matrice représentative de f
1 0 0
est D =  0 2 0 .
0 0 3
(b) Déterminer la matrice de passage P de B à C.
(c) En déduire An pour tout n ∈ N.
10. Soit m ∈ R. Résoudre le système

 x
x

x
:
− y + z = m
+ my − z = 1
− y − z = 1
11. Soit m ∈ R. Résoudre le système :

1
 mx + y + z + t =
x + my + z + t =
m

x + y + mz + t = m + 1
12. Soit θ ∈ R. Discuter en fonction de θ la nature de l’ensemble des solutions d’un système
compatible de la forme

x
+ cos(θ)y + cos(2θ)z = ∗

cos(θ)x + cos(2θ)y + cos(3θ)z = ∗

cos(2θ)x + cos(3θ)y + cos(4θ)z = ∗
13. Soit n ∈ N. Résoudre le


x1




 x1
x1





 x
1
système :
+ x2 + x3 + . . . + xn = 1
+ 2x2 + 2x3 + . . . + 2xn = 1
+ 2x2 + 3x3 + . . . + 3xn = 1
..
.
+ 2x2 + 3x3 + . . . + nxn = 1
17
14. Résoudre le système :
 3 2 6
 xy z = 1
x4 y 5 z 12 = 2
 2 2 5
xy z = 3
18
Chapitre 9
Arithmétique
9.1
Questions de cours
1. Expliquer le principe de l’algorithme d’Euclide et démontrer la propriété à la base de
cet algorithme.
2. Soit un entier n ≥ 2. Montrer que la congruence modulo n est une relation d’équivalence
compatible avec l’addition et la multiplication.
3. Énoncer et démontrer les théorèmes de Bezout et de Gauss.
9.2
Exercices
1. On note D(n) l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier n ∈ Z. Soient a, b ∈ Z deux
D(a) × D(b) → N
réalise une bijection
entiers premiers entre eux. Montrer que ϕ :
(k, l)
7→ kl
de D(a) × D(b) vers un ensemble qu’on précisera.
2. Calculer le pgcd et les coefficients de l’identité de Bezout des entiers 270 et 105.
3. (a) Soient a ∈ N, b ∈ N∗ et r le reste de la division euclidienne de a par b. Montrer
que 2r − 1 est le reste de la division euclidienne de 2a − 1 par 2b − 1.
(b) Soient a ∈ N et b ∈ N∗ . Montrer que pgcd(2a − 1, 2b − 1) = 2pgcd(a,b) − 1.
4. On définit la suite de Fibonacci par : F0 = 0, F1 = 1 et ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n et en déduire que
pgcd(Fn , Fn+1 ) = 1.
(b) Montrer que pour tous n ∈ N et m ∈ N∗ , Fn+m = Fm Fn+1 + Fm−1 Fn et en déduire
que pgcd(Fm , Fn ) = Fpgcd(m,n) .
x ≡ 2 [10]
.
x ≡ 5 [13]
pgcd(x, y) = 5
2
.
6. Résoudre dans N le système
ppcm(x, y) = 60
5. Résoudre dans Z le système
7. Soit p un nombre premier.
19
(a) Montrer que pour tout k ∈ J1, p − 1K, p|
p
k
.
(b) En déduire le petit théorème de Fermat : ∀n ∈ Z, np ≡ n [p].
(c) Montrer qu’il existe un multiple de 1996 dont l’écriture décimale ne comporte que
le chiffre 4.
8. Soient a et p deux entiers supérieurs à 2. Montrer que si ap − 1 est premier, alors a = 2
et p est premier.
9. Soient n ≥ 2 et N la somme de n entiers impairs consécutifs. Montrer que N n’est pas
un nombre premier.
10. (a) Soit n ∈ N. Montrer que si 2n + 1 est premier, alors n est une puissance de 2.
n
(b) Soit n ∈ N, on note Fn = 22 + 1 le n-ième nombre de Fermat. Montrer que pour
n 6= m, Fn et Fm sont premiers entre eux.
(c) En déduire que l’ensemble des nombres premiers est infini.
11. Soit p un nombre premier. On note vp la valuation p-adique, c’est-à-dire l’application
qui à un entier n ∈ N∗ associe max{k ∈ N | pk |n}.
(a) Montrer que pour tous m, n ∈ N∗ , vp (mn) = vp (m) + vp (n).
n (b) Soient n ∈ N∗ et k ∈ J1, pn −1K. Calculer vp pk . (Indication : on pourra montrer
que pour tout l ∈ J1, k − 1K, on a vp (pn − l) = vp (l).)
Q
12. Soit un entier n ≥ 2. On note n = ri=1 pαi i sa décomposition primaire. On note d(n)
le nombre de diviseurs de n supérieurs ou égaux à 1 et σ(n) la somme de ceux-ci.
(a) Montrer que
d(n) =
r
Y
(αi + 1) et σ(n) =
i=1
r
Y
pαi +1 − 1
i
i=1
pi − 1
(b) En déduire que σ(n) est impair si et seulement si il existe α ∈ N et q impair tels
que n = 2α q 2 .
(c) Résoudre l’équation 3σ(n) = 4n − 17.
2
13. (a) Montrer
√ nque pour tout
√ n ∈ N, il existe un unique couple (an , bn ) ∈ N tel que
(1 + 2) = an + bn 2.
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, an et bn sont premiers entre eux. (Indication : on
pourra calculer a2n − 2b2n .)
20
Chapitre 10
Polynômes
10.1
Questions de cours
1. Donner la définition de racine d’un polynôme. Énoncer et démontrer la caractérisation
d’une racine d’un polynôme. Démontrer enfin qu’un polynôme de degré n admettant
n + 1 racines est nul.
2. Définir le degré d’un polynôme. Énoncer et démontrer la propriété sur le degré de la
somme et du produit de deux polynômes.
10.2
Exercices
1. Soient n ∈ N∗ et
∆:
Cn [X] →
Cn−1 [X]
P
7→ P (X + 1) − P (X)
(a) Montrer que ∆ est une application linéaire bien définie.
(b) Déterminer le noyau et l’image de ∆.
(c) En remarquant que ∆ = T − Id, où T : P 7→ P (X + 1), montrer que la suite
(P (a))a∈Z vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.
2. Soient P ∈ K[X] et a, b ∈ K. Déterminer le reste de la division euclidienne de P par
(X − a)(X − b). (On distinguera les cas a 6= b et a = b.)
3. (a) Soient a ∈ N, b ∈ N∗ et r le reste de la division euclidienne de a par b. Montrer
que X r − 1 est le reste de la division euclidienne de X a − 1 par X b − 1.
(b) Soient a ∈ N et b ∈ N∗ . Montrer que pgcd(X a − 1, X b − 1) = X pgcd(a,b) − 1.
4. Soit P ∈ K[X]. On note pour tout n ∈ N∗ , P [n] = P ◦ . . . ◦ P (composée de n facteurs).
(a) Montrer que P (X) − X divise P (P (X)) − P (X).
(b) En déduire que P (X) − X divise P [n](X) − X pour tout n ∈ N∗ .
5. Résoudre dans R[X] l’équation P ′2 = 4P .
6. Résoudre dans C[X] l’équation P (X 2) = P (X)P (X + 1).
21
7. Soit n ∈ N∗ .
P
(a) Factoriser les polynômes Pn = X n − 1 et Qn = nk=0 X k dans R[X] et dans C[X].
Rπ
(b) Pour a ∈ R \{−1; 1}, calculer 0 ln(a2 − 2a cos t + 1)dt.
Q
kπ
.
(c) Calculer nk=1 sin n+1
8. Résoudre dans C le système

 x + y + z =2
x2 + y 2 + z 2 = 14
 3
x + y 3 + z 3 = 20
9. Soient n ∈ N et P ∈ Rn+1 [X] possédant n + 1 racines réelles distinctes.
(a) Montrer que P ′ possède exactement n racines réelles distinctes.
(b) En déduire que les racines de P 2 + 1 sont toutes simples dans C.
10. Pour tout n ∈ N, on note
fn :
[−1, 1] →
R
x
7→ cos(n Arccos x)
(a) Calculer f0 , f1 , f2 , f3 et déterminer une relation entre fn−1 , fn et fn+1 .
fn = fn sur [−1, 1]. (Tn est
(b) Montrer qu’il existe un unique Tn ∈ R[X] tel que T
appelé n-ième polynôme de Tchebitcheff.)
(c) Déterminer le degré et le coefficient dominant de Tn .
(d) Étudier les racines de Tn .
(e) Montrer que fn satisfait une équation différentielle et en déduire la valeur de
(k)
fn (1) pour k ∈ N.
22
Chapitre 11
Fractions rationnelles
11.1
Questions de cours
1. Définir les fractions rationnelles.
2. Donner la définition de pôle d’une fraction rationnelle et sa multiplicité. Énoncer et
démontrer la caractérisation d’un pôle de multiplicité donnée.
3. Énoncer le théorème de décomposition en éléments simples dans C(X) et expliquer
brièvement comment calculer les coefficients.
11.2
Exercices
1. Décomposer en éléments simples
F (X) =
3X − 1
+ 1)2
X 2 (X
2. Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelle F ∈ C(X) telle que F ′ = X1 . (IndicaP
tion : on pourra mettre F sous la forme irréductible Q
et s’intéresser aux racines de P
et Q.)
3. Soient un entier n ≥ 2, p ∈ J0, n − 1K et pour tout k ∈ J0, n − 1K, ωk = e2ikπ/n . Mettre
Pn−1 ωkp
.
sous forme irréductible la fraction rationnelle F = k=0
X−ωk
4. Soient n ∈ N∗ et ω = e2iπ/n .
(a) Soit P ∈ C[X] un polynôme vérifiant P (ωX) = P (X). Montrer qu’il existe Q ∈
C[X] tel que P (X) = Q(X n ).
Pn−1 X+ωk
(b) En déduire la forme irréductible de la fraction rationnelle F = k=0
.
X−ω k
5. Soit n ∈ N. Calculer
Sn =
n
X
k=1
6. Calculer la dérivée n-ième de f : x 7→
k4
1
x(x2 +1)
23
k
+ k2 + 1
en précisant l’ensemble de validité.
7. Déterminer une primitive de f : t 7→
1
t3 +1
en précisant l’ensemble de validité.
8. Soit P ∈ C[X]. On note a1 , . . . , ap les racines de P , b1 , . . . , bq les racines de P ′ et
M1 , . . . , Mp , N1 , . . . , Nq les points d’affixes respectives a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bq . Montrer
que les Nj sont des barycentres à coefficients positifs de M1 , . . . , Mp . (Théorème de
Gauss-Lucas)
9. Soit P ∈ Rn [X] un polynôme scindé à racines simples. On note x1 , . . . , xn ses racines.
Montrer que
n
X
P ′′ (xk )
=0
′ (x )
P
k
k=1
10. Soit P ∈ R[X] ayant (au moins) n racines positives distinctes.
(a) Factoriser le polynôme Q = (X 2 + 1)P P ′ + X(P 2 + P ′2 ), en faisant apparaı̂tre le
quotient P ′/P .
(b) Montrer que Q admet au moins 2n − 2 racines positives distinctes.
11. Soient n ∈ N∗ , a1 , . . . , an des complexes deux à deux distincts et b1 , . . . , bn des complexes deux à deux distincts tels que pour tous i, j ∈ J1, nK, ai + bj 6= 0. Résoudre le
système
 x
x2
xn
1

 a1 +b1 + a2 +b1 + . . . + an +b1 = 1
..
.

 x1
x2
n
+
+
. . . + anx+b
= 1
a1 +bn
a2 +bn
n
(Indication : à partir d’une solution (x1 , . . . , xn ), on pourra introduire une fraction rationnelle dont les racines sont b1 , . . . , bn .)
24
Chapitre 12
Déterminants
12.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer la formule du déterminant de Vandermonde.
2. Définir la comatrice d’une matrice, puis énoncer et démontrer la relation fondamentale
de la comatrice.
3. Énoncer et démontrer les formules de Cramer.
12.2
Exercices
1. Soient a, b, c ∈ C. Mettre sous forme factorisée le déterminant D = 2. Soient n ∈ N et p ∈ J0, nK. Calculer le déterminant d’ordre p+1 : Dn,p
∗
a
c
c
b
=
c
a
b
c
c
b
a
c
n
b
c
c
a
.
0
...
0
...
..
. n+p
.. .
. n+p n
p
p
3. Soient n ∈ N , a, b ∈ C. En établissant unerelation de récurrence, calculer le déterminant
a + b b ...
b .. .. ..
.
.
. a
d’ordre n : Dn = .
.
.. ..
..
.
.
b a
... a a + b r1 a . . . a .. ..
. . b r
4. Soient a, b, r1 , . . . , rn ∈ R, on note D(a, b, r1 , . . . , rn ) = . . 2 .
.
..
.. .. a b ... b r n
(a) En étudiant f : x 7→ D(a + x, b + x, r1 + x, . . . , rn + x), calculer D(a, b, r1 , . . . , rn )
lorsque a 6= b.
(b) En étudiant g : x 7→ D(a, x, r1 , . . . , rn ), calculer D(a, a, r1 , . . . , rn ).
5. Soient n ∈ N∗ , A ∈ GLn (R), B ∈ Mn (R). Montrer qu’il existe ε > 0 tel que pour tout
x ∈ [−ε, ε], A + xB ∈ GLn (R).
25
B
C
D
.
6. (a) Soient B ∈ Mp (K), C ∈ Mp,n−p(K), D ∈ Mn−p (K) et A =
0n−p,p
Ip
B
C
0p,n−p
Montrer que A =
et en déduire det(A).
0n−p,p D
0n−p,p In−p


A1 ∗ . . . ∗
.
.. ..

.
. .. 

 0
(b) Soit la matrice triangulaire par blocs A =  . .
, où les Ai sont
.
.. .. ∗ 
 ..
Qn0 . . . 0 An
des matrices carrées. Montrer que det(A) = i=1 det(Ai ).
7. Soient n ∈ N et A ∈ M2n+1 (C) une matrice antisymétrique. Calculer det(A).
8. Soit A ∈ Mn (Z). Montrer que A est inversible et A−1 ∈ Mn (Z) si et seulement si
det(A) vaut −1 ou 1.
9. Soient un entier n ≥ 2 et A ∈ Mn (K). Calculer le rang de la comatrice de A en fonction du rang de A. (On commencera par étudier les cas où rg(A) = n et rg(A) ≤ n−2.)

 x + ay +
ax + y +
10. Soit a ∈ C. Résoudre le système
 2
a x + ay +

1 α 0

.
.
 0 .. ..
 . .
.
11. Soit α ∈ C. Calculer le rang de A = 
 .. . . . .

..
 0
.
α 0 ...
1
2
... n
.
12. Calculer la signature de
n n− 1 ... 1
a2 z = 1
az = 0 .
z = 0

... 0
. . .. 
. . 

..
. 0 
.

..
. α 
0 1
13. Soit n ≥ 2. Dans Sn , on considère une permutation σ et un p-cycle c = (a1 a2 . . . ap ).
Calculer σ ◦ c ◦ σ −1 .
14. Soit un entier n ≥ 2. On note D n l’ensemble des dérangements de Sn , i.e. les permutations sans point fixe (∀i ∈ J1, nK, σ(i) 6= i), et Dn la différence entre le nombre de
dérangements pairs et le nombre de dérangements impairs dans Sn .


0 1 ... 1
. 
.
.

 1 . . . . .. 
(a) Montrer que le déterminant de A =  . .
 et Dn sont égaux.
 .. . . . . . 1 
1 ... 1 0
(b) Y a t-il plus de dérangements pairs ou de dérangements impairs dans Sn ?
15. Soit f une forme n-linéaire sur un K-espace vectoriel E. On suppose que pour tous
x1 , . . . , xn ∈ E, s’il existe k ∈ J1, n − 1K tel que xk = xk+1 , alors f (x1 , . . . , xn ) = 0.
Montrer que f est alternée.
26
16. Soient n ∈ N∗ , E un K-espace vectoriel de dimension n, f une forme n-linéaire alternée
sur E, u ∈ L(E) et
fu :
En
→ P
K
.
n
(x1 , . . . , xn ) 7→
f
(x
,
.
.
.
,
x
1
i−1 , u(xi ), xi+1 , . . . , xn )
i=1
Montrer que fu = Tr(u)f .
27
Chapitre 13
Espaces vectoriels euclidiens
13.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
2. Démontrer le théorème d’isomorphisme entre un espace euclidien E et L(E, R).
3. Soit E un espace euclidien. Montrer que l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F de
E est un sous-espace vectoriel, dont on précisera la dimension.
4. Énoncer et démontrer le théorème du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
5. Définir un endomorphisme orthogonal, puis énoncer et démontrer la caractérisation des
endomorphismes orthogonaux à l’aide des bases orthonormées.
6. Donner les définitions d’une application affine et d’une isométrie affine, puis faire le
lien avec les endomorphismes orthogonaux.
13.2
Exercices
Rb
f (t)g(t)dt définit un produit scalaire sur C 0 ([a, b], R).
Rb
Rb
(b) Soit f une fonction continue strictement positive sur [a, b]. On note l(f ) = a f (t)dt a
Montrer que l(f ) ≥ (b − a)2 et étudier les cas d’égalité.
1. (a) Montrer que ϕ : (f, g) 7→
a
2. Montrer que ϕ : (f, g) 7→ f (0)g(0)+
Calculer l’orthogonal de x 7→ x.
R1
0
f ′ (t)g ′ (t)dt est un produit scalaire sur C 1 ([0, 1], R).
R2 × R2
→
R
3. Soient a, b, c, d ∈ R. On note ϕ :
.
((x, y), (x′ , y ′)) 7→ axx′ + bxy ′ + cx′ y + dyy ′
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que ϕ soit un produit scalaire
sur R2 .
R1
4. (a) Montrer que ϕ : (f, g) 7→ −1 f (t)g(t)dt définit un produit scalaire sur E =
C 0 ([−1, 1], R).
(b) On note P, resp. I, le sous-ensemble de E formé des fonctions paires, resp. impaires. On rappelle que E = P ⊕ I. Montrer que P ⊥ = I. (Indication : on pourra
procéder par double inclusion.)
(c) Montrer que s : f 7→ (x 7→ f (−x)) est la symétrie orthogonale par rapport à P.
28
1
dt.
f (t)
5. Soient E un espace euclidien et x, y ∈ E. Montrer que x et y sont orthogonaux si et
seulement si ∀λ ∈ R, kx + λyk ≥ kxk.
6. Soient x, y deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien E. Déterminer une condition
nécessaire et suffisante pour que le projeté orthogonal de x sur Vect(y) soit égal au
projeté orthogonal de y sur Vect(x).
7. Soit p une projection d’un espace euclidien E. Montrer que la projection p est orthogonale si et seulement si ∀x ∈ E, kp(x)k ≤ kxk.
8. Soient un entier n ≥ 3 et E = Rn [X].
R1
(a) Montrer que ϕ : (P, Q) 7→ −1 P (t)Q(t)dt définit un produit scalaire sur E.
(b) Calculer
inf
(a,b,c)∈R
3
Z
1
−1
(t3 − (at2 + bt + c))2 dt
9. Soit E un espace euclidien
muni d’une
 base orthonormée B = (i, j, k). Soit p ∈ L(E)

5 −2 1
tel que MatB (p) = 16  −2 2 2 . Montrer que p est la projection orthogonale sur
1
2 5
un plan dont on précisera une équation.
10. On munit R4 du produit scalaire usuel. Soit F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + z + t =
x − y + z − t = 0}.
(a) Déterminer une base orthonormée du supplémentaire orthogonal de F .
(b) Déterminer les matrices de la projection orthogonale sur F et de la symétrie
orthogonale par rapport à F relativement à la base canonique de R4 .
(c) Soit u = (1, 2, 3, 4). Calculer d(u, F ).
11. Soient E un espace euclidien et x1 , . . . , xn ∈ E. On note G(x1 , . . . , xn ) = (hxi , xj i)1≤i,j≤n
la matrice de Gram associée à x1 , . . . , xn .
(a) Montrer que si la famille (x1 , . . . , xn ) est liée, alors det G(x1 , . . . , xn ) = 0.
(b) On suppose dans la suite que la famille (x1 , . . . , xn ) est libre. On note F =
Vect(x1 , . . . , xn ), B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de F et M = MatB (x1 , . . . , xn ).
Exprimer G(x1 , . . . , xn ) en fonction de M et t M et en déduire que det G(x1 , . . . , xn ) >
0.
(c) Soit x ∈ E. Monter que
d(x, F ) =
s
det G(x, x1 , . . . , xn )
det G(x1 , . . . , xn )
12. Soient E un espace euclidien et f ∈ L(E) tel que ∀x, y ∈ E, hf (x), yi = hx, f (y)i.
(a) Montrer que la matrice de f dans une base orthonormée B = (e1 , . . . , en ) de E
est symétrique.
(b) Montrer que le noyau et l’image de f sont supplémentaires et orthogonaux.
29
13. Soient F un sous-espace vectoriel d’un espace euclidien E et f ∈ O(E) tels que
f (F ) ⊂ F . Montrer que f (F ) = F et f (F ⊥ ) = F ⊥ .
14. Soient E un espace euclidien et f : E → E. Montrer que f conserve le produit scalaire
si et seulement si f appartient à O(E).


a b b
15. Soient a, b ∈ R et A =  b a b .
b b a
(a) Déterminer les couples (a, b) pour lesquels A est dans O(3).
(b) Pour chacun de ces couples, décrire l’endomorphisme f de R3 dont la matrice
dans la base canonique est A.
16. Soit a un vecteur unitaire d’un espace euclidien E. Pour tout α ∈ R, on note fα :
E →
E
.
x 7→ x + αhx, aia
(a) Calculer fα ◦ fβ et fαp pour tous α, β ∈ R et p ∈ N.
(b) Montrer que fα est inversible si et seulement si α 6= −1. Décrire f−1 .
(c) Montrer que fα est un endomorphisme orthogonal si et seulement si α ∈ {0, −2}.
Décrire f−2 .
17. Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3.
→
→
→
→
→
→
(a) Montrer l’identité de Lagrange : (−
x .−
y )2 + k −
x ∧−
y k2 = k−
x k2 k−
y k2 .
E →
E
. Montrer que
x 7→ hx, aia + a ∧ x
f ∈ O(E) et déterminer ses éléments caractéristiques.
(b) Soit a un vecteur unitaire de E et f :
18. Soit E un espace euclidien orienté muni d’une base orthonormée directe B = (i, j, k).
relatiDéterminer la matrice de la rotation f d’axe orienté par i + j + k et d’angle 2π
3
vement à B.
19. Soit E un espace euclidien orienté muni d’une base orthonormée directe B = (i, j, k).
Soit θ ∈ R. Déterminer les éléments caractéristiques de Rk,π/2 ◦ Rcos θi+sin θj,π .
20. Soient E un espace euclidien, f ∈ O(E) et g = f − Id
(a) Montrer que Im(g) = (Ker g)⊥ .
(b) On note p la projection orthogonale sur Ker(g) et pour tout n ∈ N∗ , pn =
1
(Id +f +. . .+f n−1). Montrer que pour tout x ∈ E, on a limn→+∞ k(pn −p)(x)k =
n
0.
30
Deuxième partie
Analyse
31
Chapitre 14
Équations différentielles
14.1
Questions de cours
1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0.
2. Donner l’ensemble des solution de l’équation différentielle ay ′ + by = 0.
14.2
Exercices
1. Résoudre l’équation différentielle (2 + x)y ′ = 2 − y.
2. Résoudre l’équation différentielle xy ′ + y = cos(x).
3. Résoudre l’équation différentielle x3 y ′ − x2 y = 1.
4. Résoudre l’équation différentielle y ′′ − 4y ′ + 4y = 2(x − 2)ex .
5. Résoudre l’équation différentielle y ′′ − 2y ′ + 2y = xex .
6. Déterminer l’ensemble des solutions réelles de l’équation différentielle y ′′+y = x cos(2x).
7. Résoudre l’équation différentielle y ′′ + y = cotan(x).
8. Déterminer l’ensemble des fonctions f deux fois dérivables vérifiant : f ′ (x) = 2f (−x) +
x.
C ∞ (R, R) →
C ∞ (R, R)
. Montrer que ϕ est une application linéaire et
f
7→ f ′′ − 3f ′ + 2f
déterminer son noyau.
9. Soit ϕ :
10. Résoudre l’équation différentielle y ′′ − 2y ′ + y = ex ln(x) sur ]0, +∞[.
11. Résoudre l’équation différentielle y ′ = y + x2 y 2. (Indication : on pourra effectuer le
changement de fonctions z = y1 .)
32
12. Résoudre l’équation différentielle xy ′ + y = (xy)3/2 . (Indication : on pourra effectuer le
changement de fonctions z = y −1/2 .)
13. Résoudre l’équation différentielle y ′2 + y 2 = 1.
14. Soient f, g deux fonctions continues et a ∈ R tels que
R ∀t ≥ 0, g(t) ≥ 0 et f (t) ≤
Rt
t
a + 0 f (u)g(u)du. Montrer que ∀t ≥ 0, f (t) ≤ a exp 0 g(u)du .
33
Chapitre 15
Fonctions usuelles
15.1
Questions de cours
1. Démontrer les formules trigonométriques d’addition et en déduire celles avec la tangente de l’arc moitié.
15.2
Exercices
1. Étudier la fonction f : x 7→
√
2. Résoudre l’équation x
x
=
x2 +2x
.
|x−1|+x
√
On n’oubliera pas d’étudier les branches infinies.
x
x .
3. (a) Montrer l’inégalité : ∀x > 0, ln(x) ≤ x − 1.
(b) Calculer, pour tout n ∈ N :
un =
(c) En déduire que, quand n → +∞,
n
X
1
ln(1 + )
k
k=1
Pn
1
k=1 k
tend vers +∞.
4. Calculer, lorsque c’est bien défini, tan(p) − tan(q) et en déduire la valeur de
Sn =
n
X
k=1
1
cos(kθ) cos((k + 1)θ)
5. Calculer, pour tous n ∈ N∗ et θ ∈ R :
Sn =
n−1
X
k
3
3 sin
k=0
θ
3k+1
π
π
6. Calculer les valeurs exactes de cos( 12
) et sin( 12
).
7. Résoudre l’équation sin(θ) sin(3θ) = sin(5θ) sin(7θ).
34
8. Résoudre l’équation cos(2x) −
√
3 sin(2x) =
√
2.
9. Résoudre l’équation 2 cos2 (x) − sin(x) − 1 = 0.
10. Résoudre l’équation cos2010 (x) + cos2011 (x) + cos2012 (x) = 3.
11. Démontrer l’inégalité de Huygens : ∀θ ∈ 0, π2 , 2 sin(θ) + tan(θ) ≥ 3θ et son analogue
hyperbolique : ∀x ≥ 0, 2 sh(x) + th(x) ≥ 3x.
12. Soient k ∈ R et f : x 7→ sin6 (x) + cos6 (x) − k(sin4 (x) + cos4 (x)).
(a) Simplifier f . (Indication : on pourra calculer f ′ .)
(b) Discuter en fonction de k de l’existence de solutions à l’équation f (x) = 0.
13. Calculer la valeur exacte de sin
1
2
Arcsin 43 .
14. (a) Soit p ∈ N. Simplifier Arctan(p + 1) − Arctan(p).
(b) En déduire la limite quand n → +∞ de
Sn =
n
X
Arctan
p=0
1
2
p +p+1
15. Démontrer la formule de Hutton : 2 Arctan 13 + Arctan 17 = π4 .
√
√
16. Montrer que Arctan(2 2) + 2 Arctan( 2) = π. En déduire la formule de Wetherfield :
2 Arctan( √12 ) + Arctan( 2√1 2 ) = π2 .
17. Montrer que :
Arctan
2012 −
2
1
2012
+ 2 Arctan
18. Préciser le domaine de définition et simplifier Argth
1
2012
1+3 th(x)
3+th(x)
=
π
2
.
19. Simplifier la fonction définie par f (x) = Arccos(th x) + 2 Arctan(ex ).
20. Résoudre l’équation Argth(x) = Argch( x1 ).
35
Chapitre 16
Les nombres réels
16.1
Questions de cours
16.2
Exercices
1. Soit f : R2 → R. En supposant que les deux quantités existent, montrer que :
sup inf f (x, y) ≤ inf sup f (x, y)
x∈R
2. Calculer x =
p
3
y∈R
y∈R
x∈R
p
√
√
3
20 + 14 2 + 20 − 14 2.
3. On note E la fonction partie entière.
(a) Montrer que E est croissante.
(b) Montrer que pour tous x ∈ R et n ∈ N∗ , E
E(nx)
n
= E(x).
4. Montrer que ∀x, y ∈ R, E(x) + E(x + y) + E(y) ≤ E(2x) + E(2y).
5. Montrer que
ln 2
ln 3
et
√
2 sont irrationnels.
36
Chapitre 17
Suites numériques
17.1
Questions de cours
1. Donner la définition d’une suite réelle convergente vers une limite l, puis démontrer
qu’une suite réelle convergente est bornée.
2. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles convergentes et λ un réel. Montrer que les
suites (un + vn )n∈N et (λun )n∈N convergent et déterminer leur limite.
3. Énoncer et démontrer le théorème des gendarmes.
4. Montrer que deux suites adjacentes convergent et que leurs limites sont égales.
5. Définir les trois relations de comparaisons usuelles, puis comparer les suites de références :
an , nn , nα , (ln n)β et n!, pour a > 1, α > 0, β > 0.
17.2
Exercices
1. Déterminer, si elles existent, les limites des suites de terme général :
3n − (−1)n
un = n
,
3 + (−2)n
vn =
p
n
2+
(−1)n ,
2n
X
1
wn =
k2
k=n+1
2. Déterminer, si elles existent, les limites des suites de terme général :
√
n
X
1
sin(n)
n − n2 + 1
√
√
, vn =
, wn =
un =
n+1
2
n + (−1)
2n + n − 1
k
k=1
3. Déterminer, si elles existent, les limites des suites de terme général :
un =
√
n
n2 ,
n!
vn = n ,
n
wn =
n
X
k=1
√
1
n2 + k
4. Montrer que la suite (sin n)n∈N diverge. (Indication : on pourra rappeler les formules
donnant sin p − sin q et cos(2a).)
5. (a) Montrer l’inégalité : ∀x > 0, ln(x) ≤ x − 1.
37
(b) Calculer, pour tout n ∈ N :
un =
(c) En déduire que, quand n → +∞,
n
X
1
ln(1 + )
k
k=1
Pn
1
k=1 k
tend vers +∞.
P
6. Pour tout n ∈ N, on note un = nk=1 k1 . Montrer que ∀n ∈ N∗ , u2n − un ≥ 12 , et en
déduire que (un )n∈N admet une limite égale à +∞.
7. Soit un entier p ≥ 2. Pour tout n ∈ N∗ , on note
−1
n+p
un =
n
et
Sn =
n
X
uk
k=1
(a) Montrer que ∀n ∈ N, on a : (n + p + 2)un+2 = (n + 2)un+1 .
(b) Montrer que ∀n ∈ N∗ , on a : Sn =
1
(1
p−1
− (n + p + 1)un+1).
(c) Montrer que la suite ((n + p)un )n∈N∗ converge de limite 0.
(d) En déduire le comportement de Sn quand n → +∞.
P
k−1
et Sn′ = nk=1 (−1)k .
R p+1
Rp
1
(a) Montrer que pour tout entier p ≥ 2, p dx
≤
≤
x
p
p−1
(Sn )n∈N converge et déterminer sa limite.
8. Pour tout n ∈ N, on note Sn =
Pn
1
k=1 n+k
dx
.
x
En déduire que
′
(b) Établir que ∀n ∈ N, S2n
= Sn . En déduire que (Sn′ )n∈N converge et déterminer sa
limite.
9. Montrer qu’une suite à termes dans Z est convergente si et seulement si elle est stationnaire.
10. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles telles que u2n + un vn + vn2 tend vers 0 quand
n → +∞. Montrer que (un )n∈N et (vn )n∈N convergent de limite 0.
11. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de réels strictement positifs telles que ∀n ∈ N,
on ait uun+1
≤ vn+1
. Montrer que si (vn )n∈N converge de limite 0, alors (un )n∈N également.
vn
n
12. Démontrer le lemme de Césaro : si (un )n∈N∗P
est une suite complexe convergente de limite
l, alors la suite de terme général Sn = n1 nk=1 uk converge de limite l. La réciproque
est-elle vraie ?
13. Soit (un )n∈N une suite réelle. Montrer que si les suites (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N
convergent, alors (un )n∈N converge.
14. (a) Montrer qu’une suite réelle bornée est convergente si et seulement si toutes ses
suites extraites qui convergent ont la même limite.
38
(b) Soient a, l ∈ R. On définit la suite (an )n∈N par : a0 = a et ∀n ∈ N, an+1 = 2(l−an ).
Déterminer une condition pour que (an )n∈N soit bornée.
(c) Soit (un )n∈N une suite réelle bornée, telle que un + u22n admet une limite finie quand
n → +∞. Montrer que (un )n∈N converge. (Indication : on pourra construire une
suite de réels qui sont limites de suites extraites de (un )n∈N .)
15. Pour tout n ∈ N, on note
n
X
√
1
√ −2 n
un =
k
k=1
et
n
X
√
1
√ −2 n+1
vn =
k
k=1
Montrer
les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes, et en déduire un équivalent
Pn que
1
de k=1 √k lorsque n → +∞.
16. Pour tout n ∈ N, on note un =
Pn
k=0
k!. Montrer que un ∼ n! quand n → +∞.
17. Étudier la suite (un )n∈N définie par u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 =
1
.
2+un
18. Soit (un )n∈N la suite définie par : u0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un .
Calculer un pour tout n ∈ N.
19. Soient a, b > 0 et soit (un )n∈N la suite définie par u0 = a, u1 = b et ∀n ∈ N,
un+2 un = u2n+1 . Vérifier que (un )n∈N est bien définie, calculer un et en déduire sa
limite quand n → +∞.
39
Chapitre 18
Fonctions d’une variable réelle
18.1
Questions de cours
1. Donner la définition d’une limite finie, resp. infinie, à l’aide des quantificateurs.
2. Soit a ∈ R. Montrer que l’ensemble des fonctions de R dans R admettant une limite
finie en a est un R-espace vectoriel.
3. Soient I un intervalle de R, f ∈ F (I, R), a ∈ I et b ∈ R. Traduire le fait que f admet
une limite en a égale à b à l’aide de suites et démontrer la propriété. La réciproque
est-elle vraie ?
4. Énoncer et démontrer les liens entre fonctions continues, uniformément continues et
lipschitziennes.
5. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires et expliquer à l’oral le principe de sa
démonstration.
18.2
Exercices
1. Justifier l’existence des limites de f en 0 et de g en 1+ , les calculer, puis déterminer
un équivalent de h(x) quand x → +∞.
√
√
1
f (x) = x sin
, g(x) = ln(x) ln(ln x), h(x) = x2 + 1 − x2 − 1
x
2. Justifier l’existence des limites de f en 0 et de g en 1, les calculer, puis déterminer un
équivalent de h(x) quand x → 0.
1
ln x
f (x) = xE
, g(x) = 2
, h(x) = tan(x) − sin(x)
x
x −1
3. Justifier l’existence des limites de f en +∞ et de g en 0, les calculer, puis déterminer
un équivalent de h(x) quand x → 0.
1
, g(x) = (1 + x)1/x , h(x) = (ln(1 + x))2 − (ln(1 − x))2
f (x) = xE
x
4. Soient k ∈ [0, 1[, f : R → R une fonction k-lipschitzienne et a ∈ R tel que f (a) = a.
Montrer que pour tout u0 ∈ R, la suite définie par : ∀n ∈ N, un+1 = f (un ), converge
de limite a.
40
5. Étudier la continuité de f : x 7→ E(x) +
p
x − E(x) sur R.
6. Soit f : R → R continue en 0 et en 1 telle que ∀x ∈ R, f (x2 ) = f (x). Montrer que f
est constante.
7. Montrer que toute fonction continue f : [0, 1] → [0, 1] admet un point fixe, c’est-à-dire
qu’il existe x tel que f (x) = x.
8. Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue, positive, telle que la limite limx→+∞ f (x)
x
existe et est strictement inférieure à 1. Montrer que f admet un point fixe, c’est-à-dire
qu’il existe x tel que f (x) = x.
9. Montrer que la fonction f :
puis calculer son inverse.
R →
x 7→
R
x
1+|x|
réalise une bijection de R sur ] − 1, 1[,
10. Soit f : R → R une fonction décroissante telle que f (x) + f (x + 1)
comportement de f en +∞ (limite, équivalent).
∼ 1.
x→+∞ x
Étudier le
11. Soit f : R → R une fonction continue admettant des limites en +∞ et −∞ égales à 0.
Montrer que f est uniformément continue sur R.
12. Soit f : R → R une fonction continue admettant des limites en +∞ et −∞ égales à
+∞. Montrer que f admet un minimum absolu sur R.
41
Chapitre 19
Dérivation des fonctions à valeurs
réelles
19.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer la formule pour la dérivée de la composée de deux fonctions
dérivables.
2. Énoncer et démontrer la formule pour la dérivée d’une fonction réciproque.
3. Préciser le domaine de dérivabilité et donner les dérivées des fonctions usuelles.
19.2
Exercices
1. On note E l’ensemble des fonctions f : [0, 1] → R continues, de classe C 2 sur ]0, 1[,
vérifiant ∀x ∈]0, 1[, |f ′′(x)| ≤ 1. Pour tout f ∈ E, on note A(f ) = f (0) − 2f ( 21 ) + f (1).
Montrer que la fonction A ainsi définie est bornée sur E, et calculer supf ∈E A(f ).
(Indication : on pourra commencer par introduire une fonction g telle que A(f ) =
g( 12 ) − g(0).)
2. Résoudre l’équation 5x + 2x = 4x + 3x .
3. Soit a > 0 et soit f : [0, a] → R une fonction dérivable telle que f (0) = f (a) = 0 et
f ′ (0) = 0.
(a) Montrer que la dérivée de la fonction x 7→
f (x)
x
s’annule sur ]0, a[.
(b) En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à C f
passe par l’origine.
4. Justifier l’existence et calculer la limite quand x → +∞ de (x + 1)e1/(x+1) − xe1/x .
(Indication : on pourra appliquer le théorème des accroissements finis.)
5. Soit f : I → R une fonction dérivable sur un intervalle I de R. Montrer que f est
lipschitzienne si et seulement si f ′ est bornée.
42
6. Étudier la régularité de la fonction f définie sur R par :
exp x21−1 si |x| < 1
∀x ∈ R, f (x) =
0
sinon
7. Soit n ∈ N. Calculer
x 7→ x2n .)
8. Soit n ∈ N. Calculer
x 7→ (1 − x2 )n .)
n 2
k=0 k .
Pn
Pn
k=0 (−1)
(Indication : on pourra dériver n fois la fonction
k n 2
.
k
(Indication : on pourra dériver n fois la fonction
√
9. Étudier la fonction f : x 7→ x 1 − x2 .
10. Étudier la fonction f : x 7→ x2 e−x .
R
0, π2 →
√
11. Montrer que la fonction f :
réalise une bijection vers un inx
7→ x + sin x
tervalle à préciser, puis que f −1 est continue et dérivable sur cet intervalle.
12. Soit f : [0, +∞[→ R une fonction dérivable, telle que f ′ (x) −→ 0. Montrer que
x→0
tend vers 0 quand x → +∞.
43
f (x)
x
Chapitre 20
Intégration sur un segment
20.1
Questions de cours
1. Donner la définition de l’intégrale d’une fonction en escalier, puis d’une fonction continue par morceaux.
2. Donner une condition suffisante pour qu’une fonction d’intégrale nulle soit nulle, et
démontrer la propriété.
3. Énoncer et démontrer le théorème fondamental de l’analyse.
4. Énoncer et démontrer la formule de Taylor avec reste intégral.
5. Énoncer et démontrer le théorème des sommes de Riemann.
20.2
Exercices
1. Calculer les intégrales :
Z
I=
Z
1
t Arctan(t) dt
et
J=
0
2. Calculer les intégrales :
Z π/2
I=
cos3 (t) dt
et
J=
0
3. Calculer les intégrales :
Z
I=
Z
ln(1 + t ) dt
et
dt
+1
Arcsin(t) dt
0
J=
0
0
et
1/2
1
2
1
Z
1
2
ln(t)
√ dt
t
4. Soient f, g : [a, b] → R deux fonctions continues, avec g positive. Démontrer la formule
de la moyenne : il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z b
f (t)g(t)dt = f (c)
g(t)dt
a
a
5. Soit f : [0, 1] → R continue, d’intégrale nulle. Après avoir justifié l’existence du minimum m et du maximum M de f , montrer que
Z 1
f (t)2 dt ≤ −mM
0
44
6. (a) Soit f : [a, b] → R continue. Montrer que
Z b
Z b
f (t)dt ≤
|f (t)|dt
a
a
et qu’il y a égalité si et seulement si f est positive ou f est négative.
(b) Étudier la propriété pour une fonction f à valeurs dans C.
7. Soit f : [0, π] → R continue.
Rπ
(a) On suppose que 0 f (t) sin(t)dt = 0. Montrer que f s’annule sur ]0, π[.
Rπ
Rπ
(b) On suppose que 0 f (t) sin(t)dt = 0 f (t) cos(t)dt =
R π0. Montrer que f s’annule
deux fois sur ]0, π[. (Indication : on pourra étudier 0 f (t) sin(t − a)dt, où a est
un point en lequel f s’annule.)
8. On note pour tout n ∈ N :
In =
Z
1
0
(1 − x)n x
e dx
n!
(a) Montrer que la suite (In )n∈N converge et déterminer sa limite.
(b) Déterminer une relation de récurrence satisfaite par (In )n∈N .
P
(c) En déduire la limite quand n → +∞ de nk=0 k!1 .
9. On note pour tout n ∈ N :
In =
Z
1
0
dx
1 + xn
(a) Après avoir calculé I0 , I1 , I2 , montrer que (In )n∈N est strictement décroissante et
converge de limite 1.
(b) Déterminer un développement asymptotique à l’ordre
1
n
de In .
10. Soit f : R → R continue. Déterminer la limite :
Z
1 x
f (t)dt
lim
x→0 x 0
11. Justifier l’existence et calculer
lim
x→+∞
Z
x
2x
sin t
dt
t
12. (a) Soient a, b ∈ N∗ et n ∈ N. On note Pn : x 7→ n!1 xn (bx − a)n . Montrer que Pn et ses
dérivées prennent des valeurs entières en 0 et en ab .
Rπ
(b) On note pour tout n ∈ N, In = 0 Pn (t) sin(t)dt. Montrer que In tend vers 0
quand n → +∞.
(c) Montrer que π est irrationnel. (Indication : on pourra procéder par l’absurde.)
13. Déterminer un équivalent quand n → +∞ de Sn =
45
Pn
1
k=1 (n+2k)3 .
14. Déterminer un équivalent quand n → +∞ de un =
(2n)!
nn n!
1/n
.
Pn sin(kx)
, et xn le plus petit réel
15. Pour tous n ∈ N∗ et x ∈ R, on note fn (x) =
k=1
k
strictement positif en lequel fn admet un maximum local. Montrer que (fn (xn ))n∈N
converge et calculer sa limite.
16. (a) Montrer que pour tout x ≥ 0, on a | sin(x) − x| ≤ 16 x3 .
(b) Déterminer la limite quand n → +∞ de
k
k
sin
Sn =
sin
n
n2
k=1
n
X
(Indication : on pourra s’intéresser à Sn′ =
17. Montrer que pour tout x ∈ R, on a :
x
e = lim
n→+∞
46
Pn
k=1 sin
n
X
xk
k=0
k!
k
n
k
.)
n2
Chapitre 21
Développements limités
21.1
Questions de cours
1. Donner les développements limités usuels.
2. Énoncer et démontrer la formule de Taylor-Young.
3. Énoncer et démontrer les propriétés concernant le développement limité d’une primitive
et d’une dérivée.
21.2
Exercices
1. Effectuer un développement limité de f : x 7→ ln
P
999
xk
k=0 k!
en 0 à l’ordre 1000.
2. Effectuer un développement limité de Arctan en 1 à l’ordre 3.
3. Effectuer un développement limité de f : x 7→
R x2
x
√ dt
1+t4
en 0 à l’ordre 10.
4. Soient a, b > 1. Déterminer la limite quand n → +∞ de
!n
√
√
n
n
a+ b
un =
2
2
5. Soit f : x 7→ xex . Montrer que f est une bijection de R dans R et déterminer un
développement limité de f −1 à l’ordre 5 en 0.
6. On note pour tout n ∈ N :
Z
1
dx
n
0 1+x
(a) Après avoir calculé I0 , I1 , I2 , montrer que (In )n∈N est strictement décroissante et
converge de limite 1.
(b) Déterminer un développement asymptotique à l’ordre n1 de In .
In =
7. Soient n ∈ N et l ∈ J0, nK. Calculer
Sn =
n X
n
k=0
47
k
(−1)n−k k l
(Indication : on pourra effectuer le développement limité à l’ordre n de x 7→ (ex − 1)n .)
. Montrer que f est bien définie au voisinage de 0 et
8. Soient a 6= 0 et f : x 7→ ln(1+ax)
1+x
déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que f admette un point d’inflexion en 0.
9. Soit f la fonction définie sur R∗+ par f (x) = x(ln(2x + 1) − ln(x)). Étudier la position
de la courbe représentative de f quand x → +∞.
10. Étudier complètement la courbe paramétrée définie par :
x(t) = 2 cos(2t)
y(t) = sin(3t)
11. (a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , l’équation ex = n − x admet une unique solution,
notée xn .
(b) Déterminer les premiers termes du développement asymptotique de xn lorsque
n → +∞.
48
Chapitre 22
Fonctions de deux variables réelles
22.1
Questions de cours
1. Définir la notion de dérivée selon un vecteur et la notion de classe C 1 pour une fonction
de deux variables réelles.
2. Énoncer le théorème de Fubini pour une fonction de deux variables réelles définie sur
un domaine simple.
3. Énoncer la formule de changement de variables pour des fonctions de deux variables
réelles.
4. Définir les opérateurs gradient, divergence, rotationnel et laplacien.
22.2
Exercices
1. Déterminer l’ensemble des couples (α, β) ∈ (R∗+ )2 pour lesquels il existe M ∈ R tel que
∀(x, y) ∈ (R∗+ )2 , xα y β ≤ M(x + y)
2. Soient f ∈ C 1 (R, R) et
R2
F :
→
(x, y) 7→
R
f (x)−f (y)
x−y
′
f (x)
si y 6= x
si y = x
Montrer que F est continue.
3. Soit la fonction
R2
→ f:
(x, y) →
7
y2
x
0
R
si x 6= 0
si x = 0
(a) Montrer que f admet une dérivée en (0, 0) selon tout vecteur de R2 .
(b) Montrer que f n’est toutefois pas continue en (0, 0).
4. Soit f ∈ C 1 (R2 , R) telle que ∀t ∈ R, ∀(x, y) ∈ R2 , f (tx, ty) = f (x, y). Montrer que
x
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = 0
∂x
∂y
49
5. Soit la fonction
R2
f:
→ (
(x, y) 7→
R
xy 3
x2 +y 2
0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
(a) Montrer que f est de classe C 1 sur R2 .
(b) Montrer que f n’est pas de classe C 2 sur R2 .
6. Déterminer les extremums locaux de la fonction f :
R2 →
R
.
3
(x, y) 7→ x + y 3 − 3xy
R2 →
R
.
2
(x, y) 7→ x + xy + y 2 − 3x − 6y
∂f
(x, y) = xy 2
1
2
∂x
8. Déterminer l’ensemble des fonctions f ∈ C (R , R) telles que
.
∂f
(x, y) = x2 y
∂y
7. Déterminer les extremums locaux de la fonction f :
9. En effectuant le changement de variables
u = x
v = y−x
déterminer les solutions f ∈ C 1 (R2 , R) de l’équation aux dérivées partielles
∂f
∂f
+
=f
∂x ∂y
10. Soit D le quart de disque unité inclus dans R+ × R+ . Calculer I =
11. Soient a, b > 0 et D l’intérieur de
RRl’ellipse d’équation
thonormé du plan. Calculer I = D x2 dxdy.
x2
a2
+
y2
b2
RR
2
2
x
√+y
D x+ x2 +y 2
dxdy.
= 1 dans un repère or-
12. Soit D le domaine
borné délimité par la cardioı̈de d’équation polaire ρ = 1 + cos θ.
RR
Calculer I = D x dxdy.
→
−
13. Soient f un champ scalaire et F un champ vectoriel de classe C 2 sur R3 . Calculer
→
−
→
−
→−
div(f F ) et div(rot F ).
→
−
−
→
14. Soit F le champ de vecteurs du plan défini par F (M) =
→
−
déterminer si F dérive d’un potentiel.
−−→
OM
.
OM
−
→
Calculer div F et
→
−
−
→
15. Soit F le champ de vecteurs de l’espace défini par F (M) =
→
→
−
−
→−
rot F et déterminer si F dérive d’un potentiel.
−−→
OM
.
OM 3
−
→
Calculer div F et
16. Soit f ∈ C 2 (R2 , R). Après avoir rappelé la définition du laplacien ∆f de f , exprimer
∆f en coordonnées cartésiennes puis en coordonnées polaires, en fonction des dérivées
partielles de f .
50
17. Une fonction de classe C 2 est dite harmonique si son laplacien est nul. Soit f ∈
C 2 (R2 \{(0, 0)}, R) une fonction radiale, c’est-à-dire qu’il existe ϕ ∈ C 2 (R∗+ , R) telle
que ∀(x, y) ∈ R2 \{(0, 0)}, f (x, y) = ϕ(x2 + y 2 ).
(a) Montrer que f est harmonique si et seulement si ϕ′ est solution d’une équation
différentielle qu’on précisera.
(b) Déterminer l’ensemble des fonctions harmoniques radiales sur R2 .
18. Soit Γ un paramétrage direct du triangle H(OAB), où A et B sont les points de coordonnées (1, 0) et (0, 1) resp. Calculer I = Γ x2 dy + y 2 dx.
19. Soit Γ un paramétrage
du cercle de centre Ω de coordonnées (a, b) et de rayon
H direct
2
R > 0. Calculer I = Γ x dy + y 2 dx.
20. Soient q2 > q1 > 0 et p2 > p1 > 0. Pour i = 1; 2, on considère les courbes planes
Pi : y 2 = 2pi x et Qi : x2 = 2qi y. Déterminer l’aire du ”quadrilatère” délimité par
P1 , P2 , Q1 et Q2 .
51
Chapitre 23
Convexité
23.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer le théorème de croissance des pentes des sécantes.
2. Rappeler le théorème de croissance des pentes des sécantes et montrer que pour une
fonction convexe, un minimum local est un minimum global.
3. Énoncer et démontrer les caractérisations des fonctions convexes à l’aide des dérivées.
23.2
Exercices
1. (a) Montrer que la fonction f : x 7→ ln 1 +
1
sin x
est convexe sur 0, π2 .
(b) Soit ABC un triangle non aplati, on note a (resp. b, c) l’angle géométrique au
sommet A (resp. B, C). Montrer que
!
1
1
1
1+
1+
≥ 27
1+
sin a2
sin 2c
sin 2b
2. Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction continue. Montrer que f est
convexe si et seulement si
f (x) + f (y)
x+y
≤
∀x, y ∈ I, f
2
2
3. Soit f : R → R une fonction convexe majorée. Montrer que f est constante. Ce résultat
subsiste t-il lorsque f est définie sur R+ ?
4. Soit f : R+ → R une fonction convexe.
(a) Montrer l’existence de la limite l = limx→+∞
f (x)
.
x
(b) On suppose que l ∈ R. Montrer l’existence de la limite m = limx→+∞ f (x) − lx.
5. Soit f : R → R une fonction convexe.
(a) On suppose que limx→+∞ f (x) = 0. Montrer que f est positive.
(b) On suppose que la courbe de f présente une asymptote en +∞. Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
52
6. Soit f : R+ → R une fonction concave, dérivable, telle que f (0) ≥ 0. Montrer que f
est sous-additive, c’est-à-dire ∀x, y ∈ R+ , f (x + y) ≤ f (x) + f (y).
7. Montrer que pour tous n ∈ N∗ et a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R∗+ , on a :
n
Y
ak
k=1
!1/n
+
n
Y
k=1
bk
!1/n
≤
n
Y
(ak + bk )
k=1
!1/n
(Indication : on pourra utiliser la fonction x 7→ ln(1 + ex ).)
8. Soient p, q > 0 tels que
1
p
+
1
q
= 1.
(a) Montrer que pour tous x, y > 0, on a x1/p y 1/q ≤
x
p
+ yq .
(b) En déduire l’inégalité de Hölder : pour tous n ∈ N∗ et a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R∗+ ,
n
X
k=1
ak bk ≤
n
X
k=1
apk
!1/p
n
X
bqk
k=1
!1/q
(c) En déduire l’inégalité de Minkowski : pour tous n ∈ N∗ et a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈
R∗+ ,
!1/p
!1/p
!1/p
n
n
n
X
X
X
(ak + bk )p
+
bpk
≤
apk
k=1
k=1
k=1
9. Soit I un intervalle de R. On dit qu’une fonction f : I → R∗+ est logarithmiquement
convexe si ln f est convexe.
(a) Montrer qu’une fonction logarithmiquement convexe est convexe.
(b) Montrer qu’une fonction f : I → R∗+ est logarithmiquement convexe si et seulement si pour tout c > 0, x 7→ f (x)cx est convexe.
(c) En déduire que la somme de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
10. Montrer que les parties convexes de R sont les intervalles.
11. Soient E un espace euclidien, a ∈ E et C un convexe non vide de E vérifiant la propriété
suivante : si une suite d’éléments de C converge, alors sa limite appartient à C. On note
d = d(a, C). Enfin, on rappelle l’égalité de la médiane :
2
y + z
2
2
+ 1 kz − yk2
∀x, y, z ∈ E, ky − xk + kz − xk = 2 −
x
2
2
(a) Montrer qu’il existe h ∈ C tel que d = kh − ak. (Indication : on utilisera le
théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de E, on peut extraire
une suite convergente.)
(b) Montrer que ce point h est unique. (On l’appelle projeté orthogonal de a sur C.)
(c) Montrer que pour tout x ∈ C, on a hh − a, h − xi ≤ 0.
53
12. Soit C une partie convexe du plan, non bornée, vérifiant la propriété suivante : si une
suite d’éléments de C converge, alors sa limite appartient à C. Montrer que C contient
une demi-droite. (Indication : on utilisera le théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute
suite de vecteurs unitaires du plan, on peut extraire une suite convergente.)
13. Soit X une partie non vide de Rn . On appelle enveloppe convexe de X, et on note
Conv(X), l’ensemble des barycentres à coefficients positifs d’éléments de X. Montrer
que tout point de Conv(X) est barycentre à coefficients positifs d’une famille de n + 1
points de X. (Théorème de Carathéodory)
54
Troisième partie
Géométrie
55
Chapitre 24
Géométrie élémentaire du plan
24.1
Questions de cours
1. Démontrer les formules de changement de repère orthonormé.
2. Énoncer et démontrer l’équation polaire d’un cercle passant par l’origine.
3. Énoncer et démontrer l’équation polaire d’une droite.
24.2
Exercices
1. Soit H la courbe représentative de la fonction x 7→ x1 en repère orthonormal. Soient
A, B, C trois points distincts de H. Montrer que l’orthocentre du triangle ABC est
encore sur H.
2. Déterminer des équations cartésienne et polaire de la droite D passant par A(1, −2) et
dirigée par ~u(1, 2).
3. Déterminer des équations cartésienne et polaire de la droite D ′ passant par B(2, −1)
et ayant comme vecteur normal ~n(3, 2).
4. (a) Soit D la droite d’équation cartésienne 2x + 3y + 1 = 0. Donner une équation
paramétrique de D.
x = 1 + 3t
′
(b) Soit D la droite d’équation paramétrique
. Donner une équation
y = −1 + t
cartésienne de D ′ .
5. Pour tout λ ∈ R, on note Dλ la droite d’équation cartésienne (1 − λ2 )x + 2λy = 4λ + 2.
Montrer qu’il existe un point Ω équidistant de toutes les droites Dλ .
6. Déterminer les droites contenant le point A(2, 3) et tangentes au cercle C d’équation
x2 + y 2 − 2x + 54 = 0.
7. Soient C et C ′ les cercles d’équation x2 +y 2 −4 = 0 et x2 +y 2 −8x+15 = 0 respectivement.
(a) Déterminer les centres Ω, Ω′ et les rayons R, R′ de ces cercles.
56
′
(b) Soit k = RR . Déterminer les coordonnées du centre I de l’homothétie de rapport
k qui envoie Ω sur Ω′ .
(c) Soit M0 (x0 , y0 ) un point de C. Déterminer l’équation de la tangente T à C au point
M0 .
(d) Déterminer le point A de C d’ordonnée positive et tel que la tangente à C en A
passe par I.
(e) Montrer que la droite (AI) est aussi tangente à C ′ .
8. Soient ABC un triangle, A′ un point de (BC), B ′ un point de (AC) et C ′ le point
d’intersection de (AB) et (A′ B ′ ). Montrer que les milieux de [AA′ ], [BB ′ ] et [CC ′ ] sont
−→ −→
alignés. (Indication : on pourra travailler dans le repère (A, AB, AC).)
9. Soit ABC un triangle. On note A′ , B ′ , C ′ les pieds des hauteurs issues resp. de A, B, C.
(a) Montrer que les points A, B, A′ , B ′ sont cocycliques, et qu’il en est de même de
B, C, B ′, C ′ et de C, A, C ′, A′ .
(b) En déduire que les hauteurs de ABC sont des bissectrices du triangle orthique
A′ B ′ C ′ .
10. Soit ABCDEF G un heptagone plan régulier. Montrer que
1
AB
=
1
AC
+
1
.
AD
11. Soit ABC un triangle. On note A1 = bar((B, 2), (C, 1)), B1 = bar((C, 2), (A, 1)), C1 =
bar((A, 2), (B, 1)), A2 = (BB1 ) ∩ (CC1 ), B2 = (CC1 ) ∩ (AA1 ) et C2 = (AA2 ) ∩ (BB2 ).
(a) Montrer que B2 est le milieu de [AC2 ].
(b) Comparer les surfaces des triangles ABC et A2 B2 C2 .
−→ −→
(Indication : on pourra travailler dans le repère (A, AB, AC).)
12. Pour tout polygone P = A1 A2 . . . An à n sommets, on note P ′ le polygone A′1 A′2 . . . A′n ,
où pour tout i ∈ J1, nK, A′i est l’isobarycentre de tous les sommets de P sauf Ai .
(0) (0)
(0)
On définit une suite de polygones par P0 = A1 A2 . . . An et pour tout k ∈ N,
Pk+1 = (Pk )′ . Montrer que chaque sommet de Pk converge vers le centre de gravité G
de P0 lorsque k → +∞.
13. Soient un triangle ABC, un réel positif k et un réel θ. Pour tout point M, on note
SM la similitude directe de centre M, de rapport k et d’angle θ. On note A′ = SB (A),
B ′ = SC (B) et C ′ = SA (C). Montrer que les triangles ABC et A′ B ′ C ′ ont le même
centre de gravité.
14. Soit ABC un triangle direct. Soit A′ le point tel que A et A′ sont de part et d’autre
′ C = 2π . On construit de manière analogue les
\
de la droite (BC), A′ B = A′ C et BA
3
points B ′ et C ′ . Montrer que le triangle A′ B ′ C ′ est équilatéral.
15. Soit ABCD un quadrilatère convexe. Soit A′ le point tel que le triangle A′ AB est
iso-rectangle en A′ et A′ appartient au demi-plan délimité par (AB) ne contenant pas
C et D. On construit de manière analogue les points B ′ , C ′ et D ′ . Montrer que les
segments [A′ C ′ ] et [B ′ D ′ ] sont perpendiculaires et de même longueur.
57
Chapitre 25
Courbes planes paramétrées
25.1
Questions de cours
1. Énoncer et démontrer la formule pour la dérivée d’un déterminant.
2. Énoncer et démontrer la formule pour la dérivée d’un produit scalaire.
3. Démontrer qu’une fonction vectorielle à valeurs dans R2 admet une limite si et seulement si ses fonctions coordonnées admettent des limites.
25.2
Exercices
x(t) = et
. En particulier, on étudiera
y(t) = t2
les branches infinies. De plus, on étudiera le point de paramètre t = 1, l’équation de la
tangente en ce point et la position de la courbe par rapport à celle-ci.
1. Étudier la courbe paramétrée définie par :
x(t) = t + 1t
. On étudiera en pary(t) = t2 − t + 1t
ticulier les branches infinies, le point d’intersection de la courbe et de l’asymptote, ainsi
que l’équation de la tangente au point stationnaire.
2. Étudier la courbe paramétrée définie par :
x(t) = 2 cos(2t)
. On étudiera en partiy(t) = sin(3t)
culier les points stationnaires et on déterminera les points où la tangente est horizontale.
3. Étudier la courbe paramétrée définie par :
t
x(t) = t2 −1
. En particulier, on mont2
y(t) = t−1
trera qu’au point double, les deux tangentes sont orthogonales.
4. Étudier la courbe paramétrée définie par :
x(t) = cos3 (t)
5. (a) Étudier la courbe paramétrée Γ définie par :
(astroı̈de).
y(t) = sin3 (t)
(b) Pour t 6≡ 0 π2 , on note A(t) et B(t) les points d’intersection de la tangente à Γ
en M(t) avec les axes (Ox) et (Oy) resp. Calculer la distance A(t)B(t).
6. (a) Étudier la courbe paramétrée Γ définie par :
58
x(t) = t − th(t)
(tractrice).
1
y(t) = ch(t)
(b) Pour tout t, on note A(t) le point d’intersection de l’axe (Ox) avec la tangente à
Γ au point M(t). Calculer la distance A(t)M(t).
7. (a) Étudier la courbe paramétrée définie par :
(
x(t) =
y(t) =
sin(t)
1+cos2 (t)
sin(t) cos(t)
1+cos2 (t)
(lemniscate de
Bernoulli).
√
√
(b) On note F et F ′ les points de coordonnées (1/ 2, 0) et (−1/ 2, 0) resp. Montrer
que pour tout t, M(t)F × M(t)F ′ = 21 .
8. Étudier la courbe d’équation polaire : ρ(θ) = sin(4θ) (rosace).
9. Étudier la courbe Γ d’équation polaire : ρ(θ) =
particulier le point double.
cos(2θ)
cos(θ)
(strophoı̈de). On étudiera en
10. Étudier la courbe d’équation polaire : ρ(θ) = 1 + cos(θ) (cardioı̈de). On déterminera
en particulier les points où la tangente est horizontale.
11. Déterminer les points doubles de la courbe d’équation polaire : ρ(θ) =
59
θ
.
θ 2 −1
Chapitre 26
Géométrie élémentaire de l’espace
26.1
Questions de cours
1. Pour chacun des trois types de repérage usuels de l’espace, exprimer les coordonnées
−−→
cartésiennes d’un point M ainsi que le vecteur OM, en fonction des coordonnées correspondantes.
2. Énoncer et démontrer l’équation d’une droite de l’espace.
3. Énoncer et démontrer l’équation d’un plan de l’espace.
26.2
Exercices
1. On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct. On considère les points
A(1, 2, −1), B(3, 2, 0), C(2, 1, −1), D(1, 0, 4) et E(−1, 1, 1). Déterminer un vecteur directeur de la droite d’intersection des plans (ABC) et (ADE), notée ∆.
2. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct, on considère P d’équation x+y+z =
→
1, D passant par A(1, 2, 1), de vecteur directeur −
u (2, 1, −2) et B(1, 1, 1). Déterminer
un système d’équations de la droite ∆ telle que B ∈ ∆, ∆ k P et ∆ ∩ D =
6 ∅.
3. On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct. Soit D la droite passant
→
par A(2, 3, −1) et dirigée par −
u (−1, 6, 2), et soit D ′ la droite passant par B(1, 1, −2)
→
−
et dirigée par v (2, 1, −4). Donner un système d’équations de ∆, la perpendiculaire
commune à D et D ′ .
4. Soient deux droites D et D ′ de l’espace. Déterminer l’ensemble A des milieux de [MN]
lorsque M et N décrivent D et D ′ respectivement.
5. On se place dans l’espace muni d’un
orthonormé direct.
la sphère
2 Déterminer
repère
2
x
+
y
=
25
x2 + y 2 = 9
.
et C ′ :
contenant les cercles d’équation C :
z=2
z=0
6. On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé
direct. Soit S lasphère d’équation
x−y+z+1=0
x = 2y + 1
.
et D ′ :
x2 +y 2+z 2 −4x−2y+1 = 0, soient les droites D :
2x − y + 9 = 0
z =y+4
60
(a) Déterminer le centre Ω et le rayon R de S.
(b) Déterminer les plans tangents à S et parallèles à D et D ′ .
(c) Préciser les points de contact entre ces plans et S.
−→ −−→ −→
7. Soit un cube ABCDEF GH, on note R le repère (A, AB, AD, AF ). Soit ∆ la perpendiculaire commune aux droites (AC) et (DF ), on note P et Q les points d’intersection
de ∆ et de (AC) et (DF ) resp.
(a) Déterminer les coordonnées de P et Q. (Indication : on pourra calculer u et v tels
−→
−→ −−→
−−→
que AP = uAC et DQ = v DF .)
(b) Déterminer les coordonnées de I et J, les points d’intersection de (DP ) et (AB),
resp. de (AQ) et (ED).
(c) Donner une construction simple de ∆.
8. Soit ABCDEF GH un cube. Pour tout k ∈ [0, 1], on construit les points N et P définis
−−→
−−→ −→
−→
par HN = k HF et AP = k AC, et on note I le milieu de [NP ]. Déterminer le lieu du
point I lorsque k varie.
→ →
−
−
→
→
−c .−
→
9. (a) Montrer la formule du double produit vectoriel : −
a ∧(b ∧−
c ) = (→
a)b −
→→ −
−
( b .−
a )→
c.
→
−
→
−
→
→
(b) Soient −
a et b deux vecteurs, −
a 6= 0 . Discuter l’existence de solutions et
→
−
→
→
→
résoudre l’équation −
a ∧−
x = b d’inconnue −
x.
→
−
→
−
→
−
−
→
→
10. (a) Montrer l’identité de Lagrange : (→
a . b )2 + k −
a ∧ b k2 = k−
a k2 k b k2 .
(b) Soient A, B, C, D quatre points de l’espace tels que les droites (AB) et (CD)
soient sécantes, en un point noté I. Déterminer l’ensemble des points M tels que
−−→ −−→ −−→ −−→
MA ∧ MB = MC ∧ MD.
→ −
−
→ →
−
→
→
11. Démontrer l’inégalité de Hadamard : | det(−
a , b ,→
c )| ≤ k−
a k.k b k.k−
c k.
61
Chapitre 27
Coniques
27.1
Questions de cours
1. Donner la définition monofocale d’une conique.
2. Donner la définition algébrique d’une conique et expliquer brièvement comment on
réduit l’équation d’une conique.
3. Donner la définition bifocale d’une conique à centre.
27.2
Exercices
1. Dans √
le plan muni d’un repère orthonormé direct, étudier et tracer la conique d’équation
2
x + 3xy + x = 2. On précisera son type, ses paramètres, son axe focal, son (ses)
sommet(s), son centre éventuel, son (ses) foyer(s), sa (ses) directrice(s).
2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct, étudier et tracer la conique d’équation
16x2 − 24xy + 9y 2 + 35x − 20y = 0. On précisera son type, ses paramètres, son axe
focal, son (ses) sommet(s), son centre éventuel, son (ses) foyer(s), sa (ses) directrice(s).
3. (a) Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct, étudier la conique C définie par
le foyer F de coordonnées (1, −1), la directrice D d’équation x = 5 et l’excentricité
e = 31 . On précisera son type, ses paramètres, son axe focal, ses sommets, son
centre, son second foyer et sa seconde directrice.
(b) Déterminer une équation de C, ainsi que ses intersections avec les axes du repère,
puis tracer C.
4. Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct, on note C la conique d’axes parallèles
aux axes du√ repère, de centre C(2, 4), tangente à la droite d’équation y = 1 et passant
par A(2 + 320 , 6). Étudier et tracer C (on précisera son type, ses paramètres, son axe
focal, son (ses) sommet(s), son centre éventuel, son (ses) foyer(s), sa (ses) directrice(s)).
5. (a) Étudier et tracer la courbe Γ d’équation polaire ρ(θ) =
√
2
.
2+cos(θ)+sin(θ)
p
et soit M0 un point de C de
(b) Soit C la conique d’équation polaire ρ(θ) = 1+e cos(θ)
coordonnées polaires (ρ0 , θ0 ). Déterminer l’équation polaire de la tangente à C au
point M0 .
62
√
(c) En déduire l’équation de la tangente à Γ au point de coordonnées polaires ( 2, − π4 ).
6. Soit E une ellipse de foyers F, F ′ et de centre O. On note a la longueur du demi grand
axe et c = OF . Montrer que E est l’ensemble des points M tels que MF ×MF ′ +MO 2 =
2a2 − c2 . (C’est la définition trifocale de l’ellipse.)
7. Soit E une ellipse, on note F un de ses foyers. Une droite D passant par F coupe E en
deux points M et M ′ . Que peut-on dire de la somme M1F + M1′ F ?
8. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé direct. Soit P (x) = x3 + αx2 +
βx + γ.
(a) Montrer que la courbe Γ = {M(x, y) | P (x) = P (y)} est la réunion d’une droite
et d’une courbe qui, lorsqu’elle n’est pas triviale, est une ellipse dont on précisera
l’excentricité.
(b) Étudier et tracer Γ dans le cas où (α, β) = (0, −1).
9. Soit P une parabole. Une corde focale variable coupe la parabole en deux points M
et M ′ . Montrer que le cercle de diamètre [MM ′ ] est tangent à la directrice de P et
déterminer le lieu du centre de ce cercle.
10. Soient A et B deux points distincts du plan, on note I le milieu de [AB]. Déterminer
l’ensemble des points M tels que MI 2 = MA × MB. (Indication : on travaillera dans
un repère bien choisi et on supposera que AB = 2.)
63
Chapitre 28
Géométrie affine
28.1
Questions de cours
1. Donner la classification des isométries du plan.
2. Donner la classification des isométries de l’espace.
3. Donner les définitions d’une application affine et d’une isométrie affine, puis faire le
lien avec les endomorphismes orthogonaux.
28.2
Exercices
1. Soit E un espace affine de dimension 2, muni d’un repère orthonormé direct R =
(O,~i, ~j). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application f : E → E
dont l’expression analytique est
′ 3
x = 5 x − 54 y + 4
y ′ = 45 x + 53 y − 2
2. Soient un triangle ABC, un réel positif k et un réel θ. Pour tout point M, on note
SM la similitude directe de centre M, de rapport k et d’angle θ. On note A′ = SB (A),
B ′ = SC (B) et C ′ = SA (C). Montrer que les triangles ABC et A′ B ′ C ′ ont le même
centre de gravité.
3. Soit ABC un triangle direct. Soit A′ le point tel que A et A′ sont de part et d’autre
′ C = 2π . On construit de manière analogue les
\
de la droite (BC), A′ B = A′ C et BA
3
′
′
points B et C . Montrer que le triangle A′ B ′ C ′ est équilatéral.
4. Soient A, B, C trois points du plan d’affixes respectives a, b, c, tels que |a| = |b| = |c|.
Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si a + b + c = 0.
5. Soient OAB et OA′ B ′ deux triangles directement semblables. Soit I, resp. J, le milieu
de [A′ B], resp.[AB ′ ], et soit H, resp. H ′ , le projeté orthogonal de O sur (AB), resp.
(A′ B ′ ). Montrer que les droites (IJ) et (HH ′ ) sont perpendiculaires.
6. Soit E un espace affine de dimension 3, muni d’un repère orthonormé direct R =
(O,~i, ~j, ~k). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application f :
64
E → E dont l’expression analytique est
 ′ 1
 x = 3 (−2x − y + 2z) + 1
y ′ = 1 (2x − 2y + z) + 1
 ′ 13
z = 3 (x + 2y + 2z) + 3
7. Soit E un espace affine de dimension finie. Soient H et H ′ deux homothéties de centres
O, O ′ et de rapports λ, λ′ respectivement. Décrire H ′ ◦ H.
65
Chapitre 29
Étude métrique des courbes
29.1
Questions de cours
1. Définir la courbure algébrique, le rayon de courbure algébrique et le centre de courbure.
2. Définir le repère de Frénet et énoncer les formules de Frénet.
29.2
Exercices
x(t) = cos3 t
. (Après l’étude
y(t) = sin3 t
classique et le tracé, on calculera la longueur de la courbe, l’aire du domaine qu’elle
délimite et la courbure en tout point birégulier.)
1. Étudier complètement l’astroı̈de paramétrée par
x(t) = t − sin t
. (Après l’étude
y(t) = 1 − cos t
classique et le tracé, on calculera la longueur d’une arche de cycloı̈de, l’aire du domaine
qu’elle délimite avec l’axe des abscisses et la courbure en tout point birégulier.)
2. Étudier complètement la cycloı̈de paramétrée par
3. Étudier complètement la cardioı̈de d’équation polaire ρ(θ) = 1 + cos(θ). (Après l’étude
classique et le tracé, on calculera la longueur de la courbe, l’aire du domaine qu’elle
délimite et la courbure en tout point birégulier.)
4. Décrire la courbe d’équation
√
x+
√
y = 1 et calculer sa longueur.
5. Soit f ∈ C 1 ([0, 1], R) une fonction croissante. On note L la longueur du graphe de f
R1
et on suppose que f (1) = L. Montrer que 0 f (t) dt ≥ π4 puis déterminer les fonctions réalisant l’égalité. (Indication : on pourra commencer par exprimer f (1) à l’aide
d’intégrales de deux manières différentes.)
6. Soient H une hyperbole équilatère, M un point de H, C le centre de courbure de H
en M et M ′ le point d’intersection de la normale à H en M avec l’autre branche de H.
−−−→
−−→
Montrer que MC = −2MM ′ .
66