Correction DS3_TESL 2013
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Correction DS3_TESL 2013
CORRECTION DU DEVOIR N°3 DE MATHEMATIQUES EXERCICE (4 points) QCM 1) ݒest la suite définie pour tout entier naturel ݊ par ݒ = □ ݒest géométrique de raison 3 et de ହ ଷ ଶ 1er terme ହ □ ݒest géométrique de raison et de 1er terme 2 ଶ×ଷ , ହ alors : □ ݒest géométrique de raison ହ et de 1er terme 1 ଷ ହ █ ݒest géométrique de raison et de 1er terme 2. Méthode : il faut écrire ݒ sous la forme ܽ × ݍ alors a est le 1er terme et ݍla raison de la suite ଷ géométrique. Or ݒ = 2 × ቀହቁ . 2) On place 15 000€ au taux simple annuel de 2,5%. Le capital ܥ disponible au bout de ݊ années est : █ ܥ = 15 000 + 375݊ □ ܥ = 15 000 + 0,025 □ ܥ = 15 000 + 1,025 □ ܥ = 15 000 × 1,025 . Méthode Méthode : il faut retenir qu’un placement à taux simple consiste à rajouter un intérêt constant dont le montant est de 2,5% du capital initial, soit ici 0,025 × 15000 = 375 ; ce qui définit une suite arithmétique de raison 375 et de 1er terme 15000. ଵ ଵ 3) On note ܵ = 1 + ହ + ହ² + … + □ lim→ାஶ ܵ = +∞ □ lim→ାஶ ܵ = 1,5 ଵ ହ , alors : █ lim→ାஶ ܵ = 1,25 □ lim→ାஶ ܵ = 2. ଵ ଵ Méthode : on reconnaît ici la somme des puissances successives de ହ. Comme 0 < ହ < 1 alors d’après le cours lim→ାஶ ܵ = ଵ ଵି =1,25. భ ఱ 4) ݑest la suite définie par ݑ = 2 et pour tout entier naturel ݊ par ݑାଵ = 3ݑ − 2. Alors : █ le 4ème terme est égal à 28 □ ݑହ = 82 ème □ ݑest géométrique de raison 3. □ le 2 terme est égal à 10 Méthode : la plus efficace est de programmer la suite sur la calculatrice et elle affiche les termes suivants : ݑ = 2, ݑଵ = 4, ݑଶ = 10, ݑଷ = 28, ݑସ = 82 et ݑହ = 244. PROBLEME (16 points) PARTIE A Soit ݑla suite définie par ݑ = 5 500 et pour tout entier naturel, ݑାଵ = 0,68ݑ + 3 560. 1) a. Construction des termes de la suite. (0,5 point par terme +0,5 la méthode) Explications : il faut remarquer qu’un terme de la suite est l’image par la fonction affine ⟼ ݔ0,68 ݔ+ 3560 du terme précédent, ce qui explique que le nuage de points se trouve sur la droite d’équation = ݕ0,68 ݔ+ 3560. Effectivement, ݑାଵ = ݂(ݑ ) avec ݂( = )ݔ0,68 ݔ+ 3560. Or la lecture graphique d’une image par une fonction d’un réel ݔse fait sur l’axe des ordonnées à condition que ݔsoit lui, sur l’axe des abscisses. C’est pourquoi on a besoin que les termes de la suites soient aussi lus sur l’axe des abscisses d’où l’utilisation de la droite d’équation ݔ = ݕ, puisque sur cette droite les abscisses et ordonnées des points sont égales. On obtient (les pointillés bleus suffisent) : b. Au vu du graphique, ࢛ est une suite strictem strictement croissante qui semble converger vers l’intersection des deux droites donc →ܕܑܔାஶ ࢛ ≈ . (1+1 points) c. On considère l’algorithme suivant : = ܣ5500 ; ⟵ ܰ =0; ⟵ initialisation TANT_QUE < ܣ11 000 FAIRE ⟵ condition ܰ prend la valeur ܰ + 1; ⟵ passer au terme suivant tant que la condition est vérifiée ܣprend la valeur 0,68 × ܣ+ 3 560; ⟵ calculer le terme suivant de la suite FIN TANT_QUE SORTIE : afficher ܰ. ⟵ afficher le rang Cet algorithme permet de déterminer le rang pour lequel ࢛ > .. C’est un seuil. (1,5 point) 2) Soit ݒla suite définie pour tout entier naturel, ࢜ = ࢛ − . a. Démontrer que ݒest une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Méthode : il faut trouver la relation de récurrence caractéristique des suites géométriques à savoir, ݒାଵ = ݍ. ݒ . ݒାଵ = ݑାଵ − 11 125 or par définition ݑାଵ = 0,68ݑ + 3 560 donc on remplace ݒାଵ = 0,68ݑ + 3 560 − 11125 ݒାଵ = 0,68ݑ − 7 565 il faut mettre en évidence un coefficient en factorisant par 0,68 donc ݒାଵ = 0,68 ቀݑ − ହହ ହହ ቁ mais ,଼ ,଼ = 11 125 donc ݒାଵ = 0,68(ݑ − 11 125) or ݑ − 11 125 = ݒ ݒାଵ = 0,68ݒ (1 point) Donc pour tout entier ,, ࢜ା = , ૡ࢜ , ainsi ࢜ est géométrique de raison 0,68 et de 1er terme ࢜ = − (en effet effet ࢜ = ࢛ − = − ). (1 point) b. Terme général ݒ en fonction de ݊ : Méthode : c’est la formule du cours ࢜ା = ࢜ . . Donc pour tout entier ,, ࢜ = − × , ૡ . (1 point) Comme ݒ = ݑ − 11 125 alors ݑ = ݒ + 11 125. Donc pour tout entier ,, ࢛ = − × , ૡ . (1 point) c. Convergence : lim→ାஶ 0,68 = 0 donc lim→ାஶ −5625 × 0,68 = 0 d’où lim→ାஶ ݑ = 11 125. Donc ࢛ converge converge et →ܕܑܔାஶ ࢛ = . (1 point) PARTIE B Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. Une étude statistique a permis de constater que d’une année sur l’autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3 560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2010, on comptait 5 500 abonnés à cette revue. 1) Estimation du nombre d’abonnés à cette revue en 2012 : - Situation en 2011 : Seuls 68% des lecteurs renouvellent leur abonnement, soit 0,68 × 5500 = 3740. S’ajoutent 3560 nouveaux abonnés, soit un total de 7300 abonnés. - Situation en 2012 : Seuls 68% des lecteurs renouvellent leur abonnement, soit 0,68 × 7300 = 4964. S’ajoutent 3560 nouveaux abonnés, soit un total de 8524 abonnés. En 2012, on estim estime time à 8524 le nombre d’ d’abonnés. (1 point) 2) Pour tout entier naturel ݊, on note ݑ le nombre d’abonnés à la revue l’année 2010 + ݊. a. Justifier que pour tout entier naturel ݊, ݑାଵ = 0,68ݑ + 3 560. Remarque Remarque : on attend un minimum d’explications. D’une année sur l’autre, seuls 68% des abonnés restent, auxquels s’ajoutent 3560 nouvelles personnes. Donc pour tout entier naturel ,, ࢛ା = , ૡ࢛ + . (1 point) Remarque Remarque : on peut aussi dire qu’une baisse de 32% correspond à un coefficient multiplicateur de 10,32=0,68. b. Est-il possible d’envisager au bout d’un nombre d’années suffisamment grand, une diffusion supérieure à 12 000 abonnés ? D’après la partie A, la suite ݑconverge vers 11 125, donc ݑ ne peut dépasser cette valeur. Non , il n’ n’est pas possible d’envisager au bout d’un nombre d’années suffisamment grand, une diffusion diffusion supérieure à 12 000 abonnés. abonnés. (1 point) c. A l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’abonnés à la revue sera supérieur à 11 000. Méthode : il faut programmer la suite sur la calculatrice faire afficher les termes. D’après la calculatrice, ݑଽ = 10 950 et ݑଵ = 11 006. Donc le nombre d’abonnés à la revue sera supérieur à 11 000 à partir de 202 2020. (1 point)