Seconde Générale - cours et exercices corrigés sur les fonctions

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Cours et exercices de mathématiques - Seconde - document gratuit disponible sur JGCUAZ.FR
FONCTONS USUELLES - INTRODUCTION
Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR
rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale en mathématiques.
Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et des exercices tous corrigés.
La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes.
Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la
base de mon expérience d'enseignant en lycée.
Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra
permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation,
le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite.
La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce
document.
Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page personnelle JGCUAZ.FR où vous trouverez
mon adresse électronique (qui est [email protected] à la date du 04/10/2016)
Montpellier, le 04/10/2016
Jean-Guillaume CUAZ,
professeur de mathématiques,
Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013
Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013
Fonctions usuelles - Introduction
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Version du 04/10/2016
FONCTIONS USUELLES - LA FONCTION CARREE
On étudie dans ce chapitre deux fonctions parmi les plus courantes.
1) Fonction carré
Définition :
La fonction carré est la fonction définie pour tout nombre x par f ( x) = x 2
Exemples :
2
25 et f (−6) =( −6 ) =36
f (5)
= 5=
2
Le tableau de valeurs suivant permet de tracer la courbe représentative de f
x
-3
-2
-1
0
0,5
1
1,5
2
3
f ( x) = x 2
9
4
1
0
0,25
1
2,25
4
9
Seconde - Fonctions usuelles
Page 2/21
Définition :
La courbe représentative de la fonction carré s'appelle parabole.
Elle est constituée de deux branches symétriques par rapport à l'axe des ordonnées et admet l'origine
O du repère pour sommet.
Propriété :
Pour tout nombre x, f ( x) ≥ 0 .
La parabole représentant la fonction carré est donc située au dessus de l'axe des abscisses.
Sens de variation (preuve) :
La fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞;0] et strictement croissante sur [ 0;+∞[
Son tableau de variation est :
Preuve :
Soient a et b deux réels tels que a 0 , et comme a 0 donc f (b) − f (a ) > 0 , c'est à dire
f (a ) < f (b) . Donc sur [0;+∞[ , a 0 donc f (b) − f (a ) < 0 , c'est à dire
f (a ) > f (b) . Donc sur ]−∞;0] , a f ( b ) .
L’équivalence a f ( b ) traduit la stricte décroissance de f sur ]−∞;0]
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FONCTION CARRE - EXERCICES
Exercice n°1 (correction)
En s'aidant de la courbe représentative de la fonction carré, résoudre les équations et inéquations
suivantes :
x 2 = −1
x2 = 4
x2 > 2
x 2 > −1
x2 ≤ 3
Résoudre les les équations et inéquations suivantes :
1) x 2 = 37
2) x 2 ≥ 37
3) x 2 < 37
1) Donner l'encadrement le plus précis de x 2 sachant que −3 ≤ x ≤ 4
2) Donner l'encadrement le plus précis de x 2 sachant que x ∈ [ −5;5]
Exercice n°4 - VRAI ou FAUX ? (correction)
1) Si x < 2 alors x 2 < 4
2) Si x ≤ −2 alors x 2 ≥ 4
3) Si −1 ≤ x < 2 alors 1 ≤ x 2 < 4
On dresse une liste de cinq assertions :
[1]
x 2 = 16
[5]
0
( x + 4 )( x − 4 ) =
[2]
x=4
[3]
x = −4
[4]
x = 4 ou x = −4
1) L'implication [5] => [4] est-elle vraie ?
2) Dresser la liste des implications du type [1] => ...... qui sont vraies.
3) Dresser la liste des implications du type ...... => [1] qui sont vraies.
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FONCTION CARRE - CORRECTION
Correction de l'exercice n°1 (retour à l'énoncé)
x2 = 4
x 2 = −1
x2 > 2
On cherche les abscisses des
points de la parabole dont
l'ordonnée vaut 4.
Il y en a deux.
On trouve x=-2 ou x=2
On cherche les abscisses des
points de la parabole dont
l'ordonnée vaut -1.
Il n’y en a pas
L’équation x 2 = −1 n’admet
pas de solution. S = ∅
On cherche les abscisses des points
de la parabole dont l’ordonnée est
strictement supérieure à 2.
On trouve x > 2 ou x < − 2
S=
{−2; 2}
x2 ≤ 3
S =  −∞; − 2  ∪  2; +∞ 
x 2 > −1
On cherche les abscisses des points de la parabole On cherche les abscisses des points de la
dont l’ordonnée est inférieure ou égale à 3.
parabole dont l’ordonnée est strictement
supérieure à -1.
On trouve x ∈  − 3; 3 
Puisque pour tout nombre x, x 2 ≥ 0 , on aura :
S =  − 3; 3 
Pour tout nombre x, x 2 > −1 . Ainsi, S = 
Règle :
L'équation x 2 = a admet :
Deux solutions distinctes x = a et x = − a si a > 0
Une unique solution=
x
=
0 0 si a = 0
Aucune solution réelle si a < 0
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1) x = 37 ou x = − 37
2) x ∈  −∞; − 37  ∪  37; +∞ 
3) x ∈  − 37; 37 
1) 0 ≤ x 2 ≤ 16
2) 0 ≤ x 2 ≤ 25
Ne pas oublier que la fonction carré "passe par 0" entre -4 et 4, ainsi qu'entre -4 et 5
1) FAUX (contre-exemple : x = −3 )
2) VRAI
3) FAUX car x peut valoir 0 auquel cas x 2 = 0
1) OUI, c'est la règle dite "du produit nul"
2) On a [1] =>[4] et [1] =>[5]
3) Toutes les propositions impliquent la proposition [1]
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FONCTIONS DU SECOND DEGRE
2) Fonctions polynômes du second degré
Définition :
Une fonction f est appelée polynôme du second degré s'il existe trois nombres a, b et c avec a ≠ 0
tels qu'une écriture de f est : f ( x) = ax 2 + bx + c
"Polynôme" signifie "plusieurs nômes" c'est-à-dire "plusieurs bouts".
) bx + c est affine
On impose a ≠ 0 car sinon, la fonction f ( x=
Exemples :
f ( x) = 2 x 2 + 4 x − 6 . On a alors a = 2 , b = 4 et c = −6
g ( x) =
− x 2 + 2 x + 3 . On a alors a = −1 , b = 2 et c = 3
Représentation graphique et sens de variation
- La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet S
- Elle admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées sur lequel se situe S
Si on note α l'abscisse du sommet S de la parabole, deux cas peuvent se présenter :
- Si
a > 0 , la fonction f est strictement - Si
décroissante
sur
]−∞;α ]
croissante sur [α ; +∞[
et
a < 0 , la fonction f est strictement
strictement croissante
sur
]−∞;α ]
et
strictement
décroissante sur [α ; +∞[
Propriété et définition
Soit f une fonction polynôme de degré 2 dont l'écriture est f ( x) = ax 2 + bx + c
On peut toujours trouver deux nombres α et β tels qu'une écriture de f est : f ( x) = a ( x − α ) + β
2
Cette dernière écriture est appelée forme canonique de f
Les coordonnées du sommet S de la parabole représentative de f sont alors S (α ; β )
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Exemples :
1) Si on développe 3 ( x − 1) + 2 , on obtient 3 ( x − 1) + 2= 3 x 2 − 6 x + 3 + 2= 3 x 2 − 6 x + 5
2
2
La forme canonique de f ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 5 est donc f ( x ) = 3 ( x − 1) + 2
2
On a α = 1 et β = 2
Le sommet S de la parabole représentative de f est S (1;2 )
2) Si on développe 2 ( x + 1) − 8 , on obtient 2 ( x + 1) − 8= 2 x 2 + 4 x + 2 − 8= 2 x 2 + 4 x − 6
2
2
La forme canonique de f ( x) = 2 x 2 + 4 x − 6 est donc f ( x ) = 2 ( x + 1) − 8
2
8 2 ( x − ( −1) ) − 8 et β = −8
On a α = −1 car f ( x=
) 2 ( x + 1) − =
2
2
Le sommet S de la parabole représentative de f est S(-1;-8)
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FONCTIONS DU SECOND DEGRE - EXERCICES
Donner les valeurs de a, b et c intervenant dans l'écriture f ( x ) = ax 2 + bx + c de chacune des
fonctions suivantes :
1) f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 5
a = ...... , b = ........... et c = ...............
x ) 4x2 − 7
2) f (=
a = ...... , b = ........... et c = ...............
− x2 + 5x
3) f ( x ) =
a = ...... , b = ........... et c = ...............
Donner les valeurs de a , α et β intervenant dans la forme canonique f ( x ) = a ( x − α ) + β de
2
chacune des fonctions suivantes :
4) f ( x ) =
− ( x + 2) − 3
a = ...... , α = ........... et β = ...............
5) f ( x ) =5 − ( x − 2 )
a = ...... , α = ........... et β = ...............
2
(
2
6) f ( x )= 3 ( x − 1) + 2
2
)
a = ...... , α = ........... et β = ...............
On considère la fonction f définie sur ]−∞; +∞[ par f ( x ) =x 2 − 10 x + 16
1) Parmi les formes proposées, désigner celle qui est la forme canonique associée à f ( x )
g1 ( x ) =( x + 5 ) − 9
2
g 2 ( x ) =( x − 5 ) − 9
g3 ( x ) =( x − 5 ) + 9
2
2
2) En déduire une forme factorisée de f ( x )
3) Résoudre l'équation f ( x ) = 0
On donne ci-dessous quatre formes développées f1 , f 2 , f 3 et f 4 ainsi que quatre formes
canoniques g1 , g 2 , g3 et g 4 .
f1 ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 22
g1 ( x ) = 2 ( x + 3) − 4
f 2 ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 14
g 2 ( x ) = 2 ( x − 3) + 4
2
2
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f3 ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 14
g 3 ( x ) = 2 ( x + 3) + 4
f 4 ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 22
g 4 ( x ) = 2 ( x − 3) − 4
2
2
1) Associer par une flèche à chaque forme développée l'unique forme canonique qui lui correspond
2) Donner les coordonnées des 4 sommets S1 , S 2 , S3 et S 4 des paraboles représentant les fonctions
f1 , f 2 , f 3 et f 4 .
Dans chacun des cas suivants, donner les coordonnées du sommet S de la parabole représentant
chaque fonction f ainsi que son sens de variation
1) f ( x ) =
( x + 15) + 30
2
2) f ( x ) =
−3 ( x − 20 ) − 10
2
Dans le repère ci-dessous, tracer la parabole P1 de sommet d'ordonnée 4 représentant une fonction
polynôme du second degré f croissante sur
]−∞;2] ,
décroissante sur
[ 2;+∞[
et dont les points
d'intersection avec l'axe des abscisses ont pour abscisses -1 et 5.
A l'aide de votre calculatrice, déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la
fonction f définie par f ( x ) =x 2 − 20 x + 105
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Donner une expression possible de la fonction f dont la courbe représentative est représentée cidessous (Les graduations sur chaque axe représentent une unité et les lectures de coordonnées
"tombent juste")
Expression possible :
f ( x ) = ...............................
Exercice n°13 - VRAI ou FAUX (correction)
On considère une fonction polynôme du second degré dont l'expression est f ( x ) = ax 2 + bx + c .
On note C f sa parabole représentative, de sommet S (α ; β ) .
1) Si a < 0 , alors β est le maximum de f sur ]−∞; +∞[
2) Si a > 0 , alors f atteint son minimum pour x = α
3) La parabole ne coupe jamais l'axe des ordonnées
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FONCTIONS DU SECOND DEGRE - CORRECTION
1) f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 5
a = 2 , b = −3 et c = −5
2) f (=
x ) 4x2 − 7
a = 4 , b = 0 et c = −7
3) f ( x ) =
− x2 + 5x
a = −1 , b = 5 et c = 0
4) f ( x ) =
− ( x + 2) − 3
a = −1 , α = −2 et β = −3
5) f ( x ) =5 − ( x − 2 )
a = −1 , α = 2 et β = 5
2
(
2
6) f ( x )= 3 ( x − 1) + 2
2
)
a = 3 , α = 1 et β = 6
1)
g 2 ( x ) =( x − 5 ) − 9
g1 ( x ) =( x + 5 ) − 9
2) f ( x ) = g 2 ( x ) =
( x − 5)
3) Règle du produit nul :
g3 ( x ) =( x − 5 ) + 9
2
2
2
( x − 5) − 32 = ( x − 5 − 3)( x − 5 + 3) = ( x − 8)( x − 2 )
f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 8 )( x − 2 ) = 0 ⇔ x − 8 = 0 ou ⇔ x − 2 = 0
2
−9 =
2
Les solutions sont donc 2 et 8.
1) Voir ci-dessous :
f1 ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 22
g1 ( x ) = 2 ( x + 3) − 4
f 2 ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 14
g 2 ( x ) = 2 ( x − 3) + 4
f3 ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 14
g 3 ( x ) = 2 ( x + 3) + 4
f 4 ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 22
g 4 ( x ) = 2 ( x − 3) − 4
2
2
2
2
2)
Puisque f1 et g 2 se correspondent, le sommet S1 a pour coordonnées S1 ( 3;4 )
Puisque f 2 et g 4 se correspondent, le sommet S 2 a pour coordonnées S 2 ( 3; −4 )
Puisque f 3 et g1 se correspondent, le sommet S3 a pour coordonnées S3 ( −3; −4 )
Puisque f 4 et g3 se correspondent, le sommet S 4 a pour coordonnées S 4 ( −3;4 )
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1) f ( x ) =
( x + 15) + 30
2
S a pour coordonnées S(-15;30).
La fonction f est strictement décroissante sur ]−∞; −15] et strictement croissante sur [ −15; +∞[ .
2) f ( x ) =
−3 ( x − 20 ) − 10
2
S a pour coordonnées S(20;-10).
La fonction f est strictement croissante sur ]−∞;20] et strictement décroissante sur [ 20;+∞[ .
Voir ci-dessous
Avec un bon réglage de la fenêtre d'affichage, on lit que le sommet S de la parabole représentative
de f a pour coordonnées S(10;5)
Expression possible : f ( x ) =
− ( x + 2) − 3
2
1) VRAI car f sera strictement croissante sur ]−∞;α ] puis strictement décroissante sur [α ; +∞[ .
2) VRAI car f sera strictement décroissante sur ]−∞;α ] puis strictement croissante sur [α ; +∞[ .
3) FAUX. Elle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées ( 0; f ( 0 ) = c ) .
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FONCTION INVERSE
3) Fonction inverse
Définition :
La fonction inverse est la fonction définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ par f ( x) =
1
x
Exemples :
f (2)=
1
1
1
= 0,5 et f (−3) = =
−
2
−3
3
Ne pas confondre inverse et opposé
Le tableau de valeurs suivant permet de tracer la courbe représentative de f
x
f ( x) =
1
x
-3
-0,33....
-2
-0,5
-1
-1
0
0,25
NON
4
DEFINI
Page 14/21
0,5
0,5
1
1
2
0,5
3
0,333...
Définition :
La courbe représentative de la fonction inverse s'appelle hyperbole
Elle est constituée de deux branches disjointes symétriques par rapport à l'origine O du repère.
Elle ne coupe pas l'axe des abscisses car il n'existe aucun nombre dont l'inverse soit nul.
Elle se situe au dessus de l'axe des abscisses sur ]0;+∞[ et en dessous de celui-ci sur ]−∞;0[ .
La fonction f n'est pas définie en 0 car 0 n'a pas d'inverse.
Ainsi, la courbe représentative de f ne contient pas de point d'abscisse 0 et donc ne coupe
pas l'axe des ordonnées.
Sens de variation (preuve) :
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞;0[ ainsi que sur ]0;+∞[ .
La fonction inverse n'est pas strictement décroissante sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[
En effet, bien que −4 < 3 , on a encore f ( −4 ) < f ( 3) . Elle est donc séparément strictement
décroissante sur ]−∞;0[ et strictement décroissante sur ]0;+∞[ . Elle ne présente aucun extremum.
Son tableau de variation est donné ci-contre
La double barre indique que 0 est une valeur interdite.
Preuve :
Soient a et b deux réels non nuls. Alors f (a ) − f (b) =
1 1 b−a
− =
a b
ab
Dans tous les cas, que a, b < 0 ou que a, b > 0 , on aura ab > 0 , donc l'expression
b−a
aura le
ab
même signe que b − a . On en conclut que :
a 0 ⇔ f ( a ) − f (b) > 0 ⇔ f ( a ) > f (b) .
La fonction inverse est donc strictement décroissante sur ]− ∞;0[
0 < a 0 ⇔ f ( a ) − f (b) > 0 ⇔ f ( a ) > f (b) .
La fonction inverse est donc strictement décroissante sur ]− ∞;0[
MAIS ATTENTION ! La fonction f n'est pas strictement décroissante sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ car si
a < 0 et b > 0 , on aura toujours f (a ) < f (b) car on aura f (a ) < 0 et 0 < f (b)
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FONCTION INVERSE - EXERCICES
A l'aide de la courbe représentative de la fonction inverse, résoudre les résoudre les équations et
inéquations suivantes :
1
=2
x
1
< −2
x
Page 16/21
1
=0
x
1
> −3
x
FONCTION INVERSE - CORRECTION
1
=2
x
1
< −2
x
On cherche les abscisses des points de l’hyperbole On cherche les abscisses des points de
dont l’ordonnée est égale à 2.
l’hyperbole dont l’ordonnée est strictement
Il s’agit des abscisses des points d’intersection de inférieure à -2.
l’hyperbole et de la droite d’équation y=2
1
1
On trouve x ∈  − ;0  . S =  − ;0 
1
1
 2 
 2 
On trouve x = . S =  
2
2
1
> −3
x
1
=0
x
On cherche les abscisses des points de l’hyperbole On cherche les abscisses des points de
dont l’ordonnée est nulle. Il n’y en a pas !
hyperbole dont l’ordonnée est strictement
supérieure à -3.
S= ∅
On trouve x ∈  −∞; −  ∪ ]0; +∞[ .
3

1
Règle :
L'équation
1
1
= a , avec a ≠ 0 , admet pour unique solution x =
x
a
Page 17/21
FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
4) Fonctions homographiques
Définition :
Une fonction f est dite homographique si et seulement si une de ses écritures possibles est :
f ( x) =
ax + b
où a, b, c et d sont quatre nombres avec c ≠ 0
cx + d
Remarque :
Il est nécessaire que c ≠ 0 afin que la fonction f ne soit pas affine
En effet, si c = 0, alors f (=
x)
ax + b a
b
x + qui est une fonction affine
=
d
d
d
Exemples :
1) Soit f la fonction définie par f ( x ) =
2x −1
.
x+3
Elle définie pour toutes les valeurs de x pour lesquelles x + 3 ≠ 0 donc sur ]−∞; −3[ ∪ ]−3; +∞[
Sa représentation graphique est donnée ci-dessous :
Elle est séparément croissante sur ]−∞; −3[ et sur ]−3; +∞[
2) Soit g la fonction définie par g ( x ) =
3 − 4x
.
2− x
Elle définie pour toutes les valeurs de x pour lesquelles 2 − x ≠ 0 donc sur ]−∞;2[ ∪ ]2; +∞[
Sa représentation graphique est donnée ci-dessous :
Elle est séparément décroissante sur ]−∞;2[ et sur ]2;+∞[
Page 18/21
Propriétés :
Si f est une fonction homographique de formule f ( x ) =
- La fonction f n’est pas définie pour la valeur x = −
ax + b
alors :
cx + d
d
qui annulerait son dénominateur.
c
d  d


On écrit qu'elle est définie sur  −∞; −  ∪  − ; +∞ 
c  c


- Sa représentation graphique dans tout repère, est une hyperbole constituée de deux branches
disjointes symétriques par rapport au point d’abscisse x = −
d
c
Il n’existe que deux possibilités pour décrire ses variations :
d

- Soit f est strictement décroissante sur  −∞; −  ainsi que sur
c

d

- Soit f est strictement croissante sur  −∞; −  ainsi que sur
c

 d

 − c ; +∞ 
 d

 − c ; +∞ 
Contrairement aux fonctions du second degré, les fonctions homographiques ne changent pas de
sens de variation au milieu de leur ensemble de définition.
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FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES - EXERCICES
Dans chacun des cas :
- Donner l'ensemble de définition de la fonction proposée.
- Transformer l'écriture de chaque fonction pour l'écrire à l'aide d'un seul dénominateur.
1) =
f ( x)
2x + 3
−3
x−4
2) =
g ( x)
2x + 3
−4
x−3
Page 20/21
FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES - CORRECTION
1) La fonction f est définie pour toutes les valeurs de x pour lesquelles x − 4 ≠ 0 donc sur
]−∞; 4[ ∪ ]4; +∞[
f=
( x)
et pour tout x ∈ ]−∞;4[ ∪ ]4; +∞[ :
2x + 3
2x + 3
x − 4 2 x + 3 3 x − 12 2 x + 3 − 3 x + 12 − x + 15
=
−3
− 3× =
−
=
=
x−4
x−4
x−4 x−4
x−4
x−4
x−4
2) La fonction g est définie pour toutes les valeurs de x pour lesquelles x − 3 ≠ 0 donc sur
]−∞;3[ ∪ ]3; +∞[
g=
( x)
et pour tout x ∈ ]−∞;3[ ∪ ]3; +∞[ :
2x + 3
2x + 3
x − 3 2 x + 3 4 x − 12 2 x + 3 − 4 x + 12 −2 x + 15
=
−4
− 4× =
−
=
=
x−3
x−3
x−3 x−3
x−3
x−3
x−3
Page 21/21

Seconde Générale - cours et exercices corrigés sur les fonctions

Transcription

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