Les fonctions réciproques

DOCUMENT 28
Les fonctions réciproques
1. Introduction et définition
Pour tout ensemble E, il existe une loi de composition naturelle sur l’ensemble des applications de E dans E qui est la composition des applications. Cette loi possède un élément neutre,
l’application identique 1E , et on peut donc essayer de caractériser les éléments inversibles pour
cette loi, c’est-à-dire déterminer les applications f : E → E pour lesquelles il existe g : E → E
verifiant g ◦ f = f ◦ g = 1E . On verra que dans le cas des applications de R dans R, on obtient
un outil très efficace pour définir de nouvelles fonctions.
Une caractérisation de ces éléments inversibles est donnée, dans un cadre un peu plus général,
par la proposition suivante.
Proposition 28.1. Soit f une application de E dans F . Il y a équivalence entre :
(1) L’application f est bijective ;
(2) Il existe une application g de F dans E telle que g ◦ f = 1E et f ◦ g = 1F .
Preuve. 1) ⇒ 2). Si f est bijective alors, pour tout y ∈ F , f −1 ({y}) = {x ∈ E|f (x) = y}
possède un et un seul élément que l’on désigne par g(y). Soit g l’application de F dans E qui
à y ∈ F fait correspondre g(y) ∈ E. Par définition, on a f −1 ({y}) = {g(y)}. Soit x ∈ E.
L’application f étant injective, {x} = f −1 ({f (x)}) d’où {x} = {g(f (x))} et donc x = g(f (x)).
Maintenant soit y ∈ F . Comme f est surjective, il existe x ∈ E tel que y = f (x) et, en utilisant
l’injectivité de f , {x} = f −1 ({y}) = {g(y)} d’où x = g(y) et y = f (x) = f (g(y)). Finalement,
g ◦ f = 1E et f ◦ g = 1F .
2) ⇒ 1). Si f (x) = f (y) alors x = g(f (x)) = g(f (y)) = y et f est injective. D’autre part,
pour tout y ∈ F , y = f (g(y)) ce qui montre que f est surjective.
Lorsque f est bijective, l’application g de la proposition précédente est unique car si f ◦g = 1F
et g 0 ◦f = 1E alors g 0 = g 0 ◦(f ◦g) = (g 0 ◦f )◦g = g. Cela permet de définir l’application réciproque
d’un application bijective.
Définition 28.1. Soit f une application bijective de E dans F . L’unique application g de
F dans E vérifiant g ◦ f = 1E et f ◦ g = 1F est appelée l’application réciproque de f et on la
note f −1 .
Remarques.
1) Si f est bijective alors l’application réciproque de f est aussi bijective et (f −1 )−1 = f .
2) Soit f : E → F et g : F → G deux applications bijectives. L’application g ◦ f est bijective
et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
3) La proposition 28.1 résulte des deux résultats suivants faciles à démontrer (mais le premier
suppose l’axiome du choix).
• Une application f : E → F est surjective si et seulement si il existe r : F → E telle
que f ◦ r = 1F . Lorqu’elle existe, r est injective.
303
304
28. LES FONCTIONS RÉCIPROQUES
• On suppose E 6= ∅ si F 6= ∅. Une application f : E → F est injective si et seulement
si il existe une application s : F → E telle que s ◦ f = 1E . Lorsqu’elle existe, s est
surjective.
4) Soit f : E → F et Y ⊂ F . On désigne souvent par f −1 (Y ) l’image réciproque de la partie
Y de F par f : f −1 (Y ) = {x ∈ E|f (x) ∈ Y }. Lorsque f est bijective on verifie que f −1 (Y )
est aussi l’image directe de Y par l’application f −1 : f −1 (Y ) = {f −1 (y)|y ∈ Y }. La notation
f −1 (Y ) n’est donc pas ambigüe mais il faut bien se souvenir qu’elle ne suppose pas f bijective.
5) Soit f : E → F et fb l’application de E sur f (E) définie, pour tout x ∈ E, par fb(x) =
f (x). Cette application fb est surjective et souvent on peut la confondre avec f . Remarquons
cependant que la détermination explicite de l’image de f n’est pas toujours simple. Considérons
par exemple l’application f de R+ dans lui-même qui à x fait correspondre x2 . De l’égalité
x2 − y 2 = (x − y)(x + y) on déduit facilement que f est injective et donc que f est une bijection
de f sur son image Im f . Autrement dit tout élément de Im f possède une racine carrée positive
mais ce résultat est sans intérêt si l’on ne sait pas que Im f = R+ (il signifie que tout nombre
de la forme x2 possède une racine carrée). Pour montrer que Im f = R+ , une méthode consiste
à prouver la continuité de f , ensuite on montre que lim f (x) = +∞ et on utilise le théorème
x→+∞
des valeurs intermédiaires. Il a donc été nécessaire de faire intervenir un important théorème
d’analyse.
Si f n’est pas injective alors il est possible que la restriction fE 0 de f à E 0 ⊂ E soit injective
et conserve une partie intéressante des propriétés de f . L’application fc
E 0 est alors une bijection
de E 0 sur f (E 0 ). Par exemple, la restriction de la fonction sinus à [−π/2, π/2] est injective et
l’application de [−π/2, π/2] dans [−1, 1] qui à x fait correspondre sin(x) est une bijection.
Si l’on peut toujours associer l’application surjective fb à f (bien qu’en pratique il soit parfois
malaisé de caractériser explicitement l’image d’une application) il est beaucoup plus difficile de
trouver des conditions pour que f possède des restrictions injectives intéressantes. Dans le cas
des applications de Rn dans lui-même, on peut à l’aide du théorème des fonctions implicites
donner une condition suffisante pour l’existence locale d’une application réciproque.
2. Propriétés générales des applications réciproques
Dans ce paragraphe nous donnons deux propriétés pour des applications réciproques des
fonctions de E ⊂ R dans F ⊂ R. Ces propriétés ne font intervenir, ni la nature de E, ni la
continuité de f .
Proposition 28.2. Soit f une application bijective d’une partie E de R dans F ⊂ R.
L’application f est monotone si et seulement si f −1 est monotone. Lorsque f est monotone, f
et f −1 varient dans le même sens.
Preuve. Soit y1 , y2 ∈ F et x1 = f −1 (y1 ), x2 = f −1 (y2 ). L’égalité (y2 −y1 )(f −1 (y2 )−f −1 (y1 )) =
(f (x2 ) − f (x1 ))(x2 − x1 ) montre que si f est monotone alors f −1 l’est aussi et varie dans le
même sens (Une fonction f est monotone si et seulement si (x − y)(f (x) − f (y)) garde un signe
constant. Elle est croissante si et seulement si (x − y)(f (x) − f (y)) ≥ 0 .). Comme f = (f −1 )−1 ,
la réciproque est évidente.
Proposition 28.3. Soit R = (O, ~u, ~v ) un repère de l’espace affine euclidien R2 et f une
bijection de E ⊂ R dans F ⊂ R. Le graphe Gf −1 de f −1 se déduit du graphe Gf de f par la
symétrie s par rapport à la droite O + R(~u + ~v ), parallèlement à la droite O + R(~u − ~v ). Si R
est normé, s est la symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice du repère.
3. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS CONTINUES...
305
Preuve. On a Gf = {O + x~u + f (x)~v | x ∈ E} = {O + f −1 (y)~u + y~v | y ∈ F } et Gf −1 =
{O + y~u + f −1 (y)~v |y ∈ F }. Il en résulte que Gf −1 = s(Gf ), où s est l’application de R2 dans
lui-même définie par s(O + x~u + y~v ) = O + y~u + x~v . L’application ~s : x~u + y~v → y~u + x~v est
involutive et linéaire. C’est donc une symétrie vectorielle. Les élément de la droite R(~u +~v ) sont
fixes et la droite R(~u −~v ) est conservée par ~s. Cette application est donc la symétrie par rapport
~ ) et
à R(~u + ~v ), parallèlement à la droite R(~u − ~v ) d’où la nature de s car s(M ) = s(O) + ~s(OM
s possde un point fixe O (sinon s pourrait être une symétrie glissée).
Si R est normé, ~u + ~v et ~u − ~v dirigent les bissectrices des axes du repère et ces deux
vecteurs sont orthogonaux. La droite R(~u +~v ) est la première bissectrice c’est-à-dire la bissectrice
intérieure de la paire de demi-droites (R+ ~u, R+~v ).
3. Fonctions réciproques des fonctions continues sur un intervalle
Nous allons maintenant supposer que les fonctions considérées sont continues sur un intervalle. Parmi les fonctions injectives il y a les fonctions strictement monotones mais, en général,
cette condition est seulement suffisante. Le premier résultat important est, que pour les fonctions
continues sur un intervalle, elle est aussi nécessaire.
Proposition 28.4. Soit I un intervalle et f une application continue de I dans R. Il y a
équivalence entre :
(1) La fonction f est injective ;
(2) La fonction f est strictement monotone.
Preuve. Il suffit de prouver que 1) implique 2). Soit x0 , y0 , x, y des éléments de I tels que
x0 < y0 et x < y. Pour tout λ ∈ [0, 1], on pose x(λ) = λx0 + (1 − λ)x et y(λ) = λy0 + (1 − λ)y.
On a x(λ) ∈ [x0 , x] ⊂ I et y(λ) ∈ [y0 , y] ⊂ I. D’autre part, x(λ) < y(λ) car si λ 6= 0, λx0 < λy0
et (1 − λ)x ≤ (1 − λ)y et si λ = 0 alors x(0) = x, y(0) = y.
Considérons l’application h définie sur [0, 1] par
h(λ) = (x(λ) − y(λ))(f (x(λ)) − f (y(λ)).
Cette fonction est continue sur [0, 1] et l’injectivité de f entraine qu’elle ne prend jamais la
valeur 0. Elle a donc un signe constant et en particulier h(1) = (x0 − y0 )((f (x0 ) − f (y0 )) a le
même signe que h(0) = (x − y)(f (x) − f (y). Il en résulte que le signe de (x − y)(f (x) − f (y))
est indépendant de (x, y) : la fonction f est monotone.
Remarques.
1) On peut trouver une autre démonstration de ce résultat dans le document 27 ”Image d’un
intervalle par une fonction continue”. L’ingrédient essentiel de cette autre preuve est encore le
théorème des valeurs intermédiaires.
2) Une démonstration plus courte de la proposition 28.4, mais qui utilise une fonction de
deux variables, est la suivante.
L’ensemble K = {(x, y) ∈ I 2 |x < y} est un connexe de R2 et son image par la fonction
continue g : (x, y) → (x − y)(f (x) − f (y)) est donc un connexe de R, c’est-à-dire un intervalle. Si
f est injective, cet intervalle ne contient pas 0 et donc g(K) ⊂ R+ ou g(K) ⊂ R− ce qui signifie
que f est monotone.
3) Si f n’est pas continue ou si f n’est pas monotone l’implication 1) ⇒ 2) peut être fausse
comme le montre les exemples suivants. A gauche, la fonction est définie sur un intervalle et
discontinue en un point, à droite elle est continue mais n’est pas définie sur un intervalle.
306
28. LES FONCTIONS RÉCIPROQUES
Avant d’énoncer le principal résultat du document, montrons une proposition qui est la
réciproque du théorème des valeurs intermédiaires dans le cas des fonctions monotones.
Proposition 28.5. Soit f une fonction monotone de Df ⊂ R dans R. Si l’image de f est
un intervalle I alors f est continue.
Preuve. En remplaçant éventuellement f par −f , on peut supposer f croissante. Considérons
a ∈ Df et > 0. On définit α ∈ R par :
• Si f (a) − ∈ I alors on prend α ∈ Df tel que f (α) = f (a) − . On a α < a car α ≥ a
implique f (α) ≥ f (a).
• Si f (a) − 6∈ I alors on prend α = −∞. On a encore α < a.
On définit aussi β ∈ R par :
• Si f (a) + ∈ I alors on prend β ∈ Df tel que f (β) = f (a) + . On a β > a car β ≤ a
implique f (β) ≤ f (a).
• Si f (a) + 6∈ I alors on prend β = +∞. On a encore β > a.
Dans tous les cas α < a < β et on va montrer que f ([α, β] ∩ Df ) ⊂ [f (a) − , f (a) + ] ce qui
entraine la continuité de f en a.
Soit t ∈ [α, β] ∩ Df . Si f (a) − ∈ I alors f (a) − = f (α) ≤ f (t) et si f (a) − 6∈ I alors, I
étant un intervalle, f (a) − minore I d’où f (a) − < f (t). (On a utilisé le fait que si I est un
intervalle alors tout élément qui n’appartient pas à I est soit un minorant soit un majorant de
I. Ici, f (a) − < f (a) entraine que f (a) − ne peut pas être un majorant de I.) On montre de
façon analogue que f (t) ≤ f (a) + .
On peut aussi donner cette autre preuve.
Si la fonction monotone f n’est pas continue alors f n’est pas continue à droite ou à gauche
en un point non isolé a de Df . C’est dire, en supposant f croissante, que l’un des intervalles
ouverts ]f (a−), f (a)[, ]f (a), f (a+)[ est non vide (f (a−) désigne la limite à gauche en a de f . De
même f (a+) est la limite à droite et l’une au moins de ces limites existe car f est monotone et
a non isolé dans Df .) Si par exemple, ]f (a−), f (a)[ 6= ∅ alors f est définie pour des valeurs plus
petites que a. Si b ∈ Df et b < a alors f (b) ≤ f (a−) < f (a) et f (Df ) n’est pas un intervalle car
f (a−) + f (a)
6∈ f (Df )).
[f (b), f (a)] 6⊂ f (Df ) (par exemple
2
Théorème 28.1. Soit f une application définie sur un intervalle I de R, continue et strictement monotone. L’application f possède une application réciproque f −1 , définie sur l’intervalle
J = f (I), continue et strictement monotone. De plus, f et f −1 varient dans le même sens.
Preuve. L’application f est une bijection de I sur f (I) = J qui est un intervalle car f est
continue. La proposition 28.1 entraine l’existence de f −1 qui est monotone en variant dans le
même sens que f . L’image de f −1 étant l’intervalle I, la proposition précédente entraine que
f −1 est continue sur J.
3. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS CONTINUES...
307
Remarque. Dans la proposition précédente, la partie difficile à montrer est la continuité de f −1 . Si
f n’est pas définie sur un intervalle l’exemple cicontre montre que f −1 n’est pas nécessairement continue. Cette exemple montre qu’une bijection continue n’a pas nécessairement un bijection réciproque
continue (Toute bijection continue n’est pas forcément
un homéomorphisme.).
On sait que si f est une fonction continue, définie sur un intervalle I, alors f (I) est un
intervalle mais cet intervalle n’est pas nécessairement de même nature (ouvert, fermé, semiouvert) que I. L’exemple classique est celui de la fonction x → x2 qui transforme l’intervalle
ouvert ] − 1, 1[ en l’intervalle semi-ouvert [0, 1[. A l’aide du lemme suivant on va montrer que
cela ne se produit pas pour les fonctions continues strictement monotones.
Lemme 28.1. Soit f une application continue croissante (resp. décroissante) définie sur un
intervalle I. Si a1 = inf I, a2 = sup I, b1 = inf f (I), b2 = sup f (I) alors lim f (x) = bi (resp.
x→ai
lim f (x) = bj , i 6= j).
x→ai
Preuve. On va montrer, en supposant f croissante, que lim f (x) = b1 . Les autres preuves
x→a1
sont analogues (Attention ! ai et bi peuvent être ±∞.) Si f (I) est réduit à un point (i.e. si f
est constante) le résultat est évident. Supposons donc f (I) non réduit à un point.
Soit V ∈ V(b1 ) (voir le document 25 ”Limite à l’infini ...” pour la définition). Il existe dans
V un élément y1 > b1 (b1 6= +∞) et il existe dans f (I), y2 > b1 . Si y = min(y1 , y2 ) alors
y ∈]b1 , y1 ]∩]b1 , y2 ] ⊂ V ∩ f (I). Soit x ∈ I tel que f (x) = y. On a x ≥ a1 et si x = a1 alors,
pour tout t ∈ I, t ≥ x d’où f (t) ≥ f (x) = y et inf f (I) ≥ y > b1 , ce qui est absurde. On a donc
x > a1 . Soit W =]a1 − η, a1 + η[ avec η = x − a1 si a1 6= −∞ et W =] − ∞, x[ sinon. Dans
les deux cas, W ∈ V(a1 ) et si t ∈ W ∩ I alors a1 ≤ t < x d’où b1 ≤ f (t) ≤ f (x) = y et y ∈ V
implique f (t) ∈ V . Finalement f (W ∩ I) ⊂ V et donc lim f (x) = b1 .
x→a1
Proposition 28.6. Soit f une application continue strictement monotone définie sur un
intervalle I. On pose J = f (I), a1 = inf I, a2 = sup I, b1 = inf J, b2 = sup J
(1) Si f est croissante alors ai ∈ I équivaut à bi ∈ J. Lorsque ai ∈ I on a f (ai ) = bi .
(2) Si f est décroissante et si i 6= j alors ai ∈ I équivaut à bj ∈ J. Lorsque ai ∈ I on a
f (ai ) = bj .
Preuve. 1). Si ai ∈ I alors, f étant continue, lim f (x) = f (ai ) et le lemme entraine f (ai ) = bi
x→ai
et donc bi ∈ J. En remplaçant f par f −1 on voit que si bi ∈ J alors ai ∈ I et f −1 (bi ) = ai d’où
f (ai ) = bi .
2) Preuve analogue.
308
28. LES FONCTIONS RÉCIPROQUES
Remarques.
1) Si f est continue monotone, la proposition
précédente peut être fausse. Ici a = sup I 6∈ I et
b = sup J ∈ J.
2) Le caractère borné d’un intervalle n’est pas
nécessairement conservé par une fonction continue
strictement monotone. Penser à la restriction de la
fonction tan à ] − π/2, π/2[.
3) Soit I et J deux intervalles non vides et non réduits à un point. Il existe une application
continue et strictement monotone f telle que f (I) = J (et donc f −1 (J) = I) si et seulement si
on est dans l’un des cas suivants :
(1) Les intervalles I et J sont ouverts.
(2) Chaque intervalle I et J a l’une des formes : ] − ∞, a], [a, +∞[, [a, b[ , ]a, b] (a, b ∈ R,
a < b).
(3) Les intervalles I et J sont fermés et bornés.
Si I et J sont bornés, il suffit de prendre pour f une application affine convenable. Sinon, on
peut définir f à l’aide de fonctions affines, de la fonction tan et de la fonction arctan.
On peut considérer sur l’ensemble des intervalles de R la relation d’équivalence ∼ définie par
:
I ∼ J ⇔ il existe f : I → J surjective, continue et strictement monotone.
Si I ∼ J on dit que I et J sont homéomorphes et, d’après ce qui précède, cette relation
d’équivalence possède cinq classes qui sont celles de : ∅, {0}, [0, 1], ]0, 1], ]0, 1[.
4. Dérivation des fonctions réciproques
Voir le document 26 ”Nombre dérivé et fonctions dérivées ”.
5. Exemples
5.1. Les fonctions puissances rationnelles. Soit n ∈ N∗ et fn l’application de R+
dans lui-même définie par fn (x) = xn . L’application fn est strictement croissante (Utiliser
f (x) − f (y) = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 ).), continue et surjective (Utiliser
le théorème des valeurs intermédiaires et lim fn (x) = +∞). Donc fn possède une application
x→∞
réciproque que l’on note f1/n . On remarque que fn ◦fm = fm ◦fn (= fn.m ) d’où fn = fm ◦fn ◦f1/m
et f1/m ◦ fn = fn ◦ f1/m . Si mq = np (m, n, p, q ∈ N∗ ) alors fm ◦ fq = fn ◦ fp et donc
m
fm ◦f1/n = fp ◦f1/q . La fonction composée fm ◦f1/n ne dépend donc que de r = . On peut donc
n
m
définir pour tout r ∈ Q∗+ une application fr de R+ dans R+ en posant fr = fm ◦ f1/n si r = ,
n
−1
−1 = f ◦ f
m, n ∈ N∗ . Notons que fr est bijective et (fr )−1 = (fm ◦ f1/n )−1 = f1/n
◦ fm
n
1/m = f1/r .
Lorsque n est impair, l’application gn de R dans R définie par gn (x) = xn est une bijection
qui prolonge fn . Elle possède donc une application réciproque qui prolonge f1/n .
La théorie des fonctions réciproques permet donc de définir, pour tout réel positif x et tout
rationnel positif r, le nombre réel xr . Elle permet aussi de donner un sens à x1/n pour x < 0 et
n entier impair.
5. EXEMPLES
309
5.2. Les fonctions trigonométriques et leurs inverses. La fonction qui à x ∈ [−π/2, π/2]
fait correspondre sin x ∈ [−1, 1] est surjective, continue et strictement monotone. Elle possède
donc une application réciproque notée arcsin et l’on a : arcsin(sin x) = x pour x ∈ [−π/2, π/2]
et sin(arcsin x) = x pour |x| ≤ 1.
On définit de façon analogue la fonction arccos et on démontre que pour |x| < 1 on a
1
−1
(arcsin)0 (x) = p
et (arccos)0 (x) = p
. Pour |x| < 1, on a donc
2
1−x
1 − x2
Z x
Z x
dt
−dt
√
√
arcsin x =
arccos x =
+ π/2 (arccos(0) = π/2).
2
1−t
1 − t2
0
0
Ces relations peuvent être considérées comme une définition des fonctions arcsin et arccos d’où,
en utilisant la théorie des fonctions réciproques, la possibilité de définir les restrictions de la
fonction sinus à ] − π/2, π/2[ et de la fonction cosinus à ]0, π[. On peut en déduire par parité
et périodicité une définition de sinus et cosinus. Evidemment, cette méthode suppose que l’on
a démontré auparavant que toute fonction continue possède une primitive.
De façon analogue on peut considérer que la fonction arctan est définie sur R par
Z x
dt
.
arctan x =
2
0 1+t
Cette fonction est une bijection continue et strictement croissante de R sur un intervalle de la
forme ] − a, a[, a > 0. Elle possède donc une application réciproque qui applique ] − a, a[ sur
R. On prolonge ensuite cette application réciproque à R \ {(2n + 1)a|n ∈ Z} par périodicité.
1
En se souvenant des relations
= 1 + tan2 x et sin x = tan x cos x, on en déduit une
cos2 x
définition des fonction sinus et cosinus sur R. Il reste ensuite à montrer que x = cos t,
y = sin t, t ∈ [0, 4a] est une paramétrisation du cercle trigonométrique pour en déduire, en
Z 4a q
(sin2 )0 (t) + (cos2 )0 (t)dt, que a = π/2 et achever la définition des fonctions
utilisant 2π =
0
trigonométriques.
5.3. Les fonctions exponentielles. Voir le document concernant ces fonctions.
5.4. Les fonctions homographiques. Soit a, b, c et d des nombres réels tels que ad−bc 6=
−d
ax + b
a
0. On considère l’application f qui à x ∈ R − {
} fait correspondre f (x) =
∈ R − { }.
c
cx + d
c
dx − b
−1
On montre facilement que cette application est bijective et que f (x) =
.
−cx + a
Ici la fonction f n’est ni monotone ni définie sur un intervalle. On peut cependant appliquer
d
d
les résultats précédents en considérant les restrictions de f à ] − ∞, − [ et ] − , +∞[.
c
c
310
28. LES FONCTIONS RÉCIPROQUES