Partie 1 - Séquence 1 Valeur absolue

Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Lycée Victor Hugo - Besançon - Première S
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| =
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
|2| =
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
|2| = 2
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
|2| = 2
√
| − 16| =
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
|2| = 2
√
| − 16| = | − 4|
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
|2| = 2
√
| − 16| = | − 4| = 4
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
|2| = 2
√
| − 16| = | − 4| = 4
3
Si |x| =
2
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Valeur absolue
I. Définition
Définition
On appelle valeur absolue d’un nombre x et on note |x| la
distance à zéro de ce nombre x.
Propriété
Une valeur absolue est toujours positive.
Exemples
| − 5| = 5
|2| = 2
√
| − 16| = | − 4| = 4
3
3
3
Si |x| = alors x = ou x = −
2
2
2
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Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est :
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est : |3 − 8| = | − 5| = 5
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est : |3 − 8| = | − 5| = 5
La distance entre −2 et 7 est :
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est : |3 − 8| = | − 5| = 5
La distance entre −2 et 7 est : | − 2 − 7| = | − 9| = 9
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est : |3 − 8| = | − 5| = 5
La distance entre −2 et 7 est : | − 2 − 7| = | − 9| = 9
La distance entre 3 et −4 est :
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est : |3 − 8| = | − 5| = 5
La distance entre −2 et 7 est : | − 2 − 7| = | − 9| = 9
La distance entre 3 et −4 est : |3 − (−4)| = |7| = 7
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est : |3 − 8| = | − 5| = 5
La distance entre −2 et 7 est : | − 2 − 7| = | − 9| = 9
La distance entre 3 et −4 est : |3 − (−4)| = |7| = 7
La distance entre −4 et −2 est :
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Propriété
La distance entre deux nombres x et y est égale à la valeur absolue
de la différence entre ces deux nombres x et y c’est à dire à |x − y|
(qui est aussi égal à |y − x|).
Exemples
La distance entre 3 et 8 est : |3 − 8| = | − 5| = 5
La distance entre −2 et 7 est : | − 2 − 7| = | − 9| = 9
La distance entre 3 et −4 est : |3 − (−4)| = |7| = 7
La distance entre −4 et −2 est :
| − 4 − (−2)| = | − 4 + 2| = | − 2| = 2
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
⇔ x = 3 ou x = −1
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
⇔ x = 3 ou x = −1
L’ensemble des solutions est donc S = {−1; 3} .
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
⇔ x = 3 ou x = −1
L’ensemble des solutions est donc S = {−1; 3} .
Résolvons l’équation |2x − 4| = 1.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
⇔ x = 3 ou x = −1
L’ensemble des solutions est donc S = {−1; 3} .
Résolvons l’équation |2x − 4| = 1.
|2x − 4| = 1 ⇔ 2x − 4 = 1 ou 2x − 4 = −1
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
⇔ x = 3 ou x = −1
L’ensemble des solutions est donc S = {−1; 3} .
Résolvons l’équation |2x − 4| = 1.
|2x − 4| = 1 ⇔ 2x − 4 = 1 ou 2x − 4 = −1
⇔ 2x = 5 ou 2x = 3
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
⇔ x = 3 ou x = −1
L’ensemble des solutions est donc S = {−1; 3} .
Résolvons l’équation |2x − 4| = 1.
|2x − 4| = 1 ⇔ 2x − 4 = 1 ou 2x − 4 = −1
⇔ 2x = 5 ou 2x = 3
3
5
⇔ x = ou x =
2
2
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
II. Résolution d’équations et d’inéquations
Exemples de résolutions d’équations
Résolvons l’équation |x − 1| = 2.
|x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 ou x − 1 = −2
⇔ x = 3 ou x = −1
L’ensemble des solutions est donc S = {−1; 3} .
Résolvons l’équation |2x − 4| = 1.
|2x − 4| = 1 ⇔ 2x − 4 = 1 ou 2x − 4 = −1
⇔ 2x = 5 ou 2x = 3
3
5
⇔ x = ou x =
2
2
L’ensemble des solutions est donc S =
3 5
;
2 2
Partie 1 - Séquence 1
.
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’équations en terme de distance.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’équations en terme de distance.
Par exemple résoudre |x − 1| = 2 revient à chercher les nombres qui
se situent à une distance de 2 unités du nombre 1.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’équations en terme de distance.
Par exemple résoudre |x − 1| = 2 revient à chercher les nombres qui
se situent à une distance de 2 unités du nombre 1.
−3
−2
•
−1
0
1
2
•
3
Partie 1 - Séquence 1
4
x
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
|x − 5| 6 2 ⇔ −2 6 x − 5 6 2
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
|x − 5| 6 2 ⇔ −2 6 x − 5 6 2
⇔ 36x67
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
|x − 5| 6 2 ⇔ −2 6 x − 5 6 2
⇔ 36x67
L’ensemble des solutions est donc S = [3; 7] .
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
|x − 5| 6 2 ⇔ −2 6 x − 5 6 2
⇔ 36x67
L’ensemble des solutions est donc S = [3; 7] .
Résolvons l’inéquation |x − 4| > 9.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
|x − 5| 6 2 ⇔ −2 6 x − 5 6 2
⇔ 36x67
L’ensemble des solutions est donc S = [3; 7] .
Résolvons l’inéquation |x − 4| > 9.
|x − 4| > 9 ⇔ x − 4 > 9 ou x − 4 6 −9
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
|x − 5| 6 2 ⇔ −2 6 x − 5 6 2
⇔ 36x67
L’ensemble des solutions est donc S = [3; 7] .
Résolvons l’inéquation |x − 4| > 9.
|x − 4| > 9 ⇔ x − 4 > 9 ou x − 4 6 −9
⇔ x > 13 ou x 6 −5
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Exemples de résolutions d’inéquations
Résolvons l’inéquation |x − 5| 6 2.
|x − 5| 6 2 ⇔ −2 6 x − 5 6 2
⇔ 36x67
L’ensemble des solutions est donc S = [3; 7] .
Résolvons l’inéquation |x − 4| > 9.
|x − 4| > 9 ⇔ x − 4 > 9 ou x − 4 6 −9
⇔ x > 13 ou x 6 −5
L’ensemble des solutions est donc S =] − ∞; −5] ∪ [13; +∞[ .
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’inéquations en terme de
distance.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’inéquations en terme de
distance.
Résoudre |x − 1| 6 2 revient à chercher les nombres qui se
situent à une distance inférieure à 2 unités du nombre 1.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’inéquations en terme de
distance.
Résoudre |x − 1| 6 2 revient à chercher les nombres qui se
situent à une distance inférieure à 2 unités du nombre 1.
−3
−2
−1
0
1
2
Partie 1 - Séquence 1
3
4
x
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’inéquations en terme de
distance.
Résoudre |x − 1| 6 2 revient à chercher les nombres qui se
situent à une distance inférieure à 2 unités du nombre 1.
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Résoudre |x − 2| > 1 revient à chercher les nombres qui se
situent à une distance supérieure à 1 unités du nombre 2.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Interprétation géométrique
On peut aussi interpréter ce type d’inéquations en terme de
distance.
Résoudre |x − 1| 6 2 revient à chercher les nombres qui se
situent à une distance inférieure à 2 unités du nombre 1.
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Résoudre |x − 2| > 1 revient à chercher les nombres qui se
situent à une distance supérieure à 1 unités du nombre 2.
−3
−2
−1
0
1
2
Partie 1 - Séquence 1
3
4
x
Valeur absolue
III. Fonction valeur absolue
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
III. Fonction valeur absolue
Définition
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par :
x 7→ |x|
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
III. Fonction valeur absolue
Définition
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par :
x 7→ |x|
Remarque
On a pour tout x ∈ R, | − x| = |x|. La fonction valeur absolue est
donc paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
III. Fonction valeur absolue
Définition
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par :
x 7→ |x|
Remarque
On a pour tout x ∈ R, | − x| = |x|. La fonction valeur absolue est
donc paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
Tableau de variation
x
|x|
0
−∞
+∞
ց
0
+∞
+∞
ր
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue
Courbe représentative de la fonction valeur absolue
y = |x|
O
Partie 1 - Séquence 1
Valeur absolue