Sommes, réels - Alain TROESCH
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Sommes, réels - Alain TROESCH
Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch Pour le 16/10/2014 DM no 4 : Sommes, réels Exercice 1 – Formules d’inversion de Pascal 1. Soit (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites telles que ∀n ∈ N, bn = n X n ak . k k=0 Montrer que pour tout m ∈ N, m X m am = (−1) k=0 2. Montrer que pour tout k ∈ N, m X m bk . (−1) k k m (−1) p(p − 1) . . . (p − k + 1) = (−1)m m!δk (m), p p=0 p où δk est le symbole de Kronecker défini par : δk (m) = 3. En déduire que pour tout k ∈ [[0, m]], m X (−1)p pk p=0 1 0 si k = m sinon. m = (−1)m m!δk (m). p 4. En déduire enfin la formule d’inversion polynomiale : si pour tout (m, n) ∈ N2 , bm (n) = m X ak nk , k=0 alors, pour tout m ∈ N, am = m 1 X m (−1)j bm (n − j). m! j=0 j Exercice 2 – Soit c la constante de Liouville, définie par : c= +∞ X 10−k! = lim n→+∞ k=0 n X 10−k! . k=0 Le but est de démontrer que c est un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients entiers ou rationnels. On établit en fait cette propriété pour une famille plus large de réels, appelés nombres de Liouville. Nous démontrons d’abord dans la question 1 que c est bien défini, puis dans la question 2 que c est irrationnel. 1. Convergence de la série définissant c En étudiant la convergence de la série, montrer l’existence de la constante de Liouville c = +∞ X k=0 2. Irrationnalité de c (a) Montrer que pour tout n ∈ N, +∞ X 10−k! 6 k=n+1 1 1 9· 10(n+1)!−1 . 10−k! . (b) Supposons qu’il existe deux entiers p et q tels que c = encadrant p10n! , trouver une contradiction. Conclure. p q. En remarquant que 10n! Sn est entier, et en 3. Inégalité des accroissements finis Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. À l’aide d’une intégration, montrer que si f est une fonction dérivable sur un intervalle [a, b], de dérivée continue sur [a, b] et telle que |f ′ | est majorée par M , alors |f (b) − f (a)| 6 M |b − a|. Justifiez que cette expression est encore valable si b 6 a, l’inervalle considéré étant alors [b, a]. 4. Théorème de Liouville (approximation diophantienne) Le but de cette question est de démontrer le théorème de Liouville, s’énonçant ainsi : Théorème de Liouville. Soit α un nombre algébrique non rationnel. p d > 2, tels que pour tout nombre rationnel , ((p, q) ∈ Z × N∗ ), on ait q Alors il existe un réel A > 0 et un entier p A : α − > d . q q Ce théorème affirme que les nombres algébriques non rationnels sont « assez mal » approchés par des rationnels. Soit α un nombre algébrique, c’est-à-dire tel qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers vérifiant P (α) = 0. On suppose de plus que α n’est pas rationnel. On admettra dans cette question qu’une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée. (a) Montrer qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers tel que P (α) = 0, de degré minimal dans l’ensemble de tous les polynômes non nuls vérifiant cette propriété. On se donne désormais un tel polynôme P et on note d son degré. (b) Justifier que d > 2. (c) Montrer que P ne peut pas avoir de racine rationnelle. p ∗ d > 1. (d) En déduire que pour tout (p, q) ∈ Z × N , q P q (e) À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, l’existence d’un réel M > 0 tel que pour tout en déduire p p nombre rationnel ((p, q) ∈ Z × N∗ ) tel que α − 6 1, on ait : q q α − p > 1 . q M qd 1 (f) En posant A = min 1, , montrer le théorème de Liouville. M 5. Transcendance de c On appelle nombre de Liouville un réel irrationnel x tel que : 1 pn 6 . ∀n ∈ N∗ , ∃(pn , qn ) ∈ Z × (N \ {0, 1}) , x − qn (qn )n (a) À l’aide du théorème de Liouville, montrer qu’un nombre de Liouville n’est pas algébrique (on dit qu’il est transcendant). (b) En déduire que c est transcendant. Problème 1 – Nombres de Stirling Partie I – Cycles et permutations de [[1, n]] Soient n et k deux entiers positifs Soit P = {P1 , . . . , Pk } une partition de [[1, n]]. Une répartition cyclique des éléments de [[1, n]] de support est la donnée d’un rangement « circulaire » des éléments dans chaque part de la partition P, donc la donnée, pour chaque part Pi , d’un objet qu’on notera [x1 , · · · , xℓ ], 2 dont les éléments sont les éléments de Pi , et déterminant un rangement cyclique de ces éléments. Formellement, un tel objet peut être vu comme classe d’équivalence sur {x1 , . . . , xℓ }ℓ associée à la fermeture transitive de la relation (x1 , · · · , xℓ ) ∼ (x2 , · · · , xℓ , x1 ). On rappelle que la fermuture transitive de ∼ est la relation ∼t définie par : X ∼t Y ⇐⇒ ∃k ∈ N, ∃Z1 , . . . Zk , X ∼ Z1 ∼ Z2 ∼ · · · ∼ Zk ≡ Y. Ainsi, deux rangements cycliques d’une part donnée sont égaux si on obtient l’un de l’autre par permutation circulaire. Par exemple, [1, 3, 4, 2] = [4, 2, 1, 3], mais [1, 3, 4, 2] 6= [4, 2, 3, 1]. On note C l’ensemble des rangements en cycles des entiers de [[1, n]], de support quelconque. 1. Montrer que ∼t est une relation d’équivalence sur {x1 , . . . , xℓ }. Ceci justifie la définition précédente. 2. Étant donnée une partition P = {P1 , . . . , Pk } de [[1, n]], on note pour tout i ∈ [[1, n]], ni le nombre de parts de cardinal i. n X ini ? (a) Que vaut i=1 (b) Déterminer le nombre de rangements en cycles de support P. (c) Déterminer le nombre de rangements en cycles dont le support a des parts de même taille que P. 3. Étant donné C un rangement cyclique d’entiers de [[1, n]], de partition support P, on appelle successeur de x ∈ [[1, n]] l’élément qui suit x dans l’unique cycle contenant x. Par exemple, dans le cycle [1, 4, 3], le successeur de 1 est 4, le successeur de 3 est 1. Pour un cycle de longueur 1, par exemple [1], 1 est successeur de lui-même. On note σC l’application de [[1, n]] dans lui-même associant à un élément x de [[1, n]] sont successeur dans le rangement en cycles C. (a) Montrer que σC est bien défini (b) Montrer que σC ∈ Sn . (c) Montrer que Φ : C 7→ σC est une injection de C dans Sn . 4. Montrer que Φ est bijective. Partie II – Nombres de Stirling " # n , le nombre de façons de ranger les n entiers de 1 à n dans Soit n et k deux entiers strictement positifs. On définit k k cycles, dont la somme des tailles est n (mais " la # taille de chaque cycle n’est pas imposée). On précise que les cycles n ne sont pas ordonnés entre eux. Les nombres sont appelés nombres de Stirling de première espèce. k ( ) ( ) n n sont appelés le nombre de partitions de l’ensemble [[1, n]] en k parts. Ces nombres On note également k k nombres de Stirling de deuxième ) " # ( ) " # ( espèce. 0 0 n n = 1. = = 0 si n ∈ N∗ , et = On pose par convention 0 0 0 0 1. Premières propriétés (a) (b) (c) (d) " # ( ) n n Justifier que si k > n, alors = 0 et =0 k k " # " # " # " # " # 2 2 3 3 3 Calculer , , , , . 1 2 1 2 3 " # n ∗ Montrer que pour tout n ∈ N , = (n − 1)! 1 ( ) n Montrer que pour tout n > 2, = 2n−1 − 1. 2 3 (e) (f) (g) (h) " # ( ) n n Soit n ∈ N , Que vaut ? ? n n " # ( ) n n n Montrer que pour tout n > 2, = = . 2 n−1 n−1 " # ( ) n n Montrer que pour tout (n, k) ∈ (N∗ )2 , > , avec égalité si et seulement si k > n − 1. k k " # n X n En utilisant la partie I, montrer que = n! k k=0 ∗ 2. Des relations de récurrence de type « Pascal » ( ) ( ) ( ) n n−1 n−1 (a) Montrer que pour tout n > 2, et pour tout k ∈ [[1, n]], =k + . k k k−1 " # " # " # n n−1 n−1 (b) Montrer que pour tout n > 2, et pour tout k ∈ [[1, n]], = (n − 1) + . k k k−1 Indication : classer les répartitions en cycle suivant que [n] est à lui seul un cycle ou non. 3. Des formules de conversion entre puissances Pour tout réel x et tout entier n, on note : • xn = x(x − 1) · · · (x − n + 1) (puissance factorielle descendante) • xn = x(x + 1) · · · (x + n − 1) (puissance factorielle ascendante). ( ) n X n n ∗ xk . (a) Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N , x = k k=1 (b) Qu’obtient-on pour x = n ? Justifier combinatoirement cette dernière égalité. (c) Justifier combinatoirement la formule obtenue avec x = −1 dans la question (a). " # n X n k x . Que retrouve-t-on pour x = 1 ? (d) Démontrer de même que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N∗ , xn = k k=1 " # n X n n n n ∗ (e) En exprimant x en fonction de (−x) , en déduire que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N , x = (−1)n−k xk . k k=1 ∗ (f) Déduire des questions précédentes que, pour tout (m, n) ∈ (N∗ )2 , " #( ) n X n k (−1)n−k = 1m (n), k m k=m où 1m (n) prend la valeur 1 si m = n, et la valeur 0 sinon. 4. Deux autres formules amusantes :) ( ( ) n X n + 1 k n ∗ 2 (a) Pour tout (m, n) ∈ (N ) , = . k m+1 m k=m ( ) ( )( ) X n n k n − k ℓ + m n (b) Pour tout (m, n, ℓ) ∈ (N∗ )3 , = . ℓ k ℓ+m ℓ m k=1 4