Chapitre 5 : « Puissances entières d`un nombre »
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Chapitre 5 : « Puissances entières d`un nombre »
4ème 2010-2011 Chapitre 5 : « Puissances entières d'un nombre » I Rappels 1/ Multiplication de relatifs Exemples • – 3×– 10 ×1,5=3×15=45 • – 1×6×– 2× – 7=– 84 • – 5×1 ×– 7=35 Règles de signe • – par – donne • – par donne – • etc. Lorsqu'il y a plus de deux facteurs On compte les facteurs négatifs, s'il y en a un nombre : • pair, le résultat est positif, • impair, le résultat est négatif. 2/ Vocabulaire Un produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs. II Puissances d'un nombre relatif 1/ Activité Je transmets un mail à deux personnes, ces deux autres personnes transmettent ce même mail à deux personnes etc. • 1ère étape : 2 • 2ème étape : 2×2=4 • 3ème étape : 2×2×2=8 • etc. 4ème 2010-2011 Prendre la puissance d'un nombre, c'est le multiplier par lui-même un certain nombre de fois : • « trois puissance deux » : 3×3=9 • « – 5 puissance deux » : – 5×– 5=25 • « – 2 puissance trois » : – 2× – 2×– 2=– 8 Pour noter « 3 puissance 2 », on écrit 32 : « on multiplie deux fois le nombre trois par luimême » : • – 42=– 4×– 4 =16 • – 43 =– 4×– 4× – 4= – 64 • 0,12 =0,1×0,1=0,01 2/ À retenir Définition a représente un nombre relatif et n un nombre entier. « a puissance n » s'écrit a n et signifie que l'on va multiplier le nombre a , n fois par luimême. a n=a×a ××a n fois le facteur a Savoir s'exprimer a n se dit « a puissance n » ou « a exposant n ». 3 a 2 se dit « a au carré » et a se dit « a au cube ». Exemples – 53 =– 5×– 5× – 5= – 125 34 =3×3×3×3=3×3×3×3=9×9=81 Remarques – 24 est positif car on peut regrouper par deux les facteurs : – 2× – 2×– 2× – 2 =16 =4 =4 116 Donc – 1 =1 Lorsque la puissance est impaire, par exemple dans – 25 , si on regroupe par 2 il reste tou jours un facteur négatif qui est seul : – 25=– 2× – 2×– 2× – 2× – 2=4×4×– 2=– 32 =4 =4 4ème 2010-2011 Propriété a est un nombre positif et n représente un nombre entier. n • Si n est pair alors – a est positif. • Si n est impair alors – an est négatif. Exemples – 1,0517 est négatif car la puissance 17 est impaire/ 4,57 est positif car 4,5 est positif (aucun lien avec la puissance 7 ) – 118 =1 Attention à … – 4 2= –4×4=– 16 (Attention, la puissance 2 ne concerne que le 4 !) 2 Par contre – 4 =– 4×– 4=16 2×4 ³=2×4×4×4=128 3 2×4 ³=8 =8×8×8=64×8=512 2 ³×4=2×2×2×4=32 Point de calcul mental A connaître par cœur : 8=23 32=25 125=53 3 2 64=4 =8 2 121=11 0,01=0,1×0,1=0,12 (un dixième fois un dixième donne un centième) 3 – 27= – 3 – 125= – 53 2 – 9= pas possible car – 3 =9 . Rappel sur les nombres décimaux Dans 125,9876542 : • 125 est la partie entière, • 9 876 542 est la partie décimale, • 9 est le chiffre des dixièmes, 8 celui des centièmes, 7 celui des millièmes... 4ème 2010-2011 À connaître par cœur : • 0,1= 1 est un dixième, 10 1 • 0,01= est un centième, 100 • 0,001= 1 est un millième 1000 • ... Dans cette idée, il faut savoir que : • un centième d'euro, c'est un centime, • un millième de mètre, c'est un millimètre • ... III Règles de calcul 1/ Multiplication Activité 2 3×2 4 correspond à un produit où l'on multiplie le facteur 2 trois fois par lui-même, puis quatre fois par lui-même. En tout, on le multiplie sept fois par lui-même, donc : 2 3×2 4=27 . Calcule de même : • – 36×– 35=– 311 • 513×525=538 • 2,517 ×2,518=2,535 • 34 ×4 7 ne donne rien ! Propriété a , n et p sont trois nombres. n et p sont deux nombres entiers positifs a n×a p=a n p Exemples • – 57 ×– 45 ×– 511 = – 518× – 45 • 8×216 =23×2 16=219 • 25×– 512 =– 52 ×– 512 =– 514 4ème 2010-2011 Point méthode Il faut parfois faire une transformation avant d'utiliser cette règle de calcul. A= – 215×512 ×– 8×125×5 A= – 215×512 ×– 23×53×51 (On a mis les nombres sous la forme d'une puissance) A=512×53×51 ×– 215× – 23 (On regroupe) A=516× – 2 18 (On applique la règle de calcul) Notation 1 5=51 ; – 7=– 7 Attention à … 18 2 21 B=2 ×2 ×2=2 !!! Encore des exemples (au retour des vacances) 3 4 2 5 =5×5=25 ; – 2 = – 2×– 2× – 2= – 8 ; – 10 =10 000=10 000 2 3 2 2 2 2×2 4 ; 2 2×2×2 8 3 ; = × = = 0,1 =0,001 – =– =– 3 3 3 3×3 9 5 5×5×5 125 3 5 8 3 8 11 ; – 3 ×– 3 =– 3 5 ×5 =5 2/ Diviser Activité 54 5×5×5×5 2 – 36 – 3×– 3×– 3×– 3×– 3×– 3 2 = =5 ; =– 3 2 4= 5×5 – 3×– 3×– 3×– 3 5 – 3 Propriété a représente un nombre relatif non nul. n et p représente deux nombres entiers tels que n p . an =a n – p p a Exemples 6 8 57 3 6 =65 4 = 41=4 34 34 3 ; ; ; =5 = =3 45 3 31 63 54 4ème 2010-2011 3/ Point méthode : des calculs à savoir refaire 12 8 Comment simplifier l'expression A= 3 ×3 ? 27×34 320 A= 27×3 4 3 20 A= 3 4 3 ×3 320 A= 7 3 13 A=3 4/ Avec des mêmes puissances... Activité Peut-on simplifier l'expression 53×73 ? Pourquoi ? 53×73 =5×5×5×7×7×7=5×7×5×7×5×7=5×73=353 On généralise... Propriété a et b représentent deux nombres relatifs. n représente un nombre entier positif. a n×bn =abn Exemples – 27 ×157 =– 307 ; – 75×– 85 =565 ; 1,59×69 =9 9 5/ Autre point méthode A savoir refaire... 7 12 A=5 ×2 ×5 A=512×212 12 A=10 5 B=32×78 ×23 5 8 3 B=2 ×7 ×2 8 8 B=2 ×7 B=148 4ème 2010-2011 Rappels A connaître presque par cœur : 64=82 ; 64=43 ; 64=26 27=3 3 ; 81=34 ; 81=92 125=53 ; 10 000=104 ; 10 000=1002 0,01=0,12 … 121=112 ; 144=122 IV Avec un exposant négatif 1/ Activité 55 5×5×5×5×5 3 = =5 5×5 52 54 5×5×5×5 4 – 2 2 = =5 =5 5×5 52 53 5×5×5 3– 2 1 = =5 =5 5×5 52 52 5×5 2 – 2 0 = =5 =5 =1 ! 52 5×5 51 5 1 = =51 – 2=5– 1 = 2 5 5 5×5 0 5 1 1 = =50 – 2=5 – 2= 2 5×5 5 5×5 –3 De même 5 = 1 ... 5×5×5 2/ Définition/Notation a représente un nombre relatif non nul. n représente un nombre entier positif. 1 a – n = n « – n est l'inverse de n » a a a Exemples 1 1 10 – 2= 2 = =0,01 ; 2 – 2 = 1 = 1 =0,25 10 10×10 2×2 4 4ème 2010-2011 3/ Règles de calcul dans le cas général Activité 2 4 ×2 – 7 =2×2×2×2× 1 2×2×2×2×2×2×2 1 =2 – 3 2×2×2 Puisque 4 – 7= – 3 ou tout simplement 4 – 7= – 3 , il semble qu'on peut généraliser les règles de calcul lorsqu'il y a des puissances négatives... On va l'admettre ! 2 4 ×2 – 7 = Des règles de calcul a représente un nombre relatif non nul. n et p sont des nombres entiers. a n×a – p =a n – p ; a – n ×a – p=a – n – p ; a – n ×a p =a – n p Exemples 75 ×7 – 8=75 – 8=7– 3 5 –5 ×5 – 11=5– 16 – 37×– 3– 2 =– 35 82 ×8 – 7×8 4×8– 12 =86 ×8 – 19=8 – 13 Encore des exemples –6 5 35 −1 ; 3 =3– 6 – 8 =3 – 14 ; 3 =35 – – 2=3 52=37 =3 38 3– 2 36 Point méthode : attention ! 7 – 5 « Il faut soustraire les puissances : – 5– – 3= – 53= – 2 » 7– 3 –5 Donc 7 – 3 =7 – 2 . 7 V Conduire un calcul Exemples • 423 =48=12 ; 5−32 =5−9=−4 ; 3×2 4=3∗16=48 • 32×5 2=3102 =13 2=169 • 2−85−64 =2−8−12 =2 – 8×1=2 – 8= – 6 4ème 2010-2011 Ordre de priorité dans les opérations • Les parenthèses, • les puissances, • les multiplications et divisions, • les additions et soustractions. Exemples A=2 652 A=2 112 A=2×121 A=242 B=19 – 3 2 ×4,2 B=19 – 9×4,2 B=10×4,2 B= 42 VI Remplacer dans une expression littérale Exemple 1 2 On considère A= – 2× x 2× x – 7 . Calcule A pour x=5 A= – 2×522×5 – 7 A= – 2×2510 – 7 A= – 5010 – 7 A= – 40 – 7 A= – 47 Exemple 2 B= x 4 – 3 x 3 pour x=– 2 B= – 24 – 3× – 23 B=16 – 3×– 8 B=1624 B= 40 Pour mardi 11 janvier • Contrôle sans calculatrice • Faire signer les carnets de correspondance C=2 2 24×22 C=2 2 282 C=2 2×102 C=20 2 C=400