ouvrir le document

Transcription

ouvrir le document - maths

maths-s.fr - Fiche méthode
Chapitre 5: équations de droites
1 L’essentiel
2
2 Tracer une droite définie par une équation cartésienne
2
3 Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur
3.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4 Déterminer une équation cartésienne
4.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exemple : droite définie par deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Exemple : droite définie un point et un vecteur directeur . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
5 Droites parallèles
5.1 rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Vérifier que deux droites sont parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Déterminer une équation d’une droite parallèle à une droite donnée . . . . . . . . . .
6
6
6
7
R
F
S.
S-
H
W
AT
.M
W
W
H
AT
.M
W
W
R
F
.
S
S-
W
Chapitre 5: Géométrie plane
Page 1/8
Maths première S
www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite
Table des matières
→ −
−
→
Le plan est muni d’un repère (O; i ; j ).
L’essentiel
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 (a, b
et c réels avec (a; b) 6= (0; 0) )
→
et le vecteur −
u (−b; a) est un vecteur directeur de cette droite.
Un point A(xA ; yA ) appartient à cette droite si et seulement si axA + byA + c = 0
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (ce qui re-
R
F
S.
vient à dire que les coefficients respectifs de x et y de leurs équations cartésiennes sont proportionnels)
S-
H
T
Il y a une infinité d’équations cartésiennes pour
Aune même droite.
Si (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées,
.M en isolant y, on retrouve l’équation réduite
W
de la droite (AB).
W
Si le coefficient de x est nul, la droite est parallèle à l’axe des abscisses(équation de la forme
W
−c
by + c = 0 ⇐⇒ y =
, b 6= 0).
Remarques :
1.
2.
3.
4.
2
b
Si le coefficient de y est nul, la droite est parallèle à l’axe des ordonnées(équation de la forme
−c
, a 6= 0).
ax + c = 0 ⇐⇒ x =
a
Tracer une droite définie par une équation cartésienne
R
F
.
r Exemple 1 :Tracer une droite
S
Tracer la droite ∆ dont une équation cartésienne
S- est −x − 3y + 2 = 0
H
âApplication ex 531
AT de deux points distincts de ∆.
Méthode 1 : Déterminer les coordonnées
Si ∆ n’est pas parallèle aux axes
.Mdu repère(voir aide mémoire), on peut par exemple prendre
W
x = 0 puis calculer y
W x afin de déterminer les coordonnées des points d’intersection de
et ensuite y = 0 et calculer
W
∆ avec les axes du repère.
A
A
B
B
Méthode 2 : Déterminer les coordonnées d’un point de ∆ et d’un vecteur directeur.
Si a 6= 0, on peut déterminer les coordonnées de A(xA ; 0) ∈ ∆
A(xA ; 0) ∈ ∆
⇐⇒ axA + byA + c = 0.....
Page 2/8
Maths première S
1
→
et le vecteur −
u (−b; a) est un vecteur directeur de δ
* Solution:
• A(xA ; 0) ∈ ∆
⇐⇒ −xA + 2 = 0
⇐⇒ xA = 2 donc A(2; 0) ∈ ∆
• B(0; yB ) ∈ ∆
R
F
S.
⇐⇒ −3yB + 2 = 0 2
2
⇐⇒ yB = donc B 0;
3
3
S-
H
W
AT
.M
W
W
Méthode 2 :
• A(xA ; 0) ∈ ∆
⇐⇒ −xA + 2 = 0
⇐⇒ xA = 2 donc A(2; 0) ∈ ∆
R
F
.
S
S-
−
• a = −1 et b = −3 donc le vecteur →
u (3; −1) est un vecteur directeur de ∆
H
AT
.M
W
W
W
Page 3/8
Maths première S
Méthode 1 :
3
Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur
3.1
Rappel
→
Si la droite ∆ a pour équation cartésienne, le vecteur −
u (−b; a) est un vecteur directeur de ∆.
→
→
Remarque : Tout vecteur −
v colinéaire à −
u est aussi un vecteur directeur de ∆
3.2
Exemple
r Exemple 2 : vecteur directeur
R
F
S.
5
Déterminer un vecteur directeur de la droite (d) d’équation cartésienne 2x − y + 2 = 0
2
* Solution:
S-
H
−5
5
→
−
On a ici a = 2 et b =
donc le vecteur u
; 2 est un vecteur directeur de (d) .
2
2
→
→
→
Le vecteur −
v = 2−
u est aussi un vecteur directeur de (d) et −
v (5; 4).
AT
.M
→
Remarque :On peut aussi retrouver les coordonnées de −
v
5
en écrivant que 2x − y + 2 = 0 ⇐⇒ 4x − 5y + 4 = 0
2
W
W
W
4
Déterminer une équation cartésienne
4.1
Méthode
• Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite s’il n’est pas donné.
−→
Si la droite passe par les points A(xA ; yA ) et B(xb ; yB ), le vecteur AB(xB − xA ; yB − yA ) est un
R
F
.
1. Méthode 1 : Utiliser le critère de colinéarité
S
→
Si la droite ∆ passe par A(x ; y ) et aS
pour vecteur directeur −
u,
H
M (x; y) ∈ ∆
T
A
−−→ −
→
⇐⇒ AM et u colinéaires
.M
−y x
=0
⇐⇒ x y
W
2. Méthode 2 : Utiliser
W les coordonnées d’un vecteur directeur
→
Si −
u (x ; y W
) est un vecteur directeur de la droite alors on peut choisir a = y
vecteur directeur de la droite (AB)
•
A
−
→
−→
u −
AM
−
→
u
A
−
→
−→
u −
AM
−
→
u
−
→
u
→
et b = −x−
u
Pour déterminer le réel c, il suffit d’utiliser les coordonnées d’un point de la droite :
A(xA ; yA ) appartient à la droite si et seulement si axA + byA + c = 0 (équation d’inconnue
c puisque a, b, xA et yA sont connus)
Page 4/8
Maths première S
4.2
Exemple : droite définie par deux points
r Exemple 3 : Droite définie par deux points
* Solution:
(
→ = xB − xA = −4 − 2 = −6
x−
AB
→ = yB − yA = 5 − (−3) = 8
y−
AB
−→
donc AB(−6; 8) est un vecteur directeur de (d).
1.
R
F
S.
Méthode 1 : Utiliser le critère de colinéarité
M (x; y) ∈ (AB)
−→ −−→
⇐⇒ AB et AM colinéaires
H
→ y−−→ − y−→ x−−→ = 0
⇐⇒ x−
AB AM
AB AM
⇐⇒ −6(y + 3) − 8(x − 2) = 0
⇐⇒ −8x − 6y − 2 = 0
S-
W
AT
.M
W
⇐⇒ 4x + 3y + 1 = 0 (en divisant
W par −2)
4x + 3y + 1 = 0 est une équation cartésienne de (d)
2.
Méthode 2 : Utiliser les coordonnées d’un vecteur directeur
−→
AB(−6; 8) est un vecteur directeur de la droite, on a alors a = 8 et −b = −6 soit b = 6 donc
la droite admet une équation cartésienne de la forme 8x + 6y + c = 0.
A ∈ (d)
⇐⇒ 8xA + 6yA + c = 0
⇐⇒ 16 − 18 + c = 0
R
F
.
S
S-
H
8x + 6y + 2 = 0 est une équation cartésienne
AT de (d)
.M
Remarque :
W
8x + 6y + 2 = 0 ⇐⇒ 4x + 3y + 1 = 0
W
W
⇐⇒ c = 2
Page 5/8
Maths première S
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par A(2; −3) et B(−4; 5)
4.3
Exemple : droite définie un point et un vecteur directeur
r Exemple 4 :Droite définie par un point et un vecteur
* Solution:
M (x; y) ∈ (d)
−−→
→
⇐⇒ −
u et AM colinéaires
R
F
S.
→
−→ − y−
→
−→ = 0
⇐⇒ x−
u y−
u x−
AM
AM
S-
⇐⇒ −4(y + 1) − 3(x − 3) = 0
H
T
−3x − 4y + 5 = 0 est une équation cartésienne de (d).
A
M
Remarque(identique à celle de l’exemple .précédent)
−
→
Wdroite, on a alors a = 3 et −b = −4 soit b = 4 donc la
u (−4; 3) est un vecteur directeur de la
droite admet une équation cartésienneW
de la forme 3x + 4y + c = 0.
W
A(3; −1) ∈ (d)
⇐⇒ −3x − 4y + 5 = 0
⇐⇒ 3xA + 4yA + c = 0
⇐⇒ 9 − 4 + c = 0
⇐⇒ c = −5
3x + 4y − 5 = 0 est une équation cartésienne de (d) ou bien −3x − 4y + 5 = 0.
Droites parallèles
5
5.1
rappel
R
F
.
S
S-
H
AT
5.2 Vérifier que deux droites
.M sont parallèles
W
méthode
W
• Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de chacune des droites
W
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
• Déterminer si ces vecteurs directeurs sont colinéaires
r Exemple 5 : Déterminer si deux droites sont parallèles
Les droites (d) et (d0 ) d’équations respectives 2x − 4y + 5 = 0 et −3x + 7y + 2 = 0 sont-elles
parallèles ?
* Solution:
Page 6/8
Maths première S
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par A(3; −1) et de vecteur directeur
−
→
u (−4; 3)
−
→
u (4; 2) est un vecteur directeur de (d).
→
−
v (−7; −3) est un vecteur directeur de (d0 ).
→
→
→
→
x−
u y−
v − y−
u x−
v
= 2 6= 0
→
→
donc −
u et −
v ne sont pas colinéaires
donc (d) et (d0 ) ne sont pas parallèles.
Remarque : (d) et d0 ) sont parallèles si les coefficients a et b sont proportionnels aux coefficients
R
F
S.
a0 et b0
5.3
S-
Déterminer une équation d’une droite parallèle à une droite donnée
H
T
A de la droite donnée.
• Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur
.M3.3 : Déterminer une équation cartésienne d’une
• Utiliser le critère de colinéarité(voir partie
W directeur)
droite définie par un point et un vecteur
W
r Exemple 6 : équation d’une
W droite parallèle à une droite donnée
méthode
Déterminer une équation de (d0 ) passant par A(2; −3) et parallèle à (d) d’équation 2x − 4y + 5 =
0.
* Solution:
−
→
u (4; 2) est un vecteur directeur de (d0 ).
M (x; y) ∈ (d0 )
−−→
→
⇐⇒ −
u et AM colinéaires
→
−→ − y−
→
−→ = 0
⇐⇒ x−
u y−
u x−
AM
AM
R
F
.
S
S-
H
AT
⇐⇒ −2x + 4y + 16 = 0
.M
⇐⇒ −x + 2y + 8 = 0
W cartésienne de (d )
−x + 2y + 8 = 0 est une équation
W
Autre méthode (voir aussi méthode 2 partie 4.) :
W
−
→
⇐⇒ 4(y + 3) − 2(x − 2) = 0
0
u (4; 2) est un vecteur directeur de la droite (d0 ), on a alors a = 2 et −b = 4 soit b = −4 donc la
droite (d0 ) admet une équation cartésienne de la forme 2x − 4y + c = 0.
A(2; −3) ∈ (d0 )
⇐⇒ 2xA − 4yA + c = 0
⇐⇒ 4 + 12 + c = 0
Page 7/8
Maths première S
= 4 × (−3) − 2 × (−7)
⇐⇒ c = −16
2x − 4y − 16 = 0 est une équation cartésienne de (d) ou bien −x + 2y + 8 = 0 (en divisant par
−2)
R
F
S.
S-
H
W
AT
.M
W
W
H
AT
.M
W
W
R
F
.
S
S-
W
Page 8/8
Maths première S

ouvrir le document - maths

Transcription

Documents pareils

POSTER - Département de Mathématiques

Nouvelle méthode de résolution des équations du 3eme degré 1

Chute libre verticale

Université des Sciences et Technologies de Lille Deug MIAS 1`ere

UPMC 1M001 Université Pierre et Marie Curie 2014-2015

1´Equation cartésienne du plan (ABC) défini par trois points A,B,C

Modélisation d`un pendule double

Méthodes d`Euler, de Runge-Kutta et de Heun.

École Normale Supérieure, École Polytechnique, Paris VI, VII et XI