Cours S1 – Parité d`une fonction

Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Cours S1 – Parité d’une fonction
Pour étudier les variations d’une fonction, il peut être utile (voire indispensable) de démontrer que la fonction possède
certaines particularités et ceci afin de réduire l’intervalle sur lequel on doit étudier cette fonction.
I.
Ensemble centré en 0.
Définition :
On dit qu’un ensemble de réels E est centré en zéro lorsque l’opposé de tout réel de E appartient aussi à E
càd si ┐x☻E, -x☻E.
Exemples :
[-2;2]……………………………………...car…………………………………………………………………
]-õ;-1]∟[1;+õ[……………………………………car……………………………………………………..
IR\{-2}……………………………………………..car………………………………………………………….
Exercice : Parmi les ensembles de réels suivants, entourer ceux qui sont centrés en 0 :
IR ;
]-1;1[ ;
]-1;1] ;
]-1 ;3[ ;
IR \ {- 2 ; 2 } ;
]-2;0[∟]0;2[ ;
]-1;0[∟]0;1]
II.
IR+ ;
]-õ;2[∟]2;+õ[ ;
Fonctions paires, fonctions impaires
Fonction paire
Définition :
Fonction impaire :
Une fonction f , définie sur un ensemble Df
est paire lorsque :
(i)
Df est centré en zéro.
(ii) ┐x☻D f , f(-x)=f(x).
Exemple :
Montrer que la fonction définie sur IR par f( x)= x 4 est paire.
(i) IR est centré en zéro
(ii) ┐ x☻IR, f(- x)=(- x)4= x 4= f( x)
Exemple :
Montrer que la fonction définie sur IR par f( x)= x 3 est
impaire.
(i) IR est centré en zéro
(ii) ┐ x☻IR, f(- x)=(- x)3= (- x)×(- x)×(- x)=- x 3=- f( x)
Ainsi f est impaire.
Ainsi f est paire.
Représentation
graphique :
Une fonction f, définie sur un ensemble Df
est impaire lorsque :
(i)
Df est centré en zéro.
(ii)
┐x☻D f , f(-x)=-f(x)
Dans un repère orthogonal, la courbe
représentative d’une fonction paire est
symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Dans un repère quelconque, la courbe
représentative d’une fonction impaire est
symétrique par rapport à l’origine du
repère.
y
y
3
6
Exemple :
x→x 4
Exemple :
x→x 3
5
2
1
4
-2
-1
0
3
-1
2
-2
1
-3
-2
-1
0
1
2 x
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1
2 x
Remarques :
- Etudier la parité d’une fonction revient à déterminer si elle est paire, impaire ou ni paire, ni impaire.
- La fonction nulle est la seule fonction qui soit à la fois paire et impaire.
- Pour montrer qu’une fonction définie sur Df n’est pas paire, il suffit :
Soit de montrer que son ensemble de définition Df n’est pas centré en zéro ;
Soit de montrer qu’il existe un réel a de Df tel que f(- a ) ý f( a ).
- Pour montrer qu’une fonction définie sur Df n’est pas impaire, il suffit de :
Soit de montrer que son ensemble de définition Df n’est pas centré en zéro ;
Soit de montrer qu’il existe un réel a de Df tel que f(- a ) ý - f( a ).
III.
Exercices
Exercice 1 : Etudier la parité des fonctions suivantes :
1
f1 : x→x 2+4 définie sur IR ;
f2 : x→ 2 définie sur IR*
;
x
2x+1
définie sur IR \ {2} ;
f5 : x→(x−3)2−(x+3)2 définie sur IR ;
f4 : x→
x−2
1
f 7 :x→x+ 2 définie sur IR* ;
f8 : x→ x+4 définie sur [-4;+õ[ ;
x
x
définie sur IR ;
x 2+1
3
f6 : x→2x− définie sur IR* ;
x
x 2−1
f9 : x→ 2
définie sur IR.
x +1
f3 : x→
Exercice 2
La figure ci-contre montre une partie de la courbe représentative d’une fonction f définie
sur IR .
Compléter en rouge cette courbe de sorte que la fonction f soit paire puis compléter la
courbe en vert de sorte que la fonction f soit impaire.
y
1
0
1
x
Exercice 3
Préciser la parité des fonctions représentées ci-dessous :
y
y
y
b)
c)
1
0
[
]
1
1
x
0
1
x
y
d)
e)
y
y
1
f)
1
a)
0
1
0
0
1
1
1
1
x
x
0
1
x
Exercice 4
1. On donne le tableau incomplet des variations d’une fonction f définie sur [-4;4]. Compléter le sachant que f est paire.
x
0
1
2
4
-4
1
2
f(x)
0
-2
2. On donne le tableau incomplet des variations d’une fonction f définie sur [-3 ;3].
Compléter le sachant que f est impaire.
x
0
2
-3
2
f(x)
0
3
-1
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