Exercices n° 8, 9, 10, 11, 19, 20 et 26 p 256-258

☺ Exercice p 256, n° 8 :
Dans la figure ci-dessous, les points A, B et C sont sur le cercle de centre I.
A
(C )
I
C
B
1) Reproduire la figure.
.
2) a) Colorer en rouge l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit BAC
.
b) Marquer en bleu l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle que l’angle inscrit BAC
= 65° , déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle BIC
.
3) Sachant que BAC
Correction :
1) 2) Figure :
(C )
A
65°
I
?
C
B
:
3) Mesure de l’angle BIC
est l’angle au centre associé à l’angle inscrit BAC
.
Dans le cercle ( C ) , l’angle saillant BIC
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
donc
= 1 BIC
BAC
2
BIC = 2 × BAC
= 2 × 65
BIC
= 130° .
BIC
mesure donc 130°.
L’angle BIC
☺ Exercice p 256, n° 9 :
Dans la figure ci-dessous, les points A, B et C sont sur le cercle de centre I.
A
(C )
I
C
B
La mesure de l’angle ACB est égale à 55°.
Quel est l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle que l’angle inscrit ACB ?
Déterminer, en justifiant, la mesure de cet angle au centre.
Correction :
A
(C )
?
I
55°
C
B
Mesure de l’angle AIB :
Dans le cercle ( C ) , l’angle saillant AIB est l’angle au centre associé à l’angle inscrit ACB .
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
donc
1
ACB = AIB
2
AIB = 2 × ACB
AIB = 2 × 55
AIB = 110° .
L’angle AIB mesure donc 110°.
☺ Exercice p 256, n° 10 :
Dans la figure ci-dessous, les points P, M, N et R appartiennent à un même cercle ( C
.
Déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle PNR
) de centre O.
N
(C )
M
55°
O
R
P
Correction :
N
M
(C )
?
55°
O
R
P
:
Mesure de l’angle PNR
et PNR
interceptent le même arc PR
.
Dans le cercle ( C ) , les angles inscrits PMR
Or, dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
a la même mesure que PMR
, soit 55°.
Donc l’angle PNR
☺ Exercice p 256, n° 11 :
Dans la figure ci-dessous, les points A, E, B et D appartiennent au cercle de centre O.
1) Déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle ADB .
2) Déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle AEB .
A
(C )
D
E
80°
O
B
Correction :
A
(C )
D
?
E
80°
?
O
B
1) Mesure de l’angle ADB :
Dans le cercle ( C ) , l’angle saillant AOB est l’angle au centre associé à l’angle inscrit ADB .
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
1
ADB = AOB
2
1
ADB = × 80
2
AOB = 40° .
L’angle AOB mesure donc 40°.
2) Mesure de l’angle AEB :
Dans le cercle ( C ) , l’angle rentrant AOB est l’angle au centre associé à l’angle inscrit AEB .
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
AEB mesure donc 140°.
L’angle 1
AEB = AOB
2
1
AEB = × ( 360 − 80 )
2
AEB = 140° .
☺ Exercice p 258, n° 19 :
Dans la figure ci-dessous, les points R, P et M sont sur le cercle de centre O.
(C )
O
M
R
P
1) Reproduire la figure.
.
2) Marquer l’angle au centre et l’angle inscrit de sommet M qui interceptent le même arc de cercle RP
= 65° , déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle RMP
.
3) Sachant que ROP
Correction :
1) 2) Figure :
(C )
O
65°
?
R
M
P
est l’angle au centre associé à l’angle inscrit RMP
.
3) Dans le cercle ( C ) , l’angle saillant ROP
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
mesure donc 32,5°.
L’angle RMP
☺ Exercice p 258, n° 20 :
= 1 ROP
RMP
2
1
= × 65
RMP
2
= 32,5° .
RMP
Dans la figure ci-dessous, les points R, P et M appartiennent au cercle ( C
) de centre O.
(C )
O
M
R
P
1) Reproduire la figure.
.
2) a) Colorer l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit RPM
b) Tracer, puis colorier l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle.
= 105° , déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle colorié à la question 2.b.
3) Sachant que RPM
Correction :
1) 2) Figure :
(C )
?
O
M
105°
R
P
.
3) Dans le cercle ( C ) , l’angle rentrant ROM est l’angle au centre associé à l’angle inscrit RPM
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
donc
= 1 ROM
RPM
2
ROM = 2 × RPM
ROM = 2 × 105
ROM = 210° .
L’angle ROM mesure donc 210°.
☺ Exercice p 258, n° 26 :
D
(C )
A
60°
I
80°
C
B
Correction :
:
1) Mesure de l’angle BDC
D
A
(C )
?
60°
I
?
80°
C
B
et BAC
interceptent le même arc BC
(en vert).
Dans le cercle ( C ) , les angles inscrits BDC
Or, dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
a la même mesure que BAC
, soit 60°.
Donc l’angle BDC
2) Mesure de l’angle ABD :
et CDI
mesurent respectivement 80° et 60°.
Dans le triangle CID, les angles CID
Or, la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
+ CDI
+ ICD
= 180
Donc :
CID
= 180
80 + 60 + ICD
= 180
140 + ICD
donc
= 180 − 140
ICD
= 40° .
ICD
D’où :
ACD = 40° .
ABD et ACD interceptent le même arc AD (en rouge).
Dans le cercle ( C ) , les angles inscrits Or, dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
Donc l’angle ABD a la même mesure que ACD , soit 40°.