DS-Corrigé

Terminale ES123
DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES
3 heures
Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles
Calculatrice autorisée
Exercice 1 :
5 points
Partie A :
Une agence de location de voitures propose trois types de véhicules cabriolet, utilitaire ou prestige.
Une assurance facultative correspondant à une suppression totale de franchise en cas de dommage est
proposée au moment de la location.
Une étude statistique a permis d'établir que :
 60 % des clients louent un cabriolet et 10% louent un véhicule de prestige.
 21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont souscrit un contrat d'assurance.
 40 % des clients qui ont loué un cabriolet souscrivent un contrat d'assurance.
 54 % des clients souscrivent un contrat d'assurance.
On prélève au hasard la fiche d'un client et on considère les évènements suivants :
 C l'évènement « le client a loué un cabriolet».
 P l'évènement « le client a loué un véhicule de prestige».
 U l'évènement « le client a loué un véhicule utilitaire».
 A l'évènement « le client a souscrit un contrat d'assurance».
1) A l’aide des évènements ainsi définis et de l’étude statistique, on peut affirmer que pC   0,6
Traduire de la même manière les quatre autres probabilités déduites de l’étude statistique.
2) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
0,4
A
C
0,6
0,6
0,1
0,9
A
P
0,1
0,3
0,7
A
U
0,3
3) Calculer la probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire.
4) La fiche est celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire. Déterminer la probabilité qu'il
ait souscrit un contrat d'assurance.
En déduire la probabilité qu'un client ayant loué un véhicule de prestige ait souscrit un contrat
d'assurance.
D’après la formule des probabilités totales,
5) .
a) Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement P  A .
P  A est l’évènement qu’un client a loué un véhicule de prestige et a souscrit un
contrat d’assurance.
b) Montrer que pP  A  0,09 .
c) Déterminer la probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule de
prestige sachant qu'il a souscrit un contrat d'assurance.
Partie B :
On choisit maintenant 10 clients au hasard qui rendent leur véhicule. On suppose le nombre de clients
est suffisamment important pour que les prélèvements soient considérés de façon indépendante et dans
des conditions identiques. On rappelle que la probabilité pour souscrire un contrat est de 0,54.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions de contrats d’assurances
réalisés.
1) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres
Epreuve de Bernoulli : « le client a souscrit un contrat d’assurance » est un succès de probabilité
0,54.
On répète 10 fois cette épreuve dans des conditions d’indépendance. Alors la variable aléatoire
X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,54, c’est-à-dire B(10 ; 0,54).
2) Quelle est la probabilité que trois d'entre eux exactement aient souscrit un contrat d'assurance ?
3) Quelle est la probabilité qu’au moins 9 d’entre eux aient souscrit un contrat
Exercice 2 :
5 points
Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.
On note C n le capital du client au 1er janvier de l’année 2000+n, où n est un entier naturel.
1) Calculer C1 et C 2 . Arrondir les résultats au centime d’euro.
2) Exprimer C n 1 en fonction de C n .
En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation Cn  3000  1,025 n
est une suite géométrique de raison 1,025 et premier terme 3000 alors
.
3) On donne l’algorithme suivant
Entrée
Traitement
Sortie
Saisir un nombre S supérieur à 3000
Affecter à n la valeur 0.
Initialisation
Affecter à U la valeur 3000
Initialisation
Tant que U  S faire
N prend la valeur n+1
U prend la valeur U  1,025
Fin Tant que
Afficher le nombre 2000+n
a) Pour la valeur S=3300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
Les résultats seront arrondis à l’unité.
Valeur de n
Valeur de U
Condition U  S
0
3000
vrai
1
3075
vrai
2
3151,88
vrai
3
3230,67
vrai
4
3311,44
faux
b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3300.
L’affichage obtenu est 2004.
c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de
cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3000.
Le nombre obtenu en sortie de cet algorithme est l’année où le client dépasse la somme S.
4) Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5000 €. Monter que le capital de
son placement n’est pas suffisant à cette date.
Au 1er janvier 2013 le client aura
5) Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait
avoir son capital initial multiplié par 10.
On veut n tel que
. A l’aide de la calculatrice :
n
93
9,94
94
10,19
Exercice 3:
QCM


 Soit f une fonction définie sur [-1 ;4] par f x   3x 2  7 x  2 . On note F une primitive de f.
a. F x   1,5x 3  3,5x 2  2 x
b.
F 4  F  1
 4,5
5
c. F 0  2
d. F x   x 3  3,5x 2
 Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
a. la fonction x  45 1,2 x est strictement croissante sur 
b. La courbe représentative de la fonction x  0,3 x coupe l’axe des abscisses
1,8 2,3
 1,81,1
1, 2
1,8
d. 0,15  0,12
c.
 Pour tout nombre réel a et b, parmi les égalités suivantes, laquelle est vraie ?
a. e ab  e a  e b
b. e a b  e a  e b
c. e a b  e a  e b
d. e ab  e a  e b
Exercice 4 :
5 points
Soit f la fonction définie sur  5;2 par f x   2 x  3e x . Sa courbe représentative est notée Cf
1) Etude des variations de f.
a. Le logiciel Xcas donne la dérivée f  de la
fonction f. Détailler toutes les étapes du calcul de
f x  pour arriver au résultat proposé.
b. Étudier le signe de f x  selon les valeurs de x.
x
-5
Signe de
f
2
-
0
+
c. Dresser le tableau des variations de f sur  5;2 .
x
-5
2
f(x)
2) Compléter sur cette feuille à l’aide de la calculatrice le tableau de valeurs suivant on
arrondira à 10-2 :
x
f x 
-5
-0,09
-4
-0,20
-3
-0,45
-2
-0,95
-1
-1,84
0
-3
1
-2,72
2
7,39
3) Tracer Cf dans le repère orthonormé d’unité 1 cm donné ci-dessous. ( On placera chaque point
du tableau précédant sans oublier le point correspondant au minimum de la fonction).
4) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0. Tracer T dans le
repère.
La tangente T :
5) Montrer que l'équation f x   5 admet une solution unique α dans l'intervalle 1;2
À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur arrondie à 10-2 près de α.
admet une solution unique α dans l’intervalle [1 ; 2] car premièrement dans cet
intervalle, f est strictement croissante. Deuxièmement les fonctions
et
sont
continues et donc f aussi. Dernièrement,
alors d’après le théorème des valeurs
intermédiaire, il existe une solution unique dans l’intervalle [1 ; 2].
A l’aide de la calculatrice, on trouve les encadrements suivants :
Alors, α=1,88 à 0,01 près.