Correction devoir commun n°3

Correction du DEVOIR COMMUN n°3
Exercice 1 2 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte
rapportera 1 point, l’absence de réponse 0 point et une réponse fausse retirera 1 point. Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la
réponse.
1) B 2) A
Exercice 2 4,5 points
1. Comment, sans calcul, peut-on justifier que la fraction
1 848
n’est pas irréductible ? 1 point
2 040
1848 et 2040 sont tous les deux paires donc ils sont divisibles par 2 et par conséquent la fraction n’est pas irréductible
2. Calculer le PGCD des nombres 1 848 et 2 040 en indiquant la méthode. 2 points
2040 1848
192
1848 192
120
192
120
72
120
72
48
72
48
24
48
24
0
Le dernier reste non nul est 24 donc PGCD(2040,1848) = 24
3. Simplifier la fraction
1 848
pour la rendre irréductible. 1,5points
2 040
Exercice 3 1,5 points
Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible ; toutes les étapes du calcul devront figurer sur la copie.
A=
1 15 1

9 9 6
=
3  5 1
1
1 5
=
=
9 3 3 3 2
9 18
13
B
Exercice 4 5,5 points
Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 13 cm et BV =
7,2 cm.
Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6 cm.
N est le point d’intersection des droites (BT) et (RE).
1. Démontrer que la longueur TE est égale à 3,4 cm. 0,5 point
R
7,2
V
9,6
E
T
N
T∈[VE] donc TE = VE – VT = BR – VT = 13 – 9,6 = 3,4 cm. (les côtés opposés d’un rectangle sont de même mesure.
2. Calculer la longueur BT.
1,5 points
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle BVT rectangle en V nous donne :
BT² = BV² + VT² = 7,2² +9,6² = 51,84 + 92,16 = 144 ; donc BT = 12 cm
3. Calculer la longueur EN.
1,5 points
Les droites (VE) et (BN) sont sécantes en T et les droites (VB) et (EN) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès
. D’où EN =
=
4. F est un point du segment [TB] tel que TF = 3 cm et G est un point du segment [TV] tel que TG = 2,4 cm. Démontrer que les droites (FG) et (BV)
sont parallèles.
2 points
et
. Les deux rapports sont égaux. Par ailleurs les points T, F et B et les
points T, G et V sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (BV) et (FG)
sont parallèles.
S
Exercice 5 4,5 points
Une lanterne, entièrement vitrée, a la forme d’une pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle
ABCDEFGH. S est le sommet de la pyramide. O est le centre du rectangle ABCD. SO est la hauteur de la
pyramide. La hauteur SO est égale à 12 cm. Notons Vpa, Vpy et Vla respectivement les volumes du
D
C
parallélépipède, de la pyramide et de la lanterne.
1. a) Calculer le volume du parallélépipède rectangle ABCDEFGH. 1 point
Vpa = EF×FG×GC = 10×10,5×14 = 1470 cm
b) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
O
A
B
3
14 cm
1 point
Vpy =
H
c) En déduire le volume de la lanterne.
Vla = Vpa + Vpy = 1470 + 420 = 1890 cm3
G
0,5 point
10,5 cm
E
10 cm
F
2. Sachant que le segment *OC+ mesure 7,25 cm, calculer une valeur approchée à 0,1 degré près de la mesure de l’angle OSC . Les calculs
intermédiaires seront faits avec les valeurs exactes.
2 points.
Dans le triangle SOC rectangle en O, le théorème de Pythagore nous donne : SC² = OS² + OC² = 12² + 7,25² = 196,5625.
Donc SC =
cm et par suite, comme le triangle SOC est rectangle en O, cos
=
=
. Avec la
calculatrice on obtient
.