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Benchmark IFS sur les méthodes numériques pour la simulation du
phénomène de gerbage du cœur Phénix
Nazir AL SAYED
LaMSID-UMR 8193 CNRS-EDF-CEA
Séminaire 25 avril 2013
Responsable : E. L ONGATTE
N. AL SAYED (LaMSID-UMR 8193 CNRS-EDF-CEA)
Séminaire 25 avril
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Plan
1
Enjeux et objectifs
2
Méthode numérique en Interaction Fluide-Structure IFS
3
Validation sur des cas élémentaires
4
Application à la configuration benchmark
5
Conclusions et perspectives
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Enjeux et objectifs
Le scénario AURN (Arrêt d’Urgence par Réactivité Négative) d’un réacteur Phénix RNR-Na
Incidents inexpliqués jusqu’à maintenant
Premières analyses effectuées en 2011 par le CEA :
Pas d’explications pour ce phénomène complexe :
Phénomène multi-physique
Phénomène multi-échelle
Trop peu de données
Consensus (avec réserves) : AURN est une
conséquence de transitoires mécaniques
F IGURE: Puissances neutroniques
enregistrées pendant deux scénarii AURN
en 1989 et 1990, J. Cardolaccia 2011
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Enjeux et objectifs
Configuration du cœur Phénix réel
6 couronnes
d’assemblages fissiles
3 couronnes de
couvertures fertiles
2 couronnes
d’assemblages en acier
La hauteur
d’assemblages est plus
de 4 m
F IGURE: Géométrie réelle du cœur Phénix, J. Cardolaccia 2011
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Enjeux et objectifs
Benchmark IFS de CEA sur le modèle simplifié du cœur Phénix
F IGURE: Géométrie simplifiée du cœur Phénix, J. Cardolaccia 2011
Simulation du phénomène de gerbage sous Europlexus
Le maillage est grossier et contient environ 2 millions mailles
La durée physique est égale 50 ms
Temps CPU ≈ 11 jours (sur 12 processeurs)
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Enjeux et objectifs
Simulation de phénomène de gerbage du cœur Phénix simplifié sous Code_Saturne
F IGURE: Zoom sur trois structures voisines
F IGURE: Géométrie du réacteur Phénix
Simulation du déplacement d’un corps rigide dans un fluide en 2D
Etude de la stabilité numérique de la solution vis-à-vis de masse de la structure en 2D
Modélisation de la force de contact
Passage en 3D :
Implémenter un module poutre en éléments finis dans le Code_Saturne
Coupler le solveur volumes finis des équations Navier-Stokes avec le module poutre
Simuler le phénomène du gerbage
Verrous numériques
1
Couplage fluide-structure
2
Contact multi-degrés de liberté et grand déplacement
3
Déformation en 3D
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Propriété du fluide
Les équations de conservation de la quantité de mouvement et de la continuité
Considérons un fluide visqueux newtonien, incompressible, isotherme, homogène et isotrope :
avec

∂(ρf u)



+ div(ρf u ⊗ u) + ∇p − 2µf div(D(u)) = ρf fext ,
∂t



div(u) = 0,
(1)
u = uf est le champ de la vitesse, p = pf le champ de la pression, ρf la masse volumique,
µf la viscosité dynamique, fext la force volumique extérieure
D(uf ) le tenseur des taux de déformation :
D(uf ) =
i
1h
∇u + (∇u)T
2
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Propriété de la structure
Le mouvement du domaine solide est décrit par l’équation de conservation de la quantité de
mouvement suivante
ρs
∂2v
∂t 2
+ ρs geg − ∇.σs = 0,
(2)
avec
v est le déplacement de la structure, ρs la masse volumique de la structure,
eg vecteur unitaire vertical ascendant, σs contrainte de la structure, ε déformation de la
structure
ε=
1 + νp
E
σs −
νP
E
tr(σs )Id .
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Condition du couplage de problèmes IFS
La condition nécessaire du couplage
F IGURE: Domaine du couplage fluide-structure
1
La continuité des vitesses à l’interface Γ :
uf |Γ = v̇s |Γ
(3)
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Condition du couplage de problèmes IFS
La condition nécessaire du couplage
F IGURE: Domaine du couplage fluide-structure
1
La continuité des vitesses à l’interface Γ :
uf |Γ = v̇s |Γ
(3)
2
La continuité des efforts fluide σf et structure σs sur l’interface Γ :
σf .nf |Γ = σs .ns |Γ
(4)
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Déformation du maillage par une formulation ALE
Méthode ALE Arbitrary Lagrangian Eulerian
1
Le comportement de la structure est représenté par les variables lagrangiennes :
Ψ : Ωs × [0, T ] −→
R3
(ξ, t)
7−→
x = Ψ(ξ, t)
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1
Ψ : Ωs × [0, T ] −→
R3
(ξ, t)
7−→
x = Ψ(ξ, t)
2
Le comportement du fluide est représenté par les variables eulériennes :
ϕ : Ωf × [0, T ] −→
R3
(X , t)
7−→ x = ϕ(X , t)
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1
Ψ : Ωs × [0, T ] −→
R3
(ξ, t)
7−→
x = Ψ(ξ, t)
2
ϕ : Ωf × [0, T ] −→
R3
(X , t)
7−→ x = ϕ(X , t)
3
La méthode ALE consiste à introduire un domaine
S arbitraire Ωa qui correspond à de
discrétisation arbitraire du domaine Ω(t) = Ωf (t) Ωs (t)
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1
Ψ : Ωs × [0, T ] −→
R3
(ξ, t)
7−→
x = Ψ(ξ, t)
2
ϕ : Ωf × [0, T ] −→
R3
(X , t)
7−→ x = ϕ(X , t)
3
4
Le point M ∈ Ωa est repéré par les variables indépendantes ξ et par une fonction continue Ψ
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1
Ψ : Ωs × [0, T ] −→
R3
(ξ, t)
7−→
x = Ψ(ξ, t)
2
ϕ : Ωf × [0, T ] −→
R3
(X , t)
7−→ x = ϕ(X , t)
3
4
5
Le point M ∈ Ωa est repéré par les variables indépendantes ξ et par une fonction continue Ψ
La vitesse lagrangienne (respectivement eulérienne) au point M :
w (t, ξ) =
∂Ψ(ξ, t)
∂t
,
u(t, ξ) =
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∂ϕ(X , t)
∂t
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Methode ALE Arbitrary Lagrangian Eulerian
La dérivée matérielle (ou dérivée lagrangienne) dans le domaine arbitraire Ωa , pour toutes les
variables dépendantes f :
df
dt
=
∂bf
∂t
+ (u − w).∇x f .
(5)
avec f (t, x) = f (Ψ(ξ, t), t) = bf (ξ, t)
On applique la relation (5) sur les champs des vitesses, les équations (1) deviennent :

u
1
 ∂b
+ (u − w).∇u + ∇p − 2νf div(D(u)) = fext ,
∂t
ρ
f

div(u) = 0,
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(6)
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Methode ALE Arbitrary Lagrangian Eulerian
La dérivée matérielle (ou dérivée lagrangienne) dans le domaine arbitraire Ωa , pour toutes les
variables dépendantes f :
df
dt
=
∂bf
∂t
+ (u − w).∇x f .
(5)
avec f (t, x) = f (Ψ(ξ, t), t) = bf (ξ, t)
On applique la relation (5) sur les champs des vitesses, les équations (1) deviennent :

u
1
 ∂b
+ (u − w).∇u + ∇p − 2νf div(D(u)) = fext ,
∂t
ρ
f

div(u) = 0,
(6)
Une méthode pour calculer la vitesse du maillage w a été proposé comme suit :
div(λ(∇w )) = 0
w = v̇imposé
sur Ω
sur Γ.
(7)
λ est le coefficient de diffusion du maillage.
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1
Prédiction du déplacement de l’interface Γ
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1
2
Calcul de la vitesse de maillage wALE
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12 / 31
1
2
3
Calcul de la déformation du maillage aux nœuds
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1
2
3
4
Résolution des équations de Navier-Stokes
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1
2
3
4
5
Calcul des efforts fluides à l’interface
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12 / 31
1
2
3
4
5
6
Prédiction des efforts de la structure à l’interface
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1
2
3
4
5
6
7
Résolution des équations de la structure
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1
2
3
4
5
6
7
Résolution des équations de la structure
8
Test de convergence
nnn
nnn
n
n
n
v nn yes
n
Passage de pas
temps n→ au n+1
OOO
OOO no
OOO
OOO
'
Sous-itération
k→ k+1
o
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Les propriétés physiques de la structure
Considérons un écoulement entre deux cylindres de rayons R1 = 0.1 m et R2 = 0.2 m.
On écarte le cylindre intérieur d’une distance x0 = 0.005 m de sa position d’équilibre et on le
relache sans vitesse initiale
Cavité annulaire avec ms = 1 kg,
Maillage quadratique de la cavité annualire
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Les propriétés physiques de la structure
Considérons un écoulement entre deux cylindres de rayons R1 = 0.1 m et R2 = 0.2 m.
On écarte le cylindre intérieur d’une distance x0 = 0.005 m de sa position d’équilibre et on le
relache sans vitesse initiale
Cavité annulaire avec ms = 1 kg,
Maillage quadratique de la cavité annualire
Les propriétés physiques du fluide
Les schémas utilisés sont respectivement celui centré d’ordre deux en espace et celui de
Crank-Nickolson, en temps.
Fluide
Air
Eau
Masse volumique
ρair = 1 kgm−3
ρeau = 1000 kgm−3
∆t
0.0628 s
0.0628 s
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Viscosité
µair = 19.6 10−6 kgm−1 s−1
µeau = 0.001 kgm−1 s−1
13 / 31
Déplacement de la structure dans l’air, durant six oscillations avec Cs = 2π.
Sans amortissement
Avec amortissement
0,006
0,004
Deplacement (m)
0,002
0
-0,002
-0,004
-0,006
0
1
2
3
Temps (s)
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4
5
6
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Déplacement de la structure dans l’air, durant six oscillations avec Cs = 2π.
Sans amortissement
Avec amortissement
0,006
0,004
Deplacement (m)
0,002
0
-0,002
-0,004
-0,006
0
1
2
3
Temps (s)
4
5
6
Déplacement de la structure durant six oscillations dans l’eau avec Cs = 2π.
0,004
Without damping
With damping
Displacement (m)
0,002
0
-0,002
-0,004
1
2
3
Time (s)
4
5
6
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Influence de la masse sur la stabilité numérique de la solution
Influence du changement de la masse ms de la structure sur la stabilité numérique de la
solution
M.A. Fernández et al. (2006) ont dévéloppé un critère nécessaire afin d’étudier la stabilité
numérique de la solution :
ms = ρs ≥
C
Hα
ρf h + 2
µf ∆t
h
!
(8)
avec c une constante indépendante de la physique de l’écoulement et la taille du maillage. H
et h sont respectivement, les tailles des maillages relatifs à la structure et au fluide, et α est
une fonction définie comme suit :
0 si Ωs = Γ
α=
(9)
1 si Ωs 6= Γ
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ρs = ms
1
0.8
0.7
0.65
0.6
0.5
0.1
Influence de la masse sur la stabilité numérique de la solution
∆t
6.28 10−2
6.28 10−2
6.28 10−2
6.28 10−2
6.28 10−2
6.28 10−2
6.28 10−2
k
(2π)2
ms (2π)2
ms (2π)2
ms (2π)2
ms (2π)2
ms (2π)2
ms (2π)2
Résultat
Stable
Stable
Stable
Instable
Instable
Instable
Instable
Condition de stabilité(8)
Vérifiée
Vérifiée
Vérifiée
Brisé
Brisé
Brisé
Brisé
TABLE: Stabilité numérique de l’écoulement pour différentes masses de structures
Displacement M= 0.65 kg
Displacement M= 0.7 kg
Displacement (m)
0,005
0
-0,005
0
2
4
8
6
10
12
14
Time (s)
F IGURE: Déplacement de la structure pour deux masses 0.65 kg et 0.7 kg
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Force de contact
Méthode de pénalisation
La méthode de pénalisation :
F = −kchoc d,
(10)
avec kchoc est la raideur de choc et d la distance de pénétration.
kchoc = rfac
avec G =
E
,
2(1+νp )
GS 2
V
(11)
,
S, et V sont respectivement, le module de cisaillement de matériau, la surface
de contact de l’élément maître et le volume de contact de l’élément maître
5e+12
Contact force (N)
4e+12
3e+12
2e+12
1e+12
0
0
1
2
3
Time (s)
4
5
6
F IGURE: Force de contact, avec E = 150 GPa, ∆t = 0.003 s, νp = 0.3, rfac = 1 et jeu = 0.104 m
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Etude du déplacement d’une poutre immergée dans un fluide
Poutre d’Euler-Bernoulli
Le déplacement de la poutre est décrit par l’équation de mouvement suivante :
EI
∂ 4 v (z, t)
∂z 4
+ ρs S
∂ 2 v (z, t)
∂t 2
=−
R 2π
0
Pf (r , θ, z)|Γ cos θdθ −
R
∂Ωs
σf .nf dΓ
(12)
E le module d’Young du matériau
I le moment quadratique de la section droite par
rapport à un diamètre
ρs la masse volumique de la poutre
S l’aire de la section
F IGURE: Poutre hexagonale immergée dans
un fluide
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Discrétisation par éléments finis de la poutre
La poutre est discrétisée en éléments finis Ωe ,
Ωs =
n
[
Ωe
e=1
chaque nœud a deux degrés de libérté : déplacement
élémentaire vj et sa dérivée première θj ,
Le déplacement v (z, t) est interpolé par une
approximation polynomiale cubique de type Hermite
de la forme :
v (z, t) = NsT (z)ve (t)
(13)
Ns est le vecteur des fonctions d’interpolation de la
structure défini comme suit :
NsT = [1−3s2 +2s3 , lj (s−2s2 +s3 ), 3s2 −2s3 , lj (−s2 +s3 )]
F IGURE: Discrétisation par élément fini
poutre
ve (t) est le vecteur des variables nodales défini
comme suit :
vTe = [vj , θj , vj+1 , θj+1 ]
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Solution approchée de l’équation dynamique
Par une approche variationnelle faible et sur un élément fini Ωe , on calcule chaque terme de
l’équation dynamique.
EI
Z
Ωs
δv
∂ 4 v (z, t)
dz
∂z 4
=
n
X
EI
Z
δv
EI
Z
δv
Ωe
e=1
=
n
X
e=1
=
n
X
e=1
=
n
X
Ωe
δvTe

EI
∂ 4 v (z, t)
dz
∂z 4
∂ 2 v (z, t) ∂ 2 v (z, t)
∂z 2
Z zn+1 "
zn
=
dz
d 2 Ns
d 2 Ns
dz 2
dz 2
#

dz  ve
δvTe ΛTe ke Λe ve
e=1
δvTe
∂z 2
#T "
n
X
ΛTe
ke Λe
e=1
!
ve = δVT K V
δv est la fonction de pondération
Λe est la matrice de localisation de taille (4, 2n + 2)) définie comme suit :
Λe (1, 2n − 1) = Λe (2, 2n) = Λe (3, 2n + 1) = Λe (4, 2n + 2) = 1 et les autres composantes
sont nulles
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Terme de rigidité
ke est la matrice élémentaire de rigidité :

12
6le
−12
6le
(14)
 6le
EI
4le
−6le
6le2
n

X
ke = 3 
−12 −6le
12
−6le
le
ΛTe ke Λe , la matrice globale de rigidité
K=
6le
2le2
−6le
4le
e=1
EI
R
Ωs
4
δv ∂∂zv4 dz = δVT K V




Terme de masse
ρs S
M=
n
X
R
me est la matrice élémentaire de masse :
∂ 2 v (z,t)
Ωs δv ∂t 2 dz
T
= δV M V̈

(15)
ΛTe me Λe , la matrice globale de masse
e=1
ρs Sle 

me =
420 
156
22le
54
−13le
22le
4le2
13le
3le
54
13le
156
−22le

−13le
2
−3le 

−22le 
2
4le
Assemblage des matrices élémentaires de l’équation d’Euler-Bernoulli sans second membre :
EI
∂ 4 v (z, t)
∂z 4
+ ρs S
∂ 2 v (z, t)
∂t 2
= δVT K V + δVT M V̈
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(16)
21 / 31
Second membre de l’équation d’Euler-Bernoulli, terme du couplage fluide-structure
En écrivant la pression sous la forme P(r , θ, z) = P(r , z) cos θ, alors :
Z
δv
Ωs
Z
2π
(P(r , z)|Γ cos θ)dθdz
=
a
Z
2π
cos2 θdθ
=
aπ
L
P|Γ δvdz
0
0
0
Z
Z
L
P|Γ δvdz
0
=
n
X
aπδVT
ΛTse
e=1
=
δV
T
n
X
zn
!
f
Nes Ne,1
dzΛfe
!
P
P
δVT R P
r e est la matrice élémentaire d’interaction fluide-structure

le
0 0
aπ  le2
0 0

re =
20  3le 0 0
−le2 0 0
zn+1
ΛTse r e Λfe
e=1
=
Z
Séminaire 25 avril
:

3le
le2 

7le 
2
−le
22 / 31
P est le vecteur des inconnues nodales en
pression fluide à l’interface Γfs
R=
n
X
ΛTse r e Λfe est la matrice globale
e=1
d’interaction fluide-structure
Λse est la matrice de localisation de la
structure
Λfe est la matrice de localisation du fluide
F IGURE: Maillage conforme du domaine fluide et
structure
Terme de la force visqueuse
Z
Ωs
δv
Z
Γfs
σf .nf dΓdz
=
δVT R F
Avec F est la force nodale excercée par le fluide sur la structure à l’interface Γfs .
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23 / 31
La formulation variationnelle de l’équation d’Euler-Bernoulli devient :
MV̈ + KV = −RP − RF
(17)
Schéma du couplage éléments finis-volumes finis
1
Discrétisation du milieu continu en sous domaines
2
Construction de l’approximation nodale par sous domaine
3
Calcul des matrices élémentaires correspondant à la forme intégrale du problème : K, M, R,
P, et F
4
Assemblage des matrices élémentaires
5
Prise en compte des conditions aux limites
6
Résolution du système d’équations (17).
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Paramètres numériques
Paramètres géométriques du réacteur Phénix simplifié
Le pas du réseau entre deux hexagones voisins est égal 127.2 mm
Le jeu en tête entre deux structures hexagonales voisines est égal 3.5 mm
La distance minimale entre la cuve et les assemblages de deux couronnes est égale 500 mm
F IGURE: Jeu en tête, 3.5 mm
F IGURE: Le pas du réseau de
deux structures, 127.2 mm
Séminaire 25 avril
F IGURE: Distance minimale entre
la cuve et les assemblages, 500
mm
25 / 31
Simulation du phénomène du gerbage en 2D
Propriétés physiques du fluide et des structures
A l’instant t0 , la structure numéro 1 est écartée de sa position initiale d’une distance 0.0004m
Les structures numéros 2, 4, 7, 8, 14 et 15, formant la première couronne, sont supposées
mobiles sans déplacements initiaux
Les structures de la deuxième couronne sont fixes
ρ = 1000 kgm−3 , ∆t = 0.003 s et µ = 0.001 kgm−1 s−1
ms = 10 kg, ks = (2π)2 et cs = 2
Géométrie du Phénix en 2D
Séminaire 25 avril
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Simulation du phénomène du gerbage en 2D
0,0005
Displacement Structure 1
0,0004
Displacement (m)
0,0003
0,0002
0,0001
0
-0,0001
-0,0002
0
10
20
30
Time (s)
40
50
60
F IGURE: Déplacement de la structure centrale et les structures de la première couronnes
displacement 0.15, s
0.000411087
0.000308315
0.000205543
0.000102772
0.00000
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Simulation du phénomène de gerbage en 3D
Propriétés physiques des poutres hexagonales
Le module d’Young E = 1, 5. 1011 Pa
La masse volumique ρs = 6. 105 Kgm−3
I le moment quadratique de la section droite par rapport à un diamètre et S, l’aire de la section
L’épaisseur des poutres hexagonales est égale 2 mm
F IGURE: Géométrie du réacteur Phénix en 3D, z = 3.5m
Séminaire 25 avril
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Terme source : injection d’eau
Lieu d’injection
L’eau est injectée entre la structure centrale et la première couronne
L’altitude d’injection commence au plan z = 3.4 m jusqu’au z = 3.45 m
Quantité injectée : 25 L d’eau
F IGURE: Zone d’injection au plan z = 3.42 m
F IGURE: Débit injecté en fonction du temps
Séminaire 25 avril
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Résultats du benchmark du code europlexus du CEA, fait par J.
Cardolaccia
F IGURE: Deux couronnes du cœur phénix
F IGURE: Déplacements des deux couronnes à l’altitude z = 3.5m
Séminaire 25 avril
30 / 31
Conclusions
Validation numérique de la méthode ALE pour un écoulement dans une cavité annulaire
Etude de la stabilité numérique de la solution vis-à-vis la masse de la structure
Vérification de l’inégalité de M.A. Fernández et al.
Modélisation de la force de contact via Code_Saturne
Implémentation du module poutre éléments finis dans le Code_Saturne
Couplage du solveur volumes finis Navier-Stokes avec le solveur éléments finis de l’équation
Euler-Bernoulli
Séminaire 25 avril
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Conclusions
Validation numérique de la méthode ALE pour un écoulement dans une cavité annulaire
Etude de la stabilité numérique de la solution vis-à-vis la masse de la structure
Vérification de l’inégalité de M.A. Fernández et al.
Modélisation de la force de contact via Code_Saturne
Implémentation du module poutre éléments finis dans le Code_Saturne
Couplage du solveur volumes finis Navier-Stokes avec le solveur éléments finis de l’équation
Euler-Bernoulli
Perspectives
Modéliser la force de contact en 3D (DYNA_NON_LINE)
Résoudre le problème de la dynamique de grille en grand déplacement
Simuler et modéliser le phénomène de gerbage avec Code_Saturne afin de terminer le
benchmark IFS
Extraire des ordres de grandeurs des pression et vitesses
Séminaire 25 avril
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