Composition n°2 de Mathématiques Seconde

Composition n°2 de Mathématiques
Seconde
Mercredi 30 Janvier 2013
Nom :
Classe :
NOTE :
Signature :
Prénom :
/20
Observations :
1
La calculatrice est autorisée.
Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir.
Exercice I : Une revue n'est distribuée que sur
abonnement annuel. Le nombre d'abonnés A(x) est
donné en fonction du prix x de l'abonnement en euros
par :
/10
pour
1) Si l'abonnement est fixé à x = 50€, quel est le nombre d'abonnés
A(x) ?
2) a) Quel est le sens de variation de la fonction A ?
b) Comment évolue le nombre d'abonnés quand le prix augmente ?
2
c) De combien varie le nombre d'abonnés quand le prix augmente de
1€ ?
3) a) Calculer A(250)
b) Dresser le tableau de signe de la fonction A.
c) En déduire les valeurs de x pour lesquelles
4) a) Le prix de l'abonnement est de 50€. Quelle est la recette
correspondante ?
3
b) Le prix de l'abonnement est
Montrer que la recette est
c) A l'aide la calculatrice conjecturer le prix de l'abonnement qui
semble assurer la recette maximale.
Exercice II : Soit la fonction f suivante :
/10
4
1) Vérifier que pour tout réel x, on a :
5
2) Nommer chacune des formes obtenues de f(x) dans la question 1)
3) Traiter chacune des questions suivantes en choisissant la forme la
plus adaptée.
a) Calculer f(0)
b) Résoudre l 'équation f(x)=0
c) Calculer f(-1).
Résoudre l'équation f(x) = -1.
6
e) Déterminer le (ou les) antécédent(s) de
par f.
Exercice III : Sur la figure ci-dessous les
quadrilatères SALE, SAIC, SCAE, BAEL, LAIB et BACI
sont des parallélogrammes.
/4
7
En utilisant les points de la figure, écrire chacun des vecteurs suivants
sous la forme d'un seul vecteur.
1)
2)
3)
4)
Exercice IV :
/4
Soient les vecteurs :
et
1) Placer un représentant des vecteurs
8
2) Démontrer en utilisant la relation de Chasles que
Exercice V : Dans un repère
on considère les
points A(-5;-3), B(-2,2) et C(0;-6).
/8
1) Faire une figure que l'on complétera au fur et à
mesure de l'exercice.
2) Calculer les coordonnées du point D tel que
9
3) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier votre réponse.
4) En déduire la nature du quadrilatère ABDC.
10
5) Déterminer les coordonnées du point I milieu de [BC].
6) Calculer les coordonnées du point E tel que
.
7) Démontrer que le quadrilatère IBDE est un parallélogramme.
11
12
Exercice VI : On connaît la courbe des effectifs cumulés d'une
série de 26 notes (sur 10)
/4
1) Par lecture de cette courbe dresser le tableau des effectifs et des
effectifs cumulés de la série.
2) Quel est le pourcentage d'élèves qui ont eu une note inférieure ou égale à
7?
13
14
CORRECTION
Exercice I : Une revue n'est distribuée que sur abonnement
annuel. Le nombre d'abonnés A(x) est donné en fonction du
prix x de l'abonnement en euros par :
/10
pour
1) Si l'abonnement est fixé à x = 50€, quel est le nombre d'abonnés A(x) ?
A(50) = -50×50 + 12 500 = - 2500 + 12500 = 10 000
Pour un abonnement fixé à 50 € le nombre d’abonnés est 10 000.
2) a) Quel est le sens de variation de la fonction A ?
A est une fonction affine de coefficient égal à -50.
-50 < 0 donc A est une fonction strictement décroissante sur [0 ; + ∞[.
b) Comment évolue le nombre d'abonnés quand le prix augmente ?
Comme A est une fonction décroissante, le nombre d’abonnés diminuent
lorsque le prix augmente.
c) De combien varie le nombre d'abonnés quand le prix augmente de 1€ ?
Soit x un prix donné.
Une augmentation de 1 € correspond à x + 1.
La variation du nombre d’abonnés est donnée par : A(x + 1) – A(x)
A(x + 1) – A(x) = -50(x + 1) + 12500 – (-50x + 12 500)
A(x + 1) – A(x) = -50x – 50 + 12500 + 50x – 12500 = -50
Lorsque le prix augmente de 1 € le nombre d’abonnés diminue de 50.
3) a) Calculer A(250)
A(250) = -50×250 + 12500 = -12500 + 12500 = 0
b) Dresser le tableau de signe de la fonction A.
12500
A(x) > 0
=> -50x + 12500 > 0 => x <
=> x < 250
50
|------|------------------------------------------------------------------|
| x
|0
250
+∞ |
|------|------------------------------------------------------------------|
| A(x) |
+
0
|
|------|------------------------------------------------------------------|
c) En déduire les valeurs de x pour lesquelles
A(x) ≥ 0 <=> x ∈ [0 ;250]
4) a) Le prix de l'abonnement est de 50€. Quelle est la recette
correspondante ?
15
CORRECTION
La recette est 50×A(50) = 50×10000 = 500 000 €
b) Le prix de l'abonnement est
Montrer que la recette est
La recette est le produit du prix d’un abonnement par le nombre
d’abonnements.
Donc R(x) = x×A(x) = x(-50x + 12 500)
c) A l'aide la calculatrice conjecturer le prix de l'abonnement qui semble
assurer la recette maximale.
Graphique obtenu avec un logiciel de tracé de courbe :
On peut prendre Xmin = 0 Xmax = 300, YMin = 0 et YMax = 900000
Le maximum de A est atteint en x = 125 et vaut environ 780 000 €.
La recette maximale est environ égale à 780 000 €.
16
CORRECTION
Exercice II : Soit la fonction f suivante :
/10
1) Vérifier que pour tout réel x, on a :
f(x) = (x – 4)² + 2x(x + 5) – 17 = x² - 8x + 16 + 2x² + 10x – 17
= 3x² + 2x – 1
Ce qui correspond à la première expression.
(3x – 1)(x + 1) = 3x² + 3x – x – 1 = 3x² + 2x – 1 = f(x)
(Les expressions 2 et 1 sont les mêmes)
 1 ² 4

2
1 ² 4
1 4
3x +  - = 3×x² - x +  - = 3x² - 2x + - = 3x²-2x – 1
3
9
3
3
3 3
 3

= f(x)
2) Nommer chacune des formes obtenues de f(x) dans la question 1)
• 3x² + 2x – 1 est la forme développée de f(x).
• (3x – 1)(x + 1) est la forme factorisée de f(x)
 1 ² 4
• 3x +  - est la forme canonique de f(x)
3
 3
3) Traiter chacune des questions suivantes en choisissant la forme la
plus adaptée.
a) Calculer f(0)
f(0) = 3×0 + 2×0 – 1 = -1 (à partir de la forme développée)
b) Résoudre l 'équation f(x)=0
A partir de la forme factorisée :
f(x) = 0
<=> (3x – 1)(x + 1) = 0
<=> 3x – 1 = 0 ou x + 1 = 0
17
CORRECTION
<=> x =
1
ou x = -1
3
1 
S=  ;1 
3 
c) Calculer f(-1).
A partir de la forme factorisée :
f(-1) = (3×(-1) – 1)×(-1 + 1) = (3×(-1) – 1)×0 = 0
d) Résoudre l'équation f(x) = -1.
A partir de la forme développée :
f(x) = - 1
<=>
<=>
<=>
<=>
3x² + 2x – 1 = -1
x(3x + 2) = 0
x = 0 ou 3x + 2 = 0
2
x = 0 ou x = 3
 2 
S = - ;0
 3 
e) Déterminer le (ou les) antécédent(s) de
par f.
A partir de la forme canonique,
 1 ² 4
4
4
f(x) = 3 x +  - = 3
3
3
 3
 1 ²
3 x +  = 0
 3
1
x=3
4
1
L’antécédent de - par f est donc – .
3
3
18
CORRECTION
Exercice III : Sur la figure ci-dessous les
quadrilatères SALE, SAIC, SCAE, BAEL, LAIB et BACI
sont des parallélogrammes.
/4
En utilisant les points de la figure, écrire chacun des vecteurs suivants
sous la forme d'un seul vecteur.
→
→
→
→
1)
= SL = CB
2)
= SI = EB
→
3)
=0
4)
= CL
Exercice IV :
Soient les vecteurs :
→
et
/4
19
CORRECTION
1) Placer un représentant des vecteurs
2) Démontrer en utilisant la relation de Chasles que
→
→
→
→
→
→
→
→
→ →
u = AB + CD + EF = ( AD + DB ) + ( CF + FD ) + ( EB + BF )
→
→
→ →
→
→
→
u = ( AD + CF + EB ) + ( DB + FD + BF )
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→ →
u = v + ( DB + BF + FD )
→
u = v + DF + FD
u = v + DD
u = v + 0
u = v
Exercice V : Dans un repère
3), B(-2,2) et C(0;-6).
on considère les points A(-5;-
/8
1) Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de
l'exercice.
20
CORRECTION
2) Calculer les coordonnées du point D tel que
→
→
→
xD - xA xB - xA xC - xA

=
+

 yD - yA  yB - yA  yC - yA
xD – (-5) = (-2 – (-5)) + (0 – (-5))

yD – (-3) = (2 – (-3)) + (-6 – (-3))
xD = -5 + 3 + 5 = 3

yD = -3 + 5 - 3 = -1
Les coordonnées du point D sont donc D(3 ;-1).
AD = AB + AC
3) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier votre réponse.
AB² = (xB – xA)² + (yB – yA)² = (-2 – (-5))² + (2 – (-3))²
AB² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
AC² = (xC – xA)² + (yC – yA)² = (0 – (-5))² + (-6 – (-3))²
AC² = 25 + 9 = 34
BC² = (xB – xC)² + (yC – yB)² = (-2 – 0)² + (-6 – 2)²
BC² = 4 + 64 = 68
Comme l’égalité de Pythagore BC² = AB² + AC² et AB = AC alors le
triangle ABC est isocèle rectangle en A.
4) En déduire la nature du quadrilatère ABDC.
→
→
→
D’après l’égalité vectorielle AD = AB + AC , ADBC est un
parallélogramme.
De plus ABDC est un parallélogramme avec un angle droit (en d
A ) et
21
CORRECTION
deux côtés consécutifs de même longueur (AB = AC) alors ABDC est un
carré.
5) Déterminer les coordonnées du point I milieu de [BC].
xB + xC yB + yC 

;
I
2 
 2
-2 + 0 2 + (-6)

;
I
2 
 2
I (-1 ;-2)
6) Calculer les coordonnées du point E tel que
→
.
→
xE – xI = xC – xA

yE – yI = yC – yA
xE – (-1) = 0 – (-5)

yE – (-2) = -6 – (-3)
xE = -1 + 5 = 4

yE = -2 – 3 = -5
Les coordonnées du point E sont (4;-5).
IE = AC
7) Démontrer que le quadrilatère IBDE est un parallélogramme.
→
→
Comme IE = AC alors AIEC est un parallélogramme.
→
→
Comme ABDC est un parallélogramme alors AC = BD .
→
→
→
On a donc IE = AC = BD .
→
→
Comme IE = BD alors IBDE est un parallélogramme.
→
→
On peut aussi montrer que IE = BD en calculant les coordonnées de
ces deux vecteurs.
22
CORRECTION
Exercice VI : On connaît la courbe des effectifs cumulés d'une
série de 26 notes (sur 10)
/4
1) Par lecture de cette courbe dresser le tableau des effectifs et des
effectifs cumulés de la série.
Note
Effectif
Effectifs
cumulés
croissants
0
1
1
1
1
2
2
1
3
3
2
5
4
2
7
5
6
13
6
5
18
7
4
22
8
2
24
9
1
25
10
1
26
2) Quel est le pourcentage d'élèves qui ont eu une note inférieure ou égale à
7?
22
Le pourcentage est :
≈0,846 soit environ 84,6 %.
26
23