Section droite d`une poutre : caractéristiques et

Section droite d’une poutre :
caractéristiques et contraintes
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans
Département Génie Mécanique et Productique
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
26 juin 2006 – 29 mars 2011
Table des matières
1 Caractéristiques
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Moments quadratiques . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Autres caractéristiques . . . . . . . . . . . . .
1.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Calcul de A , My , Mz , Iy , Iz et Iyz . . . . . .
1.2.2 Calcul de βY et βZ . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Calcul des fonctions de gauchissement . . . .
1.2.4 Calcul des modules plastiques Wpl,Y et Wpl,Z
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2
2
2
2
4
5
5
8
8
9
2 Contraintes
10
Références
11
2
1
Caractéristiques et contraintes
Caractéristiques
1.1
Définitions
Soient une section droite et {O; yz} un repère orthonormé du plan de la section.
On appelle aire de la section la quantité :
Z
A=
dA ,
dA = dy dz
(1.1)
A
1.1.1
Centre de gravité
On appelle centre de gravité de la section, le point G dont les coordonnées yG et zG sont définies par
les relations :
Z
Z
(z − zG ) dA = 0 ,
(y − yG ) dA = 0
(1.2)
A
A
d’où :
Mz
A
,
zG =
z dA
,
Mz =
yG =
où :
Z
My =
A
My
A
Z
(1.3)
y dA
(1.4)
A
sont les moments statiques de la section par rapport aux axes y et z.
Le point G est indépendant du choix du repère {O; yz}.
1.1.2
Moments quadratiques
On appelle moments quadratiques de la section par rapport aux axes y et z, les quantités :
Z
Z
Z
2
2
Iy =
z dA , Iz =
y dA , Iyz =
yz dA
A
A
(1.5)
A
Si l’un des axes est un axe de symétrie, Iyz = 0.
Translation des axes : soit {G; y 0 z 0 } le repère parallèle à {O; yz} ; on a les relations :
Z
Z
y 0 = y − yG , z 0 = z − zG ,
y 0 dA = 0 ,
z 0 dA = 0
A
(1.6)
A
d’où (théorème de Huygens) :
2
Iy0 = Iy − zG
A
,
2
Iz 0 = Iz − yG
A ,
Iy0 z 0 = Iyz − yG zG A
(1.7)
Section droite d’une poutre
3
Rotation des axes : soit le repère orthonormé {G; y 00 z 00 } faisant un angle α avec le repère {G; y 0 z 0 }.
On a les relations :
½ 00 ¾ ·
¸ ½ 0¾
y
cos α sin α
y
00
z
− sin α cos α z 0
d’où :
Z
Iy00 (α) =
Z
z
A
(1.8)
002
(−y 0 sin α + z 0 cos α)2 dA
dA =
A
= Iy0 cos2 α + Iz 0 sin2 α − 2 Iy0 z 0 cos α sin α
Iy0 + Iz 0
Iy0 − Iz 0
=
+
cos 2 α − Iy0 z 0 sin 2 α
2
2
Par un calcul analogue, on obtient :
Z
Iy0 + Iz 0
Iy0 − Iz 0
Iz 00 (α) =
y 002 dA =
−
cos 2 α + Iy0 z 0 sin 2 α
2
2
A
et :
Z
Iy0 − Iz 0
Iy00 z 00 (α) =
sin 2 α + Iy0 z 0 cos 2 α
y 00 z 00 dA =
2
A
(1.9a)
(1.9b)
(1.9c)
Repère central principal : le repère {G; y 00 z 00 } est le repère principal en G si Iy00 z 00 = 0, c’est à dire
si α = α0 tel que :
2 Iy 0 z 0
tan 2 α0 =
(1.10)
Iz 0 − Iy0
Les quantités IY = Iy00 (α0 ) et IZ = Iz 00 (α0 ) sont les moments quadratiques centraux principaux ; le
repère {G; Y Z} est le repère central principal.
Remarques :
– si y 0 ou z 0 est un axe de symétrie, le repère {G; y 0 z 0 } est le repère principal en G.
– le moment quadratique Iy00 (α) peut s’écrire :
·
¸½
¾
cos α
(1.11)
sin α
·
¸
Iy 0
−Iy0 z 0
Les axes Y et Z sont donc les directions principales de la matrice
, d’où (cours
−Iy0 z 0
Iz 0
d’élasticité) :
¾
Iy0 + Iz 0
1q
IY = Imax
=
±
(Iy0 − Iz 0 )2 + 4 Iy20 z 0
(1.12)
IZ = Imin
2
2
et :
Iy0 − IY
Iy0 − IZ
tan αY =
, tan αZ =
(αZ = αY + π/2)
(1.13)
Iy 0 z 0
Iy 0 z 0
©
ª
I (α) = cos α sin α
y 00
Iy0
−Iy0 z 0
−Iy0 z 0
Iz 0
4
Caractéristiques et contraintes
1.1.3
Autres caractéristiques
Le module RDM-Ossatures évalue les quantités suivantes :
– le moment d’inertie polaire (moment de la surface par rapport au centre de gravité) :
Z
¡ 2
¢
Ip =
Y + Z 2 dA = IY + IZ
(1.14)
A
– les constantes de stabilité :
Z
βY =
Y (Y 2 + Z 2 ) dA
Z
βZ =
A
Z (Y 2 + Z 2 ) dA
(1.15)
|Y − Yp | dA
(1.16)
A
– les modules plastiques :
Z
Wpl,Y =
A
Z
|Z − Zp | dA
Wpl,Z =
A
où les droites Y = Yp et Z = Zp séparent la surface de la section droite en deux surfaces égales.
– les rayons de girations :
r
iY =
IY
A
r
iZ =
IZ
A
r
iO =
IO
A
La constante de torsion de Saint Venant est égale à :
¶
Z µ
∂ω
∂ω
2
2
J=
−Z
+Y +Z
dA
Y
∂Z
∂Y
A
(1.17)
(1.18)
où ω(Y, Z) est la fonction de gauchissement de torsion. Si la section est circulaire (pleine ou creuse),
ω est nul et J se réduit au moment d’inertie polaire Ip .
Le centre de cisaillement/torsion est le point de la section qui reste fixe lorsque la force élastique
sur la section se réduit à un moment de torsion. Il est défini par :
Z
Z
1
1
YC = −
Z ω dA , ZC =
Y ω dA
(1.19)
IY A
IZ A
Le moment d’inertie de rotation (moment de la surface par rapport au centre de cisaillement) est
égal à :
Z
¡
¢
Ir =
(Y − YC )2 + (Z − ZC )2 dA = (YC2 + ZC2 ) A + Ip
(1.20)
A
La constante de gauchissement est définie par :
Z
Iω =
ω 2 dA
A
(1.21)
Section droite d’une poutre
5
La constante de stabilité βω est définie par :
Z
βω =
ω (Y 2 + Z 2 ) dA
(1.22)
A
Les études de stabilité utilisent les coefficients :
Yβ =
βY
− YC
2 IZ
,
Zβ =
βZ
− ZC
2 IY
(1.23)
L’énergie de déformation linéique due à l’effort tranchant est égale à :
TY2
TZ2
+
2 GA kY
2 GA kZ
(1.24)
où kY et kZ sont les coefficients d’aire cisaillée. Ces coefficients sont définis par :
Z
Z
1
1
kY =
g Y dA , kZ =
h Z dA
IZ A
IY A
(1.25)
où g et h les fonctions de gauchissement associées aux efforts tranchants TY et TZ .
AY = kY A est l’aire cisaillée suivant Y et AZ = kZ A est l’aire cisaillée suivant Z.
Certains auteurs appellent coefficients de cisaillement les quantités :
k̃Y = 1/kY
1.2
1.2.1
,
k̃Z = 1/kZ
(1.26)
Calculs
Calcul de A , My , Mz , Iy , Iz et Iyz
Ces quantités sont calculées par intégration sur le contour extérieur Γ de la section par utilisation
de la formule de Green qui permet la transformation d’une intégrale double en intégrale simple de
contour :
¶
Z
Z µ
∂N
∂M
−
dA =
N dy + M dz
(1.27)
∂y
∂z
A
Γ
Par exemple, le calcul de Iy s’effectue en posant N = 0 et M = y z 2 d’où :
Z
Iy =
y z 2 dz
(1.28a)
Γ
De même :
Z
A=
Z
y dz
,
ΓZ
Iz = −
2
zy dy
Γ
My =
,
Iyz
Z
yz dz , Mz = −
Z
1
y 2 z dz
=
2 Γ
Γ
yz dy
Γ
(1.28b)
6
Caractéristiques et contraintes
Contribution d’un segment :
Soit l’élément de contour d’origine 1 (y1 , z1 ) et d’extrémité 2 (y2 , z2 ) :
½

∂y


dξ = ( N10 y1 + N20 y2 ) dξ
 dy =
∂ξ
∂z


dξ = ( N10 z1 + N20 z2 ) dξ
 dz =
∂ξ
y = N 1 y1 + N 2 y2
z = N1 z1 + N2 z2
(1.29a)
avec :
N1 =
1−ξ
2
,
N2 =
1+ξ
2
,
N10 =
−1
2
,
N20 =
1
2
,
−1 ≤ ξ ≤ 1
(1.29b)
La contribution du segment 1 → 2 à chacune des quantités recherchées est de la forme :
Z 1
f (ξ) dξ
(1.30)
−1
et est calculée numériquement par la méthode de Gauss :
Z
1
f (ξ) dξ '
−1
npi
X
f (ξi ) wi
(1.31)
i=1
où npi, wi et ξi sont respectivement le nombre de points d’intégration, le poids et l’abscisse
du ie point d’intégration.
Contribution d’un cercle :
La contribution du cercle de centre C(yC , zC ), de rayon R et parcouru dans le sens trigonométrique aux quantités recherchées est égale à :

A = π R2




My = zC A , Mz = yC A
(1.32)
µ 2
¶
µ 2
¶


R
R

2
2
 Iy =
+ zC
A , Iz =
+ yC
A , Iyz = yC zC A
4
4
Section droite d’une poutre
7
Contribution d’un arc de cercle :
La contribution de l’arc de cercle d’origine 1 (y1 , z1 ), d’extrémité 2 (y2 , z2 ), de centre C (yC , zC )
et parcouru dans le sens trigonométrique à l’aire (Iy , . . . ) est égale à l’aire (Iy , . . . ) du segment
circulaire (S) moins la contribution à l’aire (Iy , . . . ) du segment 2 → 1.
Soient R le rayon de l’arc, α son angle au centre et L la longueur de sa corde.
Soient G le centre de gravité de (S), Ga et Gb les axes centraux principaux de (S). Introduisons
les axes Gu et Gv parallèles respectivement aux axes y et z. On a les relations :
1
L3
AS = R2 (α − sin α) , d = CG =
2
12 AS
4
R4
R
(α − sin α cos α) − d2 AS , IbS =
(3 α − 4 sin α + sin α cos α)
IaS =
8
24
(1.33)
Posons :
c = cos θ =
y1 − y2
L
,
s = sin θ =
z1 − z2
L
,
L2 = (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Les quantités recherchées sont :
(
MyS
MzS
= zG
AS
= yG AS
,
 S
S
2
S

 Iy = Iu + zG A
2 AS
IzS = IvS + yG

 S
S + y z AS
Iyz = Iuv
G G
(1.34a)
,
 S
S 2
S 2

 Iu = Ia c + Ib s
IvS = IaS s2 + IbS c2

 S
Iuv = −IaS c s + IbS c s
(1.34b)
où :
½
yG = yC − s d
zG = zC + c d
Remarque : si l’angle de l’arc est très petit, l’arc est remplacé par un élément de contour quadratique.
Contribution d’un élément de contour quadratique :
Soit l’élément de contour quadratique d’origine 1 (y1 , z1 ), de milieu 2 (y2 , z2 ) et d’extrémité 3
(y3 , z3 ) :
8
Caractéristiques et contraintes
½
y = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3
z = N1 z1 + N2 z2 + N3 z3
,

∂y


dξ = ( N10 y1 + N20 y2 + N30 y3 ) dξ
 dy =
∂ξ
∂z


dξ = ( N10 z1 + N20 z2 + N30 z3 ) dξ
 dz =
∂ξ
(1.35a)
avec :

−ξ (1 − ξ)

 N1 =
, N2 = 1 − ξ 2
2

 N 0 = −1 + 2 ξ , N 0 = −2 ξ ,
2
1
2
ξ (1 + ξ)
2
1 + 2ξ
0
N3 =
2
,
N3 =
,
−1 ≤ ξ ≤ 1
(1.35b)
La contribution de l’élément 1 → 2 → 3 à chacune des quantités recherchées est calculée
numériquement par quadrature de Gauss (§ Contribution d’un segment).
1.2.2
Calcul de βY et βZ
Ces quantités sont calculées par intégration sur le contour extérieur Γ :
Z
Z
βY =
−Z Y 3 dY + Y 2 Z 2 dZ , βZ =
−Y 2 Z 2 dY + Y Z 3 dZ
Γ
(1.36)
Γ
Le contour est discrétisé en éléments quadratiques. La contribution d’un élément à chacune des quantités recherchées est calculée numériquement par la méthode de Gauss.
1.2.3
Calcul des fonctions de gauchissement
Gauchissement dû à la torsion
(http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/cours/elasticite.pdf) :
La fonction de gauchissement de torsion ω(Y, Z) est la solution du problème :
∂2ω
∂2ω
+
=0
∂Y 2 ∂Z 2
(1.37a)
Section droite d’une poutre
9
sur le domaine de la section avec la condition aux limites :
∂ω
∂ω
nY +
nZ = Z nY − Y nZ
∂Y
∂Z
(1.37b)
sur le contour extérieur (~τ . ~n = 0) et la condition d’unicité :
Z
ω dA = 0
(1.37c)
A
où nY et nZ sont les cosinus directeurs de la normale extérieure au contour Γ.
Gauchissement dû à l’effort tranchant :
La fonction de gauchissement d’effort tranchant suivant Y : g(Y, Z) est la solution de l’équation :
∂2g
∂2g
A
+
=− Y
2
2
∂Y
∂Z
IZ
(1.38a)
sur le domaine de la section avec la condition aux limites :
∂g
∂g
nY +
nZ = 0
∂Y
∂Z
(1.38b)
sur le contour extérieur (~τ . ~n = 0) et la condition d’unicité :
Z
g dA = 0
(1.38c)
A
De même, la fonction de gauchissement d’effort tranchant suivant Z : h(Y, Z) est la solution de
l’équation :
∂2h
∂2h
A
(1.39a)
+
=− Z
∂Y 2 ∂Z 2
IY
sur le domaine de la section avec la condition aux limites :
∂h
∂h
nY +
nZ = 0
∂Y
∂Z
(1.39b)
sur le contour extérieur (~τ . ~n = 0) et la condition d’unicité :
Z
h dA = 0
(1.39c)
A
Ces problèmes sont résolus par la méthode des éléments finis après triangulation de la section par
la méthode de Delaunay . Les éléments utilisés reposent sur une formulation déplacement.
1.2.4
Calcul des modules plastiques Wpl,Y et Wpl,Z
Ces quantités sont évaluées en utilisant le maillage de la section.
10
Caractéristiques et contraintes
2
Contraintes
G est le centre de gravité de la section. L’axe X est la fibre moyenne de la poutre et {G; Y Z} est le
repère central principal de la section.
Soit
£
N
TY
TZ
M t MfY
MfZ
¤
la force intérieure qui s’exerce sur la section.
Au point M (Y, Z), le tenseur des contraintes a pour expression :

σXX
[σ(M )] =  σXY
σXZ

σXZ
0 
0
(2.1)
MfY
MfZ
N
+Z
−Y
A
IY
IZ
(2.2)
σXY
0
0
où la contrainte normale est égale à :
σXX =
et les contraintes de cisaillement sont égales à :
µ
¶

M t ∂ω
TY


−Z +
 σXY =
J µ ∂Y
A
¶
M
t
∂ω
T

Y

 σXZ =
+Y +
J
∂Z
A
∂g
TZ ∂h
+
∂Y
A ∂Y
∂g
TZ ∂h
+
∂Z
A ∂Z
(2.3)
où ω, g et h sont respectivement les fonctions de gauchissement associées à M t, TY et TZ (§ Caractéristiques d’une section droite).
On en déduit :
– les contraintes principales :
½
σXX
1
σ1
=
±
σ2
2
2
q
2
σXX
+ 4 τ2
2
2
avec τ 2 = σXY
+ σXZ
(2.4)
σ3 = 0
Remarque : on a la relation :
σ2 ≤ σ3 = 0 ≤ σ1
(2.5)
Section droite d’une poutre
11
– la contrainte équivalente de Von Mises :
q
2
σVM = σXX
+ 3 τ2
– la contrainte équivalente de Tresca :
q
σT =
2
σXX
+ 4 τ2
Références
[1] J.-L. Batoz et G. Dhatt – Modélisation des structures par éléments finis, Volume 1. Solides
élastiques, Hermès, 1990.
[2] — , Modélisation des structures par éléments finis, Volume 2. Poutres et plaques, Hermès, 1990.
[3] J. Courbon – Résistance des matériaux, Tome 1, 2 éd., Dunod, 1964.
[4] — , Résistance des matériaux, Tome 2, Dunod, 1965.
[5] G. Cowper – The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory , Journal of Applied Mechanics, ASME 33 (1966), p. 335–340.
[6] Z. Friedman et J. Kosmatka – Torsion and flexure of a prismatic isotropic beam using the
boundary element method , Computers & Structures 74 (2000), p. 479–494.
[7] D. Gay – Matériaux composites, Hermès, 1997.
[8] D. Gay et J. Gambelin – Dimensionnement des structures. Une introduction, Hermès, 1999.
[9] F. Gruttman, R. Sauer et W. Wagner – Shear stresses in prismatic beams with arbitrary
cross-sections , International Journal for Numerical Methods in Engineering 45 (1999), p. 865–
889.
[10] L. Hermann – Elastic torsional analysis of irregular shapes , Journal of the Engineering
Mechanics Division, ASCE 91 (1965), p. 11–19.
[11] S. Laroze – Mécanique des structures, Tome 2. Théorie des poutres, 2 éd., Eyrolles/Masson,
1988.
[12] S. Laroze et J.-J. Barrau – Mécanique des structures, Tome 4. Calcul des structures en
matériaux composites, Eyrolles/Masson, 1987.
[13] J. Mandel – Détermination du centre de torsion à l’aide du théorème de réciprocité , Annales
des Ponts et Chaussées 118 (1948), p. 271–290.
[14] T. Nouri, D. Gay et J. Cieaux – Homogénéisation et contraintes de cisaillement dans
une poutre composite à phases orthotropes , Revue des composites et des matériaux avancés 2
(1992), no. 2, p. 165–181.
[15] W. D. Pilkey – Analysis and Design of Elastic Beams. Computational Methods, Wiley, 2002.
[16] K. Surana – Isoparametric elements for cross-sectional properties and stress analysis of
beams , International Journal for Numerical Methods in Engineering 14 (1979), p. 475–497.
[17] W. Wagner et F. Gruttman – Finite element analysis of Saint-Venant torsion problem with
exact integration of the elastic-plastic constitutive equations , Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering 190 (2001), p. 3831–3848.