Géométrie dans l`espace - Didactique

Cours
Géométrie
2b-2 dans l’espace
- Didactique
Sommaire
1 La géométrie dans l’espace dans les programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1 À l’école maternelle
2
1.2 Au CP et au CE1
2
1.3 Au CE2, CM1 et CM2
2
2 Des précisions sur les solides du programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Les solides
3
2.2 Les polyèdres
3
2.3 Le pavé droit ou parallélépipède rectangle
4
2.4 Le prisme
4
2.5 La pyramide
4
2.6 La boule
5
2.7 Le cylindre droit
5
2.8 Le cône de révolution
5
3 Les représentations dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1 Définir l’espace
6
3.2 L’évolution des représentations de l’espace
6
3.3 Les différents types de tâches
6
3.4 Le matériel pédagogique
7
4 Les erreurs et difficultés des élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.1 Représentation dans le plan
8
4.2 Patron
8
4.3 Définitions et propriétés
8
CM2b-2
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1 La géométrie dans l’espace dans les programmes
1.1 À l’école maternelle
Dans les programmes
p.15
Se repérer dans l’espace : tout au long de l’école maternelle, les enfants apprennent à se déplacer
dans l’espace de l’école et dans son environnement immédiat. Ils parviennent à se situer par rapport
à des objets ou à d’autres personnes, à situer des objets ou des personnes les uns par rapport aux
autres ou par rapport à d’autres repères, ce qui suppose une décentration pour adopter un autre
point de vue que le sien propre.
Connaissances et compétences
p.16
À la fin de l’école maternelle, l’enfant est capable de :
- se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi ;
- comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage [. . . ] dans l’espace.
1.2 Au CP et au CE1
Dans les programmes
p.18
2 - Géométrie : les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage.
Ils apprennent à reconnaître et à décrire [. . . ] des solides.
Dans les progressions
p.33
CP
CE1
Géométrie - Situer un objet et utiliser le vocabulaire permettant - Reconnaître, décrire, nommer quelques solides
de définir des positions (devant, derrière, à gauche de, droits : cube, pavé. . .
à droite de. . .)
- Reconnaître et nommer le cube et le pavé droit.
Compétences attendues à la fin du CE1
p.20
Compétence 3 - L’élève est capable de :
- situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ;
- reconnaître, nommer et décrire les [. . . ] solides usuels.
1.3 Au CE2, CM1 et CM2
Dans les programmes
p.22/23
2 - Géométrie
Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide.
- reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ;
- vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.
Dans les progressions
CE2
Géométrie Dans l’espace
- Reconnaître, décrire et nommer :
un cube, un pavé droit.
- Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet.
p.38
CM1
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire et nommer
les solides droits : cube, pavé,
prisme.
- Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.
Compétences attendues à la fin du CM2
CM2
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire et nommer
les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme.
- Reconnaître ou compléter un patron de solide droit.
p.28
Compétence 3 - L’élève est capable de :
- reconnaître, décrire et nommer les [. . . ] solides usuels.
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2 Des précisions sur les solides du programmes
Nous précisons ici certaines définitions, utiles pour le professeur à l’école élémentaire. Certains ne sont pas explicitement au programme, mais font partie de la vie
« courante » des élèves (pyramide, cône, sphère).
2.1 Les solides
Les solides sont des objets géométriques tridimensionnels. Les solides convexes sont
des solides tels que tout segment d’extrémités deux points de ce solide est inclus dans
le solide. Tous les solides pleins cités dans le programme sont des solides convexes,
mais on montrera aussi aux élèves des solides qui ne le sont pas.
Les solides de la géométrie élémentaire sont-ils des solides pleins ou des solides creux ?
On peut se poser la question car si les solides occupent une portion non nulle de
l’espace, ils ne peuvent être creux, mais si on calcule leur capacité, c’est qu’on peut les
remplir, donc ils doivent être creux. Le patron d’un solide donne, après assemblage,
un solide creux. La reproduction d’un solide en pâte à modeler est bien un solide
plein. On pourra donc utiliser les deux dénominations.
2.2 Les polyèdres
Une première classification des solides est faite entre les polyèdres et les non-polyèdres.
Un polyèdre est un solide dont la surface extérieure est entièrement constituée de
plans. Les séparations entre ces portions de plans sont des segments et la surface
extérieure est constituée de polygones. Le mot polyèdre ne figure pas expressément
au programme. Pourtant il paraît difficile de ne pas l’utiliser en classe, au moins au
cycle 3, pour pouvoir faire une première classification des solides.
Sur la figure suivante, on peut voir une face en jaune, une arête en rouge et un
sommet entouré de bleu d’un polyèdre.
E
C
D
A
B
On pourra donner une pseudo-définition de ces termes de type expérimental : si on
encre une face d’un polyèdre sur un tampon, l’estampage sur une feuille de papier
donne une surface, si on encre une arête d’un polyèdre sur un tampon, l’estampage
sur une feuille de papier donne un segment, si on encre un sommet d’un polyèdre
sur un tampon, l’estampage sur une feuille de papier donne un point.
Comme pour les polygones, les polyèdres reçoivent des noms différents suivant le
nombre de leurs faces. Le tableau suivant donne les préfixes permettant de nommer
les différents objets.
n
–èdre
4
tétra–
5
penta–
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6
hexa–
7
hepta–
3/8
8
octa–
9
ennéa–
10
déca–
12
dodéca–
20
icosa–
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2.3 Le pavé droit ou parallélépipède rectangle
Un pavé, ou parallélépipède est un hexaèdre dont les faces opposées sont des parallélogrammes deux à deux superposables :
— si les parallélogrammes sont des rectangles, le pavé est droit, et le parallélépipède est rectangle ;
— si les parallélogrammes sont des carrés, ils sont tous les six superposables et
l’hexaèdre est un cube.
Le mot parallélépipède vient du grec parallelos qui veut dire parallèle et de epidon,
surface.
||
x
x
x
x
||
||
o
o
x
Pavé droit
Cube
o
||
x
x
||
o
o
x
||
2.4 Le prisme
Vient du grec prismatos qui veut dire scier.
Un prisme est un polyèdre construit à partir de deux faces polygonales identiques
superposées, appelées base, que l’on éloigne en laissant les arêtes correspondantes
parallèles. Les faces latérales sont alors des parallélogrammes.
Si, de plus, les faces latérales soient des rectangles, le prisme est dit droit.
Enfin, on parlera de prisme droit régulier si les bases sont des polygones réguliers.
x
o
o
x
o o
o
o oo
x
o
o
x
2.5 La pyramide
Une pyramide est un polyèdre construit à partir d’une face polygonale, appelée base,
dont on relie les sommets à un point extérieur au plan de la base, appelé sommet.
Les faces latérales sont des triangles.
Si, de plus, ces triangles sont isocèles, la pyramide est droite.
Enfin, on parlera de pyramide droite régulière si la base est un polygone régulier.
o
o
o
x
x
x
x
o
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o
o
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2.6 La boule
La boule est un solide non polyédrique. Il est très courant, les élèves connaissent les
boules de pétanque et les balles par exemple et il est curieux. Cependant, ce mot
est absent des programmes.
La sphère est la surface extérieure de la boule. Il s’agit d’une surface assimilable à
une boule creuse.
Le mot sphère vient du grec sphaîra qui signifie corps rond.
2.7 Le cylindre droit
C’est encore un solide non polyédrique.
On l’appelle aussi cylindre de révolution car on peut l’imaginer engendré par un
rectangle dans l’espace tournant autour d’un de ses côtés.
Sa surface extérieure est constituée de trois parties : deux bases circulaires superposables et une surface latérale.
Cylindre vient du grec kulindros qui veut dire rouleau.
x
x
2.8 Le cône de révolution
C’est aussi un solide non polyédrique.
On peut l’imaginer engendré par un triangle rectangle tournant dans l’espace autour d’un de ses côtés perpendiculaires. Sa surface extérieure est constituée de deux
parties : une base circulaire et une surface latérale. Le point du cône opposé à sa
base est appelé sommet.
Son nom vient du grec kônos signifiant pomme de pin.
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3 Les représentations dans l’espace
3.1 Définir l’espace
D’après des travaux faits en didactiques, l’espace peut être divisé en trois catégories :
Micro-espace
Méso-espace
Macro-espace
Vision
Espace proche
Espace accessible à une
vision globale
Espace non totalement
visible
Position de l’enfant
Il est à l’extérieur
Il est à l’intérieur
Il est à l’intérieur
Les objets
On peut les voir, les
toucher, les déplacer
Ils sont fixes ou
semi-fixes
Ils sont fixes et pas
tous visibles
Exemple
La table
La classe
Le quartier
3.2 L’évolution des représentations de l’espace
• Stade 1 : incapacité synthétique (3-4 ans).
Volonté réelle de représenter un objet bien déterminé, mais les difficultés motrices empêchent l’enfant de prendre en compte l’alignement, les proportions :
seules les propriétés topologiques de voisinage sont respectées approximativement.
• Stade 2 : le réalisme intellectuel (5-7 ans).
Le sujet dessine non pas ce qu’il voit de l’objet mais ce qu’il sait.
• Stade 3 : le réalisme visuel (8-9 ans).
L’enfant cherche à tracer ce qu’il voit, il a le souci du rapport simultané des
perspectives, des proportions, des mesures et des distances.
3.3 Les différents types de tâches
• Reproduire : on peut faire reproduire un solide avec de la pâte à modeler, de la
pâte à papier, des patrons (polyèdres) ou des développements (cylindre, cône).
• Décrire : on peut faire décrire un solide en commençant par le classer dans les
polyèdres ou non, puis en utilisant le vocabulaire spécifique, en particulier face,
arête, et sommet.
• Construire : on peut utiliser les polydrons ou des patrons.
• Représenter : ce nouveau type de problème est introduit car le passage de la
géométrie dans l’espace à la géométrie plane nécessite de faire des choix pour
avoir l’impression que ce qu’on voit sur la feuille est bien une représentation
de l’objet initial.
La représentation la plus courante est la perspective cavalière, son étude débutera au collège, mais certains enfants commenceront à en utiliser des mises
en œuvre plus ou moins naïves, en particulier pour représenter des cubes ou
des pavés droits dès l’école élémentaire.
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3.4 Le matériel pédagogique
Il existe un matériel pédagogique bien adapté à la géométrie dans l’espace. Citons
les trois principaux.
• Les polydrons : ce sont des polygones en plastique, variés, qui peuvent être
assemblés par leur arête pour construire des polyèdres. Il en existe également
des courbes afin de construire sphères, cylindres et cônes.
• Les cubes a link : ce sont des petits cubes de plastique qui peuvent être assemblés par face, à l’aide de clips, pour construire des polyèdres.
• Les solides en bois ou en plastique : c’est un assortiment de blocs de bois, de
différentes formes, polyédriques ou non, qui permettent de décrire ces solides
en les manipulant. Il en existe également en plastique transparent pouvant
également contenir les patrons.
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4 Les erreurs et difficultés des élèves
4.1 Représentation dans le plan
Deux sortes de tâches peuvent être proposées à l’élève :
— représenter un objet de l’espace qu’il connaît ou qu’il a sous les yeux ;
— reconnaître un objet à partir d’une représentation donnée.
Principales erreurs et difficultés :
• ne représenter que la face avant d’un polyèdre ;
• pour la perspective cavalière, chercher à conserver l’orthogonalité partout ;
• chercher à conserver les distances pour des arêtes placées sur les fuyantes ;
• ne pas percevoir la tridimensionnalité dans le dessin ;
• ne pas imaginer certaines caractéristiques de l’objet (angle droit, parallélisme. . .)
4.2 Patron
Deux types de tâches peuvent être proposés à l’élève :
— reconnaître si un dessin donné est le patron ou non d’un solide ;
— construire le patron du solide.
Principales erreurs et difficultés :
• toutes les faces du solide doivent être représentées ;
• les côtés des différents polygones qui représentent les faces et qui se correspondent
après pliage doivent être de même dimension ;
• deux faces ne doivent pas se superposer ;
• si l’élève n’a pas le droit de manipuler l’objet, il devra construire le patron en
étalant mentalement les différentes faces de l’objet ;
• si l’objet est absent du regard de l’élève, il ne pourra s’agir que d’un objet familier :
cube ou pavé droit par exemple.
Beaucoup d’élèves s’imaginent qu’un solide n’a qu’un seul patron.
4.3 Définitions et propriétés
Il s’agit pour l’élève de reconnaître des propriétés d’un solide : nombre de faces,
d’arêtes, de sommets, nature des faces. Plusieurs cas peuvent se produire :
• l’élève a le solide à sa disposition : il suffit de lire directement ses propriétés. Le
risque est de compter deux fois des objets identiques (faces, arêtes, sommets) ;
• l’élève voit le solide mais ne peut le manipuler ni tourner autour : il doit imaginer
ce qu’il ne voit pas, ce qui suppose qu’il a déjà eu l’occasion de manipuler ce
solide ;
• l’élève ne dispose que du tracé en perspective de ce solide : il faut qu’il connaisse
et se soit approprié les conventions de la perspective cavalière.
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