Travaux dirigés, feuille 8 : probabilités

Université Paris Diderot - Paris 7
Intégration et Probabilités
L3 Maths Fondamentales
2010-2011
Travaux dirigés, feuille 8 : probabilités - 1
loi de variables aléatoires, indépendance
Loi de variables aléatoires, fonction de répartition et moments de variables réelles
Exercice 1
Soient X, Y et Z des variables aléatoires réelles définies sur un espace de probabilité (Ω, F, P).
1) On suppose que X = Y p.s. Montrer que X = Y en loi. Montrer que la réciproque est fausse.
2) On suppose que X et Y ont la même loi.
a) Soit f : R → R une fonction borélienne. Montrer que les v.a. f (X) et f (Y ) ont la même loi.
b) Montrer que les variables aléatoires XZ et Y Z n’ont pas nécessairement la même loi.
Exercice 2
1) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R de loi N (0, 1) (gaussienne centrée de variance 1), c’est à
2
dire de densité par rapport à la mesure de Lebesgue donnée par f (x) =
Calculer E(|X|) et Var(|X|).
x
√1 e− 2
2π
. Quelle est la loi de |X| ?
2) Soit X = (X1 , X2 ) une variable aléatoire à valeurs dans R2 de loi N2 (0, Id2 ), c’est à dire de densité par
rapport à la mesure de Lebesgue dans R2 donnée par f (x) =
si X2 = 0. Quelle est la loi de Y ?
1 −
2π e
kxk2
2
. On pose Y =
X1
X2
si X2 6= 0 et Y = 0
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur − π2 , π2 , c’est à dire de densité par rapport à la mesure de
Lebesgue donnée par f (x) = π1 1[− π2 , π2 ] (x).
1) On pose Y = X 2 . Quelle est sa fonction de répartition, sa densité, son espérance et sa variance?
2) Mêmes questions pour Z = tan(X).
Exercice 4
Soit X une variable aléatoire de loi dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue est donnée par
f (x) = αx3 1[0,1] (x).
1) Calculer α et E(X).
2) Donner la fonction de répartition de Y définie par
Y = X 1[1/4,3/4] (X) + 1]3/4,+∞[ (X) .
Cette variable admet-elle une densité par rapport à la mesure de Lebesgue?
3) Montrer que la loi de Y est f λ + (1/4)4 δ0 + (1 − (3/4)4 )δ1 , où f : x 7→ 4x3 1[1/4,3/4] (x).
1
Exercice 5
Soit (Xn )n≥0 une suite de v.a. réelles i.i.d., intégrables de moyenne m. On note L la fonction définie sur R
par
ln E eλX1
si E eλX1 < ∞
L(λ) =
+∞
sinon,
et L∗ la fonction définie sur R par
L∗ (x) = sup{xλ − L(λ) | λ ∈ R} .
1) Vérifier que L(λ) ≥ λm pour tout λ ∈ R, puis que
sup{xλ − L(λ) | λ ∈ R+ }
∗
L (x) =
sup{xλ − L(λ) | λ ∈ R− }
si x > m ,
si x < m .
2) Montrer que pour tout α > 0 et pour tout n ≥ 1,
X1 + . . . Xn
∗
− m ≥ α ≤ e−nL (m+α) .
P
n
3) En déduire que pour tout α > 0 et pour tout n ≥ 1,
X1 + . . . Xn
∗
∗
P − m ≥ α ≤ e−nL (m+α) + e−nL (m−α) .
n
Exercice 6
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N de loi de Poisson de paramètre λ > 0 donnée par P (X =
k
k) = e−λ λk! pour tout entier naturel k.
1
1) Calculer E(X), Var(X) et E X+1
.
2) On pose Y = (−1)X . Trouver la loi de Y . Calculer E(Y ), Var(Y ).
Exercice 7
On considère une source lumineuse ponctuelle située au point (−1, 0) dans le plan. Soit θ une variable
aléatoire définie sur un espace de probabilité (Ω, F, P), de loi uniforme sur ] − π/2, π/2[, c’est à dire de
densité π1 1]−π/2,π/2[ . On suppose que la source émet un rayon lumineux en direction de l’axe des ordonnées
en faisant un angle θ avec l’axe des abscisses. Déterminer la loi de l’ordonnée du point d’impact du rayon
avec l’axe des ordonnées.
Exercice 8
Soient X une v.a. réelle définie sur un espace de probabilité (Ω, F, P) et F sa fonction de répartition (on
rappelle que F (t) = P(X ≤ t), pour tout t ∈ R).
1) Si F est continue et strictement croissante, et si U est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1],
quelle est la loi de la variable aléatoire F −1 (U )?
2) Dans le cas général, on définit F −1 , la pseudo-inverse continue à droite de F , par F −1 (u) = inf{x ∈
R | F (x) > u}. Quelle est la loi de la variable aléatoire F −1 (U )?
Indication : on pourra montrer que
\
{F −1 (U ) ≤ t} =
{F (t + 1/n) > U } .
n∈N∗
2
Exercice 9
On dit qu’une variable réelle X vérifie la propriété d’absence de mémoire si pour tous s, t > 0 on a
P(X > t + s) = P(X > t) × P(X > s) .
Montrer qu’une variable aléatoire réelle positive X vérifie la propriété d’absence de mémoire si et seulement
si X suit une loi exponentielle, i.e., de densité x 7→ λe−λx 1R+ (x) par rapport à la mesure de Lebesgue dans
R, où λ > 0 est une constante.
Indication : on pourra étudier la fonction G : t ≥ 0 7→ ln P(X > t).
Exercice 10
Soit F la fonction de répartition d’une mesure de probabilité µ telle que F (x) ∈ {0, 1} pour tout x ∈ D, où
D est un ensemble dense dans R. Montrer que µ est une mesure de Dirac.
Exercice 11
1) Soit (X, Y ) une variable aléatoire à valeurs dans R2 dont la loi admet une densité f par rapport à la
mesure de Lebesgue sur R2 .
a) Rappel de cours : montrer que les lois de X et de Y admettent chacune une densité par rapport à la
mesure de Lebesgue sur R; en donner une expression en fonction de f .
b) On suppose que f (x, y) = e−x 10≤y≤x . Vérifier que f est bien une densité. Calculer la densité fX
(respectivement fY ) de X (resp. de Y ), et montrer que les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
2) Soit X une variable aléatoire réelle dont la loi admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue
sur R. Montrer que la loi du couple (X, X) n’admet pas de densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur
R2 .
Exercice 12
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N de loi géométrique de paramètre a ∈]0, 1[, donnée par P (X =
k) = (1 − a)ak pour tout entier naturel k. Soit m un entier strictement positif. On pose Y = max(X, m) et
Z = min(X, m). Trouver la loi de Y . Montrer que Y + Z = X + m. Calculer E(Y ) et en déduire E(Z).
Exercice 13
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R de loi exponentielle de paramètre λ > 0, c’est à dire de densité
par rapport à la mesure de Lebesgue donnée par f (x) = λe−λx 1[0,+∞[ (x). On note Y la partie entière de X.
Calculer la loi de Y .
Exercice 14
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles admettant une densité, liées par la relation X +Y = 0. Quelle
relation y a-t-il entre les fonctions de répartition de X et Y et entre les densités de X et Y ?
Exercice 15
Soient (Ω, F, P) un espace de probabilité et sur cet espace une variable aléatoire N de loi gaussienne centrée
2
de variance 1 c’est-à-dire de densité x 7→ √12π e−x /2 par rapport à la mesure de Lebesgue. Calculer la loi de
la variable aléatoire 1/N 2 .
3
Indépendance
Exercice 16
Soient (Xn )n≥1 une suite de v.a. réelles définies sur (Ω, F, P), indépendantes et de même loi exponentielle
de paramètre 1, de densité x 7→ e−x 1(x) par rapport à la mesure de Lebesgue. On pose T0 = 0 et pour tout
n ≥ 1,
Tn = X1 + ... + Xn .
Pour tout t ≥ 0, on pose
Nt = max{n ≥ 0 | Tn ≤ t} .
1) Soit n ≥ 1. Calculer la loi du n-uplet (T1 , ..., Tn ).
2) En déduire la loi de Nt , pour tout t > 0.
3) Pour n ≥ 1 et t > 0, on définit sur (Ω, F) une nouvelle mesure de probabilité Qn,t par la formule
∀A ∈ F ,
Qn,t (A) =
P(A ∩ {Nt = n})
.
P(Nt = n)
Calculer la loi du n-uplet (T1 , ..., Tn ) sous la mesure de probabilité Qn,t .
Exercice 17
Pour tout a > 0 et tout λ > 0 on pose γa,λ (x) =
λa −λx a−1
x 1R+ .
Γ(a) e
La loi de densité γa,λ est notée Γ(a, λ).
1) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi respectives Γ(a, λ) et Γ(b, λ). Calculer la loi
du couple (X + Y, X/(X + Y )) puis les lois de X + Y et X/(X + Y ). En déduire que X + Y et X/(X + Y )
sont indépendantes, et que
Z 1
Γ(a)Γ(b)
xa−1 (1 − x)b−1 dx =
.
Γ(a + b)
0
2) Trouver la loi de X/Y et montrer que cette variable aléatoire est indépendante de X + Y .
3) Soient (X1 , X2 , . . . , Xn ) des variables
√ aléatoires indépendantes de même loi gaussienne centrée réduite
N (0, 1), de densité x 7→ exp(−x2 /2)/ 2π par rapport à la mesure de Lebesgue. Soit Z = X12 +X22 +· · ·+Xn2 .
Montrer que Xi2 a pour loi Γ( 21 , 12 ), et que Z a pour loi Γ( n2 , 21 ). Calculer son espérance. Cette loi s’appelle
loi du χ2n .
Exercice 18
Sur un espace de probabilité (Ω, F, P), on se donne n variables aléatoires X1 , . . . , Xn , indépendantes et de
loi uniforme sur [0, 1], de densité 1[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue.
1) Montrer qu’il existe n variables aléatoires Y1 , . . . , Yn sur (Ω, F, P) telles que
Y1 (ω) ≤ . . . ≤ Yn (ω) et {Y1 (ω), . . . , Yn (ω)} = {X1 (ω), . . . , Xn (ω)}
pour presque tout ω ∈ Ω.
2) Déterminer les lois de (Y1 , . . . , Yn ) et de (Y1 /Y2 , . . . , Yn−1 /Yn ). Que peut-on en déduire sur la famille
(Y1 /Y2 , . . . , Yn−1 /Yn )?
4
Exercice 19 : Lemme de Borel-Cantelli, suite
1) Soit (An )n∈N une suite d’événements indépendants. Montrer que
X
P (An ) = ∞ =⇒ P lim sup An = 1 .
n→∞
n≥0
C’est la deuxième partie du lemme de Borel-Cantelli.
Indication: on pourra montrer pour tout n ∈ N, P [∩k≥n Ack ] = 0.
2) Soit α > 0, et soit (Zn , n ≥ 1) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi donnée par
P(Zn = 1) =
1
1
et P(Zn = 0) = 1 − α .
α
n
n
Montrer que Zn → 0 dans L1 mais que, p.s.,
lim sup Zn =
n→∞
1
0
si α ≤ 1 ,
si α > 1 .
Exercice 20
Soient (Xn )n≥1 une suite de v.a. réelles i.i.d. de loi µ et N une v.a. à valeurs dans N indépendante de la
suite (Xn )n≥1 .
1) On suppose que µ est la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[, c’est-à-dire que µ = pδ1 + (1 − p)δ0 , et
que N suit la loi de Poisson de paramètre λ, c’est-à-dire que pour tout k ∈ N, P(N = k) = e−λ λk /k!. On
pose
N
N
X
X
P =
Xi et F = N − P =
(1 − Xi ) .
i=1
i=1
avec P = F = 0 sur {N = 0}. Les v.a. P et F représentent respectivement le nombre de piles et de faces
dans un jeu de pile ou face de paramètre p à N lancers.
a) Déterminer la loi du couple (P, N ).
b) En déduire les lois de P et F et montrer que P et F sont indépendantes.
2) On ne fait plus d’hypothèse sur les lois. Soit f : R → R+ une fonction mesurable. Montrer que
"N
#
Z
X
E
f (Xi ) = E[N ] f dµ ,
R
i=1
avec
N
X
f (Xi ) = 0 sur {N = 0}.
i=1
Exercice 21 : loi du 0-1
1) Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a. indépendantes définies sur un espace de probabilité (Ω, F, P), à valeurs
dans (E, E). Pour tout n, on note Bn = σ(Xk , k ≥ n). Soit B∞ = ∩n≥1 Bn la tribu asymptotique. Montrer
que B∞ est grossière, c’est-à-dire que pour tout B ∈ B∞ , on a P(B) ∈ {0, 1}.
Indication : on pourra montrer que B∞ est indépendante d’elle-même.
X
2) Application : soit (Xn )n≥1 suite de v.a. réelles indépendantes. Montrer que
Xn converge p.s. ou
n≥1
diverge p.s. Si les Xn sont identiquement distribués, la série
X
n≥1
5
Xn peut-elle converger?
Exercice 22
Sur un espace de probabilité (Ω, F, P), on se donne (X, Y ) une variable aléatoire à valeurs dans R2 .
1) On suppose que la loi de (X, Y ) a pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la fonction
(x, y) 7→ λ µ e−λx−µy 1R2+ (x, y) .
a) Quelle est la loi de X? De Y ? Que peut-on dire du couple (X, Y )?
b) Déterminer la loi de la variable aléatoire U = min(X, Y ).
2) On suppose que la loi de (X, Y ) a pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la fonction
1 −x/2
e
1R+ (x)1[0,2π] (y) .
4π
√
√
Déterminer la loi de la variable aléatoire ( X cos Y, X sin Y ). Que peut-on en déduire?
(x, y) 7→
3) On suppose que la loi de (X, Y ) a pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la fonction
(x, y) 7→
1 − x2 +y2
2
e
.
2π
Calculer la loi de la variable aléatoire X/Y .
Exercice 23
Une variable aléatoire réelle V est dite symétrique si −V a même loi que V .
1) Soit X une variable aléatoire réelle.
a) On suppose que la loi de X admet une densité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. Montrer
que X est symétrique ssi f (x) = f (−x) pour λ-presque tout x ∈ R.
b) Montrer que X est symétrique ssi sa fonction caractéristique est réelle.
2) Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi. Montrer que X − Y est
symétrique. Ceci reste-t-il vrai si l’on ne suppose plus l’indépendance?
3) Soit X une variable aléatoire réelle et ε une variable aléatoire indépendante de X de loi
Montrer que si X est symétrique alors ε|X| a même loi que X.
1
2 δ−1
+ 21 δ1 .
Exercice 24
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N de loi géométrique de paramètre
0 < a < 1. On pose M = min(X, Y ) et Z = Y − X.
1) Calculer P (X ≥ k).
2) Calculer P (M ≥ k) et en déduire P (M = k). Quelle est la loi de M ?
3) Pour tous k ∈ N, r ∈ Z calculer P (M = k, Z = r). Pour cela on distinguera le cas r ≥ 0 du cas r < 0.
4) En déduire la loi de Z. Que peut-on dire de M et Z ?
6
Exercice 25
(p)
(p)
On définit sur (Ω, F, P) des variables aléatoires U1 , ..., Un indépendantes et de loi uniforme sur {1, 2, ..., p}.
(p)
1) Trouver la loi de Mn(p) = max Uk .
1≤k≤n
2) Montrer que E(Mn(p) ) =
X
P(Mn(p) ≥ k).
k∈N∗
3) Montrer que
(p)
E(Mn )
n
lim
=
.
p→∞
p
n+1
Exercice 26
Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a. réelles i.i.d. On note F la fonction de répartition de X1 et on suppose que
X1 n’est pas p.s. constante.
1) Soit a ∈ R tel que 0 < F (a) < 1. Montrer que p.s.
lim inf Xn ≤ a ≤ lim sup Xn .
n→∞
n→∞
Indication : penser au lemme de Borel-Cantelli.
2) On pose α = inf{x ∈ R | F (x) > 0} et β = sup{x ∈ R | F (x) < 1}. Montrer que α 6= +∞, β 6= −∞ et
α < β.
3) Montrer que p.s.
lim sup Xn = β
et
n→∞
lim inf Xn = α .
n→∞
Exercice 27
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes de densités respectives f et g par rapport à
la mesure de Lebesgue. On pose m = min(X, Y ) et M = max(X, Y ).
1) Montrer que P(X = Y ) = 0.
2) Montrer que la loi du couple (m, M ) a pour densité par rapport à la mesure de Lebsegue dans R2 la
fonction
(x, y) 7→ 1x<y [f (x)g(y) + f (y)g(x)] .
3) On suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre 1 et Y une loi uniforme sur [0, 1]. Montrer
que m et M ne sont pas indépendantes.
Exercice 28
Soient X une v.a. rélle de loi normale N (0, 1) et ε une v.a. réelle indépendante de X de loi 21 δ−1 + 12 δ1 . On
pose Y = εX.
1) Montrer que Y est de loi gaussienne N (0, 1) et calculer Cov(X, Y ).
2) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
7
Exercice 29
Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a. réelles i.i.d. On pose, pour tout n ≥ 1, Sn = X1 + · · · + Xn .
1) En utilisant la relation
Sn
Sn+1
Sn
Xn+1
−
=
−
,
n
n+1
n(n + 1) n + 1
montrer que
(
Sn
n
)
converge dans R
n≥1
c
⊂
lim sup{|Xn | ≥ n}
n→∞
2) Montrer que
E(|X1 |) ≤ 1 +
X
P(|Xn | ≥ n) .
n≥1
3) En déduire que si X1 n’est pas intégrable, alors la suite (Sn /n)n≥1 diverge p.s.
8
.