FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la
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FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la
FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la fonction carrée ? a) Exemples : . Son abscisse est égale à 0 mètres et il s’éloigne en accélérant de 5m.s-1 par seconde ! Comment varie son abscisse en fonction du nombre t de secondes ? f(t) = 2,5t² . . Il a lâché la pierre du haut du pont ! A quelle distance du point de départ la pierre sera t-elle dans t secondes ? f(t) = 5t² . . Il s’est entraîné 1 minute aujourd’hui et s’entraîne chaque jour 1 minute de plus que le précédent ! Combien se sera t-il ’entraîné au total dans x jours ? : f(x) = 0,5x² + 1,5x + 1 . . Un carré a un coté de x mètres ! Que vaut son aire en fonction de x ? : f(x) = x² . . Si le prix est de 100 euros, il en vend 0 et chaque fois qu’il baisse le prix de 1 euro, il en vend 1 de plus ! Quelle somme gagne t-il s’il baisse le prix de x euros ? R(x) = x(100 –x) = 100x – x² . b) Remarques : Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de ces évolutions. Les évolutions que l’on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature ( la vitesse de croissance d’un arbre, la position d’une pierre en chute libre,…), à une certaine « façon » d’évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions affines permettent de décrire une « sorte » d’évolution, certains phénomène peuvent-être décrits grâce à la fonction carrée, fonction dont il faut connaître les propriétés principales ! II) Qu’est ce que la fonction carrée ? Définition 1 : ( fonction carrée ) La fonction carrée associe à tous nombre réel x ∈ IR le carré de ce nombre : x² ( x² = x× x ) On note : IR f: x → → IR x² ou encore : f(x) = x² pour x ∈ IR . Exemples : .Le carré de 3 est : 3² = 9. .Le carré de -3 est : (-3)² = 9. .Le carré de 2 est : ( 2)² = 2. III) Propriétés de la fonction carrée La fonction carrée a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels qu’elle permet de décrire. Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION CARREE . La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole d’équation y = x² . Voici un tableau de valeurs de la fonction carrée : Valeurs de x –5 – 4,5 – 4 –3,5 –3 –2,5 Valeur de x² 25 20,25 16 12,25 9 6,25 Valeurs de x 0,5 Valeur de x² 0,25 1 1 1,5 2,25 2 4 2,5 3,25 3 9 –2 4 –1,5 2,25 –1 1 – 0,5 0,25 3,5 12,25 4 16 4,5 20,25 5 25 On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique partiel de la fonction carrée ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ) . y VALEURS de f(x) = x² 20 « La courbe est une parabole qui passe par l’origine » 15 10 5 VALEURS de x x 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Propriété 1 : PARITE DE LA FONCTION CARREE La fonction carrée est telle que pour tout nombre réel x ∈ IR on a x² = (-x)² ( le carré d’un nombre est égal au carré de l’opposé de ce nombre ) On dit alors que la fonction carrée est « paire ». Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à (oy). Preuve (-x)² = (-1× x)² = (-1)² × x² = 1×x² = x² Exemples : (-1) ² = 1² = 1 C.Q.F.D. (-10) ² = 10² = 100 (- 2) ² = 2² = 2 Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION CAREE . Pour la fonction carrée, on a le tableau de variations suivant : Valeurs de x -∞ ∞ +∞ 0 Variations de x x² → 0 La fonction carrée est décroissante sur ]- ∞ ; 0 ]. ( plus un nombre négatif est grand et plus son carré est petit ) La fonction carrée est croissante sur [ 0 ; + ∞ [. ( plus un nombre positif est grand et plus son carré est grand ) Preuve : Démontrons que : si a < b < 0 alors a² > b² ( ce qui montrera la décroissance sur ]-∞ ; 0 ] ) Supposons que a < b < 0 l’inégalité a² > b² est équivalente à a² – b² > 0 mais aussi à (a – b)(a +b) > 0 ( en factorisant ) or ( a – b) est négatif car a < b et ( a + b) est négatif car a et b sont négatifs, donc par produit, (a – b)(a +b) est positif donc (a – b)(a +b) > 0 donc a² > b² finalement : si a < b < 0 alors a² > b² . On démontre la croissance sur [0 ; + ∞ [ de la même façon : Supposons que a > b > 0 Donc (a – b) est positif et (a + b) est positif donc (a – b)(a +b) > 0 donc a² > b² finalement : si a > b > 0 alors a² > b² . C.Q.F.D Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION CAREE . la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction carrée sont croissantes ou décroissantes elle est démontrée ci dessus. Quels que soient les nombres réels a et b : Pour a et b négatifs : Si a < b alors a² > b² Si on élève au carré les membres d’une inégalité entre des nombres négatifs alors on obtient une inégalité de sens inverse. Pour a et b positifs : si a < b alors a² < b² Si on élève au carré les membres d’une inégalité entre des nombres positifs alors on obtient une inégalité du même sens que la première. Exemples : -3 < -1 donc (-3)² > (-1)² donc 9 > 1. 2 < 5 donc 2² < 5² donc 4 < 25 . Si x < -4 alors x² > 16 Si x > 3 alors x² > 9 Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION CARREE. Valeurs de x -∞ ∞ Variations de x x² → Signe de x² +∞ 0 Exemple : (-2)² = 4 est positif 0 + 0 + Quel que soit le nombre réel x ∈ IR , le carré x² de ce nombre est positif ou nul Preuve : si x est négatif alors x × x = x² est positif et si x > 0 alors x × x = x² > 0. Propriété 5 : MINIMUM DE LA FONCTION CARREE. Le minimum de la fonction carrée vaut 0 et est atteint pour x = 0. Preuve : Résulte immédiatement des variations de la fonction carrée. Application : ( x – 4)² + 10 est minimum pour x – 4 = 0 soit x = 4 et le minimum vaut 10. Propriété 6 : EQUATION ET FONCTION CARREE. Soit l’ équation x² = a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché. On distingue trois cas selon les valeurs de « a ». Pour a positif strict : Pour a nul: Si x² = a alors x = a ou x = - a y=a a>0 Si x² = 0 alors x = 0 Pour a négatif strict : x² = a est une inégalité fausse Preuve : - a a .Si a = 0 : x² = 0 ⇔ x×x = 0 ⇔ x = 0 ou x = 0 ⇔ x = 0 .Si a < 0 : x² = a ⇔ x² est négatif strict, ce qui est impossible car le carré d’un réel est positif. Donc x² = a n’a pas de solution réelle. .Si a > 0 : x² = a ⇔ x² = ( a)² ⇔ x² – ( a)² = 0 ⇔ (x – a)(x + a) = 0 ⇔ x – a = 0 ou x + a = 0 ⇔ x = - a ou x = - a . C.Q.F.D. Application : x² = –7 n’a aucune solution dans IR et S = ∅. x² = 7 a deux solutions x = 7 ou x = - 7 donc S = {- 7 , 7 }. Propriété 7 : INEQUATION ET FONCTION CARREE. (admis ) Soient les inéquations x² > a , x² < a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché. On distingue 3 cas selon les valeurs de « a ». Pour a positif strict: Si x² > a alors x < a ou x > a c’est à dire x ∈]- ∞,- a [ ∪ ] a , + ∞[. Si x² < a alors - a < x < a c’est à dire x ∈ ]- a , a[. ( voir la courbe de la propriété 6 ci dessus pour une illustration ) Pour a = 0 : Si x² > 0 alors x ∈ IR- {0} x² < 0 est une inégalité fausse pour toute valeur de x ∈ IR Pour a négatif strict : Si x² > a alors x ∈ IR x² < a est une inégalité fausse pour tout x ∈ IR Applications : x² > –7 x² < –7 y=a a<0 n’a aucune solution dans IR donc S = ∅. S = IR. x² < 7 S = ]- 7 ; 7 [. x² > 7 S = ]- ∞ ; - 7 [ ∪ ] 7 ; + ∞ [.