Correction des exercices sur les statistiques Première S Exercice 1

Correction des exercices sur les statistiques
Première S
Exercice 1 On considère le tableau statistique suivant :
Données (x i )
Effectif (n i )
4
3
10
2
15
4
x
5
où x est un nombre réel quelconque entre 0 et 20.
1. Déterminer la moyenne m(x) en fonction de x. Dresser le tableau de variations de la fonction m pour x ∈ [0; 20].
5x + 92
m(x) =
d’où le tableau de variations d’une fonction affine croissante :
14
x
m(x)
2.
0
20
96
7
ր
46
7
(a) Déterminer la variance V (x) de la série en fonction de x.
45x 2 − 920x + 7608
Après simplification, on trouve : V (x) =
196
(b) Dresser la tableau de variations de la fonction V pour x ∈ [0; 20].
La variance est ainsi une fonction trinôme de la variable x ; elle admet donc un minimum (a > 0) en x 0 =
92
934
b
=
qui vaut
.
−
2a
9
63
(c) En déduire celui de l’écart-type σ(x).
On passe de la variance à l’écart-type par la fonction racine, croissante pour x > 0 qui ne change donc pas
l’ordre. L’écart-type varie donc comme la variance.
(d) En déduire x 0 , la valeur de x pour laquelle la variance comme l’écart-type est minimale.
Donc l’écart-type et la variance ont les mêmes variations, donc l’écart-type est minimum en x 0 =
92
.
9
3. Calculer m(x 0 ).
On a :m(x 0 ) = x 0 .
Exercice 2 On considère une série de valeurs (x i )1≤i ≤N , contenant N valeurs.Soit f la fonction affine définie par f (x) =
ax + b où a et b sont deux nombres quelconques.
On appelle m( respectivement V ) la moyenne(respectivement la variance) des valeurs (x i ) et m f (respectivement V f ) la
moyenne( respectivement la variance) de la série des valeurs ( f (x i ))1≤i ≤N où f (x i ) désigne l’image de x i par la fonction
f.
1. Démontrer que : m f = a × m + b ;
Version avec le Sigma Σ
N
1 X
x i . Alors :
N i =1
N
N
N
N
N
N
N
X
X
1 X
1 X
1 X
1 X
1 X
1
b) = (a
1) = a
xi + b
mf =
f (x i ) =
(ax i + b) = ( ax i +
xi + × b × N = a × m + b
N i =1
N i =1
N i =1
N i =1
N i =1
N
i =1
i =1
On a m =
Version sans le Sigma Σ
On a : m =
1
(x 1 + x 2 + · · · + x N −1 + x N ). Alors :
N
1
1
1
( f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x N −1 ) + f (x N )) = (ax 1 + b + ax 2 + b + · · · + ax N −1 + b + ax N + b) = (a(x 1 + x 2 +
N
N
N
1
1
· · · + x N −1 + x N ) + b(1 + 1 + · · · + 1 + 1)) = a (x 1 + x 2 + · · · + x N −1 + x N ) + × b × N = a × m + b
N
N
2
2. Démontrer que : V f = a × V
mf =
Lycée Jean Baptiste de Baudre à AGEN
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Première S
Version avec le Sigma Σ
N
1 X
(x i − m)2 . Alors :
N i =1
N
N
N
N
1 X
1 X
1 X
1 X
Vf =
( f (x i ) − m f )2 =
(ax i + b − (am + b))2 =
(ax i + ✓
b − am − ✓
b )2 = a 2
(x i − m)2 = a 2 × V
N i =1
N i =1
N i =1
N i =1
On a V =
Exercice 3 Un professeur de sciences-physiques fait un bilan sur les moyennes de ces élèves. Il trouve pour la classe une
moyenne de m = 9 et un écart-type σ = 4.Regrettant une telle représentation, il aurait souhaité présenter un bilan plus
habituel avec par exemple une moyenne m ′ = 10 et un écart-type σ′ = 2.
Il interroge son collègue de mathématiques en lui demandant quelle transformation affine opérée sur ses notes, lui permettraient d’obtenir les paramètres souhaités.
Le collègue de mathématiques lui répond :
Transforme tes notes avec la fonction f définie par : f (x) =
x + 11
et tu auras les paramètres statistiques souhaités !
2
Aidez le professeur de physiques à comprendre comment le professeur de mathématiques a déterminé cette fonction
affine.
D’après les résultats de l’exercice précédent, les nombres a et b qui définissent la fonction affine doivent vérifier les deux
relations : 10 = a × 9 + b (relation entre les moyennes) et 4 = a 2 × 16 (relation sur les variances). En considérant a > 0( f doit
11
1
être croissante pour augmenter la moyenne !), on trouve alors a = puis b = . D’où la fonction proposée.
2
2
Exercice 4 On considère une série de valeurs (x i )1≤i ≤N , contenant N valeurs. On appelle m(x) la moyenne des valeurs
(x i ) et m(x 2 ) la moyenne des carrés des (x i ).
Démontrer la formule de Köning-Huygens :
V (x) = m(x 2 ) − (m(x))2
où V désigne la variance de la série des (x i ).
On considère la série non pondérée ; cela simplifie la présentation mais la démarche resterait la même avec la présence des
coefficients.
N
N
N
N
N
X
X
1 X
1 X
1 X
V=
(x i − m)2 =
(x i2 − 2 × m × x i + m 2 ) = ( x i2 − 2m
xi + m 2
1) .
N i =1
N i =1
N i =1
i =1
i =1
N
N
N
1 X
1 X
1 X
x i2 − 2 × m ×
xi + m 2 ×
1 = m(x 2 ) − 2 × m × m + m 2 = m(x 2 ) − m(x)2
Donc V =
N i =1
N i =1
N i =1
Exercice 5 On effectue des essais sur un échantillon de lampes électriques afin de tester leur durée de vie exprimée en
heures.On obtient les résultats suivants :
Durée de vie en heures
[1000; 1200[
[1200; 1300[
[1300; 1400[
[1400; 1500[
[1500; 1600[
[1600; 1700[
[1700; 1800[
[1800; 2100[
Effectifs
6
6
8
10
16
13
7
9
Fréquences
8
8
10.67
13.33
21.33
17.33
9.33
12
Fréquences cumulées
8
16
26.67
40
61.33
78.66
87.99
99.99
1. Calculer la moyenne de la durée de vie. Pour cela on prendra le centre de chaque classe pour représenter la classe.
1100 × 6 + 1250 × 6 + 1350 × 8 + · · · + 1750 × 7 + 1950 × 9
m=
= 1539.33..
75
2. Calculer les fréquences de chaque intervalle.
Lycée Jean Baptiste de Baudre à AGEN
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3. Calculer les fréquences cumulées croissantes.
4. Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes :
1.0
b
0.9
b
0.8
b
0.7
b
0.6
0.5
0.4
b
0.3
b
0.2
b
0.1
b
0
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100
b
5. En déduire une estimation graphique des quartiles.Puis construire le diagramme en boîte de la série. Le polygone
précédent permet la lecture graphique des quartiles : Q 1 = 1390; Me = 1545;Q 3 = 1674. D’où le diagramme en boîte
1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000
suivant :
Lycée Jean Baptiste de Baudre à AGEN
2100