2 - Second degré : correction

TES
AP2 : Corrigé
Exercice 1
1.
 E1  : 3x2  5x  8  0
est une équation du second degré ; a  3 , b  5 , c  8 ;
Le discriminant est :    5  4  3   8  121  112 .   0 donc  E1  a deux solutions distinctes :
2
x1 
b   5  11
b   5  11 16 8
 8

 1 et x2 


 donc S1  1; 
2a
6
2a
6
6 3
 3
 E2  : 5x2  4x  2  0 est une équation du second degré ; a  5 , b  4 , c  2 ;
Le discriminant est :   42  4   5   2  24 .   0 donc  E2  n’a pas de solution,
2.  I1  : 4x2  3x  7  2x2  4x  2 ;
S2   .
 I1   4x2  3x  7   2x2  4x  2  0 ;  I1   2x2  7 x  9  0 .
On obtient une inéquation du second degré.
On étudie le signe du trinôme : 2 x 2  7 x  9 .
Son discriminant est   121  112 .   0 donc le trinôme a deux racines distinctes :
7  11
18
9
7  11 4
x1 
    et x2 
  1.
4
4
2
4
4
2
Le coefficient de x est strictement positif donc on a le tableau de signes suivant :
9


1

x
2
+
0
0
+

Signe de 2 x 2  7 x  3
 9 
On a donc S1    ;1 .
 2 
 I2  : 2x2  3x  7  0  I 2  est une inéquation du second degré.
On étudie le signe du trinôme 2 x 2  3x  7 .
Son discriminant est   9  4   2   7   47 ,   0 donc le trinôme n’a pas de racine.
Le coefficient de x 2 est strictement négatif donc on a le tableau de signes suivant :
x


2

Signe de 2 x  3x  7
On a donc S 2 
.
1
TES AP 2 : Corrigé
Exercice 2
Une unité de production est sous traitant pour une grande marque de jouets.
Elle fabrique des poupées et vend sa production.
Le coût total de fabrication, exprimé en milliers d’euros, de q milliers de poupées est donné par :
C  q   0,05q2  q  80 pour q 0;100 .
1. Quels sont les coûts fixes, c'est-à-dire les coûts lorsque aucune unité n’est produite ?
C  0  80 donc les coûts fixes sont de 80 000€
2. Résoudre l’équation C  q   480 . En donner une interprétation concrète.
C  q   480  0,05q2  q  80  480 et q 0;100 .
0, 05q 2  q  80  480  0, 05q 2  q  400  0 , on a une équation du second degré de discriminant
  12  4  0,05   400  81  92 .   0 donc l’équation a deux solutions distinctes :
q1 
1  9
1  9
 80 et q2 
 100 .
0,1
0,1
q1 0;100 mais q2 0;100 donc C  q   480  q  80 .
Un coût total de 480 000 € correspond à la fabrication de 80 000 poupées.
3. La vente de 60 milliers de poupées rapporte 360 milliers d’euros de recette. Sachant que la recette R est
une fonction linéaire, déterminer R  q  , la recette, exprimée en milliers d’euros, que rapporte la vente de
q milliers de poupées, q 0;100 .
La recette R est une fonction linéaire, donc R  q   aq , où a est un réel positif.
360
 6 . Donc la recette, exprimée en milliers d’euros, que
60
rapporte la vente de q milliers de poupées, q 0;100 est définie par R  q   6q .
R  60  360  60a  360 ce qui donne a 
4. On considère la fonction B définie sur 0;100 par : B  q   0,05q2  5q  80 .
a. Etablir que B  q  représente le bénéfice, exprimé en milliers d’euros, dégagé par la production et la
vente de q milliers de poupées.
Pour q 0;100 , le bénéfice, exprimé en milliers d’euros, dégagé par la production et la vente de q
milliers de poupées est R  q   C  q  . Or R  q   C  q   6q  0, 05q 2  q  80  0, 05q 2  5q  80 .
On retrouve bien l’expression de B  q  .
b. Déterminer la plage de production qui permet à l’entreprise de faire des bénéfices ( c'est-à-dire
l’intervalle sur lequel B  q   0 .
Pour déterminer la plage de production qui permet à l’entreprise de faire des bénéfices on résout
l’inéquation B  q   0 .
B  q   0  0,05q2  5q  80  0 et q 0;100 .
0, 05q 2  5q  80  0 est une inéquation du second degré, le discriminant du trinôme 0, 05q 2  5q  80
5  3
 80
est   52  4   0,05   80  9 . Le trinôme a deux racines distinctes : q1 
2   0, 05 
et q2 
5  3
 20 .
2   0, 05 
Le coefficient de q 2 est strictement négatif donc 0, 05q 2  5q  80  0  20  q  80 .
Donc B  q   0  20  q  80 .
Pour que l’entreprise réalise un bénéfice, il faut que sa production soit strictement comprise entre 20 000
poupées et 80 000 poupées.
2
TES AP 2 : Corrigé
Exercice 3 Transport d’œuvres d’art
Une compagnie est spécialisée dans le transport d’œuvres d’art.
Le cout C  x  du transport, en centaines d’euros, dépend de la valeur x de l’œuvre, en centaines d’euros.
La compagnie ne transporte que des œuvres estimées à au moins 400 €.
Pour x  4 , on a : C  x   0,016x2  0,144 .
La compagnie applique un tarif forfaitaire lorsque le coût du transport dépasse le quart de la valeur de
1
l’œuvre, c'est-à-dire lorsque C  x   x .
4
1. Conjecture
Lucile a amorcé la démarche suivante.
Reprendre sa démarche et émettre une conjecture sur la valeur à partir de laquelle une œuvre bénéficiera
du tarif forfaitaire.
Démarche de Lucile :
Sur l’écran de la calculatrice, les courbes
représentées sont celles représentatives d’une part
1
de C et d’autre part de x
x.
4
1
x.
4
Graphiquement : on peut émettre la conjecture que une œuvre bénéficiera du tarif forfaitaire quand sa
valeur dépassera un peu plus de 1600 euros.
Dans le tableau de valeurs : Y1 correspond à C  x  et Y2 à
On obtient un résultat plus précis en utilisant l’ intersection de deux
courbes.
Par le calcul :
Le tableau de valeur ci-contre montre que le coût dépasse le quart de la
valeur de l’œuvre à partir d’une valeur comprise entre 1600 € et 1700 €.
On peut améliorer l’encadrement en changeant le pas.
Le tableau de valeur ci-contre montre que le coût dépasse le quart de la
valeur de l’œuvre à partir d’une valeur comprise entre 1610 € et 1620 €.
3
TES AP 2 : Corrigé
2. Démontrer cette conjecture.
Pour démontrer cette conjecture, on résout l’inéquation  I  : C  x  
1
x.
4
1
x et x  4   I   0,016x2  0, 25x  0,144  0 et x  4 .
4
 L’inéquation 0, 016 x 2  0, 25 x  0,144  0 est une inéquation du second degré : le trinôme
 I   0, 016 x2  0,144 
0, 016 x 2  0, 25 x  0,144 a pour discriminant    0, 25  4  0,016   0,144   0,071716 .
2
0, 25  0,071716
0, 25  0,071716
et x2 
.
2  0,016
2  0,016
x1  0,5562 et x2  16,1812 , le coefficient de x 2 est strictement positif, on peut dresser le
tableau :
x

x1
x2

+
0
0
+

Signe de 0, 016 x 2  0, 25 x  0,144
  0 donc le trinôme a deux racines x1 
 En tenant compte de la condition x  4 on obtient comme ensemble de solution pour  I  :
S   x2 ;  .
On a donc prouvé qu’une œuvre bénéficiera du tarif forfaitaire dès que son prix de vente dépassera 1618 €.
4
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