Dénombrement Corrigé

B1 – ESH
Exercices de dénombrement
Corrigé
Exercice 1
A la cantine du lycée, on a le choix entre 3 entrées, 2 plats et 4 desserts. Combien de menus (composés d'une
entrée, d'un plat et d'un dessert) sont possibles ?
Soit E,P et D les ensembles des entrées, des plats et des desserts, respectivement.
Soit M l'ensemble des menus. Un menu est un triplet formé d'une entrée, d'un plat et d'un dessert.
Donc : M=E X P X D (produit cartésien).
Donc card(M) = card(E) x card(P) x card (D) = 24
Exercice 2
Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles ?
( 496)
Exercice 3
On considere les mains de 5 cartes que l’on peut extraire d’un jeu de 52 cartes.
1. Combien y a-t-il de mains différentes ?
( 525)
2. Combien y a-t-il de mains comprenant exactement un as ?
( 14)×( 483)
3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?
Ensemble complémentaire : mains sans valet. Il y en a :
Donc le nombre cherché est
( 525) ( 485)
( 485)
-
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (a la fois) au moins un roi et au moins une dame ?
Complémentaire : sans roi ou sans dame.
Nombre de mains sans roi :
( 485)
( 485)
Nombre de mains sans dame :
Nombre de mains sans roi ou sans dame :
(cardinal de l'union …)
Donc le nombre cherché est
( 485) ( 485) ( 445)
+
-
( 525) ( 485) ( 485) ( 445)
-(
+
-
)
Exercice 4
La course et le podium : dans une course de 100m, il y a huit partants numérotés de 1 a 8. Sur le podium, il y
aura les trois médaillés (or - argent - bronze). Combien y a-t-il de podiums possibles ? $
3-listes sans répétition : 8×7×6
Exercice 5
Un tiroir contient 5 paires de chaussures noires, 3 paires de chaussures vertes et 2 paires de chaussures
rouges. On choisit deux chaussures au hasard et simultanément ; et on suppose toutes les chaussures
différentiables.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
20 chaussures au total. On en prend deux simultanément. Donc :
2.
( 202)
tirages possibles.
Combien de tirages amenent deux chaussures vertes ? deux chaussures de même couleur ?
Il y a 6 chaussures vertes. Donc il y a

6 tirages possibles.
2
Tirages de même couleur :
Soient N,V,R les ensembles de tirages constitués de 2 chaussures noires, vertes et rouges,
respectivement. Soit E l'ensemble des tirages amenant deux chaussures de la même couleur.
Alors : E=N∪V∪R Il s'agit évidemment d'unions disjointes.
Donc card(E) = card(N) + card(V) + card(R)
Soit card(E) =
3.
   
10 + 6 + 4
2
2
2
Combien de tirages amenent un pied gauche et un pied droit ? au moins un pied gauche ?
Un pied gauche et un pied droit :
Pied gauche :
 
10
(ou 10) possibilités. Idem pour le pied droit. Donc 100 tirages
1
possibles.
Au moins un pied gauche :
Aucun pied gauche :
( 102)
Donc au moins un pied gauche :
4.
( 202) ( 102)
-
Combien reconstituent une paire de chaussures avec un gauche et un droit de même couleur
?
La aussi, union disjointe d'ensembles (la paire est noire OU verte OU rouge). Les cardinaux
s'additionnent.
Donc résultat : 5² + 3² + 2² = 38 tirages possibles.
Exercice 6
On tire 3 cartes au hasard dans un jeu de 52 cartes classique (13 hauteurs et 4 couleurs ).
1. Nombre de tirages possibles ?
2. Déterminer alors le nombre de tirages contenant
a) 3 cartes (exactement) de même hauteur b) 2 cartes
(exactement) de même couleur
On tire 3 cartes au hasard dans un jeu de 52 cartes classique (13 hauteurs et 4 couleurs ).
1. Nombre de tirages possibles ?
Tirage simultané, sans ordre. Donc
 
52 tirages possibles.
3
2. Déterminer alors le nombre de tirages contenant
a) 3 cartes (exactement) de même hauteur
 
13 (ou 13) possibilités. Il y 13 hauteurs..
1
4
Ensuite on choisit les cartes a l'intérieur de cette hauteur :
3
13 × 4 = 52 tirages possibles.
Donc
1
3
On fixe la hauteur en question :

 
b) 2 cartes (exactement) de même couleur
Choix de la couleur répétée deux fois :
 

4
1
(il y a 4 « couleurs »: Pique, Trefle, Carreau, Coeur)
Choix de la troisieme carte : n'importe laquelle mais pas dans la couleur précédemment choisie:
39 possibilités.
1
4 × 39 tirages possibles.
Donc
1
1
 
Exercice 7
On fait 5 tirages d’une boule- successivement et avec remise- dans une urne contenant 9 boules
numérotées de 1 a 9.
1. Nombre de tirages possibles ?
Il s'agit de compter les applications de [[1;5]] dans [[1;9]]. Soit 95
2. Dénombrer alors l’ensemble des tirages contenant
a) (exactement) 2 fois la boule 2

5 possibilités.
2
Ensuite, il faut placer des numéros (sauf le 5) aux trois autres tirages : 83
3
5 tirages
Donc finalement : 8 ×
2
On fixe les rangs de tirage pour les deux tirages de la boule 2 :

b) au moins 1 fois la boule 9
On passe au complémentaire : 95 - 85 tirages
c) 3 fois la boule 3 et 1 fois la boule 1
Pour les 3 boules 3 :

5 possibilités. Une fois que les places des boules 3 sont attribuées, il ne reste
3
plus qu'une possibilité pour les 2 boules 1.
Donc

5 tirages.
3
3. a) Nombre de tirages tels que le 2e tirage ait donné la boule 1 ?
Le tirage numéro 2 est pris. Reste a attribuer 4 numéros.
Donc 94 tirages possibles.
b) Nombre de tirages tels que la 2e boule 1 tirée l’ait été au 3e tirage ?
Rang de premiere boule 1 :

2
possibilités.
1
Ensuite, il faut une boule différente de la boule 1 pour la place laissée libre avant le 3e tirage.
Et pour les 2 derniers tirages, les 9 boules sont possibles. Soit 92
Finalement :

possibilités.

8
1
2 × 8 ×92 tirages.
1
1
Exercice 8
Combien de numéros de téléphone peut-on attribuer en France, sachant que :
• L’indicatif de région est 01, 02, 03, 04 ou 05.
• Les deux chiffres suivant doivent être distincts.
Choix de l'indicatif : 5 possibilités.
Choix des deux chiffres suivants : 10×9 (2-liste sans répétition).
8
Choix des 8 autres chiffres : 10 (8-liste)
Donc le nombre cherché est 5×10×9×10
8
Exercice 9
Dans une urne, on place n boules blanches et une noire. On tire simultanément k boules.
Enoncé ambigu comme d'hab. Il y a deux réponses selon que les boules blanches sont distinguables (cas a) )
ou pas (cas b) ).
1. Combien y a-t-il de tirages sans boule noire ?
a)
( nk )
b) 1
2. Combien y a-t-il de tirages avec au moins une boule noire ?
a)
n
( k−1
)
b) 1
3. Combien y a-t-il de tirages possibles en tout ?
a)
( n+1
k )
b) 2
Exercice 10
1. Combien d’anagrammes peut-on former avec les lettres du mot OIGNON ?
6!
2!×2 !
2. Combien d’anagrammes peut-on composer avec les lettres du mot BALKANISATION ?
13!
3 !×2!×2!
3. Combien d’anagrammes peut-on composer en utilisant toutes les lettres du mot FILOZOFI ?
8!
2!×2 !×2 !
Exercice 12 (plus difficile)
Soit E un ensemble de cardinal n.
1. Combien y-a-t-il de couples(A,B) de parties de E tels que A∩B=∅
Soit F cet ensemble.
F = { ( A ,B); A⊂E , B⊂E , A∩B=∅ }
Soit Fk = { ( A ,B); card (A)=k , A⊂E ,B⊂E , A∩B=∅ }
k=n
Il est clair que F= ∪ Fk et que cette union est disjointe.
n
Donc card(F) =
k=0
∑ card (Fk )
k=0
Soit maintenant FA =B⊂E ; A∩B=∅
On a alors : Fk =
∪
A⊂E ; card ( A)=k
FA
La encore, cette union est disjointe.
Donc card( Fk ) =
∑ card (F A)
A⊂E; card (A)=k
card(E)−card (A )
∑
Mais card( FA ) =
i=0
(
)
card (E)−card (A )
=
i
n−card (A)
∑
i=0
(n−cardi (A))
(nombre de parties a k éléments parmi card(E) – card(A), pour k variant de 0 a card(E)-card(A))
Et card( Fk ) =
n−k
Mais
∑
n−k
∑ ( n−k
i )
A⊂E; card (A)=k i=0
=2 n−k
∑ ( n−k
i )
(Binôme de Newton de (1+1)
n−k
)
i =0
Il y a
( nk )
parties de E a k éléments.
Donc card( Fk ) =
( nk ) 2
∑ ( nk ) 2
n−k
n
Et enfin card(F) =
n−k
= 3
n
n
(Binôme de Newton de (1+2) )
k=0
Et tels que A∪B=E ?
A∪B=E <=> A∪B=A∩B=∅
L'ensemble des couples (A,B) est en bijection avec l'ensemble des couples ( A ,B)
n
Donc le nombre de couples cherché est encore 3 .
2.
Combien y-a-t-il de triplets(A,B,C)de parties de E tels que A∪B∪C=E ?
Pour compter ces triplets, on peut compter les couples ( ( A∪B),C ), tels que ( A∪B)∪C =E
et 0 ≤ card( A∪B )≤ n
Choix du sous-ensemble A∪B de k éléments :
k
( nk )
possibilités.
Combien de couples (A,B) : 3 d'apres 1.
Combien de façons de choisir C tel que ( A∪B)∪C = E : autant de façons qu'il y a de
sous ensembles de A∪B . En effet, C est parfaitement défini par son intersection avec A∪B .
k
Il y a 2 sous-ensembles d'un ensemble de cardinal k. (Voir plus haut)
Donc, pour card( A∪B )= k, il y a
Et on fait la somme sur k.
( nk ) 3 2
k
k
triplets.
n
Donc finalement, le nombre de triplets cherché est :
∑(
k=0
)
n
()
n k k
n k
3 2 =∑
6 = 7n
k
k=0 k
Exercice 13
Soit E un ensemble de cardinal n.
1. Combien y-a-t-il de parties de E formées de k éléments ?
( nk )
2. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments de E ?
n
k
3. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments deux a deux distincts de E ?
n!
(n−k)!
4. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments deux a deux distincts de E, tel que le premier élément est le
plus petit et le dernier élément est le plus grand ?
( nk )×(k−2)!
5. Combien y-a-t-il de k-uplets d’éléments de E ordonnés dans l’ordre strictement croissant ?
( nk )