DS1 Etude de quelques problèmes relatifs à la navigation, l

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MP*1-2016/2017
DS1
D’après Mines MP-1997
Etude de quelques problèmes relatifs à la navigation,
l’aéronautique et l’espace.
La navigation consiste à conduire un mobile d’un point à un autre, en sachant définir à tout
instant la position de ce dernier par rapport à des références fixes. Au cours des millénaires,
l’art historique de la navigation, constitué de procédés, de pratiques et de théories s’est enrichi
des moyens, des phénomènes et des instruments amenés, révélés ou produits par les avancées
scientifiques.
0.
(Ne pas consacrer à cette question plus de trois minutes, environ) Indiquer,
éventuellement dater approximativement, quelques moyens ou quelques outils de repérage de
navigation de votre connaissance.
PARTIE A - NAVETTE SPATIALE ; MISE SUR ORBITE D’UN SATELLITE
Le repérage de la position d’un mobile (navire ou aéronef en vol) relativement à des repères
fixes utilise et utilisera de façon croissante des satellites de radiopositionnement, comme ceux
du système GPS (Global Positioning System) élaboré par la NASA. Cette partie étudie
quelques aspects de la mécanique des lancements de ces satellites, depuis le véhicule que
constitue la navette spatiale. Le lancer d’un satellite depuis cette navette se fait en trois étapes
successives : la navette est d’abord mise en orbite circulaire, au moyen de fusées auxiliaires ;
à partir de cette orbite circulaire, la navette éjecte le satellite qui gagne progressivement une
altitude plus élevée ; enfin, une fois parvenu à son altitude définitive, le satellite s’y stabilise
au moyen d’un dispositif de freinage.
Dans l’ensemble de cette partie, la Terre est assimilée à un astre à symétrie sphérique, de
rayon 𝑅, de centre 𝐶 fixe à l’origine 𝑂 des coordonnées d’un référentiel galiléen (𝑅𝑔 ). On
appelle 𝑔𝑜 l’accélération de la gravitation au niveau du sol, et 𝑇 la période de révolution
propre de la Terre autour de l’axe des pôles. La navette spatiale et le satellite qu’elle emporte
sont assimilés à deux points matériels notés respectivement 𝐴 et 𝑃.
Pour les applications numériques, on prendra 𝑅 = 6 400 𝑘𝑚, 𝑔𝑜 = 9,80 𝑚. 𝑠 −2 et 𝑇 =
86 164 𝑠.
A.I - LANCEMENT DE LA NAVETTE SPATIALE
La navette spatiale et son satellite sont solidaires. Avec l’équipage et la charge utile,
l’ensemble est assimilé à un point matériel unique de masse 𝑀. Le tout est en orbite circulaire
d’altitude ℎ et de rayon 𝑟 = 𝐶𝑃 = 𝑅 + ℎ. Cet ensemble subit une force attractive de la part
𝐺𝑀𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
de la Terre : 𝐹⃗ = − 𝐶𝑃3 𝑇 𝐶𝑃
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1. Déterminer, dans (𝑅𝑔 ) et en fonction des constantes 𝑀, 𝑅 et 𝑔𝑜 , la vitesse 𝑣(𝑟), la vitesse
angulaire 𝜔𝑜 (𝑟) .
2. Déterminer l’énergie potentielle du système 𝐸𝑝 (𝑟) et en déduire l’énergie mécanique 𝐸(𝑟)
de l’ensemble en fonction des constantes 𝑀, 𝑅 et 𝑔𝑜 et de 𝑟.
3. Application numérique : déterminer l’altitude 𝐻 qu’il faut atteindre pour obtenir la période
de rotation de 12 heures, qui est celle des satellites du système GPS.
Avant le lancement, la fusée était placée sur un pas de tir
situé à la latitude  (la latitude  d’un point P de la surface de la Terre est l’angle formé par le segment CP avec
sa projection sur le plan équatorial).
Pôle Nord
Pas de tir, P
P

Équateur
C
4. Déterminer, dans le référentiel géocentrique, la
variation d’énergie mécanique de la fusée, de masse M,
entre le lancement (avant la mise en route des fusées) et
Pôle Sud
l’arrivée sur orbite circulaire, en fonction de r, R, M, g0, 
et T dans le référentiel (𝑅𝑔 ). On explicitera d’abord l’énergie cinétique, l’énergie potentielle
et l’énergie mécanique de la fusée avant le lancement en fonction de r, R, M, g0,  et T.
5. Commenter le choix de  permettant, avec des moteurs donnés, la mise en orbite la plus
favorable possible.
6. Application numérique : l’orbite à atteindre est située à l’altitude de 300 𝑘𝑚. Calculer
l’économie d’énergie réalisée par unité de masse du système lancé, lors du passage du pas de
tir d’Edwards (Californie, 1 = 34°50’N) à celui de Cape Canaveral (Floride, 2 = 28°30’N) ;
à titre documentaire, un gramme d’essence fournit, typiquement, 40 𝑘𝐽 dans un moteur à
explosion. Calculer aussi la vitesse sur orbite 𝑣(𝑟)
A.II - LE SATELLITE DANS LA SOUTE DE LA NAVETTE ; LANCEMENT
La navette spatiale ayant atteint l’orbite décrite en A.I (circulaire de rayon 𝑟𝑜 , parcourue à la
vitesse uniforme 𝑣(𝑟𝑜 )), de période de rotation 𝑇𝑜 = 12 heures, le satellite qu’elle contient
dans la soute est alors libéré de ses fixations afin de le préparer au lancement. Le satellite est
alors dit en impesanteur dans la soute et l’on souhaite préciser cette notion.
L’ensemble de l’étude est réalisé dans le référentiel (𝑅𝑁 ), lié à la
navette, en rotation uniforme autour de la Terre par rapport à (𝑅𝑔 ). On
e
P
r
appelle 𝐴 le centre de ce référentiel, confondu alors avec le centre de
masse de la navette spatiale. Ce référentiel a pour axes fixes les axes
A
liés à la base orthonormée (𝐴, 𝑒⃗𝑟 , 𝑒⃗𝜃 , 𝑒⃗𝑧 ) où 𝑒⃗𝑟 est radial et 𝑒⃗𝜃 coli- e 
néaire à la trajectoire circulaire de la navette.
Enfin, le satellite sera assimilé à un point matériel 𝑃 de masse 𝑚
C
repéré par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃 = 𝑥 𝑒⃗𝑟 + 𝑦 𝑒⃗𝜃 + 𝑧 𝑒⃗𝑧
7. Quelles sont les forces qui s’exercent, dans (𝑅𝑁 ), sur le point matériel 𝑃 ? On donnera leurs
expressions vectorielles respectives en fonction de 𝑚, 𝑔𝑜 , 𝑟𝑜 , 𝑒⃗𝑧 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑃 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐻𝑃, 𝑅, et de la vitesse
⃗⃗⃗⃗
𝑣′ de P relative au référentiel (𝑅𝑁 ), 𝐻 étant le projeté de 𝑃 sur l’axe 𝐶𝑧.
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8. Montrer que ces forces, soit ne travaillent pas dans (𝑅𝑁 ) , soit dérivent d’une énergie poten⃗⃗⃗⃗⃗⃗|| et 𝐻𝑃 =
tielle 𝐸𝑝 dont on donnera l’expression en fonction de 𝑔𝑜 , 𝑅, 𝑟𝑜 ,𝑚, 𝐶𝑃 = ||𝐶𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|| seulement.
||𝐻𝑃
9. Montrer que l’énergie potentielle, au voisinage du point A, peut s’exprimer sous la forme
𝐸𝑝 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐾 + (𝐶𝑥 𝑥 2 + 𝐶𝑦 𝑦 2 + 𝐶𝑧 𝑧 2 ) . Exprimer 𝐾, 𝐶𝑥 , , 𝐶𝑦 et 𝐶𝑧 en fonction de 𝑚 et de
𝑔𝑜 , 𝑅, 𝑟𝑜 , puis en fonction de 𝑚, 𝑟𝑜 et 𝜔𝑜 la pulsation de la navette spatiale.
On donne : (1 + 𝑢)𝑛 ~1 + 𝑛𝑢 + 𝑛(𝑛 − 1)
𝑢2
2
si 𝑢 << 1
10. Établir les équations du mouvement de 𝑃 dans (𝑅𝑁 ), la force dérivant de l’énergie
potentielle précédente étant 𝐹⃗ (𝑥, 𝑧) = 𝑚𝜔𝑜2 (3𝑥𝑒⃗𝑥 − 𝑧𝑒⃗𝑧 ). Que peut-on dire de la stabilité de
la (ou des) position(s) d’équilibre du satellite? Discuter le concept d’impesanteur au sein d’un
véhicule et les conditions de son observation.
11. L’orbite de la navette a maintenant une période de 𝑇 = 2 heures dans sa rotation autour de
la Terre, un astronaute, assimilé à un point matériel 𝑁 de masse 𝑚𝑎 , situé initialement en A,
quitte la navette avec les vitesses initiales suivantes :
a) On suppose que : vox  voy  0 et voz  vo  15m.s 1 . Quelle est la trajectoire de 𝑁 ?
Quelle est la distance maximale 𝐿1 de l’astronaute à la navette au cours de son mouvement ?
Retournera-t-il à la navette ? Si oui en combien de temps ?
b) On suppose que : voz  voy  0 et vox  vo  15m.s 1 . Mêmes questions qu’au a).
1
c) On suppose que : voz  vox  0 et voy  vo  15m.s . Mêmes questions qu’au a).
Dans quelle direction préfériez-vous quitter le vaisseau ?
Problème 2 :
Principe d’un gyromètre vibrant
Même s’il ne s’agit pas des gyromètres les plus performants, les gyromètres vibrants
ont l’avantage majeur de pouvoir être miniaturisés et fabriqués à faible coût. Ils trouvent ainsi
leurs applications dans des domaines variés : stabilisation de caméscopes, navigation
automobile.. Ce problème propose de comprendre le principe général de ce type de
gyromètres en s’appuyant sur l’exemple du micro-gyromètre VIG développé par l’ONERA
(Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales).
La structure du gyromètre VIG est analogue à celle d’un diapason. Afin de simplifier
les calculs, on remplace cette structure par un système masse-ressorts. On considère ainsi une
masse ponctuelle 𝑚 localisée au point 𝑀 accrochée à deux ressorts 𝑅1 et 𝑅2 de constantes de
raideur respectives 𝑘1 et 𝑘2 et de longueur à vide 𝑙1 et 𝑙2 . La masse est astreinte à se déplacer
uniquement dans le plan horizontal 𝑂𝑥𝑦, perpendiculaire au champ de pesanteur, l’origine 𝑂
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étant la position de la masse à l’équilibre. Hors équilibre, la masse est repérée à la date 𝑡 par
ses coordonnées 𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡) telles que 𝑥 et 𝑦 soient très petits devant 𝑙1 et 𝑙2 . Dans tout le
problème on mettra à profit ces inégalités afin de linéariser les équations.
On suppose dans un premier temps que le référentiel de repère 𝑂𝑥𝑦𝑧 est galiléen et
l’on néglige dans la première question tout frottement.
1- Etablir le système d’équations différentielles vérifiées par 𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡). Préciser les
deux pulsations caractéristiques du système, notées 𝜔𝑥 et 𝜔𝑦 en précisant le mouvement de la
masse (appelé « mode ») pour chaque pulsation.
On prend en compte les frottements dans la suite du problème : la masse, de vitesse 𝑣⃗,
subit une force de frottement de la forme 𝑓⃗ = −𝛽𝑣⃗. Par ailleurs, on excite le système en
déplaçant le point d’attache 𝑃 du ressort 𝑅1 de manière sinusoïdale selon 𝑂𝑥. L’abscisse de 𝑃
sur 𝑂𝑥 est de la forme 𝑥𝑝 (𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) − 𝑙1 avec 𝐴 << 𝑙1 .
2- Déterminer le nouveau système d’équations différentielles. On introduire les
pulsations 𝜔𝑥 et 𝜔𝑦 trouvées dans la question 1.
3- Montrer que les solutions du système précédent s’expriment comme la somme
d’une solution transitoire tendant vers zéro et d’une solution particulière appelée solution du
régime sinusoïdal forcé. Par la suite on ne considérera que cette solution. Déterminer
l’expression de 𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡) qu’on mettra sous la forme 𝑥(𝑡) = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑥 ) et 𝑦(𝑡) =
𝑌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑦 ). Il pourra être judicieux pour trouver ces expressions d’introduire la fonction
complexe 𝑥(𝑡) = 𝑋𝑒𝑥𝑝(𝑗(𝜔𝑡 + 𝜑𝑥 )) avec 𝑥(𝑡) = 𝑅(𝑥(𝑡) et d’écrire l’équation différentielle
complexe vérifiée par 𝑥(𝑡). Donner les expressions de 𝑋, tan(𝜑𝑥 ) , 𝑌, tan(𝜑𝑦 ) en fonction de
𝐴, 𝛽, 𝑚, 𝜔𝑥 et 𝜔. Les deux modes sont-ils excités par le déplacement du point 𝑃 ?
𝑚𝜔
4- On définit le facteur de qualité par 𝑄 = 𝛽 𝑥. On note 𝑟 le rapport de l’amplitude
des oscillations de 𝑀 sur celles de 𝑃 et 𝜑 le déphasage entre les oscillations de 𝑀 et de 𝑃. Les
graphes ci-dessous représentent 𝑙𝑜𝑔(𝑟) et 𝜑 en fonction de la fréquence f d’excitation pour le
micro-gyromètre VIG. A partir de l’étude des graphes, déterminer les valeurs numériques de
la fréquence de résonance et du facteur de qualité du mode excité.
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5- A quelle fréquence est-il préférable d’exciter le système afin d’obtenir une
amplitude de la masse la plus élevée possible ? On se placera dans cette situation dans toute la
suite du problème.
Le plan 𝑥𝑂𝑦 est maintenant en rotation autour de l’axe 𝑂𝑧 par rapport au référentiel
terrestre supposé galiléen avec une vitesse angulaire algébrique Ω supposée constante. Le
point 𝑃 effectue toujours un mouvement sinusoïdal selon 𝑂𝑥 comme précédemment.
6- En supposant que Ω ≪ 𝜔𝑥 et 𝜔𝑦 , établir le nouveau système d’équations
différentielles vérifiées par 𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡) en fonction de 𝑚, 𝛽, 𝜔𝑥 , 𝜔𝑦 , Ω et 𝐴.
Dans la littérature, on trouve parfois la description suivante : le gyromètre vibrant
permet d’accéder à la valeur de la vitesse angulaire par la mesure de l’amplitude du mode
« détecteur » en excitant de manière contrôlée le mode « pilote ».
7- Expliquer cette phrase de manière qualitative à la lumière du système d’équations
différentielles précédent en indiquant qui joue ici le rôle du mode pilote et qui joue le rôle du
mode détecteur.
On suppose le terme 2𝑚Ω𝑦̇ négligeable et l’on se place en régime sinusoïdal forcé. On
note g le rapport de l’amplitude de la composante selon 𝑂𝑦 de 𝑀 sur celle de la composante
selon 𝑂𝑥.
8- Donner l’expression de 𝑔.
9- Dans le cas du micro-gyromètre VIG, la différence entre les deux modes propres
Ω
vaut 0,5 𝑘𝐻𝑧. En déduire l’expression approchée de 𝑔 : 𝑔~ |𝜔 −𝜔 |.
𝑥
𝑦
Les calculs précédents ont été menés dans l’hypothèse d’une vitesse angulaire Ω
constante. Un calcul non précisé ici, montre que la valeur de 𝑔 obtenue précédemment chute
si Ω varie trop rapidement Plus précisément, si la vitesse angulaire Ω varie de façon
sinusoïdale, la bande passante à −3𝑑𝐵 du gain 𝑔, notée 𝐵𝑃, vérifie l’inégalité :
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𝐵𝑃 ≤
|𝜔 − 𝜔𝑦 |
4𝜋 𝑥
10- Expliquer qualitativement pourquoi la différence de fréquences entre les deux
modes (0,5 𝑘𝐻𝑧 dans le cas du VIG) est issue d’un compromis entre deux impératifs que l’on
précisera.
11- Vérifier a postériori la légitimité de l’élimination de certains termes dans le
système d’équations différentielles en 𝑥(𝑡) et 𝑦(𝑡) pour Ω = 1000 °/𝑠
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