Fonction carré
Transcription
Fonction carré
FONCTION CARRE I) Présentation Définition : on appelle fonction carré la fonction x a x 2 définie sur R. Remarques : • Tout réel admet un carré ; l’ensemble de définition de la fonction carré est donc R. ‚ Si on note f la fonction carré, f(3) = 9 et f(.3) = 9, alors 9 a deux antécédents par la fonction carré. L’équation x 2 = 9 admet deux solutions qui sont .3 et 3. ƒ La fonction carré permet de définir l’opérateur « élévation au carré » o2 . y = x2 II) Représentation graphique Lorsqu’on représente dans un repère les points de coordonnées (x ; x 2 ), on obtient la représentation graphique de la fonction carré. Définition : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole ; son équation est y = x 2 ; l’origine O du repère de coordonnées (0 ;0) est appelé le sommet de la parabole. Propriété : La parabole représentant la fonction carré admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie ; on dit que la fonction carré est paire. Remarque : Les points M et M’ de la courbe d’abscisse x et .x ont même ordonnée x 2 ; en effet ( − x )2 = ( − x) × (− x ) = − − x2 = x 2 . Ils sont donc symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. 1 O 1 Propriété : Soit g une fonction définie sur R. Lorsque la fonction g est telle que pour tout x réel, g(.x) = g(x), alors la représentation graphique Bg de la fonction g est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; on dit alors que la fonction g est paire. III) Sens de variation Théorème : • La fonction carré est croissante sur R+ = [0 ;+∞[ ; • La fonction carré est décroissante sur R− = ]−∞ ; 0]. Conséquences : • Sur [0 ;+∞[ : deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre : 0 ; x1 < x2 équivaut à x12 < x22 . o2 L’opérateur conserve l’ordre sur [0 ;+∞[. • Sur ].o ; 0] : deux nombres négatifs et leurs carrés ne sont rangés pas dans le même ordre : o2 x1 < x2 ; 0 équivaut à x12 > x22 . L’opérateur inverse l’ordre sur ].o ; 0]. • Tableau de variation : x −∞ 0 +∞ La fonction carré possède un minimum 0 atteint pour x = 0 (en 0), c’est-à-dire : pour tout x ∈ R , on a : f ( x ) ≥ f ( 0) soit x 2 ≥ 0 . Variation de f 0 Fonction carré 1/1