Correction DS4_seconde1

CORRECTION DU DEVOIR N°4
N°4 DE MATHEMATIQUES
EXERCICE N°1 – Fonction et équations SUJETS
SUJETS 1 ET 2 (5,5 points)
Soit ݂ la fonction définie sur IR par ݂(‫(ݔ = )ݔ‬4 − ‫ݔ‬²). Sur la feuille annexe, on donne ‫ܥ‬௙ sa courbe
représentative dans un repère du plan.
1)
a. ݂(‫ = )ݔ‬0
⟺ ‫(ݔ‬4 − ‫ ݔ‬ଶ ) = 0
⟺ ‫ = ݔ‬0 ou 4 − ‫ ݔ‬ଶ = 0
⟺ ‫ = ݔ‬0 ou (2 − ‫()ݔ‬2 + ‫ = )ݔ‬0
⟺ ‫ = ݔ‬0 ou 2 − ‫ = ݔ‬0 ou 2 + ‫ = ݔ‬0
⟺ ‫ = ݔ‬0 ou ‫ = ݔ‬ou ‫ = ݔ‬−2
Les solutions sont : −૛ , 0 et 2. (1,5 point)
b. Voir graphique de la feuille annexe. (0,5 point)
2) On considère les points ‫(ܣ‬−2 ; −1) de coordonnées et ‫(ܤ‬2 ; 2) de coordonnées.
a. Tracer (AB). (0,5 point)
Attention ! sur le graphique, les deux droites des sujets 1 et 2 apparaissent en bleu pour l’un et en
vert pour l’autre.
ଷ
ଵ
b. La droite (‫ )ܤܣ‬représente la fonction ݃ dénie sur IR par ݃(‫ = )ݔ‬ସ ‫ ݔ‬+ ଶ.
Méthode : il suffit de vérifier que les deux points A et B sont sur la droite.
SUJET 1 :
ଷ
ଵ
ଷ
ଵ
ଶ
Si ‫ = ݔ‬−2 alors ‫ = ݕ‬ସ × (−2) + ଶ = − ଶ + ଶ = − ଶ = −1 donc ‫ ܣ‬appartient à la courbe de ݃.
ଷ
ଵ
ଷ
ଵ
ସ
Si ‫ = ݔ‬2 alors ‫ = ݕ‬ସ × 2 + ଶ = ଶ + ଶ = ଶ = 2 donc ‫ ܣ‬appartient à la courbe de ݃.
Donc (AB) représente bien ࢍ.. (1 point)
SUJET 2 :
Si ‫ = ݔ‬−2 alors ‫= ݕ‬
Si ‫ = ݔ‬2 alors ‫= ݕ‬
ିଵ
×
ସ
ିଵ
ସ
ଷ
ଵ
ଷ
ଷ
ଶ
ଶ
ଶ
ସ
(−2) + = + = = 2 donc ‫ ܣ‬appartient à la courbe de ݃.
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
×2+ =
ିଵ
ଶ
+ = = 1 donc ‫ ܣ‬appartient à la courbe de ݃.
Donc (AB) représente bien ࢍ.. (1 point)
c. Résolution graphique de l’équation ݂(‫)ݔ(݃ = )ݔ‬.
Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de ࡯ࢌ et (AB). (0,75 point)
SUJET 1 : Les solutions sont −2,2
2,2 ; 0,4 et 1,9. (0,75 point+0,5 pour les placer)
SUJET 2 : Les solutions sont −1,9
1,9 ; 0,2 et 1,7.
EXERCICE N°2
N°2 –Equations et probabilités (4 points)
1) Résolution de l’équation
(ହ௫ା଺)(଼௫ିସ)
ଶ௫ିଵ
= 0.
Valeurs interdites : (0,5 point)
2‫ ݔ‬− 1 = 0 ⟺ ‫= ݔ‬
ଵ
ଶ
donc
ଵ
ଶ
est valeur interdite.
Résolution de (5‫ ݔ‬+ 6)(8‫ ݔ‬− 4) = 0
(5‫ ݔ‬+ 6)(8‫ ݔ‬− 4) = 0 ⟺ 5‫ ݔ‬+ 6 = 0 ou 8‫ ݔ‬− 4 = 0
଺
ସ
ଵ
(5‫ ݔ‬+ 6)(8‫ ݔ‬− 4) = 0 ⟺ ‫ = ݔ‬− ou ‫ = = ݔ‬.
ହ
଼
ଶ
૟
ଵ
Or ଶ est valeur interdite donc la solution est − ૞. (1,5 point)
2) On donne la distribution suivante :
Issue
bleu
jaune
vert
ଵଷ
ଵସ௧
ଵଵ
଻௧
ଵ
ଶ௧
Probabilité
ଵଷ
ଵଵ
ଵ
Pour définir une loi de probabilité il faut et il suffit que ଵସ௧ + ଻௧ + ଶ௧ = 1 avec ‫ ≠ ݐ‬0. (0,5 point)
Résolvons l’équation :
13
22
7
14‫ݐ‬
13
22
7
14‫ݐ‬
42 − 14‫ݐ‬
13 11 1
+
+ =1 ⟺
+
+
=
⟺
+
+
−
=0 ⟺
=0
14‫ ݐ‬7‫ ݐ‬2‫ݐ‬
14‫ ݐ‬14‫ ݐ‬14‫ ݐ‬14‫ݐ‬
14‫ ݐ‬14‫ ݐ‬14‫ ݐ‬14‫ݐ‬
14‫ݐ‬
ସଶ
⟺ 42 − 14‫ = ݐ‬0 et ‫ ≠ ݐ‬0 (valeur interdite) ⟺ ‫ = ݐ‬ଵସ = 3 et ‫ ≠ ݐ‬0.
On obtient alors :
Issue
Probabilité
bleu
jaune
vert
ଵଷ
ସଶ
ଵଵ
ଶଵ
ଵ
଺
Et on vérifie que chaque valeur est plus petite que 1.
Pour ࢚ = ૜ on définit une loi de probabilité. (1,5 point)
EXERCICE N°3
N°3 –Probabilités SUJET 1 (6,5
(6,5 points)
Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l’anglais et 15 l’espagnol. 8 élèves étudient les deux
langues. On choisit un élève au hasard et on note :
‫ ܣ‬l’événement « l’élève étudie l’anglais » et ‫ ܧ‬l’événement « l’élève étudie l’espagnol ».
1) Calculer ܲ(‫ )ܣ‬et ܲ(‫ )ܧ‬puis répondre par une phrase.
ࡼ(࡭) =
૛૙
૛
= donc 2 élèves sur 3 étudient l’anglais. (1 point)
૜૙
૜
ࡼ(࡮) =
૚૞
૜૙
=
૚
૛
donc 1 élève sur 2 étudie l’espagnol. (1 point)
2) Décrire par une phrase l’événement ‫ܧ ∩ ܣ‬, puis calculer sa probabilité.
ૡ
૝
࡭ ∩ ࡱ est l’événement « l’élève étudie l’anglais et l’espagnol» et ࡼ(࡭ ∩ ࡱ) = ૜૙ = ૚૞. (1 point)
3) Décrire par une phrase l’événement ‫ܧ ∪ ܣ‬, puis തതതതതതത
‫ܧ ∪ ܣ‬.
࡭ ∪ ࡱ est l’événement « l’élève étudie l’anglais ou l’espagnol» (0,5 point)
തതതതതതതത
࡭ ∪ ࡱ est l’événement « l’élève n’étudie
n’étudie ni l’anglais ni l’espagnol» (0,5 point)
4) On obtient le tableau : (1,5 point)
Evénements
‫ܧ‬
‫ܧ‬ത
TOTAL
‫ܣ‬
8
12
20
‫ܣ‬ҧ
7
3
10
TOTAL
15
15
30
5) D’après le tableau 3 élèves n’apprennent ni l’anglais ni l’espagnol.
l’espagnol.
ഥ ∩ࡱ
ഥ . (1 point)
L’événement « l’élève n’étudie ni l’anglais, ni l’espagnol » est ࡭
EXERCICE N°3
N°3 –Probabilités SUJET 2 (6,5
(6,5 points)
Dans une classe de 32 élèves, 24 étudient l’anglais et 16 l’espagnol. 10 élèves étudient les deux
langues. On choisit un élève au hasard et on note :
‫ ܣ‬l’événement « l’élève étudie l’anglais » et ‫ ܧ‬l’événement « l’élève étudie l’espagnol ».
1) Calculer ܲ(‫ )ܣ‬et ܲ(‫ )ܧ‬puis répondre par une phrase.
૛૝
૜
૚૟
૚
ࡼ(࡭) = ૜૛ = ૝ donc 3 élèves sur 4 étudient l’anglais. (1 point)
ࡼ(࡮) = ૜૛ = ૛ donc 1 élève sur 2 étudie l’espagnol. (1 point)
2) Décrire par une phrase l’événement ‫ܧ ∩ ܣ‬, puis calculer sa probabilité.
૚૙
૞
࡭ ∩ ࡱ est l’événement « l’élève étudie l’anglais et l’espagnol» et ࡼ(࡭ ∩ ࡱ) = ૜૛ = ૚૟. (1 point)
3) Décrire par une phrase l’événement ‫ܧ ∪ ܣ‬, puis തതതതതതത
‫ܧ ∪ ܣ‬.
࡭ ∪ ࡱ est l’événement « l’élève étudie l’anglais ou l’espagnol» (0,5 point)
തതതതതതതത
࡭ ∪ ࡱ est l’événement « l’élève n’étudie
n’étudie ni l’anglais ni l’espagnol» (0,5 point)
4) On obtient le tableau : (1,5 point)
Evénements
‫ܧ‬
‫ܧ‬ത
TOTAL
‫ܣ‬
10
14
24
‫ܣ‬ҧ
6
2
8
TOTAL
16
16
32
5) D’après le tableau 2 élèves n’apprennent ni l’anglais ni l’espagnol.
ഥ ∩ࡱ
ഥ . (1 point)
L’événement « l’élève n’étudie ni l’anglais, ni l’espagnol » est ࡭
EXERCICE N°4
N°4 –Probabilités (4 points)
On dispose au hasard trois drapeaux l’un à côté de l’autre : l’un français noté F, le deuxième italien
noté I et le dernier espagnol noté E.
1) Arbre de probabilités : (1,5 + 0,5 points)
1er drapeau
2ème drapeau
I
3ème drapeau
E
issues
(F ; I ; E)
F
E
I
(F ; E ; I)
F
E
(I ; F ; E)
E
F
(I ; E ; F)
F
I
(E ; F ; I)
I
F
(E ; I ; F)
I
E
Donc Ω contient 6 issues.
2) Deux combinaisons placent le drapeau français au milieu : (I ; F ; E) et (E ; F ; I).
૛
૚
Donc la probabilité pour que le drapeau français soit placé entre les deux autres est de ૟ soit ૜. (1
point)
3) Quatre combinaisons placent le drapeau italien à une extrémité : (F ; E ; I) ; (I ; F ; E) ; (I ; E ; F) et
(E ; F ; I).
૝
૛
Donc la probabilité pour que le drapeau italien soit placé à une extrémité est de ૟ soit ૜. (1 point)