PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

COLLÈGE LA PRÉSENTATION
BREVET BLANC Novembre 2010
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
classe de 3e
Durée : 2 heures
Présentation et orthographe : 4 points
Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.
PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)
Exercice 1 (4 points)
On considère l'expression E =  3 x 2 2 −  3 x 2   x  7 
1. Développer et réduire E.
E=9 x² +12 x + 4−( 3 x² + 21 x+ 2 x +14 )
E=9 x² +12 x + 4−3 x² −23 x −14
E=6 x²−11 x−10
2. Factoriser E.
E= ( 3 x + 2 ) [ ( 3 x +2 ) −( x +7 ) ]
E= ( 3 x + 2 ) ( 3 x + 2− x−7 )
E= ( 3 x + 2 ) ( 2 x−5 )
1
3. Calculer E lorsque x = .
2
On prend l'expression développée de E : E=6 x²−11 x−10
1
Quand x = , alors :
2
2
1
1
1 11
3 11
−8
E=6×
−11× −10=6× − −10= − −10=
−10=−4−10=−14
2
2
4 2
2
2
2
4. Résoudre l'équation  3 x 2   2 x −5  =0.
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.
On en déduit que 3 x +2=0 ou 2 x −5=0
2
5
Soit : x=− ou x= .
3
2
2
5
Les solutions de cette équation sont donc − et
.
3
2
( )
Exercice 2 (3 points)
190
.
114
1. Expliquer pourquoi cette fraction n'est pas irréductible.
Les deux nombres 190 et 114 sont pairs, donc ils ont au moins 2 comme diviseur commun ; la
fraction est donc simplifiable par au moins 2, elle n'est donc pas irréductible.
2. Déterminer le PGCD des nombres 190 et 114 par la méthode de votre choix (faire apparaître les
calculs utilisés).
190 = 114 × 1 + 76
114 = 76 × 1 + 38
76 = 38 × 2 + 0
Donc PGCD(190;114) = 38.
190 190 5×38 5
=
=
3. En déduire la forme irréductible de la fraction
:
114 114 3×38 3
On considère la fraction
Exercice 3 (2 points)
Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses. Elle veut faire le plus grand
nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
1. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
Elle veut utiliser toutes les fleurs : le nombre de bouquets sera donc un diviseur de 182 et 78.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets : le nombre de bouquets est le PGCD de 182 et
78.
182 = 78 × 2 + 26
78 = 26 × 3 + 0.
Donc PGCD(182;78) = 26.
Elle pourra faire 26 bouquets de fleurs identiques.
2. Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
182 ÷ 26 = 7 et 78 ÷ 26 = 3. Donc chaque bouquet sera composé de 7 brins de muguet et 3
roses.
Exercice 4 (3 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des expressions numériques, trois résultats sont proposés. Un seul est exact.
Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1
3 7

2 5
10
7
10
10
29
10
2
1 05
1 02
1 03
1 07
1 0− 3
3
2 7 1
− ÷
3 3 4
1
12
−
4
1 0 5 2
1 07
1 03
26
3
−
20
3
1 01 0
PARTIE 2 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS)
Exercice 1 (5 points)
1. Construire un triangle ABC tel que : AB = 4,8 cm ; AC = 6,4 cm et BC = 8 cm.
2. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Dans le triangle ABC, le plus long côté est [BC].
Or BC² = 8² = 64 d'une part et AC² + AB² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64 d'autre part.
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, puisque BC² = AB² + AC², alors le
triangle ABC est rectangle en A.
3. Construire le point D symétrique du point B par rapport au point A.
4. Calculer l'aire du triangle BCD.
Le triangle ABC est rectangle en A, donc (AC)  (AB).
De plus B et D sont symétriques par rapport à A, donc les points A, B et D sont alignés. On en
déduit que (AC)  (BD), et donc la droite (AC) est une hauteur pour le triangle BCD.
BD× AC 4,8×2×6,4
=
=4,8×6,4=30,72 cm²
L'aire du triangle BCD est donc égale à :
2
2
Exercice 2 (3 points)
Soit un triangle ABC. Le point I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [AC] et
K est le milieu du segment [BC].
1. Tracer la figure.
2. Démontrer que IJKB est un
parallélogramme.
Dans le triangle ABC, I est le milieu
de [AB] et J est le milieu de [AC].
D'après le théorème de la droite des
milieux, la droite (IJ) est donc
parallèle à (BC) ; comme K  [BC],
alors (IJ) // (BK).
De la même façon, J est le milieu de
[AC] et K est le milieu de [BC], donc
(JK) // (AB), et comme I  [BA],
alors (JK) // (BI).
Le quadrilatère IJKB a ses côtés
opposés deux à deux parallèles, donc
c'est un parallélogramme.
Exercice 3 (4 points)
D
E
Un parc de jeu a une forme triangulaire.
Il est représenté sur la figure ci-contre où les dimensions ne sont
pas respectées.
Les dimensions réelles de ce terrain sont :
DE = 12 m
EF = 9 m
F
DF = 15 m
1. On veut construire ce triangle à l'échelle 1/200.
a) Compléter le tableau ci-dessous.
DE
EF
DF
Dimensions réelles
12 m
9m
15 m
Dimensions du dessin
6 cm
4,5 cm
7,5 cm
b) Construire le triangle DEF
2. Montrer que ce terrain possède un angle droit.
Dans le triangle DEF, le côté le plus long est [DF].
D'une part DF² = 15² = 225 et d'autre part EF² + DE² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
D'après le théorème de Pythagore, puisque DF² = EF² + DE², alors le triangle DEF est rectangle
en E.
3. Calculer l'aire réelle de ce parc.
Puisque le triangle DEF est rectangle en E, alors l'aire de ce triangle est égale à :
DE×EF 12×9
=
=6×9=54 m²
2
2
PARTIE 3 : PROBLÈME (12 POINTS)
Partie 1 : Le graphique suivant représente la distance parcourue par un train entre deux villes A et B en fonction de
l’heure.
a. Donner l’heure de départ et d’arrivée du train ainsi que
la distance entre les villes A et B.
b. Quelle distance parcourt-il entre 9 h et 11 h ? Et entre
11 h 30 min et 13 h ? Que s’est-il passé entre 11 h et
11 h 30 min ?
Distance parcourue
B
c. Calculer la vitesse moyenne en km.h- 1 du train entre
9 h et 11 h puis sa vitesse moyenne entre 11 h 30 min et
13 h.
400 km
d. Calculer sa vitesse moyenne en km.h- 1 entre 9 h et
13 h.
200 km
e. Ce train effectue le trajet retour à la vitesse moyenne
de 160 km.h- 1 sans faire d’arrêt. Quelle est la durée du
trajet retour ?
A
9h
10 h
11 h
12 h
13 h
Heure
f. Calculer la vitesse moyenne du train en km.h - 1 sur le
parcours aller-retour (arrondir le résultat au dixième).
Partie
2:
Un
autre
train
effectue
46 km
en
zone
urbaine
à
69 km.h- 1
Il poursuit ensuite son parcours en campagne pendant 1 h 35 min à une vitesse de 96 km.h- 1.
de
moyenne.
g. Calculer la durée du trajet en zone urbaine puis la longueur du trajet en campagne.
h. Calculer la vitesse moyenne du train sur l’ensemble du parcours (zone urbaine plus campagne).
Remarque : on rappelle la formule de la vitesse :
Si un objet parcourt une distance d (en km) pendant un temps t (en h), alors sa vitesse moyenne v
(en km.h-1) est
donnée par la formule v =
d
.
t