Suites arithmétiques et géométriques

Transcription

Séquence 8
Suites arithmétiques
et géométriques
Sommaire
Pré-requis
Suites arithmétiques
Suites géométriques
Synthèse du cours
Exercices d’approfondissement
Séquence 8 – MA11
1
© Cned - Académie en ligne
1 Pré-requis
A
왘 Exemple 1
Suites
Suite déﬁnie explicitement
Soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel n par un = n 2 − 7 .
Calculer u ; u .
0
1
Compléter le tableau suivant :
n
0
1
2
3
4
5
un
Représenter les points de coordonnées (n ; u ) associés aux cinq premiers
n
termes de la suite ( un ) dans un repère.
Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture.
왘 Solution
u = 02 − 7 = −7
0
u1 = 12 − 7 = −6
n
0
1
2
3
4
5
un
-7
-6
-3
2
9
18
3
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–1 0 1 2 3 4 5 6
–2
–3
–4
–5
–6
–7
Conjecture : la suite ( u ) est une suite croissante.
n
Calculons un +1 − un :
un +1 = (n + 1)2 − 7 donc
un +1 − un = (n + 1)2 − 7  − n 2 − 7 
 


= n 2 + 2n + 1− 7 − n 2 + 7
= 2n + 1> 0
Ainsi, pour tout entier naturel n, un +1 > un et la suite ( un ) est bien une suite
croissante.
왘 Exemple 2
Suite définie par récurrence
u = 5
Soit ( un ) la suite définie par  0
.
un +1 = 2un − 8 pour n ≥ 0
Calculer u ; u .
1
2
En utilisant un tableur, déterminer la valeur des 13 premiers termes de la suite
( un ) puis en donner une représentation graphique.
4
왘 Solution
La suite ( u ) est définie par une relation de récurrence.
n
u1 = 2u0 − 8
u2 = 2u1 − 8
= 2× 2− 8
= −4
= 2 × 5 − 8 et
=2
Dans la cellule B3, rentrons la formule : =2*B2–8
B
Puissances
Propriété
Soient a et b deux réels non nuls, n et p deux entiers naturels.
an × a p = an + p
a0 = 1
an
1
a =a
a
a = a
× ... ×a pour n ≥ 2
n
p
= an − p
(ab )n = a n b n
n fois
a
−n
1
1
=
=
× ... ×a
a n a
n
a
an
=
 b 
bn
nfois
왘 Exemple 3
Simplifier le plus possible
5
3
−2
a) 3 × 2 × 3
×2
c)
54
52
×5
5
b) (82 )7
왘 Solution
d)
a) 35 × 23 × 3−2 × 2 = 35− 2 × 23+1
= 33 × 24
b) (82 )7 = 82× 7
3 × 52
c) 54 − 2+1 = 53
7
d) ( 3 × 5)
3 × 52
= 814
( 3 × 5)7
=
37 × 57
3 × 52
= 37−1 × 57− 2
= 36 × 55
왘 Exemple 4
Soient a un réel non nul et n un entier naturel
Ecrire sous la forme d’une puissance de a :
an
c)
×a
a) a n × a 3
3
a
b) (a 2 )n
왘 Solution
n
3
a) a × a = a
b) (a 2 )n = a 2n
n +3
c)
an
a3
× a = a n − 3 × a1
= a n − 3+1
= an −2
6
2 Suites arithmétiques
A
Activité 1
Activités
La dune
Etude d’un exemple
Une dune mesurait 100 mètres de large en 2010. Une équipe de scientifique
constate que chaque année la largeur de cette dune diminue de 1,5 m sous l’effet
de l’érosion (due au vent, aux vagues et à l’homme).
On note ( un ) la largeur de la dune en (2010+n). Ainsi, u 0 représente la largeur
de la dune en 2010 et vaut 100.
a) Que représente u ? Calculer la valeur de u .
1
1
b) Que représente u 2 ? Calculer la valeur de u 2 .
Que représente u ? Déterminer u .
15
15
La dune joue un rôle important : elle protège les polders des risques d’inonda-
tion et intervient dans la gestion de la qualité des eaux.
Les scientifiques estiment qu’en dessous de 30 m de large, la dune ne peut
plus assurer ce rôle en cas de phénomènes exceptionnels (tempête notamment). Les autorités prévoient de ralentir l’érosion par des plantations d’oyats
(plantes) et la mise en place de (barrières) dès que la dune atteindra 45 m de
large.
En quelle année, au plus tard, devra-t-on intervenir ?
Généralisation
La suite définie précédemment est une suite arithmétique. Nous allons dégager
quelques propriétés de ce type de suite.
a) Compléter le schéma ci-dessous :
−1,5
…
…
100 
→ 98, 5 
→ … 
→…
(u 0 )
(u1) (…) (…)
b) Compléter :
u1 = u0 + ......
u2 = u1 + ......
u 3 = u2 + ......
7
c) Compléter :
−1,5
…
…
…
u0 
→ u1 
→ … 
→… …
u n − 1 
→ u n 
→ un + 1
Généralisation : un +1 = un + ......
ce nombre est appelé la raison de la suite ( un )
−1,5
…
…
u0 
→ u1 
→ u 2 
→u3
… b) Compléter :
u 3 = u0 + ......
c) Compléter :
−1,5
…
…
…
u0 
→ u1 
→ u 2 
→u3
u n − 1 
→ un
...
Généralisation : un = u 0 + ......
Activité 2
Représentation graphique et sens de variation
Soient les suites ( un ) et ( v n ) définies par récurrence par :
u 0 = −2
v = −2
et  0

v n +1 = v n − 0, 5
un +1 = un + 3
Compléter le tableau suivant :
n
0
1
2
un
vn
Effectuer les calculs suivants :
8
u1 − u0 = ......
v 1 − v 0 = ......
u2 − u1 = ......
v 2 − v 1 = ......
u 3 − u2 = ......
v 3 − v 2 = ......
u 4 − u 3 = .......
v 4 − v 3 = .......
u5 − u 4 = ......
v 5 − v 4 = ......
un +1 − un = ......
v n +1 − v n = ......
3
4
5
Que constatez-vous ?
On dit que la variation absolue entre deux termes consécutifs de la suite est
constante.
Dans un repère, représenter graphiquement les points M de coordonnées (n ;
un ) associés à la suite u et les points P de coordonnées (n ; v n ) associés à
la suite v .
B
Cours
Définition
Définition
Une suite est arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant
toujours le même nombre r, appelé raison de la suite :
pour tout entier naturel n, un +1 = un + r où r est la raison de la suite.
Remarque
Une suite arithmétique est définie par une formule de récurrence.
La variation absolue entre deux termes consécutifs d’une suite
arithmétique est constante égale à r : un +1 − un = r
Schéma
+r
+r
+r
+r
u 0 
→ u1 
→ u 2 …un −1 
→ u n 
→ un + 1
왘 Exemple 5
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et telle que un +1 = un − 2
Calculer u et u .
1
2
Quelle est la raison de cette suite ?
왘 Solution
D’après la formule de récurrence,
u1 = u0 − 2
= 5 − 2 et
=3
u2 = u1 − 2
= 3−2
=1
Comme u
n +1 − un = 2 , cette suite arithmétique a pour raison –2.
9
Formule explicite
Propriété 1
Soit u une suite arithmétique de raison r.
Pour tous entiers naturels n et p, un = u p + (n − p ) × r
En particulier, un = u 0 + n × r et un = u1 + (n − 1) × r
왘 Exemple 6
왘 Solution
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raison 2,5.
Calculer u 20 .
Comme u est une suite arithmétique, on a un = u 0 + n × r avec u 0 = 5 et r = 2,5.
Donc :
u20 = 5 + 20 × 2, 5
= 5 + 50
= 55
Représentation graphique et sens
de variation
Propriété 2
Soit u une suite arithmétique de
raison r.
Dans un repère du plan,
les points de coordonnées
( n ;un ) associés à cette suite
sont alignés.
Remarque
Pour une suite arithmétique,
on parle alors d’évolution
linéaire.
Propriété 3
Soit une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite arithmétique est strictement croissante.
Si r < 0, la suite arithmétique est strictement décroissante.
Si r = 0, la suite arithmétique est constante.
Démonstration
Soit u une suite arithmétique de raison r. Pour tout entier naturel n, on a
un +1 − un = r .
10
1er cas : r > 0
un +1 − un = r > 0 donc, pour tout entier naturel n, un +1 > un et ainsi la suite u
est une suite strictement croissante.
2ème cas : r < 0
un +1 − un = r < 0 donc, pour tout entier naturel n, un +1 < un et ainsi la suite u
est une suite strictement décroissante.
3ème cas : r = 0
un +1 − un = r = 0 donc, pour tout entier naturel n, un +1 = un et ainsi la suite u
est une suite constante.
왘 Exemple 7
Soit u une suite arithmétique de premier terme u = 5 et r = –2.
0
a) Calculer u1 ; u 2 ; u 3 et u 4 .
b) Représenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite dans un
repère.
c) Quel est le sens de variation de cette suite ?
Mêmes questions avec la suite arithmétique v de premier terme v = 5 et
0
r = 0,5.
왘 Solution
a) Comme u est une suite arithmétique de premier terme u = 5 et r = – 2,
0
on a :
u1 = u0 + r
u = 3 − 2 u 3 = 1− 2 u 4 = −1− 2
;
De même, 2
.
et
= −3
=1
= −1
= 5−2 .
=3
b)
6
5
(0,5)
4
(1,3)
3
2
(2,1)
1
0
–1
0
1
2
3
4
5
(3,–1)
–2
–3
(4,–3)
c) Comme r = –2, la suite u est une suite strictement décroissante.
11
a) Comme v est une suite arithmétique de premier terme v = 5 et r = 0,5,
0
on a :
v1 = v 0 + r
= 5 + 0, 5 .
= 5, 5
v = 5, 5 + 0, 5 v 3 = 6 + 0, 5 v 4 = 6, 5 + 0, 5
.
et
;
b) De même, 2
= 6, 5
=6
=7
c)
7
(4,7)
(3,65)
(2,6)
6
5
(1,55)
(0,5)
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
d) Comme r = 0,5, la suite v est une suite strictement croissante.
C
Tice
왘 Exemple 8
Tableur
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 23 et r = - 3.
Recopier la page de calculs suivante :
Dans la cellule B3, rentrer une formule de récurrence qui permet d’obtenir les
termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne B. « Copier-glisser » cette formule jusqu’à la cellule B32.
Dans la cellule C3, rentrer une formule explicite qui permet d’obtenir les
termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne C. « Copier-glisser » cette formule jusqu’à la cellule C32.
12
Représenter graphiquement les termes de la suite. (Utiliser les colonnes A et B).
왘 Solution
Comme u
n +1 = un + r , on rentre : B3=B2+E$2
Comme u = u + n × r , on rentre : C3=C$2+A3*E$2
n
0
Remarque
On obtient bien
sûr les mêmes
résultats dans
les colonnes B
et C.
Calculatrice
Pour obtenir les termes d’une suite arithmétique à l’aide de la calculatrice, on
peut utiliser la formule explicite d’une suite arithmétique et la table de valeurs
de la calculatrice.
왘 Exemple 9
왘 Solution
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = −17 et de raison r = 0,75.
Afficher sur une calculatrice les vingt premiers termes de cette suite.
La suite u est définie explicitement par u = −17 + 0, 75 × n.
n
13
Texas Instrument
Casio
Renseigner « f(x) = »
Renseigner « Table – Func »
Renseigner DefTable
Renseigner « Table – Tabl » et
afficher la Table (la faire défiler)
Afficher la Table
14
D
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques.
Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.
u = 2 et, pour tout entier naturel n, u
0
n +1 = un − 5 .
Pour tout entier naturel n, u = 3n + 10 .
n
1
Pour tout entier naturel n, u = + 8 .
n n
0
n +1 = 2un − 3 .
Exercice 2
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques.
Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.
0
n +1 = −un + 6 .
Pour tout entier naturel n, u = 13 − 5n .
n
Pour tout entier naturel n, u = 2n 2 + 8 .
n
0
n +1 = 12 − un .
Exercice 3
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 10 et de raison –7.
Exprimer u en fonction de n.
n
Calculer u
100 .
Exercice 4
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 6 = 7 et de raison 2,5.
n
Calculer u .
50
Exercice 5
u est une suite arithmétique de raison r. Dans chacun des cas suivants, calculer
u20 :
u = −12 et r = 1,5.
0
u = 3, 5 et r = 2.
7
15
u = 151 et r = -13.
1
u = 72 et r = 1,2.
36
Exercice 6
u est une suite arithmétique de raison r. Dans chacun des cas suivants, calculer r :
u = 25 et u = 21 .
3
5
u = 28 et u = 103
12
37
u = 21, 5 et u = −31, 5
7
60
u = 15 et u = 15 .
36
98
Exercice 7
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 15 et de raison –3.
n
Quel est le sens de variation de cette suite ?
Dans un repère, représenter les points associés aux huit premiers termes de
cette suite.
Par le calcul, déterminer le rang n à partir duquel u < −21 .
n
Exercice 8
Dans chacun des cas suivants, u désigne une suite arithmétique. Déterminer le
sens de variation de ces suites.
u = −2 et, pour tout entier naturel n, u
0
n +1 = un + 8 .
Pour tout entier naturel n, u = 7 − 6n .
n
0
n +1 = un .
Exercice 9
Intérêts simples
Un capital de 5 000 € est placé au taux annuel de 4 % à intérêts simples. Cela
signifie que, chaque année, les intérêts sont fixes égaux à 4 % du capital initial.
On note C 0 le capital initial et C n celui disponible au bout de n années.
Calculer C et C .
1
2
a) Quelle est la nature de la suite ( C
n )?
b) Exprimer C n en fonction de n.
A partir de quelle année le capital disponible aura-t-il doublé ?
16
Exercice 10
Parmi les graphique suivants, indiquer ceux qui représentent les points associés
aux premiers termes d’une suite arithmétique. Dans le cas d’une suite arithmétique, indiquer le premier terme et la raison de la suite.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–1 0 1 2 3 4 5
–2
–3
–4
–5
1
8
0
7
–1
0
1
2
3
–2
–3
6
4
5
6
6
5
4
3
2
1
0
0
Exercice 11
1
2
3
4
Un particulier effectue un devis auprès d’une entreprise de forage. Le coût du
forage d’un puits est calculé de la manière suivante :
– le premier mètre coûte 200 €
– chaque mètre supplémentaire coûte 70 € de plus que le précédent.
On note un le prix du nième mètre foré. Ainsi u1 = 200 .
Calculer u et u .
2
3
Quelle est la nature de la suite ( u
de n.
n ) ? Donner l’expression de un en fonction
Déterminer le prix à payer pour forer un puits de 9 mètres de profondeur.
17
3
A
Activité 3
Suites
géométriques
Activités
Placement à intérêts composés
Etude d’un exemple
Un capital de 2 000 € est placé au taux annuel de 5 % à intérêts composés. Cela
signifie que, chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital acquis.
On note C 0 le capital initial et C n disponible au bout de n années.
Quel est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % ?
a) Que représente C ? Calculer la valeur de C .
1
1
b) Que représente C 2 ? Calculer la valeur de C 2 .
c) Que représente C10 ? Déterminer C10 .
Généralisation
La suite définie précédemment est une suite géométrique. Nous allons dégager
quelques propriétés de ce type de suite.
×1,05
…
…
→ 2100 
→ … 
→…
2000 
(u0 ) (u1) (…) (…)
b) Compléter :
C1 = C 0 × ......
C 2 = C1 × ......
C 3 = C 2 × ......
c) Compléter :
×1,05
…
…
u0 
→ u1 
→ … 
→…
…
…
u n − 1 
→ u n 
→ un + 1
Généralisation : un +1 = un × ......
ce nombre est appelé la raison de la suite ( un )
×1,05
…
…
u0 
→ u1 
→ u 2 
→u3
…
18
b) Compléter :
C 3 = C 0 × ......
c) Compléter :
×1,05
…
…
u0 
→ u1 
→ u 2 
→u3
…
u n − 1 
→ un
…
Généralisation : C n = C 0 × ......
Activité 4
Représentation graphique et sens de variation
En utilisant un tableur, représenter les sept premiers points associés aux suites
( un ) ; ( v n ) et ( w n ) définies par récurrence par :
u 0 = 5
v = 5
w = 5
;  0
et  0

un +1 = un × 1, 2 v n +1 = v n × 0, 9
w n +1 = w n
Conjecturer le sens de variation de chacune des suites précédentes.
Effectuer les calculs suivants :
u1
= ......
u0
v1
= ......
v0
v1
= ......
v0
u2
= ......
u1
v2
= ......
v1
v2
= ......
v1
u3
= ......
u2
v3
= ......
v2
v3
= ......
v2
un +1
= ......
un
v n +1
= ......
vn
v n +1
= ......
vn
On dit que la variation relative entre deux termes consécutifs de la suite est
constante.
B
Cours
Définition
Définition
Une suite est géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant
toujours par le même nombre q, appelé raison de la suite :
pour tout entier naturel n, un +1 = un × q où q est la raison de la suite.
19
Remarque
Une suite géométrique est définie par une formule de récurrence.
La variation relative entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique est constante
u
égale à q : n +1 = q
un
Schéma
×9
×9
×9
×9
u0 → u1 → u2 …un – 1 → un → un +1
왘 Exemple 10
Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 = 1, 5 et telle que
un +1 = un × 2 .
Calculer u et u .
1
2
Quelle est la raison de cette suite ?
왘 Solution
D’après la formule de récurrence,
u1 = u0 × 2
u2 = u1 × 2
= 1, 5 × 2 et
=3
= 3×2
=6
Comme u
n +1 = un × 2 , cette suite géométrique a pour raison 2.
Formule
explicite
Propriété 1
Soit u une suite géométrique de raison q.
n p
Pour tous entiers naturels n et p, un = u p × q − .
n
n
En particulier, un = u 0 × q et un = u1 × q −1
.
왘 Exemple 11
왘 Solution
Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison 3.
Calculer u10 .
Comme u est une suite géométrique, on a un = u 0 × q n avec u 0 = 5 et q = 3.
Donc :
u10 = 5 × 310
= 295245
20
Représentation
graphique et sens de
variation
Propriété 2
Soit q un réel strictement positif. Soit la suite géométrique définie pour
n
tout n ∈ par un = q .
n
Si 0 < q < 1, la suite géométrique un = q est strictement décroissante.
n
Si q = 1, la suite géométrique un = q est constante égale à 1.
n
Si 1 < q, la suite géométrique un = q est strictement croissante.
Démonstration
Soit la suite géométrique définie pour tout n ∈ par un = q n avec q > 0.
Alors, un +1 − un = q n +1 − q n = q n (q − 1) .
Comme q > 0, le signe de un +1 − un dépend du signe de (q-1)
1er cas : 0 < q < 1
(q – 1) < 0 donc un +1 − un < 0 donc, pour tout entier naturel n, un +1 < un et
ainsi la suite u est une suite strictement décroissante.
2ème cas : q = 1
(q – 1) = 0 donc un +1 − un = 0 donc, pour tout entier naturel n, un +1 = un et
ainsi la suite u est une suite constante.
3ème cas : 1 < q
(q – 1) > 0 donc un +1 − un > 0 donc, pour tout entier naturel n, un +1 > un et
ainsi la suite u est une suite strictement croissante.
왘 Exemple 12
Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et q= 0,3.
a) Quel est le sens de variation de cette suite ?
b) Représenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite dans un
repère.
Mêmes questions avec la suite géométrique v de premier terme v 0 = −2 et
q = 1,2.
왘 Solution
a) Comme u est une suite géométrique de premier terme u = 5 et q = 0,3,
0
on a :
un = u 0 × q n
= 5 × 0, 3n
.
Comme 0 < 0,3 < 1, la suite définie par an = 0, 3n est une suite strictement
décroissante. Comme un = 5 × an et 5 > 0, la suite u a les mêmes variations que
la suite a : u est une suite strictement croissante.
21
b)
5
4
3
2
n
0
1
2
3
4
un
5
1,5
0,45
0,135
0,0405
1
0
0
1
2
3
4
a) Comme v est une suite géométrique de premier terme v 0 = −2 et q = 1,2,
on a :
vn = v0 × qn
n
.
= −2 × 1, 2
Comme 1,2 > 1, la suite définie par bn = 1, 2n est une suite strictement croissante. Comme v n = −2 × bn et –2 < 0, la suite v a un sens de variation contraire
à celui de la suite b : u est une suite strictement décroissante.
0
b)
0
1
2
3
4
–1
n
0
1
2
3
4
vn
–2
– 2,4
– 2,88
– 3,456
– 4,1472
–2
Remarque
–3
Pour une suite géométrique, on parle
d’évolution exponentielle.
–4
C
Tice
왘 Exemple 13
22
Tableur
Soit u une suite arithmétique de premier terme u 0 = 0, 5 et q = 1,1.
Recopier la page de calculs suivante :
Dans la cellule B3, rentrer une formule de récurrence qui permet d’obtenir les
termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne B. « Copier-glisser » cette formule jusqu’à la cellule B42.
Dans la cellule C3, rentrer une formule explicite qui permet d’obtenir les
termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne C. « Copier-glisser » cette formule jusqu’à la cellule C42.
Représenter graphiquement les termes de la suite. (Utiliser les colonnes A et
B).
왘 Solution
Comme un +1 = un × q , on rentre : B3=B2*E$2
n
Comme un = u 0 × q , on rentre : C3=C$2*E$2^A2
Remarque
On obtient bien
sûr les mêmes
résultats dans
les colonnes B
et C.
Calculatrice
Pour obtenir les termes d’une suite géométrique à l’aide de la calculatrice, on
peut utiliser la formule explicite d’une suite géométrique et la table de valeurs
de la calculatrice.
23
왘 Exemple 12
왘 Solution
Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 = 2048 et de raison q = 0,5.
Afficher sur une calculatrice les vingt premiers termes de cette suite.
La suite u est définie explicitement par un = 2048 × 0, 5n .
Texas Instrument
Casio
Renseigner « f(x) = »
Renseigner « Table – Func »
Renseigner DefTable
Renseigner « Table – Tabl » et
afficher la Table (la faire défiler)
Afficher la Table
24
D
Exercice 12
Exercices d’apprentissage
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites géométriques.
Pour les suites géométriques, préciser la raison.
u 0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un +1 = −2un .
Pour tout entier naturel n, un = 3n .
n
Pour tout entier naturel n, un = 0,1× 2 .
n
u 0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un +1 = un .
Exercice 13
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites géométriques.
Pour les suites géométriques, préciser la raison.
u 0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un +1 = un + 6 .
2
Pour tout entier naturel n, un = n .
n
 2
Pour tout entier naturel n, un = 8 ×   .
 3
u 0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un +1 = 3un .
Exercice 14
Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 = 120000 et de raison 0,3.
Exprimer un en fonction de n.
Calculer u10 . (Arrondir à 0,01 près).
Exercice 15
Soit u une suite géométrique de premier terme u 7 = 2 et de raison 3.
Calculer u17 .
Exercice 16
u est une suite géométrique de raison q. Dans chacun des cas suivants, calculer
u20 . (Arrondir à 10−2 près si nécessaire).
u 0 = −12 et q = 1,5.
u 7 = 3, 5 et q = 2.
u1 = 1510000 et q = 0,4.
u 36 = 16384 et q = 2.
Exercice 17
u est une suite géométrique de raison q > 0. Dans chacun des cas suivants, calculer q :
u 3 = 9 et u 5 = 81 .
25
u12 = 0, 001 et u18 = 1000
u 7 = 21 et u 60 = 21
Exercice 18
Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 = 4 et de raison 1,25.
Quel est le sens de variation de cette suite ?
Dans un repère, représenter les points associés aux huit premiers termes de
cette suite.
A l’aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer le rang n à partir duquel
un > 10000 .
Exercice 19
Dans chacun des cas suivants, u désigne une suite géométrique. Déterminer le
n
Pour tout entier naturel n, un = 0, 32 .
n
Pour tout entier naturel n, un = 5 .
n
Pour tout entier naturel n, un = 1 .
n
Pour tout entier naturel n, un = −2 × 6 .
n
 5
Pour tout entier naturel n, un = 7 ×  
 4
.
n
Pour tout entier naturel n, un = 21× 0, 6 .
n
 1
Pour tout entier naturel n, un = −0,1×   .
 3
Exercice 20
Dans chacun des cas suivant, u désigne une suite géométrique. Déterminer le
u 0 = −2 et, pour tout entier naturel n, un +1 = 0, 5 × un .
u 0 = −3,1 et, pour tout entier naturel n, un +1 = 5 × un .
u 0 = 7 et, pour tout entier naturel n, un +1 = un .
3
u 0 = 6, 5 et, pour tout entier naturel n, un +1 = un .
2
u 0 = 0, 4 et, pour tout entier naturel n, un +1 = 1,1× un .
Exercice 21
Intérêts composés
Un capital de 5 000 € est placé au taux annuel de 3,5 % à intérêts composés. On
note C 0 le capital initial et C n celui disponible au bout de n années.
Calculer C1 et C 2 .
26
a) Quelle est la nature de la suite ( C n )?
b) Exprimer C n en fonction de n.
A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer à partir de quelle année
le capital disponible aura doublé ?
Exercice 22
Augmentation
Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation de leur salaire
mensuel.
Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel de 50 € au premier jan-
vier de chaque année.
Marie est embauchée dans l’entreprise avec un salaire de 1 500 € par mois. Elle
choisit d’être augmentée suivant l’option A. On note Mn son salaire après n
années passées dans l’entreprise. On a M0 = 1500 .
a) Calculer M1 et M2 .
b) Exprimer Mn +1 en fonction de Mn . En déduire la nature de la suite ( Mn ).
c) Exprimer Mn en fonction de n.
d) Calculer M20 .
e) A partir de combien d’années son salaire mensuel sera-t-il d’au moins
1 800 € ?
Option B : une augmentation de 3 % du salaire mensuel de l’année précé-
dente au premier janvier de chaque année.
Jean est embauché la même année que Marie avec un salaire de 1 500 € par
mois. Il choisit d’être augmenté suivant l’option B. On note J n son salaire après
n années passées dans l’entreprise. On a J 0 = 1500 .
a) Calculer J1 et J 2 .
b) Exprimer J n +1 en fonction de J n . En déduire la nature de la suite ( J n ).
c) Exprimer J n en fonction de n.
d) Calculer J 20 . (Arrondir au centime près).
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d’années son
salaire mensuel sera d’au moins 1 800 € ?
A partir de combien d’années passées dans l’entreprise, le salaire mensuel de
Jean sera-t-il supérieur à celui de Marie ?
27
4 Synthèse du cours
Suite arithmétique
Définition
Une suite est arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant
toujours le même nombre r, appelé raison de la suite :
pour tout entier naturel n, un +1 = un + r où r est la raison de la suite.
La variation absolue entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique
est constante égale à r : un +1 − un = r
Propriété 1 (Formule explicite)
Pour tous entiers naturels n et p, un = u p + (n − p ) × r .
En particulier, un = u 0 + n × r et un = u1 + (n − 1) × r .
Propriété 2 (Représentation graphique)
Dans un repère du plan, les points de coordonnées (
n ;un ) associés à cette suite sont alignés.
Pour une suite arithmétique, on parle alors d’évolution linéaire.
Propriété 3 (Sens de variation)
Soit une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite arithmétique est strictement croissante.
Si r < 0, la suite arithmétique est strictement décroissante.
Si r = 0, la suite arithmétique est constante.
28
Suite géométrique
Définition
Une suite est géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant
toujours par le même nombre q, appelé raison de la suite :
pour tout entier naturel n, un +1 = un × q où q est la raison de la suite.
La variation relative entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique
u
est constante égale à q : n +1 = q
un
Propriété 1 (Formule explicite)
Soit u une suite géométrique de raison q.
n−p
Pour tous entiers naturels n et p, un = u p × q
n
n −1
.
En particulier, un = u 0 × q et un = u1 × q
Propriété 2 (Sens de variation)
Soit q un réel strictement positif. Soit la suite géométrique définie pour
n
tout n ∈ par un = q .
Si 0 < q < 1, la suite géométrique un = q n est strictement décroissante.
n
Si q = 1, la suite géométrique un = q est constante égale à 1.
n
Si 1 < q, la suite géométrique un = q est strictement croissante.
29
5
Exercice I
Exercices
d’approfondissement
L’hypothèse de MALTHUS (1766 – 1834)
L’économiste britannique Thomas Robert MALTHUS est connu pour ses travaux
sur le rapport entre l’accroissement de la population et celui de la nourriture.
En 1798, il publie Essai sur le principe de population d’où sont extraites les
phrases suivantes :
« Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée
par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croit de période
en période selon une progression géométrique. […]
Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l’état actuel de la terre
habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables à l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une
progression arithmétique. »
En 1800, l’Angleterre comptait 8 millions d’habitants.
Faisons les hypothèses suivantes :
H1 : La population de l’Angleterre suit une progression géométrique en augmentation de 2,8 % par an.
H2 : En 1800, l’agriculture anglaise permet de nourrir 10 millions d’habitants et
son amélioration permet de nourrir 400 000 habitants supplémentaires par an,
suivant une progression arithmétique.
Notons ( pn ) la population de l’Angleterre en (1800 + n). Ainsi, p0 = 8000000
Notons ( q n ) la population qui peut être nourrie par l’agriculture anglaise en
(1800 + n). Ainsi, q 0 = 10000000 .
Vérifier que l’hypothèse H1 est en accord avec l’affirmation de Malthus « elle
va doublant tous les vingt-cinq ans ».
a) Calculer p1 et p2 .
b) Exprimer pn +1 en fonction de pn .
c) En déduire la nature de la suite ( pn ).
d) Exprimer pn en fonction de n.
a) Calculer q1 et q 2 .
b) Exprimer q n +1 en fonction de q n .
c) En déduire la nature de la suite ( q n ).
d) Exprimer q n en fonction de n.
Calculer p25 et q 25 .
30
Déterminer, selon l’hypothèse de Malthus, l’année à partir de laquelle l’agri-
culture anglaise ne permet plus de nourrir la population anglaise.
Exercice II
Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite
( un ) où un désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010+
n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque
année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
a) Montrer que la situation peut être modélisée par : u 0 = 50 et pour tout
entier naturel n par la relation : un +1 = 0, 95 × un + 3
b) La suite ( un ) est-elle arithmétique ? géométrique ?
On considère la suite ( v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = 60 − un .
a) Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique de raison 0,95.
b) Calculer v 0 . Déterminer l’expression de v n en fonction de n.
c) Démontrer que pour tout entier naturel n, un = 60 − 10 × (0, 95)n ·
Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur
approchée arrondie à l’unité.
n
a) Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l’égalité : un +1 − un = 0, 5 × 0, 95
b) En déduire la monotonie de la suite.
En utilisant un tableur ou une calculatrice, déterminer l’année à partir de
laquelle le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre
d’arbres de la forêt en 2010.
En utilisant un tableur ou une calculatrice, conjecturer vers quel nombre
d’arbres va tendre la forêt si la politique d’entretien reste la même.
(D’après Baccalauréat, Centres étrangers, juin 2010)
Exercice III
Modèle de Harrod (1900 – 1978)
L’économiste britannique Roy Forbes Harrod est connu pour ses travaux sur la
croissance économique.
Pour l’année (2010 + n), on note Sn l’épargne, Yn le revenu et In l’investissement.
Supposons que Y0 soit égal à 500 (milliards d’euros).
Chaque année, l’épargne est égale à 20 % du revenu. Déterminer une relation
liant Sn et Yn .
On admet que, pour tout entier naturel n, In = 2, 2(Yn − Yn −1) .
L’équilibre est réalisé lorsque l’épargne est égale à l’investissement.
Déterminer une égalité liant Yn et Yn −1 à l’équilibre.
Quelle est la nature de la suite ( Yn ) ? En déduire l’expression de Yn en fonc-
tion de n.
31
On suppose ce modèle encore valable en 2020. Quel sera alors le revenu en
2020 ?
Exercice IV
Dans une zone de marais, on s’intéresse à la population des libellules. On note
p0 la population initiale et pn la population au bout de n années.
Des études ont permis de modéliser l’évolution de pn par la relation :
1
(R) pour tout entier naturel n, on a : pn + 2 − pn +1 = ( pn +1 − pn ) .
2
On suppose que p0 = 40000 et p1 = 60000 .
On définit l’accroissement de la population pendant la nième année par la différence pn − pn −1 .
Calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la deu-
xième année, la troisième année, puis en déduire p2 et p 3 .
On considère les suites ( un ) et ( v n ) définies pour tout entier naturel n par :
1
un = pn +1 − pn et v n = pn +1 − pn
2
a) Prouver que la suite ( un ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
b) En utilisant la relation (R), calculer v n +1 − v n .
1
En déduire que, pour tout n, on a : v n = p1 − p0 .Calculer v n .
2
c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a pn = 2(v n − un )
En déduire une expression de pn en fonction de n.
d) A l’aide du tableur ou de la calculatrice, conjecturer l’évolution de cette
population au bout d’un nombre d’années suffisamment grand ?
(D’après Baccalauréat, Antilles-Guyane, juin 2005)
Exercice V
Julie joue avec des allumettes. Elle construit une figure de la façon suivante :
Première étape
Deuxième étape
Troisième étape
Elle voudrait réaliser une « pyramide » de 20 étages. Combien doit-elle prévoir
d’allumettes ? ■
32

Suites arithmétiques et géométriques

Transcription

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