(Microsoft PowerPoint - séance7.ppt)

Finance 1 – Université d’Evry
Séance 7
Gestion obligataire passive
Philippe Priaulet
Sommaire
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•
L’efficience des marchés
Stratégies passives
Qu’est-ce qu’un bon benchmark ?
Réplication simple
Réplication par échantillonnage stratifié
Réplication par minimisation de la “Tracking Error”
Estimation de la covariance de l’échantillon
Estimation de la covariance pondérée exponentiellement
Réplication factorielle
Réplication à l’aide de produits dérivés
Performance “Out-Of-Sample”
Echantillonnage vs Minimisation de la TE
L’efficience des marchés
Selon la théories des marchés efficients, les prix des actifs
financiers reflètent l’ensemble de l’information disponible sur le
marché. Mais ce n’est pas toujours le cas de façon parfaite. On
distingue alors quatre grands types de marché :
-le marché efficient au sens fort: les cours reflètent, à tout
instant, toutes les informations disponibles sur le marché. Il est
impossible dans ce cas de prévoir leur évolution.
-le marché efficient au sens semi-fort: les cours reflètent, à tout
instant, toutes les informations publiques disponibles sur le
marché. Il est impossible dans ce cas de prévoir leur évolution
par une approche fondamentale ou technique.
L’efficience des marchés
-le marché efficient au sens faible: les cours tiennent compte à
chaque instant de l’information disponible sur les cours passés.
Tous les opérateurs disposant de ces informations, la prévision
des cours par l’analyse technique est inefficace.
-le marché inefficient : les cours n’intègrent pas toutes les
informations disponibles sur les cours passés. Il est alors
possible de faire de la prédiction de façon efficace (analyse
technique, analyse fondamentale).
Stratégies Passives
• Un résultat naturel de la croyance en l’efficience des marchés est
d’utiliser une stratégie passive de gestion de portefeuilles.
• Les stratégies passives n’ont pas pour but de surperformer le
marché mais de faire aussi bien que le marché.
– L’accent est porté sur la minimisation des coûts de
transaction
– Les bénéfices escomptés d’une gestion active sont censés
être plus faibles que les coûts associés
• Les investisseurs passifs agissent comme si le marché était
efficient. En particulier, ils considèrent le prix de marché des actifs
financiers comme le meilleur estimateur de leur valeur.
• Si le marché est totalement efficient, aucune stratégie active ne
peut battre le marché pour un risque comparable.
Qu’est-ce qu’un bon benchmark ?
• La réussite d’une gestion passive suppose le choix d’un bon
indice de référence ou “benchmark”.
• Qualités d’un bon benchmark:
– Renommée: Utilisation diffuse par les investisseurs internationaux
– Représentativité: Bonne représentation des caractéristiques du
marché qu’il est censé incarner
– Réplicabilité: L’indice doit pouvoir être répliqué avec une “tracking
error” minimale et être composé de titres suffisamment liquides
– Transparence: Explication claire des règles d’inclusion d’un titre,
des changements de composition de l’indice ainsi que de ses
méthodes de calcul
– Disponibilité: Accessibilité facile de la composition et des
performances de l’indice
– Qualité des prix des titres servant à calculer l’indice
– Stabilité: la composition de l’indice ne doit pas changer trop souvent
et doit être compréhensible et prédictible.
Réplication simple
• La technique de réplication la plus simple implique de
– Dupliquer l’indice cible précisément
– Détenir tous les titres de l’indice dans leur exacte proportion
• Une fois la réplication achevée, il est nécessaire de procéder à
des transactions dans le portefeuille, quand la composition de
l’indice change.
• Ce type d’approche convient mieux aux actions qu’aux
obligations.
• Par exemple, l’indice Euro Aggregate de Lehman Brothers
contient 2557 titres (au 02/01/2006).
– Beaucoup des titres de l’indice sont insuffisamment liquides.
– La composition de l’indice change régulièrement au fur et à
mesure que les titres arrivent à maturité.
Réplication par échantillonnage stratifié
• Une alternative naturelle est l’échantillonnage stratifié
(réplication des attributs de l’indice).
• Pour répliquer un indice selon cette méthode, il faut pouvoir
représenter toutes ses caractéristiques importantes avec peu de
titres.
– Primo, diviser l’indice en cellules, chaque cellule
représentant une caractéristique différente.
– Secundo, acheter un ou plusieurs titres pour reproduire ces
caractéristiques et représenter la cellule entière.
• Exemples de caractéristiques:
– Duration (<5 ans, > 5 ans)
– Secteurs (dette publique, dette privée, dette hypothécaire)
– Notation (AAA, AA, A, BBB)
– Nombre de cellules dans cet exemple: 2 x 3 x 4 = 24
Réplication par minimisation de la « tracking error »
• Les modèles de risque nous permettent de répliquer des indices
en créant des portefeuilles de “tracking error” minimale (réplication
des rendements de l’indice).
• Ces modèles reposent sur les volatilités et corrélations
historiques entre les rendements des différentes classes d’actifs.
• Habituellement, les gérants de portefeuilles tablent sur une
corrélation entre le fonds et l’indice de l’ordre de 0,95.
• Cette technique de réplication implique deux étapes séparées:
– Estimation de la matrice de covariance des rendements des
titres
– Utilisation de cette matrice pour l’optimisation de la “tracking
error”.
Procédure d’optimisation
• Le problème consiste à:
– Créer un portefeuilles de N titres individuels (ou produits
dérivés)
– Choisir les poids de ces titres dans le portefeuille de façon à
répliquer aussi étroitement que possible le rendement de
l’indice cible.
RP =
Min Var (RP − RB ) =
w1 ,..., wN
N
∑wR
i =1
i
i
N
N
i , j =1
i =1
2
w
w
σ
−
2
w
σ
+
σ
∑ i j ij ∑ i iB B
Estimation de la matrice de covariance
des rendements des titres
• Le point-clé de ce problème est la matrice de variancecovariance des rendements des titres.
• Problème d’estimation: le nombre des différents termes de
covariance à estimer est égal à N(N-1)/2
•Différentes méthodes peuvent être utilisées pour améliorer
l’estimation de la matrice de variance-covariance.
•Exemple: répliquer en 2001 l’indice JP Morgan T-Bond avec :
–6.25%, 31-Jan-2002
–4.75%, 15-Feb-2004
–5.875%, 15-Nov-2005
–6.125%, 15-Aug-2007
–6.5%, 15-Feb-2010
–5%, 15-Aug-2011
–6.25%, 15-May-2030
–5.375%, 15-Feb-2031
Estimation de la matrice de covariance
de l’échantillon
• Calcul de la matrice de corrélation
Benchmark
Benchmark
Bond 1
Bond 2
Bond 3
Bond 4
Bond 5
Bond 6
Bond 7
Bond 8
1
0.035340992
0.570480252
0.762486545
0.80490507
0.873289816
0.987947611
0.932169847
0.912529511
Bond 1
Bond 2
Bond 3
1
0.037162337
0.03232004
0.030394112
0.023278035
0.03032363
0.023653633
0.022592811
1
0.539232667
0.928891982
0.865561277
0.573606745
0.439369201
0.586354587
1
0.675469702
0.698241657
0.771601295
0.782454722
0.608825075
Bond 4
Bond 5
Bond 6
Bond 7
1
0.982726525
1
0.810561264 0.880679105
1
0.684073945 0.774954075 0.89795721
1
0.788072503 0.858459264 0.866043218 0.932159141
– A noter que les obligations de maturité moyenne ont une
corrélation élevée avec l’indice
– Ce n’est pas surprenant: la duration moyenne de l’indice sur la
période est de 6,73 années.
•
L’estimation la plus simple est donnée par la covariance
estimée de l’échantillon.
1
S =
T −1
∑ (R
T
t =1
t
)(
− R Rt − R
)
'
Bond 8
1
Estimation de la matrice de covariance
de l’échantillon
Minimiser la « tracking error » du portefeuille
Min TE = Var (R P − R B ) =
w1 ,..., w8
Sample Covariance Matrix
with short-sales contraints
without short-sales contraints
Bond 1
12.93%
1.99%
Bond 2
14.19%
39.92%
8
∑ww σ
i , j =1
Bond 3
0.00%
-1.43%
i
j
8
ij
Bond 4
0.00%
20.93%
− 2 ∑ wiσ iB + σ B2
i =1
Bond 5
0.00%
-62.38%
Bond 6
62.41%
83.59%
Bond 7
8.33%
3.44%
Bond 8
2.13%
13.93%
• Calculer la tracking error comme une mesure de la
qualité de la réplication
– Un portefeuille de 8 titres aux poids identiques : 0,14% par jour
– Le portefeuille de réplication dévie en moyenne de 0,14% par rapport
à la cible.
– Réplication optimale sans vente à découvert : 0.07%
– Réplication optimale avec vente à découvert : 0.04%
Portefeuille aux poids identiques
110
108
106
104
Replicating Portfolio
102
Benchmark
100
98
96
3-Jan-02
3-Dec-01
3-Nov-01
3-Oct-01
3-Sep-01
3-Aug-01
94
Portefeuille optimal sans vente à découvert
110
108
106
104
Replicating Portfolio
102
Benchmark
100
98
96
3-Jan-02
3-Dec-01
3-Nov-01
3-Oct-01
3-Sep-01
3-Aug-01
94
Portefeuille optimal avec vente à découvert
110
108
106
104
Replicating Portfolio
102
Benchmark
100
98
96
3-Jan-02
3-Dec-01
3-Nov-01
3-Oct-01
3-Sep-01
3-Aug-01
94
Estimation de la matrice de covariance avec des
poids exponentiels
•
•
Un problème clé est la non-stationnarité des rendements
obligataires
– Plus de données permet de réduire le risque d’estimation.
– Moins de données permet d’utiliser l’information la plus
récente.
Une amélioration possible consiste à prendre des poids
affectés aux observations, déclinant quand on remonte dans le
T
temps.
'
(
)(
S = ∑ pt Rt − R Rt − R
t =1
pt = λ
)
T − t +1
T
∑
t =1
λ
t
Réplication factorielle
•
•
•
•
La réplication factorielle consiste à identifier l’exposition du
portefeuille de réplication par rapport à des facteurs de risque à
celle de son benchmark.
La dynamique de la structure par terme des taux est décrite par
un nombre limité de facteurs (2 ou 3)
Rit = mi +bi1F1t + ... + bikFkt + eit
– Fjt est le facteur j à la date t (j = 1,…,k)
– eit est le rendement spécifique du titre
– bij mesure la sensibilité de Ri au facteur j, (j = 1,..., k)
Utiliser les estimations de bij et de s2(Fj) pour obtenir les
estimations de Cov(Ri,Rj) (cas à deux facteurs): on a besoin de
kN estimations de beta + N + K termes de volatilité
– Variance si2 = bi12 sF12 + bi22 sF22 + 2bi1bi2Cov(F1,F2) +
sei2
– Covariance sij = bi1bj1sF12 + bi2bj2sF22 + (bi1bj2 +
bi2bj1)Cov(F1,F2 )
– Ces expressions se simplifient quand Cov(F1,F2 )=0 et sFi
=1
Retour à l’exemple
• En utilisant les mêmes données que dans l’exemple précédent,
on régresse le rendement des 8 titres et du benchmark sur deux
facteurs
– Le premier facteur est la variation des taux à 3 mois,
considérée comme une approximation de la variation du niveau
de la courbe des taux
– Le second facteur est la variation du spread entre le taux à 30
ans et le taux à 3 mois, considérée comme une approximation
de la variation de la pente de la courbe des taux
• Résultat de la régression pour le benchmark
–R2 > 90%
Intercept
Factor 1
Factor 2
Coefficients Standard Error
t Stat
P-value
6.14942E-05 0.000180236 0.3411861 0.7335755
-27.0865211 1.264843741 -21.414915 2.737E-42
-22.2656083 0.996043688 -22.354048 4.799E-44
Retour à l’exemple (2)
•
•
Le tableau suivant montre les
betas de chaque titre par
rapport aux deux facteurs de
risque
Benchmark
Bond 1
Bond 2
Bond 3
Bond 4
Bond 5
Bond 6
Bond 7
Bond 8
Beta 1
-27.0865211
-2.81376114
-11.1461975
-19.9855764
-23.1662469
-28.7309262
-32.4878358
-50.8107969
-52.2945817
Beta 2
-22.26560827
-1.084816042
-5.759743001
-13.46348007
-15.95768661
-22.18051504
-26.25424263
-48.54826524
-50.57663054
On a les contraintes suivantes dans la procédure
d’optimisation.
 8
∑ wi β i1 = − 27 .0865211
 i =1
 8
 w β = − 22 .26560827
i i2
∑
i =1
Réplication à l’aide de produits dérivés
• Le portefeuille de réplication peut être composé de produits non
présents dans l’indice. Une telle alternative se traduit
concrètement par l’utilisation de futures et swaps (instruments
liquides) avec des caractéristiques de rendement et de maturité
similaires à celles du benchmark.
• L’avantage des futures est leur facilité d’utilisation et la modicité
de leur coût.
• Exemple : réplication d’un indice d’emprunts d’Etat avec des
futures sur emprunts d’Etat à 2, 5, 10 et 30 ans.
• Procédure : diviser l’indice en quatre cellules de duration
différentes, puis calculer le risque ($duration) de chaque cellule de
l’indice et déterminer le nombre de futures de chaque maturité
dans lesquels investir afin que le portefeuille de réplication ait la
même exposition à la courbe des taux que son benchmark.
Performance “Out-of-sample”
• La performance relative des différents estimateurs de la matrice
de covariance peut être jaugée sur une base”out-of-sample”.
• Utiliser les deux premiers tiers des données pour calibrer les
différentes estimations de la matrices de covariance.
• Sur la base de ces estimations, calculer le meilleur portefeuille
de réplication avec et sans contrainte de vente à découvert.
• Enregistrer la performance de ces portefeuilles optimaux sur la
période de backtesting, i.e sur le dernier tiers des données.
• Calculer l’écart-type de l’excès de rendement de ces portefeuilles
par rapport au benchmark.
• Cette quantité représente la tracking error “out-of-sample”.
Echantillonnage stratifié vs minimisation de
la TE
• L’approche cellulaire consiste à répliquer les attributs de l’indice,
tandis que l’approche par minimisation de la TE consiste à
répliquer les rendements de l’indice, directement ou bien à travers
la réplication des facteurs qui expliquent une large part de ces
rendements.
• Limites de la première approche:
– Même importance accordée aux différentes cellules de l’indice (en réalité, certaines
cellules sont plus cruciales que les autres car la volatilité du rendement associé est plus
grande.
– les corrélations possibles entre cellules sont ignorées.
• Limites de la deuxième approche:
– l’apprentissage du modèle est limité à l’historique pris en compte pour sa calibration. Ce
peut être un problème en cas de changement structurel significatif ne s’étant pas matérialisé
dans la vola tilité des rendements.