Les Statistiques - exercices corrigés

Les Statistiques
exercices corrigés
19 décembre 2013
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 1
Les Statistiques
Enoncé
On considère la série suivante :
xi
1
2
4
5
10
11
12
13
14
17
effectif
1
4
3
3
9
7
5
6
4
3
1
Quels sont les paramètres de la série statistique qui seront modifiés (parmi la
moyenne, médiane, écart-type, écart interquartile et étendue) si l’on augmente
de 4 points les notes en dessous de la moyenne ?
2
Construire les diagrammes en boı̂tes et calculer les paramètres des deux séries.
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x = 9,955 556
xmax
Σx = 448
Σx2 = 5 272
n = 45
Q3
V = 18,042 48
Me
Q1
s = 4,247 643
xmin = 1
Q1 = 10
Me = 11
Q3 = 13
xmin
xmax = 17
Les Statistiques
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x = 10,933 333
xmax
Σx = 492
Σx2 = 5 736
n = 45
Q3
V = 7,928 833
Me
Q1
s = 2,815 828
xmin = 5
Q1 = 10
xmin
Me = 11
Q3 = 13
xmax = 17
Les Statistiques
Exercice 2
Les Statistiques
Enoncé
On considère la série suivante :
12
18
14
8
9
10
7
20
15
16
4
14
15
15
1
7
4
6
11
10
8
1
15
7
19
10
16
8
7
12
14
9
11
1
Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette série.
2
Dessiner le diagramme en boı̂te de cette série.
3
Déterminer l’étendue et l’écart interquartile.
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
xmax
x = 10,696 969 6
Σx = 353
Q3
Σx2 = 4 535
n = 33
V = 22,999 082
Me
s = 4,795 736
xmin = 1
Q1
Q1 = 7
Me = 10
Q3 = 15
xmin
xmax = 20
Les Statistiques
Exercice 3
Les Statistiques
Enoncé
A la suite d’une expérience, on obtient les 35 mesures relevées dans l’ordre croissant
du tableau suivant :
292
317
331
340
342
349
355
361
364
365
370
376
376
378
380
381
382
383
384
384
385
386
390
396
402
404
408
409
412
420
423
427
437
470
498
1
Calculer l’arrondi au dixième de la moyenne x et de l’écart-type s de cette
série.
2
Calculer l’arrondi au dixième du pourcentage des valeurs de la série comprises
entre x − 2s et x + 2s.
500
xmax
475
x = 385,1
450
Σx = 13477
425
Σx2 = 5,2 × 106
Q3
n = 35
400
s = 39,3
Me
375
Q1
xmin = 292
350
Q1 = 361
Me = 383
325
300
Q3 = 408
xmin
xmax = 498
275
250
Les Statistiques
Exercice 4
Les Statistiques
Enoncé
Dans un groupe de 10 personnes, on mesure les tailles ti , en cm :
ti
150
153
157
158
158
162
165
165
1
On définit une nouvelle série xi = ti − 160.
2
Donner la nouvelle série xi = ti − x.
3
Calculer la moyenne x.
4
Calculer la somme des carrés des xi , puis leur moyenne.
5
En déduire la variance V de cette série xi .
6
Calculer l’écart-type σ.
7
Donner les paramètres de la série initiale.
168
174
Exercice 5
Les Statistiques
Enoncé
A la suite d’une expérience, on obtient les 35 mesures relevées dans l’ordre croissant
du tableau suivant :
292
317
331
340
342
349
355
361
364
365
370
376
376
378
5 380
381
382
383
384
384
385
386
390
396
402
404
408
409
412
420
423
427
437
470
498
1
Calculer l’arrondi au dixième de la moyenne x et de l’écart-type s de cette
série.
2
Calculer l’arrondi au dixième du pourcentage des valeurs de la série comprises
entre x − 2s et x + 2s.
500
xmax
475
x = 385,1
450
Σx = 13477
425
Σx2 = 5,2 × 106
Q3
n = 35
400
s = 39,3
Me
375
Q1
xmin = 292
350
Q1 = 361
Me = 383
325
300
Q3 = 408
xmin
xmax = 498
275
250
Les Statistiques
Exercice 6
Les Statistiques
Enoncé
On a étudié dans une pépinière la hauteur en mètres de trois espèces d’arbres.
x
s
xmin
Q1
Me
Q3
xmax
châtaigner
1, 68
0, 06
1, 6
1, 63
1, 7
1, 73
1, 74
cerisier
2, 35
0, 3
1, 54
1, 84
2, 2
2, 41
1, 55
sapin
1, 5
0, 03
1, 42
1, 48
1, 5
1, 52
1, 58
On souhaiterait comparer l’évolution de ces trois espèces au sein de la pépinière.
Ces espèces étant différentes, on va centrer et réduire ces trois séries.
1
Calculer les paramètres de ces nouvelles séries.
2
Construire les diagrammes en boı̂tes et interpréter.
Méthode
Étudions la taille des châtaigners
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
donnée à l’origine
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
x−x
s
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
x−x
s
y=0
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
x−x
s
y=0
l’écart-type de cette nouvelle série statistique sera
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
x−x
s
y=0
l’écart-type de cette nouvelle série statistique sera
s′ =
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
x−x
s
y=0
l’écart-type de cette nouvelle série statistique sera
1
s′ = | |s
s
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
x−x
s
y=0
l’écart-type de cette nouvelle série statistique sera
1
s′ = | |s
s
s′ = 1
1
et d’ors
Méthode
Étudions la taille des châtaigners et remplaçons les valeurs xi de la série par
yi =
xi − x
s
Nous effectuons ainsi une transformation affine de coefficient directeur
x
donnée à l’origine − .
s
la moyenne de cette nouvelle série statistique sera
y=
x−x
s
y=0
l’écart-type de cette nouvelle série statistique sera
1
s′ = | |s
s
s′ = 1
la médiane et les quartiles subissent cette transformation
1
et d’ors
Transformation affine
Les nouveaux paramètres des séries statistiques sont
x
s
xmin
Q1
Me
Q3
xmax
châtaigner
0
1
−1, 33
−0, 83
0, 33
0, 83
1
cerisier
0
1
−2, 7
−1, 7
−0, 5
0, 2
0, 67
sapin
0
1
−2, 67
−0, 67
0
0, 67
2, 67
Transformation affine
Les nouveaux paramètres des séries statistiques sont
x
s
xmin
Q1
Me
Q3
xmax
châtaigner
0
1
−1, 33
−0, 83
0, 33
0, 83
1
cerisier
0
1
−2, 7
−1, 7
−0, 5
0, 2
0, 67
sapin
0
1
−2, 67
−0, 67
0
0, 67
2, 67
Représentation graphique
Construisons les diagrammes en boı̂tes afin de comparer ces séries.
3
2
1
0
−1
−2
−3
3
2
1
0
−1
−2
−3
3
2
1
0
−1
−2
−3
3
2
1
0
−1
−2
−3
Exercice 7
Les Statistiques
Enoncé
Une série statistique ne présente que deux valeurs a et b avec a > b.
1
2
3
Exprimer la moyenne x de cette série en fonction de a et b.
a−b 2
.
Montrer que la variance V de cette série est
2
En déduire que l’étendue de cette série est égale au double de son écart-type.