1 Nombre dérivé, fonction dérivée

Dérivation
1
Nombre dérivé, fonction dérivée
1.1
1.1.1
Dérivabilité en un point, nombre dérivé
Définition
Soit I un intervalle, a ∈ I et f : I → R, une application.
f (x) − f (a)
On dit que f est dérivable en a lorsque x 7→
admet une limite finie en a. Cette limite est le nombre
x−a
′
dérivé de f en a et est noté f (a).
1.1.2
Interprétation géométrique
On considère la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère (O;~ı,~) . Pour tout réel x ∈ I, M (x)
désigne le point de coordonnées (x,f (x)).
f (x) − f (a)
est la pente de la droite (M (a)M (x)) ; on peut montrer que, quand x tend vers a, cette droite “tend”
x−a
vers la droite passant par M (a) et de pente f ′ (a). Cette droite est la tangente à la courbe représentative de f au
point M (a).
1.1.3
Deuxième interprétation : développement limité à l’ordre 1
Soit Ia l’image de I par la translation de −a : Ia = {x − a, x ∈ I} = {h, a + h ∈ I}. On observe que 0 ∈ Ia .
f (a + h) − f (a)
− f ′ (a).
Notons ε la fonction définie sur Ia par ε(0) = 0 et ∀h 6= 0, ε(h) =
h
D’après la définition de f ′ (a), ε est continue et on a : ∀h ∈ Ia , f (a + h) − f (a) = hf ′ (a) + hε(h)
(1).
Considérons une grandeur (physique, chimique...) y dépendant d’une variable ou d’un paramètre x. On se place
au voisinage d’une valeur a de cette variable.
Pour une “petite” variation h du paramètre, la variation correspondante de la grandeur y est, en première approximation, proportionnelle à la variation h de x.
En physique, on noterait δy = f ′ (a) × δx, en maths, on pourrait noter : f (a + h) − f (a) ≈ hf ′ (a).
La relation (1) est équivalente à
∀h ∈ Ia , f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + hε(h)
ou encore à
∀x ∈ I, f (x) = f (a) + (x − a)f ′ (a) + (x − a)ε(x − a)
Ces deux égalités constituent chacune le développement limité à l’ordre 1 de f en a, en abrégé DL1 de f en a.
Elle doivent être comprises comme suit :
Pour une (petite) variation h de la variable x, f (a + h) est, dans un premier temps, approximativement égal à
f (a) ; pour être plus précis, on ajoute une variation hf ′ (a) et il reste un petit résidu hε(h).
Supposons à présent qu’une application f : I → R admettant un DL1 en a ∈ I. Il existe donc des nombres a0 , a1
et une fonction ε définie au voisinage de 0 avec lim ε = 0 tels que ∀x ∈ I, f (x) = a0 + a1 (x − a) + (x − a)ε(x − a).
0
En évaluant en a on obtient a0 = f (a) puis ∀x 6= a,
en a et f ′ (a) = a1 .
f (x) − f (a)
= a1 + ε(x − a). Il en résulte que f est dérivable
x−a
En résumé, on a la
Propriété :
Une application f : I → R est dérivable en a ∈ I si et seulement si elle admet un DL1 en ce point et, dans ce cas,
f ′ (a) est le coefficient du terme linéaire du DL1 .
1
1.1.4
Dérivabilité et continuité, cas de la dérivabilité à droite ou à gauche
Dans ce qui précède, quand on dit que f (a + h) est approximativement égal à f (a), cela signifie que f est continue
en a.
En effet, comme ε(h) −→ 0, on a lim (x − a)f ′ (a) + (x − a)ε(x − a) = 0.
Définition :
h→0
x→a
f (x) − f (a)
admet une limite
x−a
à droite (respectivement à gauche) en a ; cette limite se note fd′ (a) (respectivement fg′ (a)).
f est alors dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche et si fg′ (a) = fd′ (a).
On dit que f : I → R est dérivable à droite (respectivement à gauche) lorsque x 7→
1.2
1.2.1
Tangente
Définition et équation
Comme on l’a vu dans l’interprétation géométrique, la tangente à la courbe représentative de f est la droite
passant par M (a) et de pente f ′ (a).
Elle a donc pour équation
y = f (a) + (x − a)f ′ (a)
On reconnaı̂t, dans le membre de droite, les deux premiers termes du développement limité à l’ordre 1 de f en a.
1.2.2
Demi tangentes
Lorsque f admet des dérivées à gauche et à droite distinctes, on
peut définir les demi-tangentes à gauche et à droite en point M (a).
Ce sont les demi-droites d’équation y = f (a) + (x − a)fg′ (a), x 6 a
(demi-tangente à gauche) et y = f (a)+ (x− a)fd′ (a), x > a (demitangente à droite).
1.2.3
Méthode de Newton
Le problème est le suivant : On cherche à résoudre une équation f (x) = 0 ce qui revient à déterminer un point
où la courbe de f coupe l’axe des abscisses. On dispose d’une valeur approchée a d’une solution. On peut espérer
avoir une meilleure approximation en considérant que la courbe au voisinage de a est voisine de la tangente en a
et en cherchant le point où cette tangente coupe l’axe des abscisses.
2
Exercice 1
1. Déterminer l’abscisse a′ au moyen de a, f (a) et f ′ (a).
2. Soit A ∈ R+ et f : x 7→ x2 − A. On part d’une valeur u0 > 0
et on définit une suite (un )n∈N par : un+1 est l’abscisse du
point d’intersection de la tangente en (un ,f (un )) avec l’axe
des abscisses.
(a) Exprimer un+1 en fonction de un .
(b) Faire le lien avec l’algorithme de Héron.
b
1.2.4
b
b
a
a′
3. Trouver de même un algorithme de calcul des racines cubiques et, plus généralement, des racines p-èmes.
Les tangentes verticales
f (x) − f (a)
admet une limite ±∞ quand x tend vers a ou vers a+ ou a− , on dit que
x−a
la courbe représentative de la fonction f admet au point M (a,f (a)) une tangente ou une demi-tangente à droite
ou à gauche verticale.
Soit f : I → R et a ∈ I. Si
1.3
Les propriétés algébriques
Elles sont valables en un point mais s’étendront globalement.
1.3.1
Combinaisons linéaires, produit
Exercice 2
Établir les propriétés suivantes pour f, g de I dans R dérivables en a.
1. f + g est dérivable en a et (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g′ (a).
2. ∀λ ∈ R, λf est dérivable en a et (λf )′ (a) = λf ′ (a).
3. f g est dérivable en a et (f g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g′ (a).
Deux démonstrations :
(a) Écrire les DL1 de f et g en a au moyen de h ∈ Ia , les multiplier et classer les termes.
(b) Utiliser le taux de variations en écrivant f (x)g(x) − f (a)g(a) = f (x)(g(x) − g(a)) + g(a)(f (x) − f (a)).
1.3.2
Inverse, quotient
Continuons.
Exercice 3
′
g′ (a)
1
(a) = −
.
1. Si g(a) 6= 0 alors 1/g est dérivable en a et
g
(g(a))2
On utilisera le taux de variations.
′
f
f ′ (a)g(a) − f (a)g′ (a)
2. Si g(a) 6= 0 alors f /g est dérivable en a et
(a) =
.
g
(g(a))2
1.3.3
Composition
Soit f : I → J dérivable en a et g : J → R dérivable en b = f (a).
Alors g ◦ f est dérivable en a et (g ◦ f )′ (a) = g′ (b)f ′ (a) = g′ (f (a))f ′ (a).
Démonstration :
On a f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + hη(h) et g(b + H) = g(b) + Hg′ (b) + Hε(H) avec lim η = 0 et lim ε = 0. Alors on
0
3
0
peut écrire :
g ◦ f (a + h) = g (f (a) + hf ′ (a) + hη(h))
= g(f (a)) + (hf ′ (a) + hη(h)) × g′ (b) + (hf ′ (a) + hη(h)) × ε(hf ′ (a) + hη(h))
= g ◦ f (a) + hf ′ (a)g′ (b) + h[η(h)g ′ (b) + (f ′ (a) + η(h)) × ε(hf ′ (a) + hη(h))]
= g ◦ f (a) + hf ′ (a)g′ (b) + hϕ(h)
où l’on a posé : ϕ(h) = η(h)g ′ (b) + (f ′ (a) + η(h)) × ε(hf ′ (a) + hη(h)) ce qui donne lim ϕ(h) = 0.
0
On a donc un DL1 de g ◦ f qui nous donne, au passage, la valeur de la dérivée.
1.4
1.4.1
Dérivabilité sur un intervalle
Définition, fonction dérivée
On dit qu’une application f : I → R est dérivable quand elle est dérivable en tout point de I.
On peut alors définir la fonction dérivée : f ′ : I → R qui à tout élément x associe f ′ (x).
1.4.2
Propriétés algébriques générales
Ce sont les mêmes qu’en un point. Elles sont résumées ci-dessous.
1.4.3
Dérivée d’une réciproque
Proposition :
Soient I et J deux intervalles, f : I → J une bijection telle que f et f ′ sont dérivables. Alors (f −1 )′ =
f′
1
.
◦ f −1
Démonstration :
On dérive la relation : ∀x ∈ J, f ◦f −1 (x) = x ; il vient ∀x ∈ J, (f −1 )′ (x)× f ′ ◦f −1 (x) = 1 d’où la formule annoncée.
4
1.4.4
Récapitulatif
Propriétés usuelles des dérivées.
Hypothèses
Fonction
Dérivée.
f et g dérivables
λf + µg
λf ′ + µg′
Idem
fg
f ′ g + f g′
f et g dérivables et g ne s’annule pas.
f
g
f ′ g − f g′
g2
f dérivable et n ∈ N ou f ne s’annule pas et n ∈ Z
fn
nf n−1 f ′
f strictement positive, dérivable et α ∈ R
fα
αf α−1 f ′
f dérivable et ne s’annule pas.
ln |f |
f′
f
f et g dérivables.
f ◦g
f ′ ◦ g × g′
f dérivable strictement monotone et f ′ ne s’annule pas.
f −1
2
f′
1
◦ f −1
Propriétés des fonctions dérivables
2.1
2.1.1
Variations, extrema, conditions nécessaires
Variations et signe de la dérivée
proposition :
Soit I un intervalle, f : I → R une application dérivable et J un sous-intervalle non trivial de I (c’est-à-dire un
intervalle tel que J ⊂ I).
Si f est croissante sur J alors f ′ > 0 sur J et si f est décroissante sur J, alors f ′ 6 0 sur J.
Démonstration
On suppose f croissante sur J.
′
f (x′ ) − f (x)
′ (x) = lim f (x ) − f (x) > 0.
>
0
d’où,
f
x′ →x
x′ − x
x′ − x
On raisonne de même si f est décroissante.
Soit x ∈ J et x′ ∈ J, x′ 6= x. On a
2.1.2
Dérivée en un extremum
Définition :
Soit I un intervalle, f : I → R et a ∈ I.
On dit que f : I → R atteint un maximum local en a lorsqu’il existe α > 0 tel que ∀x ∈ I∩[a−α, a+α], f (x) 6 f (a).
5
Ce maximum est dit strict lorsque, de plus, ∀x ∈ I ∩ [x − α, x + α], x 6= a ⇒ f (x) < x.
On définit de la même façon les minima locaux et les minima locaux stricts.
Un extremum local ou local strict est un point qui est un maximum ou un minimum local ou local strict.
Proposition :
Soit I un intervalle, a ∈ I un point qui n’est pas une extrémité de I et f : I → R une application dérivable.
Si f admet en a un extremum local, alors f ′ (a) = 0.
Démonstration :
Comme a n’est pas une borne de I, il existe α > 0 tel que [a − α, a + α] ⊂ I. Supposons que f admet un maximum
en a.
f (x) − f (a)
Pour tout x ∈ [a − α, a[, f (x) 6 f (a) donc
> 0 d’où, en passant à la limite f ′ (a) = fg′ (a) > 0.
x−a
f (x) − f (a)
6 0 d’où f ′ (a) = fd′ (a) 6 0 et finalement f ′ (a) = 0.
Pour tout x ∈]a, a + α], f (x) 6 f (a) donc
x−a
C.Q.F.D.
On sait qu’il n’y a pas équivalence ; par exemple, f : x 7→ x3 vérifie f ′ (0) = 0 amis f n’a pas d’extremum en 0.
2.2
Les dérivées usuelles
Voir le tableau page suivante.
6
Tableau récapitulatif des dérivées usuelles
Ensemble de définition
R∗
R
k=0
x 7→
ak x k
1
x
R∗
x 7→
n
X
kak xk−1
k=1
x 7→ −
1
x2
d
R\ −
c
x 7→ xα
√
R+ Si α > 1 et R∗+ si 0 < α < 1
R∗
x 7→ ln |x|
R∗
R
x 7→ ax , a > 0
R
x 7→ ln a × ax
R
R
cos
sin
R
R
− sin
cos
d
R\ −
c
R+ et α > 0
R+
2
n
X
Dérivée
ax + b
x 7→
cx + d
nπ
Ensemble de dérivabilité
x 7→
R
R\
Fonction
o
+ kπ, k ∈ Z
tan
R∗+
R\
nπ
2
o
+ kπ, k ∈ Z
x 7→
ad − bc
(cx + d)2
x 7→ αxα−1
1
√
2
1
x 7→
x
1 + tan2 =
1
cos2
−(1 + cotan2 ) = −
R\πZ
cotan
R\πZ
[−1, 1]
arcsin
] − 1, 1[
[−1, 1]
arccos
] − 1, 1[
x 7→ − √
R
arctan
R
x 7→
R
x 7→ Argsh(x)
R
1
x 7→ √
1 + x2
[1, + ∞[
x 7→ Argch(x)
]1, + ∞[
1
x 7→ √
x2 − 1
7
1
x 7→ √
1 − x2
1
1 − x2
1
1 + x2
1
sin2
2.3
2.3.1
Rolle et accroissements finis
Le théorème de Rolle
C’est la propriété suivante :
Soient a < b deux réels, f : [a, b] → R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f (a) = f (b).
Il existe alors c ∈]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
Démonstration :
Si f est constante, alors la propriété est évidente. Sinon, f étant continue sur le segment [a, b], elle est bornée et
atteint ses bornes qui sont distinctes car f n’est pas constante. Comme f (a) = f (b), l’une des bornes est atteinte
en un point c de ]a, b[.
Supposons, pour fixer les idées, que f atteint sa borne inférieure en c ∈]a, b[.
f (x) − f (c)
Alors, ∀x > c,
> 0 d’où, en passant à la limite en c+ , on trouve f ′ (c) > 0.
x−c
f (x) − f (c)
6 0 d’où, à la limite en c− , f ′ (c) 6 0. Il en résulte f ′ (c) = 0. C.Q.F.D.
Mais, ∀x < c,
x−c
Remarque :
On a prouvé au passage qu’une fonction dérivable d’un intervalle ouvert I de R à valeurs dans R qui admet un
extremum en point c de I a sa dérivée qui s’annule en c.
2.3.2
L’égalité des accroissements finis
Soient a < b deux réels et f : [a, b] → R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
f (b) − f (a)
Il existe c ∈]a, b[ tel que
= f ′ (c)
b−a
Démonstration :
Exercice 4
f (b) − f (a)
On pose g : [a,b] → R définie par ∀x ∈ [a,b], g(x) = f (x) − f (a) + (x − a)
.
b−a
1. Donner une interprétation graphique de g.
2. Justifier que g vérifie les hypothèses du théorème de Rolle.
3. Conclure.
Remarque : Équivalence de Rolle et des accroissements finis
On a déduit l’égalité des accroissements finis du théorème de Rolle mais, d’un autre côté, il est clair que ce dernier
est un cas particulier de l’égalité des accroissements finis d’où l’équivalence de ces deux propriétés.
2.3.3
Les inégalités des accroissements finis
À partir de l’égalité des accroissements finis, on obtient les résultats suivants qu’on peut désigner sous le noms
d’inégalités des accroissements finis.
Soient a < b des réels, f : [a, b] → R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Soient enfin des réels m et M .
f (b) − f (a)
6M
– Si ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) 6 M alors
b−a
f (b) − f (a)
– Si ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) < M alors
<M
b−a
f (b) − f (a)
– Si ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) > m alors
>m
b−a
f (b) − f (a)
– Si ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) > m alors
>m
b−a
Démonstration.
f (b) − f (a)
= f ′ (c). Alors, dans chacun des 4
D’après l’égalité des accroissements finis, il existe c ∈]a, b[ tel que
b−a
cas, on remarque respectivement que f ′ (c) 6 M, f ′ (c) < M, f ′ (c) > m et f ′ (c) > m.
8
2.3.4
L’inégalité des accroissements finis
Cette année, on se contentera d’apprendre l’inégalité des accroissements finis :
On prend encore f : [a, b] → R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On suppose que f ′ est bornée et on se
donne alors M un majorant de |f ′ |. Alors |f (b) − f (a)| 6 M (b − a).
En effet, on a ∀x ∈]a, b[, − M 6 f ′ (x) 6 M ce qui, d’après le théorème 4, entraı̂ne l’encadrement
f (b) − f (a) f (b) − f (a)
6 M.
−M 6
6 M d’où b−a
b−a Interprétation cinématique :
Si, entre l’instant t1 et l’instant t2 vous n’avez pas dépassé la vitesse Vmax alors vous avez parcouru une distance
au plus égale à Vmax × (t2 − t1 ).
2.3.5
Fonctions lipschitziennes
Définition Soit I un intervalle. Une application f : I → R est dite lipschitzienne lorsqu’il existe k ∈ R+ tel que
∀x, x′ ∈ I, |f (x′ ) − f (x)| 6 k|x′ − x|.
La borne inférieure des nombres k de la définition s’appelle la constante de Lipschitz de f et peut se noter kf .
Proposition 1
f (x′ ) − f (x)
′
′
, x, x ∈ I, x 6= x est borné
Avec les notations précédentes, f est lipschitzienne si et seulement si
x′ − x
f (x′ ) − f (x) , x, x′ ∈ I, x 6= x′ .
et, dans ce cas, kf = sup x′ − x Démonstration
f (x′ ) − f (x) 6 k donc :
Si f est lipschtitzienne de rapport k alors ∀x 6=
∈ I, ′−x
x
′
′
f (x ) − f (x) f (x ) − f (x)
′
′
′
′
, x, x ∈ I, x 6= x 6 k d’où, en passant à
, x, x ∈ I, x 6= x est borné et sup x′ − x
x′ − x f (x′ ) − f (x) , x, x′ ∈ I, x 6= x′ 6 kf .
la borne inférieure sup ′−x
x
′
f (x′ ) − f (x) f (x ) − f (x)
′
′
, x, x′ ∈ I, x 6= x′ = k′ alors
Inversement si
,
x,
x
∈
I,
x
=
6
x
est
borné
et
sup
f
x′ − x x′ − x
′
′
′
′
′
∀x, x ∈ I, |f (x ) − f (x)| 6 |x − x| donc f est kf -lipschitzienne et l’on a kf 6 kf d’où l’égalité.
x′ ,
x,x′
Proposition 2
f : I → R est lipschitzienne si et seulement si |f ′ | est bornée et, dans ce cas, kf = sup |f ′ |.
Démonstration :
f (x′ ) − f (x) ′
Si f est k-lipschitzienne alors ∀x,
x′ − x 6 k d’où, en passant à la limite quand x tend vers x, on a :
|f ′ (x)| 6 k donc f ′ est bornée et k 6 sup |f ′ | et, en passant à la borne inférieure, kf 6 sup |f |.
Inversement, si f ′ est bornée, alors, pour tous x < x′ ∈ I, en appliquant l’inégalité des accroissements finis entre x
et x′ , on a |f (x′ ) − f (x)| 6 |x′ − x| sup |f ′ | donc f est lipschitzienne de rapport sup |f ′ | ce qui entraı̂ne kf 6 sup |f ′ |
et la propriété est démontrée.
x′ ,
2.3.6
Le théorème “Limite de la dérivée”
Théorème 2.3.6
Soit I un intervalle non trivial, x0 ∈ I, f : I → R continue sur I (en particulier en x0 ) et dérivable sur I\{x0 }.
f (x) − f (x0 )
−→ ℓ.
Soit ℓ ∈ R. Si f ′ (x) −→ ℓ alors
x→x0
x→x0
x − x0
Démonstration.
Nous allons prouver la propriété pour des limites à droite en supposant ℓ fini ; la démonstration pour les limites
à gauche est analogue et le théorème résulte des deux. Le cas où ℓ = ±∞ est laissé en exercice.
9
Soit ε > 0. Il existe α > 0 tel que ∀t ∈]x0 , x0 + α[, ℓ − ε < f ′ (t) < ℓ + ε car lim f ′ = ℓ.
x0
Soit alors x ∈]x0 , x0 + α[ ; f est continue sur [x0 , x], dérivable sur ]x0 , x[ et l’on a de plus :
∀t ∈]x0 , x[, ℓ − α < f ′ (t) < ℓ + α.
f (x) − f (x0 )
< ℓ + α.
Il résulte alors des inégalités des accroissements finis que ℓ − α <
x − x0
f (x) − f (x0 )
− ℓ < ε. C.Q.F.D.
En résumé, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈]x0 , x0 + α[, x − x0
Conséquence : Lorsque ℓ est fini, f est dérivable en x0 , f ′ (x0 ) = ℓ et f ′ est continue en x0 .
C’est le Théorème du prolongement C 1 .
2.4
2.4.1
Signe de la dérivée et variations ; conditions suffisantes
Variations
Proposition
Soit I un intervalle f : I → R dérivable telle que f ′ > 0 et {x, f ′ (x) = 0} ne contient aucun intervalle non trivial.
Alors f est strictement croissante.
Démonstration :
Soient x < x′ , deux éléments de I.
f (x′ ) − f (x)
= f ′ (c) > 0 d’où la croissance de f .
x′ − x
Si f n’est pas strictement croissante, alors il existe x < x′ tels que f (x) = f (x′ ) mais comme on sait à présent que
f est croissante, on a: ∀t ∈ [x,x′ ], f (x) = f (t) = f (x′ ) d’où ∀t ∈ [x,x′ ], f ′ (t) = 0 donc f ′ s’annule sur un intervalle
non trivial et la propriété est démontrée.
Par l’égalité des accroissements finis, il existe c ∈]x,x′ [ tel que
2.4.2
Extrema
Proposition
Soit I un intervalle, x0 un élément de I qui n’est pas une extrémité et f : I → R dérivable.
Si f ′ s’annule et change de signe en x0 c’est-à-dire s’il existe α > 0 tel que f ′ est de signe constant (au sens large)
sur [x0 − α,x0 ], de signe contraire sur [x0 ,x0 + α] et f ′ (x0 ) = 0 alors f admet un extremum local en x0 .
Si de plus f ′ ne s’annule pas sur [x0 − α,x0 [∪]x0 ,x0 + α], cet extremum est strict.
Démonstration :
On suppose f ′ > 0 sur [x0 − α,x0 ] et f ′ 6 0 sur [x0 ,x0 + α].
f (x0 ) − f (x)
> 0 d’où f (x) 6 f (x0 ). On montre de même
En appliquant l’EAF entre x ∈ [x0 − α,x0 [ et x0 , on a
x0 − x
f (x) 6 f (x0 ) pour x ∈]x0 ,x0 + α].
Lorsque f ne s’annule pas sur [x0 − α,x0 [∪]x0 ,x0 + α], les inégalités sont strictes.
C.Q.F.D.
2.4.3
Condition suffisante de dérivabilité de la réciproque
Théorème
Soient I un intervalle de R et f : I → R dérivable (donc continue) et telle que f ′ ne s’annule pas. Soit J = f (I).
Alors f est strictement monotone donc bijective et on sait alors que f −1 est continue sur J. On a de plus :
1
.
f −1 est dérivable sur J et d’après ce qui précède, (f −1 )′ = ′
f ◦ f −1
Démonstration :
f (x′ ) − f (x)
Montrons que f est injective. Soient x < x′ dans I. Il existe c ∈]x, x′ [ tel que
= f ′ (c) 6= 0 d’où
x′ − x
l’injectivité. Comme f est dérivable donc continue sur l’intervalle I, on sait qu’il en résulte qu’elle est strictement
monotone.
Dès lors, elle est bijective et on sait que f −1 : J → I est continue.
Il ne reste qu’à prouver la dérivabilité de f −1 . Soit x ∈ J. Pour tout x′ ∈ J différent de x, on a f −1 (x′ ) 6= f −1 ((x)
car f −1 est injective puisque strictement monotone.
10
f −1 (x′ ) − f −1 (x)
1
f −1 (x′ ) − f −1 (x)
=
=
.
−1
′
′
−1
′
−1
x −x
f (f (x )) − f (f (x))
f (f (x )) − f (f −1 (x))
f −1 (x′ ) − f −1 (x)
−1 ′
−1
−1
Or, par continuité de f , on a : lim
f (x ) = f (x) et, par dérivabilité de f en X = f −1 (x), on a :
′
Alors
x →x
f (X ′ ) − f (X)
= f ′ (X).
lim
X ′ →X
X′ − X
f (f −1 (x′ )) − f (f −1 (x))
= f ′ (f −1 (x)) 6= 0.
x →x
f −1 (x′ ) − f −1 (x)
1
f −1 (x′ ) − f −1 (x)
= ′ −1
. Ce qui prouve la dérivabilité de f −1 et redonne la valeur
Il en résulte donc lim
′
′
x →x
x −x
f (f (x))
de la dérivée.
D’où, par composition des limites : lim
′
3
Fonctions de classe C k
3.1
3.1.1
Dérivées successives
Définitions
La notion de dérivée k-ème est définie par récurrence : La notion de fonction (une fois) dérivable est connue.
Pour k > 2, on suppose définies les fonctions k − 1 fois dérivables et la notation f (k−1) .
f : I → R est k fois dérivable lorsque f est dérivable et f ′ est k − 1 fois dérivable et on pose f (k) = (f ′ )(k−1) .
On a les propriétés suivantes : Si f est n fois dérivable alors, pour tout k 6 n, f est k fois dérivable.
Lorsque f est n fois dérivable, pour tous p, q 6 n tels que p + q 6 n, f (p) est q fois dérivable et l’on a :
(f (p) )(q) = f (p+q) .
11
3.1.2
Exemples fondamentaux
Fonction.
Dérivée k-ième
x 7→ xn

 n(n − 1) · · · (n − k + 1)xn−k si 0 6 k < n
x 7→
n!
si k = n

0
si k > n
x 7→ xα , α ∈
/ Z,
x 7→ α(α − 1) · · · (α − k + 1)xα−k
x 7→
1
x
x 7→
ln
x 7→
x 7→ eax , a ∈ C.
cos
sin
3.2.1
(−1)k−1 (k − 1)!
xk
x 7→ ak eax
cos si k = 4p,
− sin si k = 4p + 1,
sin si k = 4p, cos si k = 4p + 1,
x 7→ f (ax + b)
3.2
(−1)k k!
xk+1
− cos si k = 4p + 2 et sin si k = 4p + 3
− sin si k = 4p + 2 et − cos si k = 4p + 3
x 7→ ak f (k) (ax + b)
Propriétés
Combinaisons linéaires
La propriété cuvante est évidente par récurrence : Si f et g sont n fois dérivables, alors, pour tous λ, µ ∈ R, λf +µg
est n fois dérivable et (λf + µg)(n) = λf (n) + µg(n) .
3.2.2
Formule de Leibniz
Théorème (formule de Leibniz) : Soit n ∈ N. Si f et g sont n fois dérivables sur I, alors f g l’est aussi et
n n X
X
n
n
(k) (n−k)
(n)
(f g) =
f g
=
f (n−k) g(k) (Formule de Leibniz 1 ).
k
k
k=0
k=0
Démonstration.
La propriété est évidente au rang 1. Nous supposons qu’elle est vraie au rang n−1 et soient f et g, n fois dérivables.
n−1
X n − 1
(n−1)
Alors f g est n − 1 fois dérivable et l’on a (f g)
=
f (n−1−k) g(k) .
k
k=0
Pour tout k de 0 à n − 1, f (n−1−k) et g(k) sont dérivables car k < n et n − 1 − k < n. Il en résulte que (f g)(n−1)
1. Gottfried Wilhelm von Leibniz ; 1646-1716.
12
est dérivable en tant que combinaison linéaire de produits de fonctions dérivables et on a :
(f g)(n) =
=
=
=
=
=
n−1
X
i
n − 1 h (n−1−k) ′ (k)
(f
) g + f (n−1−k) (g(k) )′
k
k=0
n−1
i
X n − 1 h
f (n−k) g(k) + f (n−1−k) g(k+1)
k
k=0
n n−1
X
X n − 1
n−1
(n−k) (k)
f (n−k)gk
f
g +
k−1
k
k=1
k=0
n−1
X n−1
n−1
(n) (0)
f g +
+
f (n−k) g (k) + f (0) gn)
k
k−1
k=1
n−1
X n
n
n
(n−0) (0)
(n−k) (k)
f
g +
f
g +
f (n−n) g(n)
0
k
n
k=1
n X
n
f (n−k) g(k) C.Q.F.D.
k
k=0
3.2.3
Composition
Soient I, J deux intervalles, f : I → J et g : J → K deux applications n fois dérivables. Alors g ◦ f est n fois
dérivable.
Démonstration :
La propriété est vraie pour n = 1. Supposons qu’elle est vraie au rang n−1 et soient f et g deux applications n fois
dérivables comme dans l’énoncé. Alors f et g sont en particulier une fois dérivables et l’on a (g ◦f )′ = f ′ × g ′ ◦f . Or
g′ étant n − 1 fois dérivable, de même que f , l’hypothèse de récurrence entraı̂ne que g′ ◦ f est n − 1 fois dérivables.
Puis, comme f ′ est n − 1 fois dérivable, f ′ × g′ ◦ f est n − 1 fois dérivable en tant que produit de fonctions n − 1
fois dérivables. Il en résulte que (g ◦ f )′ est n − 1 fois dérivable donc que g ◦ f est n fois dérivable.
Il n’existe pas de formule simple pour la dérivée n-ème d’une fonction composée sauf dans le cas suivant :
Soit f : X → K n fois dérivable et (a, b) ∈ R2 . Alors g : x 7→ f (ax + b) est n fois dérivable et :
∀x, g (n) (x) = an f (n) (ax + b).
La démonstration par récurrence est immédiate.
3.2.4
Inverse et quotient
1
1
est n fois dérivable (en composant g par x 7→ ).
g
x
f
Si f et g sont n fois dérivables et si g ne s’annule pas, alors est n fois dérivable (en utilisant l’inverse et le produit).
g
Si g est n fois dérivable et ne s’annule pas, alors
3.2.5
Réciproque
Soient I un intervalle et f : I → R n fois dérivable, (n > 1) telle que f ′ ne s’annule pas. On sait alors que f
induit une bijection de I sur un intervalle J. On a, de plus : f −1 est n fois dérivable.
Démonstration par récurrence :
On suppose le théorème vrai au rang n (le rang 1 a déjà été vu).
1
.
◦ f −1
Par hypothèse de récurrence, f −1 est n − 1 fois dérivable et f ′ l’est aussi puisque f l’est n fois. Il résulte de la
1
1
est n fois dérivable en tant que composée des trois applications : x 7→ , f ′ et
propriété précédente que ′
−1
f ◦f
x
f −1 . Donc (f −1 )′ est n − 1 fois dérivable ce qui montre que f −1 l’est n fois.
Sous les hypothèses de l’énoncé, on sait que f −1 est dérivable et on a (f −1 )′ =
13
f′
Fonctions de classe C k
3.3
3.3.1
Définition
• On dit qu’un application f : I → R est de classe C k lorsqu’elle est k fois dérivable et que f (k) est continue.
On note C k (I,R) l’ensemble des applications de classe C k de I dans R.
• On dit que f est C ∞ lorsqu’elle est dérivable à tout ordre.
On note C ∞ (I,R) l’ensemble des applications C ∞ de I dans R.
Lorsqu’une fonction est C ∞ , elle est de classe C k pour tout entier naturel k. En effet, f (k) existe et est
dérivable donc continue.
3.3.2
Exemple d’une fonction dérivable non C 1
Exercice 5
Soit f : R → R définie par f (0) = 0 et ∀x 6= 0, f (x) =
x2 cos
1
.
x
1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f ′ (0) au moyen de la limite d’un taux d’accroissement.
2. Justifier succinctement que f est dérivable sur R∗ et calculer f ′ (x) pour tout réel x non nul.
3. Montrer que f ′ n’a pas de limite en 0. On pourra séparer l’expression de f ′ (x) en deux termes dont l’un
admet une limite et l’autre non.
3.3.3
Propriétés
En utilisant les propriétés des fonctions k fois dérivables et celles des fonctions continues, on montre que si f et g
sont de classe C k ou C ∞ , alors, il en est de même de λf + µg pour tous réels λ et µ, de f g, de 1/g et f /g quand g
ne s’annule pas, de g ◦ f quand elle est définie et f −1 quand f ′ ne s’annule pas.
3.3.4
Cas des fonctions C 1 sur un segment
Proposition
Si [a,b], a < b est un segment et si f ∈ C 1 ([a,b],R) alors f est lipschitzienne.
En effet f ′ est continue sur le segment [a,b] donc bornée (et atteint ses bornes) donc f est lipschitzienne.
4
Extension au cas complexe
4.1
4.1.1
Dérivation d’une fonction à valeurs complexes
Définition, caractérisation par les parties réelle et imaginaire
Pour f : I → C et a ∈ I, f est dérivable en a lorsque x 7→
f (x) − f (a)
admet une limite quand x tend vers a. La
x−a
limite se note f ′ (a).
En posant f = g + ih avec g, h à valeurs réelles, on voit que c’est équivalent de dire que g et h sont dérivables en
a et on a alors f ′ (a) = g′ (a) + ih′ (a).
La même méthode permet d’étendre les notions de fonctions dérivables sur un intervalle ainsi que celles de fonctions
n fois dérivables ou C ∞ sur un intervalle.
4.1.2
Interprétation cinématique
Une application t 7→ f (t) à valeurs complexes s’identifie à un point mobile dans un plan et f ′ (t) est alors l’affixe
du vecteur vitesse.
14
4.1.3
Propriétés usuelles
Les formules de dérivation s’adaptent au cas complexe : combinaisons linéaires, produits, inverse, quotients ; les
formules sont les mêmes.
Pour la composition, on prend f : I → J dérivable et g = J → C dérivable alors g ◦ f est dérivable et l’on a :
(g ◦ f )′ = f ′ × (g ′ ◦ f ).
4.1.4
Exemples supplémentaires
Pour λ ∈ C, fλ : x 7→ eλx est dérivable et ∀x, fλ′ (x) = λeλx . La démonstration a été faite dans le cadre du cours
de “calcul”.
4.1.5
Inexistence d’une égalité des accroissements finis
Exercice 6
On rappelle que le théorème de Rolle est équivalent à l’égalité des accroissements finis.
Montrer que x 7→ eix définie sur [0,2π] est un contre-exemple au théorème de Rolle dans le cas des fonctions à
valeurs complexes.
4.1.6
L’inégalité des accroissements finis
Soient a < b et f : [a, b] → C continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que |f ′ | soit majorée par M ∈ R+ .
f (b) − f (a) 6 M.
Alors b−a Démonstration :
f (b) − f (a)
= ρeiθ avec ρ > 0 puis g = e−iθ f = α + iβ où α
On pose
b−a
continues
sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[.
f (b) − f (a) = ρ = e−iθ f (b) − f (a) = g(b) − g(a) = α(b) − α(a)
Alors b−a b−a b − a
b−a
α(b)
−
α(a)
f
(b)
−
f
(a)
=
=
∀x ∈]a, b[, |α′ (x)| 6 |g ′ (x)| 6 M donc b−a
b−a
précédent, ce qui démontre la propriété.
15
et β sont des fonctions à valeurs réelles
β(b) − β(a)
α(b) − α(a)
+i
=
. Or on a :
b−a b−a
α(b) − α(a) 6 M d’après le corollaire
b−a