Fonctions dérivées - Académie en ligne

Transcription

Séquence 6
Fonctions dérivées
Sommaire
Pré-requis
Définition – Dérivées des fonctions usuelles
Dérivation et opérations algébriques
Applications de la dérivation
Synthèse de la séquence
Exercices d’approfondissement
Séquence 6 – MA11
1
© Cned - Académie en ligne
1 Pré-requis
A
Fonctions de référence
Fonction « carré » f : x x 2
À savoir
Dans le plan muni d’un repère, la fonction « carré » est définie par
f ( x ) = x 2 où x est un nombre réel.
La
fFTUEÏmOJFTVS⺢.
fonction « carré » est :
f est paire : f ( − x ) = f ( x )
Variation
tEÏDSPJTTBOUFTVS ] − ∞ ; 0]
tDSPJTTBOUFTVS [0 ; + ∞[
x
y
f (x )
4
ᏼ
3
−∞
0
+∞
0
-BDPVSCFFTUVOFQBSBCPMFᏼTZNÏUSJRVF
y = x2
QBSSBQQPSUËMBYFEFTPSEPOOÏFT
2
1
–2
–1
0
1
2
x
3
Fonction « inverse » f : x 1
x
À savoir
* =] − ∞ ; 0[∪]0 ; + ∞[.
La
fFTUEÏmOJFTVS *
f
est impaire : f ( − x ) = −f ( x )
Variation
fonction « inverse » est :
tEÏDSPJTTBOUFTVS ] − ∞; 0[.
x
−∞
tEÏDSPJTTBOUFTVS ]0 ; + ∞[.
0
+∞
f (x )
y
2
Ᏼ1
y=x
-B
1
–2
–1
0
1
2
x
DPVSCF FTU
VOF IZQFSCPMF ᐄ
TZNÏUSJRVF
QBS
SBQQPSU Ë MPSJHJOF EVSFQÒSF
–1
asymptotes
–2
Fonction « racine carrée » f : x x
La fonction fFTUEÏGJOJFTVS< +∞
Variation
x
f (x )
4
0
0
<
+∞
y
Ꮿ
3
y= x
2
1
1
2
3
4
x
5
Fonction « cube » f : x x 3
-BGPODUJPOjøDVCFøxFTUDSPJTTBOUFTVS> −∞
+∞ <
y
8
Ꮿ
y = x3
1
–2
–1
0
–1
1
2
x
x
f (x )
−∞
0
+∞
0
-B
DPVSCF FTU TZNÏUSJRVF QBS SBQQPSU Ë
MPSJHJOFEVSFQÒSF
–8
5
B
Nombre dérivé
À savoir
On donne une fonction f et un nombre a.
f (a + h ) − f (a )
existe on l’appelle nombre dérivé de
h
f en a et on la note f '(a ).
t4JMBMJNJUF lim
h→0
On dit alors que f est dérivable en a.
t4J f est dérivable en a, le nombre dérivé f '(a ) est le coefficient
(
)
(
directeur de la tangente à Ꮿ f au point A a f a ) .
t6OF ÏRVBUJPO EF MB UBOHFOUF Ë Ꮿ f au point A a f a ) est donc :
y − f (a ) = f ′ (a )( x − a ).
C
)
Maximum et minimum d’une
fonction
Définitions
Soit f VOFGPODUJPOEÏGJOJFTVSVOJOUFSWBMMFI.
0OEJURVFMBGPODUJPO f atteint un maximum en a ∈I MPSTRVFQPVStoutSÏFM
x ∈I , f ( x ) ≤ f (a ).
-FNBYJNVNFTU f (a ) DFOFTUQBTa.
0OEJURVFMBGPODUJPO f atteint un minimum en a ∈I MPSTRVFQPVStoutSÏFM
x ∈I , f ( x ) ≥ f (a ).
-FNJOJNVNFTU f (a ) DFOFTUQBTa.
-PSTRVF f (a ) FTUVONJOJNVNPVVONBYJNVNPOEJURVFDFTUVOextremum.
m1
–6
6
–5 –4 –3 –2
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–1 0
–2
M
P
Q
m2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13 14
15 16
17
Exemple
1PVSMBDPVSCFEFMBGPODUJPOfEÏGJOJFTVSMJOUFSWBMMF < −6 18> EFTTJOÏFDJEFTTVT
-FNJOJNVNEFfFTU*MFTUBUUFJOUFOEFVYQPJOUT m1 et m2.
-FNBYJNVNEFfFTU*MFTUBUUFJOUFOVOTFVMQPJOUM.
-FT QPJOUT P et Q OF TPOU QBT EFT FYUSFNB EF MB GPODUJPO f TVS MJOUFSWBMMF
< −6 18>
7
2
A
Définition – Dérivées des
fonctions usuelles
Activités
Nombre dérivé d’une fonction f en un point
d’abscisse a (a quelconque)
Cas
de la fonction « carré »
+VTRVËQSÏTFOUOPVTBWPOTDBMDVMÏMFOPNCSFEÏSJWÏEVOFGPODUJPOfFOVOQPJOU
aQBSUJDVMJFSQBSFYFNQMFQPVS f ( x ) = x 2 et a = 0, 8 EBOTMFDPVSTEVDIBQJUSF
EFMBTÏRVFODF
*DJOPVTBMMPOTUFOUFSEFMFGBJSFEBOTVODBTQMVTHÏOÏSBMTBOT
EPOOFSËaVOFWBMFVSOVNÏSJRVFQBSUJDVMJÒSF
-BDPVSCFDJEFTTPVTFTUDFMMFEFMBGPODUJPOjDBSSÏx f : x x 2.
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Cf
–5
8
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
"MBJEFEVHSBQIJRVFDPNQMÏUFSMFUBCMFBVTVJWBOU
a
–1
0
1
2
3
4
5
f '(a )
2VFMMFDPOKFDUVSFQFVUPOGBJSFRVBOUËMFYQSFTTJPOEF f ′(a ) FOGPODUJPOEFa ?
Cas
d’une fonction constante
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOfEÏGJOJFQPVSUPVU x ∈ par f ( x ) = 3.
$PNQMÏUFSMFTQISBTFTTVJWBOUFT
C f FTUVOFyyyy ∆ yyyyyyËMBYFEFTBCTDJTTFT
-BUBOHFOUFË C f BVQPJOUEBCTDJTTFaFTUEPODyyy
-FDPFGGJDJFOUEJSFDUFVSEFDFUUFESPJUF
UBOHFOUFFTUEPODÏHBMËyyyEPOD
f '(a ) = ......
Cas
d’une fonction affine
a) 0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOBGGJOFfEÏGJOJFQPVSUPVU x ∈ par f ( x ) = 7x + 3.
C f FTUVOFyyyy ∆ EÏRVBUJPOyyyyyy
-BUBOHFOUFË C f BVQPJOUEBCTDJTTFaFTUEPODyyy
-FDPFGGJDJFOUEJSFDUFVSEFDFUUFESPJUF
UBOHFOUFFTUEPODÏHBMËyyyEPOD
f ′(a ) = ......
C
&O PCTFSWBOU BUUFOUJWFNFOU MFT FYQSFTTJPOT EF f ( x ) FU EF f '( x ) QSÏDÏEFOUFT
DPNQMÏUFSMBQISBTFTVJWBOUF
Si HFTUMBGPODUJPOBGGJOFEÏGJOJFQPVSUPVU x ∈ par H ( Y ) = mx + p (m et p sont
EFTOPNCSFTGJYÏT
BMPSTQPVSUPVUSÏFMa, on a H ′(B ) = ......
B
Cours
®MBTÏRVFODFOPVTBWPOTEÏGJOJMFOPNCSFEÏSJWÏEVOFGPODUJPO f en x = a .
/PVTBWPOTOPUÏDFOPNCSF f '(a ). /PVTBMMPOTNBJOUFOBOUQPVWPJSEPOOFSVOF
FYQMJDBUJPOËDFUUFOPUBUJPO
Définition
Définition
4JVOFGPODUJPOfFTUEÏSJWBCMFFOUPVUQPJOUEVOJOUFSWBMMFIPOEJURVFfFTUEÏSJ
WBCMFTVSI0OBQQFMMFBMPSTfonction dérivée de f RVPOOPUF f ′ MBGPODUJPO
RVJËUPVUSÏFMxEFIBTTPDJFMFOPNCSFEÏSJWÏEFf en x : f ' : I → x f '( x )
9
Rappel Lorsqu’on parle d’un intervalle I cela signifie qu’on est dans l’un
des sept cas suivants : I = a ; b  , I = a ; b  , I =  a ; b  , I =  a ; b  ,








I = [a ; +∞[,
I = ] – ∞; b ],
I = ] – ∞+∞
; [.
Remarque
C’est en 1797 qu’apparait pour la première fois l’écriture f ' x .
Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange l’utilise pour désigner le
nombre dérivé qu’aujourd’hui on note f '( x ).
Dérivées des fonctions usuelles
"MBTÏRVFODFOPVTBWPOTEÏGJOJMFOPNCSFEÏSJWÏËMBJEFEVOFMJNJUF1MVUÙU
RVF EVUJMJTFS DFUUF EÏGJOJUJPO jBCTUSBJUFx EV OPNCSF EÏSJWÏ f '(a ) OPVT BMMPOT
WPJSVONPZFOEFDBMDVMEJSFDUEF f '( x ) ËQBSUJSEF f ( x ) EVNPJOTQPVSEFTGPOD
tions f CÉUJFTËQBSUJSEFGPODUJPOTVTVFMMFTDFRVJTFSBMBSHFNFOUTVGGJTBOU
-F UBCMFBV TVJWBOU SÏDBQJUVMF MFT GPODUJPOT EÏSJWÏFT EFT GPODUJPOT VTVFMMFT Ë
connaître.
A savoir
10
Fonction f
Dérivée f’
(1)
f ( x ) = c (cFTUVOFDPOTUBOUF
f '( x ) = 0
(2)
f ( x ) = mx + p
f '( x ) = m
(3)
f (x ) = x 2
f '( x ) = 2x
(4)
f (x ) = x 3
f '( x ) = 3x 2
(5)
f ( x ) = x n , n ∈ − {0 }
f '( x ) = nx n −1
(6)
f (x ) = x
(7)
1
f (x ) =
x
f '( x ) =
f '( x ) =
1
2 x
−1
x2
Intervalle I
I =
I = >ø0 ø +∞<
I = >ø− ∞øø0 ø<
PV
I = >ø0 ø + ∞ ø<
Remarques
On dit souvent « la dérivée de la fonction f » à la place de « la
fonction dérivée de la fonction f ».
La fonction « racine carrée » f : x x
1
est définie sur
<0 øø+∞<
alors que sa dérivée f ': x >0 øø+∞<
Autrement dit, la fonction « racine carrée » est défi-
2 x
n’est définie que sur
nie en zéro (et 0 = 0 ) mais sa dérivée n’est définie pour x = 0.
Graphiquement, ceci se traduit par une tangente verticale au
point d’abscisse x = 0 ; c’est-à-dire par une tangente dont on
ne peut pas calculer le coefficient directeur.
Dire que n ∈ − { 0 } signifie que n est un entier naturel différent de zéro. Ainsi la formule de la dérivée de la fonction
« puissance n-ième » f : x x n (donnée ligne (5)) généralise les
formules des dérivées des fonctions « carré » et « cube » (données lignes (3) et (4)).
-BGPSNVMFEFMBMJHOF
EVUBCMFBVFTUVODBTQBSUJDVMJFSEFDFMMFEFMBMJHOF
(avec m = 0 et p = c ).
%ÏNPOUSPOTQBSVODBMDVMOPVTBWPOTEÏKËWVFVOFFYQMJDBUJPOHSBQIJRVFEBOT
MBDUJWJUÏj$BTEVOFGPODUJPOBGGJOFx
MBGPSNVMFEFMBMJHOF
1BSUPOTEF f ( x ) = mx + p FUEÏNPOUSPOTRVF f ′( x ) = m .
f (x + I ) −G (x )
.
I
I →0
1BSEÏGJOJUJPOPOTBJURVF f '( x ) = MJN
0ODBMDVMFQPVS I ≠ 0
f ( x + I ) − G ( x ) m( x + I ) − Nx mx + NI − mx NI
=
=
=
=m
I
I
I
I
f (x + I ) −G (x )
=m
EPODQPVSUPVU I ≠ 0 ,
I
f (x + I ) −G (x )
= m.
I
I →0
FUFOGBJTBOUUFOESFIWFST[ÏSP MJm
Conclusion
f '( x ) = m.
-FTEÏNPOTUSBUJPOTEFTGPSNVMFTEFTMJHOFT
FU
EVUBCMFBVTFSPOU
GBJUFTFOFYFSDJDFFOTBJEBOUTJOÏDFTTBJSFEVOMPHJDJFMEFDBMDVMGPSNFM
C
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
%ÏNPOTUSBUJPOEFMBGPSNVMFEFMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOjDBSSÏx f : x x 2
On pose f ( x ) = x 2
11
f (x + I ) −G (x )
.
I
f (x + I ) −G (x )
7ÏSJGJFSRVF MJm
= 2x . &OEÏEVJSFRVF f '( x ) = 2x .
I
I →0
1PVS I ≠ 0,DBMDVMFS
Exercice 2
%ÏNPOTUSBUJPOEFMBGPSNVMFEFMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOjDVCFx f : x x 3
On pose f ( x ) = x 3
f (x + I ) −G (x )
ËMBJEFEVMPHJDJFMEFDBMDVMGPSNFM9$"4
I
f (x + I ) −G (x )
7ÏSJGJFSRVF MJm
= 3x 2. &OEÏEVJSFRVF f '( x ) = 3x 2.
I
I →0
Exercice 3
%ÏNPOTUSBUJPO EF MB GPSNVMF EF MB EÏSJWÏF EF MB GPODUJPO jSBDJOFDBSSÏFx
f :x x
On pose f ( x ) = x
7ÏSJGJFSRVF MJm
I →0
Exercice 4
f (x + I ) −G (x )
I
1
f (x + I ) −G (x )
1
. &OEÏEVJSFRVF f '( x ) =
.
=
I
2 x
2 x
%ÏNPOTUSBUJPOEFMBGPSNVMFEFMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOJOWFSTF f : x On pose f ( x ) =
1
x
1
x
f (x + I ) −G (x )
I
1
f (x + I ) −G (x )
1
7ÏSJGJFSRVF MJm
= − . &OEÏEVJSFRVF f '( x ) = − .
2
I
I →0
x2
x
12
3
Dérivation et opérations
algébriques
"VDIBQJUSFQSÏDÏEFOUOPVTBWPOTMJTUÏMFTEÏSJWÏFTEFGPODUJPOTVTVFMMFT/PVT
BMMPOTWPJSJDJDPNNFOUDPNCJOFSDFTGPSNVMFTQPVSDBMDVMFSMFTEÏSJWÏFTEFGPOD
UJPOTCÉUJFTËQBSUJSEFDFTGPODUJPOTVTVFMMFT
A
Activités
En somme, c’est simple !
0ODPOTJEÒSFMFTGPODUJPOTV et vEÏGJOJFTTVS par V ( Y ) = 7x + 1 et v ( x ) = x 2 .
Les fonctions V et vTPOUEÏSJWBCMFTTVS .
%POOFSMBWBMFVSEF V '( 3) et v '( 3).
0OBQQFMMFfMBGPODUJPOEÏGJOJFTVS , ÏHBMFËMBTPNNFEFTEFVYGPODUJPOT
V et v : G = V + v .
&OVUJMJTBOUMBEÏGJOJUJPOEVOPNCSFEÏSJWÏEFMBGPODUJPOf en a EÏNPOUSFSRVFMB
fonction fFTUEÏSJWBCMFFO a = 3.
2VFMMFFTUMBWBMFVSEF f '( 3) 2VPCTFSWFUPO
Un produit dérivé pas si docile !
0ODPOTJEÒSFMFTGPODUJPOTVet vEÏGJOJFTTVS par V ( Y ) = 4 x et v ( x ) = 0, 25x .
0OBWVQSÏDÏEFNNFOURVFMFTGPODUJPOTBGGJOFTV et vTPOUEÏSJWBCMFTTVS .
%POOFSMBWBMFVSEF V '( 3) et v '( 3).
0OBQQFMMFfMBGPODUJPOEÏGJOJFTVS<ø0 øø+∞< ÏHBMFBVQSPEVJUEFTEFVYGPOD
tions V et v : G = Vv .
2VFMMFFTUMBWBMFVSEF f '( 3) 2VPCTFSWFUPO
B
Cours
"KPVUFS, TPVTUSBJSF, NVMUJQMJFS, EJWJTFS TPOU EFT PQÏSBUJPOT BMHÏCSJRVFT MF NPU
BMHÒCSFWJFOUEFMBSBCFBMKBCSTJHOJGJBOU«DPOOFYJPOEFTNPSDFBVYx)
13
Dérivée d’une somme
Propriété Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et
k un réel.
La fonction k × u est dérivable sur I et (k × u )′ = k × u ′.
La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v )′ = u ′ + v ′.
Exemple
0OWFVUDBMDVMFSMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOfEÏGJOJFQBS f ( x ) = x 2 + 3x − 7.
(
)
0OQFVUÏDSJSF f ( x ) = x 2 + 3x − 7 = V ( Y ) + v ( x ) où V ( Y ) = x 2 et v ( x ) = 3x − 7.
%BQSÒTMFUBCMFBVEFTEÏSJWÏFTEFTGPODUJPOTVTVFMMFT V '( Y ) = 2x et v '( x ) = 3 .
%BQSÒT MB QSPQSJÏUÏ QSÏDÏEFOUF (V + W )'( Y ) = V '( x ) + v '( x ) = 2x + 3 EPOD
f '( x ) = 2x + 3.
Remarque
On peut résumer la propriété en disant que « la dérivée de la
somme est la somme des dérivées ».
De même pour la multiplication par un réel.
L’activité 2 soulevait le problème : nous allons voir que la dérivation (c’est-à-dire le calcul de la dérivée) ne se comporte pas aussi
agréablement que l’addition vis-à-vis de la multiplication et de la
division entre fonctions.
Dérivée d’un produit
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La fonction u × v est dérivable sur I et (u × v )′ = u ′ × v + u × v ′.
Exemple
0OWFVUDBMDVMFSMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOfEÏGJOJFQBS f ( x ) = x ( 3x + 2).
0OQFVUÏDSJSF f ( x ) = V ( Y ) × v ( x ) où V ( Y ) = x et v ( x ) = 3x + 2.
%BQSÒTMFUBCMFBVEFTEÏSJWÏFTEFTGPODUJPOTVTVFMMFT V '( Y ) =
%BQSÒTMBQSPQSJÏUÏQSÏDÏEFOUF
(V × W )′( Y ) = V ′( x ) × v ( Y ) + V ( x ) × v ′( x ) =
soit f '( x ) =
9
x
x+
.
2
x
0OQFVUBVTTJDBMDVMFS V ′ × W ′ =
GÏSFOUEF f '( x ).
14
3
2 x
=
1
2 x
1
2 x
et v ′( x ) = 3 .
( 3x + 2) + x × 3
3 x
FUPCTFSWFSRVFMFSÏTVMUBUFTUEJG
2x
#JFOTßSMFSSFVSËne pas commettreFTUEÏDSJSFRVFMBEÏSJWÏFEF V × W FTUÏHBMF
à V '× W '.
Dérivée d’un quotient
Propriété Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles
que v ne s’annule pas sur I.
 u ' u '×v −u ×v '
La fonction u est dérivable sur I et   =
.
 v 
v
Exemple
0OWFVUDBMDVMFSMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOfEÏGJOJFQBS f ( x ) =
v2
3x 2 + x
.
4x + 1
Posons V ( Y ) = 3x 2 + x et v ( x ) = 4 x + 1.
1
0OTFQMBDFQBSFYFNQMFTVSMJOUFSWBMMF I = > o øø+ ø∞< MBGPODUJPO vOFTBO
4
OVMFQBTTVSI).
V( Y )
.
0OQFVUÏDSJSF f ( x ) =
v (x )
%BQSÒTMFUBCMFBVEFTEÏSJWÏFTEFTGPODUJPOTVTVFMMFT V ′( Y ) = 6 x + 1et v ′( x ) = 4.
%BQSÒTMBQSPQSJÏUÏQSÏDÏEFOUF
2
 V 
 ( x ) = V '( Y )v ( x ) −V ( Y )v '( x ) = (6 x + 1)( 4 x + 1) − ( 3x + x )×4
 v 
2
( 4 x + 1)2
(v ( x ))
Soit f '( x ) =
24 x 2 + 10 x + 1− 12x 2 − 4 x
Donc f '( x ) =
( 4 x + 1)2
12x 2 + 6 x + 1
.
( 4 x + 1)2
Remarque
Un cas particulier important est celui de V = 1 . Il s’agit alors de
calculer la dérivée de l’inverse de v.
Dans ce cas V ′ = 0 et la formule de la propriété précédente
 1' 0×v −1×v '
v'
devient   =
=− .
v 
v2
v2
Ce résultat mérite d’être signalé en tant que tel.
Propriété Soit u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle I.
'
La fonction
1
est dérivable sur I et
u
 1  −u '
  =
.
 u 
2
u
15
Exemple
1
0OWFVUDBMDVMFSMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOfEÏGJOJFQBS f ( x ) =
.
x
1
.
Posons V ( Y ) = x EFTPSUFRVF f ( x ) =
V( Y )
1
%BQSÒTMFUBCMFBVEFTEÏSJWÏFTEFTGPODUJPOTVTVFMMFT V ′( Y ) =
2 x
1
−V '( Y )
1
.
%BQSÒTMBQSPQSJÏUÏQSÏDÏEFOUF f '( x ) =
=− 2 x =−
2
2
x
x
2
V( Y )
x
1
.
'JOBMFNFOU f '( x ) = −
2x x
(
C
( )
)
Exercice 1
$BMDVMFS f ′( x ) MPSTRVFMBGPODUJPOfFTUEÏGJOJFQBS
−7x + 1
7
f ( x ) = x 2 − 7x + 4 f ( x ) =
f ( x ) = −0,1x 10 − x 5 + 3
11
5
3
5x
2
4
f ( x ) = − 2x − 7x + 1 f ( x ) = 9 x − .
f (x ) = −x 5 +
2
7
Exercice 2
f (x ) =
Exercice 3
x
2
f (x ) =
5
− 2x 3
x
f (x ) =
−4 x 2
x
+ (2 x + 1)2
*NBHJOFS EFVY GPODUJPOT f et H EÏGJOJFT TVS EPOU MB EÏSJWÏF FTU MB GPODUJPO
x 6 x 2 − 2x + 1
Exercice 4
$BMDVMFSMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOfEBCPSEFOEÏWFMPQQBOU f ( x ) QVJTFOVUJMJTBOU
MBGPSNVMFEPOOBOUMBEÏSJWÏFEVOQSPEVJUEBOTMFTDBTTVJWBOUT
f ( x ) = ( x − 3)( 4 − x )
f ( x ) = ( 3x − 2)( 3x + 2)

f (x ) = x  x x −

Exercice 5
Exercice 6
16
x

x 
5x + 1
x 3
f (x ) =
f (x ) = −
3x − 1
3 x
f (x ) =
3x + 6
x +1
ËMBJEFEFMBGPSNVMFEPOOBOUMBEÏSJWÏFEVORVPUJFOU
3
FOEÏNPOUSBOUBVQSÏBMBCMFRVF f ( x ) = 3 +
.
x +1
$BMDVMFS f ′( x ) MPSTRVFMBGPODUJPOfFTUEÏGJOJFQBS f ( x ) =
x3 −1
x2 +1
4
A
Applications
de la dérivation
Activités
Des
tangentes horizontales
-B DPVSCF TVJWBOUF FTU DFMMF EVOF GPODUJPO f EÏGJOJF TVS MJOUFSWBMMF < −4 5>
10
8
6
4
2
0
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
5
–2
j-PSTRVFMBUBOHFOUFËMBDPVSCF C f FTUIPSJ[POUBMFTPODPFGGJDJFOUEJSFDUFVS
FTUÏHBMËyyyx
-FTBCTDJTTFTEFTQPJOUTEFMBDPVSCF C f QSÏDÏEFOUFPáMBUBOHFOUFFTUIPSJ[PO
UBMFTPOU
x 1 = ......... , x 2 = ......... , x 3 = .........
0OBEPOD f '( x 1) = ......... , f '( x 2 ) = ......... , f '( x 3 ) = .........
$PNQMÏUFS
j4VSMJOUFSWBMMF < −4 − 2> MBGPODUJPOfFTUyyyyyx
j4VSMJOUFSWBMMF < −2 1> MBGPODUJPOfFTUyyyyyx
j4VSMJOUFSWBMMF <1 4 > MBGPODUJPOfFTUyyyyyx
j4VSMJOUFSWBMMF < 4 5> MBGPODUJPOfFTUyyyyyx
17
Variations
et signe de la dérivée
-BDPVSCFTVJWBOUFFTUDFMMFEVOFGPODUJPOfEÏGJOJFTVSMJOUFSWBMMF < −10 15>
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–1 0
–2
–3
–4
–5
–6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
$PNQMÏUFSMFTCPSOFTEFTJOUFSWBMMFT
« Si f '( x ) ≥ 0 BMPST x ∈< ..... ...... > ∪ < ...... ..... > »
« Si f '( x ) ≤ 0 BMPST x ∈< ..... ...... > ∪ < ...... ..... > »
B
Cours
/PVTBMMPOTWPJSJDJEFTTFSWJDFTRVFQFVUOPVTSFOESFMBOPUJPOEFEÏSJWÏF
Dérivée
et sens de variations
Théorèmes
Théorème 1
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I.
¾Si f est constante sur I alors pour tout réel x ∈ I , f '( x ) = 0.
¾Si f est croissante sur I alors pour tout réel x ∈ I , f '( x ) ≥ 0.
¾Si f est décroissante sur I alors pour tout réel x ∈ I , f '( x ) ≤ 0.
6OFEÏNPOTUSBUJPOEFDFUIÏPSÒNFFTUQSPQPTÏFFOFYFSDJDFEBQQSPGPOEJTTFNFOU
6OF
EÏNPOTUSBUJPO EF DF UIÏPSÒNF FTU QSPQPTÏF FO FYFSDJDF EBQQSPGPOEJTTFNFOU
Exemple
-FQSFNJFSQPJOUDFMVJDPODFSOBOUMFTGPODUJPOTDPOTUBOUFT
SÏTVMUFEVUBCMFBV
EFTEÏSJWÏFTVTVFMMFT
x3 1
− − 2x .
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOfEÏGJOJFTVS >0 øø+∞< par f ( x ) =
3 x
-FUSBDÏEFMBDPVSCFEFfQFSNFUEFDPOKFDUVSFSRVFMBGPODUJPOf est croissante
TVS >0 ø +∞<.
18
40
"WFD DF SBJTPOOFNFOU HSBQIJRVF MF UIÏP
SÒNF QFSNFU EBGGJSNFS RVF QPVS UPVU
x ∈ø>0 øø+∞< f '( x ) ≥ 0.
30
20
10
0
–1
0
1
2
3
4
–10
–20
–30
$BMDVMPOT f '( x ).
 −1
1
1
f '( x ) = 3x 2 − − 2 = x 2 + − 2.

2
3
 x 
x2
" MBJEF EF MB DPVSCF EF MB GPODUJPO f OPVT
BWPOT KVTUJGJÏ RVF QPVS UPVU x ∈ø>0 øø+ ø∞<,
1
x2 + −2≥ 0
x2
1
"VUSFNFOUEJUTJ x > 0 BMPST x 2 +
≥ 2.
x2
$FUUFJOÏHBMJUÏUSBEVJUTJNQMFNFOUMFGBJURVF
MB GPODUJPO f FTU DSPJTTBOUF DF RVJ EBQSÒT
MF UIÏPSÒNF JNQMJRVF RVF QPVS UPVU
x ∈ø>0 øø+ ø∞<, f '( x ) ≥ 0.
–40
1PVS NJFVY DPNQSFOESF USBÎPOT MB DPVSCF
EF MB GPODUJPO f ' FO OPJS
TVS MF NÐNF HSB
QIJRVF
–50
50
Cf’
40
30
(SBQIJRVFNFOU OPVT BWPOT PCTFSWÏ RVF MB
DPVSCFEFMBGPODUJPO f jNPOUFxBVUSFNFOU
EJUMBGPODUJPOf est croissante.
20
%BQSÒT MF UIÏPSÒNF DFDJ JNQMJRVF RVF MB
GPODUJPOEÏSJWÏF f ' est positive.
0O PCTFSWF CJFO TVS MF HSBQIJRVF RVF MB
DPVSCFEFMBGPODUJPO f ' jSFTUFxBVEFTTVT
EFMBYFEFTBCTDJTTFT
10
0
–1
–10
–20
0
1
2
3
4
0O MJU BVTTJ TVS MF HSBQIJRVF RVF f '(1) = 0.
1BS DPOTÏRVFOU MB DPVSCF EF MB GPODUJPO f a
VOFUBOHFOUFIPSJ[POUBMFBVQPJOUEBCTDJTTF
&OGBJUMBDPVSCFEFMBGPODUJPO f traverse
DFUUF UBOHFOUF FO DF QPJOU PO EJU RVJM Z B
JOGMFYJPO.
–30
–40
–50
-FUIÏPSÒNFTVJWBOUFTUVOSÏTVMUBUGPOEBNFOUBMEVDPVSTEFDFUUFBOOÏF
19
Théorème 2
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I.
¾Si pour tout réel x ∈I , f ( x ) = 0 alors f est constante sur I.
¾Si pour tout réel x ∈I , f ( x ) ≥ 0 alors f est croissante sur I.
¾Si pour tout réel x ∈I , f ( x ) ≥ 0 alors f est décroissante sur I.
Logique
-F UIÏPSÒNF
-F
UIÏPSÒNF FYQSJNF
FYQSJNF RVF
RVF MB
MB réciproque
réciproque EV
EV UIÏPSÒNF
UIÏPSÒNF BVTTJ
BVTTJ FTU
FTU WSBJF
WSBJF
%ÏUBJMMPOTDFRVFDFDJTJHOJGJF
"QQFMPOT"MBQISBTFjfFTUDSPJTTBOUFTVSIxFUBQQFMPOT#MBQISBTFj1PVSUPVU
SÏFM x ∈ I , f ( x ) ≥ 0. ».
-BQISBTF"FTUWSBJFPVCJFOGBVTTF%FNÐNFMBQISBTF#FTUWSBJFPVGBVTTF
-FUIÏPSÒNFEJURVFjSiMBQISBTF"FTUWSBJFalorsMBQISBTF#FTUWSBJFx
On note ceci A ⇒ B POMJUj"JNQMJRVF#x
-FUIÏPSÒNFEJURVFjSiMBQISBTF#FTUWSBJFalorsMBQISBTF"FTUWSBJFx
On note ceci B ⇒ A POMJUj#JNQMJRVF"x
%BOTVOFUFMMFTJUVBUJPOPá A ⇒ B et où B ⇒ A on écrit A ⇔ B FUPOMJUj"ÏRVJ
WBVUË#x
Attention
1PVSFYQSJNFSMBDPOTÏRVFODFVUJMJTF[jdoncxOFNQMPZF[QBTMFTZN
CPMF ⇒ RVJTJHOJGJFjSiyalorsyx
Exemple
-BEÏSJWÏFEFMBGPODUJPOjDVCFx f : x x 3 FTUMBGPODUJPO f ': x 3x 2 .
$PNNFVODBSSÏFTUUPVKPVSTQPTJUJGPVOVMQPVSUPVUxEF , 3x 2 ≥ 0 BVUSFNFOU
EJU f '( x ) ≥ 0.
-FUIÏPSÒNFBGGJSNFRVBMPSTMBGPODUJPOf est croissante.
0OSFUSPVWFBJOTJRVFMBGPODUJPOjDVCFxFTUDSPJTTBOUFTVS .
1 3
x + x.
3
1 2
f FTUEÏSJWBCMFFUQPVSUPVUxEF , f '( x ) = 3x + 1= x 2 + 1.
3
6O DBSSÏ ÏUBOU UPVKPVST QPTJUJG PV OVM QPVS UPVU SÏFM x, x 2 ≥ 0 FU QBS TVJUF
x 2 + 1> 0 DFTUËEJSF f '( x ) > 0.
1BSDPOTÏRVFOUEBQSÒTMFUIÏPSÒNFMBGPODUJPOfFTUDSPJTTBOUFTVS .
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOfEÏGJOJFTVS par f ( x ) =
2
3
8
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOHEÏGJOJFTVS >0 øø+ ø∞< par H ( Y ) = − x 3 + 8 x +
HFTUEÏSJWBCMFFUQPVSUPVUxEF >0 øø+ ø∞<, H '( Y ) = −2x 2 + 8 −
'BDUPSJTPOTMFYQSFTTJPOEF H '( Y ): H '( Y ) = −
20
2
x
2
(x
4
− 4x 2 + 4
x2
)
.
8
.
x
%BOTMBQBSFOUIÒTFPOSFDPOOBJUVOFJEFOUJUÏSFNBSRVBCMF
2
2 2
H '( Y ) = −
x −2 .
x2
(
)
$PNNF VO DBSSÏ FTU UPVKPVST QPTJUJG PV OVM MPQQPTÏ EVO DBSSÏ FTU UPVKPVST
OÏHBUJGPVOVM
2
 2
 x − 2 
 ≤ 0. "VUSFNFOUEJU H '( Y ) ≤ 0.
%PODQPVSUPVUxEF >0 øø+ ø∞<, −2
 x 


%BQSÒTMFUIÏPSÒNFMBGPODUJPOHFTUEÏDSPJTTBOUF
Tableau de variations
Exemple
0O DPOTJEÒSF MB GPODUJPO QPMZOÙNF EV OE EFHSÏ EÏGJOJF TVS par
f ( x ) = x 2 + 2x − 3.
fFTUEÏSJWBCMFTVS FUQPVSUPVUx EF , f '( x ) = 2x + 2
Comme 2x + 2 = 0 ⇔ x =−1, f ' FTUVOFGPODUJPOBGGJOFDSPJTTBOUFTPODPFG
GJDJFOU EJSFDUFVS FTU QPTJUJG
RVJ TBOOVMF FO x = −1. -F TJHOF EF 2x + 2 en
EÏDPVMF
x
−∞
2x + 2
+∞
−1
—
0
+
f '( x ) < 0 TVS > − ø∞ øøø−1ø< EPODfFTUEÏDSPJTTBOUFTVS > − ø∞ ø − 1ø<.
f '( x ) > 0 TVS > − ø1øø+ ∞ < EPODfFTUDSPJTTBOUFTVS > − ø1øø+ ø∞<.
%BOTMBTVJUFEVDPVSTPOQSÏTFOUFSBMFTWBSJBUJPOTEFfEBOTVOUBCMFBVEFWBSJB
UJPOTEBOTMFRVFMPOBBKPVUÏVOFMJHOFQPVSMFTJHOFEFMBEÏSJWÏF
x
−∞
4JHOFEF f '
f
+∞
−1
—
0
+
−4
f ( −1) = ( −1)2 + 2 × ( −1) − 3 = −4
Remarque
Cet exemple a mis en évidence la propriété suivante :
L’abscisse a du sommet de la parabole est solution de l’équation
f '( x ) = 0.
Cette propriété est vraie plus généralement pour tous les polynômes du 2nd degré.
21
Extremum
d’une fonction
Théorème 3
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I.
Si f a un extremum en un point d’abscisse a alors f '(a ) = 0.
Remarque
Autrement dit, un extremum est à prendre parmi les
points où la dérivée s’annule. Cependant, la dérivée
peut s’annuler en a ∈I sans que la fonction f n’atteigne d’extremum
en a. L’exemple 2 suivant en est une illustration. Mais d’abord,
dans l’exemple 1 suivant, voyons une application du théorème 3.
Exemple
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOf EÏGJOJFTVS <0 øø+ ø∞< par f ( x ) = x ( x − 2).
$FUUFGPODUJPOFTUEÏSJWBCMFTVS >0 øø+ ø∞< (attention, pas en x = 0) .
1PVSUPVUx EF >0 øø+ ø∞< ,
f '( x ) =
1
2 x
( x − 2) +
1
x=
2 x
1
2 x
( 2 x − 2) =
x −1
.
x
x −1= 0 ⇔ x = 1, si f BENFU VO FYUSFNVN TPO BCT
Comme f '( x ) = 0 ⇔
DJTTFTFSBÏHBMFË
"DFTUBEFEFMÏUVEFPOOFTBJUQBTTJfBSÏFMMFNFOUVOFYUSFNVN-FUSBDÏEFMB
DPVSCFWBOPVTNFUUSFTVSMBWPJF
3
2
1
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
–2
4JMBGPODUJPOfBENFUVONJOJNVNDPNNFTFNCMFOPVTMJOEJRVFSMFHSBQIJRVF
BVQPJOUEBCTDJTTFDFDJTJHOJGJFSBRVFQPVSUPVU xEF <0 øø+ ø∞<, f ( x ) ≥ f (1)
BVUSFNFOUEJURVF f ( x ) − f (1) ≥ 0 .
0ODBMDVMFEPOD f ( x ) − f (1) = x ( x − 2) − ( −1) = x − 2 x + 1= ( x − 1)2.
$PNNFVODBSSÏFTUUPVKPVSTQPTJUJGPVOVMQPVSUPVUxEF <0 øø+ ø∞<, POTBJURVF
( x − 1)2 ≥ 0 DFTUËEJSF f ( x ) − f (1) ≥ 0.
22
La fonction fBENFUEPODCJFOVONJOJNVNFO x = 1DFNJOJNVNFTUÏHBMË −1
&OSÏTVNÏOPVTBWPOTEÏNPOUSÏRVFTJ x ≥ 0, x ( x − 2) ≥ −1.
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOf EÏGJOJFTVS par f ( x ) = ( x − 1)3 + 2.
-BDPVSCFEFMBGPODUJPOfFTUUSBDÏFDJDPOUSF
0ODBMDVMF f '( x ) = 3( x − 1)2 , EPOD f '(1) = 0.
$FQFOEBOUMBGPODUJPO f OBUUFJOUQBT
EFNBYJNVNFO x = 1, QVJTRVF
tQPVS x > 1 ( x − 1)3 > 0 EPOD
( x − 1)3 + 2 > 0 + 2 DFTUËEJSF
f ( x ) > f (1).
tQPVS x < 1, ( x − 1)3 < 0 EPOD
( x − 1)3 + 2 < 0 + 2 DFTUËEJSF
f ( x ) < f (1).
&O GBJU EBOT VOF UFMMF TJUVBUJPO Pá MB
UBOHFOUFËMBDPVSCF C f FTUIPSJ[POUBMF
FUMBDPVSCF C f « traverse » cette tan
–1
HFOUFPO EJU RVF MF QPJOU EF DPPSEPO
nées 1 2) FTUVOpoint d’inflexion.
3,5
3
2,5
2,0
1,5
1
0,5
0
0
–0,5
Cf
0,5
1
2
1,5
–0,5
Remarque
Une fonction peut atteindre un extremum en plusieurs points comme l’illustre la
courbe de fonction définie sur l’intervalle < −6 18> ci-dessous :
–6
–5 –4 –3 –2
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–1 0
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Une fonction peut aussi ne pas avoir d’extremum sur un intervalle. C’est le cas par
1
), dont
x
6
les valeurs sont aussi grandes que voulues puisque f ( 0, 001) = 1000, f ( 0, 000001) = 10 , ...
exemple de la fonction « inverse » sur l’intervalle >0 øø + ∞ < (définie par f ( x ) =
(elle n’a donc pas de maximum) et dont les valeurs sont aussi proche de zéro que vou6
lues mais positives puisque f (100 ) = 0, 01, f (10 ) = 0, 000001 , ... (elle n’a donc pas de
minimum puisque la valeur zéro n’est jamais atteinte).
23
Optimisation
&OOPVTBQQVZBOUTVSMFTUIÏPSÒNFTFUOPVTBWPOTWVQSÏDÏEFNNFOUDPN
NFOUPCUFOJSMFTWBSJBUJPOTEVOFGPODUJPOEÏSJWBCMFFUDPNNFOUEÏUFSNJOFSMFT
ÏWFOUVFMTFYUSFNBTVSVOJOUFSWBMMF
7PJDJTVSVOFYFNQMFVOFBQQMJDBUJPOËVOQSPCMÒNFEPQUJNJTBUJPO
Exemple
0OEÏTJSFDPOTUSVJSFVOFCPJUFËQBSUJSEVOFGFVJMMFDBSUPOOÏFDBSSÏFEFENEF
DÙUÏ1PVSDFMBPOEÏDPVQFEBOTDIBRVFDPJOEFMBGFVJMMFVONÐNFDBSSÏEFDÙUÏ
x EN RVPOFOMÒWF0ODPOTUSVJUFOTVJUFMBCPJUFFOSFQMJBOUMFTCPSET
X
X
/PUSFPCKFDUJGFTUEFEÏUFSNJOFSxQPVSRVFMFWPMVNFEFMBCPÔUFTPJUNBYJNVN
7PVT QPVWF[ FTTBZFS EF SÏTPVESF DF QSPCMÒNF TBOT SFHBSEFS MB TVJUF EBOT VO
premier temps.
 3
%BCPSExQFVUQSFOESFEFTWBMFVSTEBOTMJOUFSWBMMF 0   2


&YQSJNPOTMFWPMVNF V ( x ) EFMBCPÔUFFOGPODUJPOEFx.
-F GPOE EF MB CPÔUF FTU VO DBSSÏ EF DÙUÏ 3 − 2x EN FU TB IBVUFVS NFTVSF
x EN TPO WPMVNF FTU EPOD ÏHBM Ë V ( x ) = x ( 3 − 2x )2 EN3 &O EÏWFMPQQBOU
V ( x ) = 4 x 3 − 12x 2 + 9 x .
 3
La fonction VFTUEÏSJWBCMFTVSMJOUFSWBMMF 0  et V '( x ) = 12x 2 − 24 x + 9.
 2


1PVSÏUVEJFSMFTJHOFEF V '( x ) OPVTDIFSDIPOTDPNNFEIBCJUVEFËGBDUPSJTFSDF
QPMZOÙNF


%BCPSE V '( x )= 12x 2 − 24 x + 9 = 3  4 x 2 − 8 x + 3


OE
-F EJTDSJNJOBOU EV QPMZOÙNF EV EFHSÏ 4 x 2 − 8 x + 3 FTU ÏHBM Ë
∆ = (−8 )2 − 4 ×4 ×3 = 16 = 42
24
/PVTBWPOTWVBVDPVSTEFMBTÏRVFODFj4FDPOEEFHSÏxRVFMPSTRVF ∆ >0MB
GPSNF GBDUPSJTÏF EV QPMZOÙNF EV 2OE EFHSÏ 4 x 2 − 8 x + 3 est 4( x − x 1)( x − x 2 )
−(−8 ) − ∆ 1
−(−8 ) + ∆ 3
où x 1 =
= x 2 =
=
2×4
2
2×4
2

3
1
3
1
1BSDPOTÏRVFOU V '( x ) = 3  4( x − )( x − ) , DFTUËEJSF V '( x ) = 12( x − )( x − ).


2
2
2
2

3
1
&OTVJUF OPVT GBJTPOT BQQBSBÔUSF MF TJHOF EF 12( x − )( x − ) TVS EBOT MF
2
2
UBCMFBVEFTJHOFTTVJWBOU
x
0,5
−∞
1,5
x−
3
2
—
x−
1
2
—
0
+
+
0
—
3
1
12( x − )( x − )
2
2
—
0
+∞
+
+
0
+
 3
0OFOEÏEVJUMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOTEFVTVSMJOUFSWBMMF 0 
 2


x
0
+
4JHOFEF V '
V
0,5
1,5
0
—
0
2
0
0
V (0 ) = 4 × 03 − 12 × 02 + 9 × 0 = 0, V (0, 5) = 4 × 0, 53 − 12 × 0, 52 + 9 × 0, 5 = 2 et
V (1, 5) = 4 × 1, 53 − 12 × 1, 52 + 9 × 1, 5 = 0.
&O DPODMVTJPO QPVS SÏBMJTFS VOF CPÔUF EF WPMVNF NBYJNVN JM GBVU FOMFWFS Ë
DIBRVFDPJOVODBSSÏEFDÙUÏENTPJUDN-FWPMVNFNBYJNVNEFMBCPÔUF
PCUFOVFFTUBMPSTÏHBMË Em3 , BVUSFNFOUEJUMJUSFT
0OSFUJFOESBEFDFUFYFNQMFRVFMPSTRVJMTBHJUEÏUVEJFSMFTWBSJBUJPOTPVEF
DIFSDIFSMFTFYUSFNBEVOFGPODUJPOfMFTSÏGMFYFTËBWPJSTPOU
¾MFDBMDVMMPSTRVFDFTUQPTTJCMF
EFMBGPODUJPOEÏSJWÏF f '
¾MÏUVEFEVTJHOFEFDFUUFEÏSJWÏFPOGBDUPSJTFTPVWFOUø f '( x ) QPVSDFMB
¾MVUJMJTBUJPOEFTUIÏPSÒNFTFU
25
C
Exercice 1
Soit fMBGPODUJPOEÏGJOJFTVS −4 3 par f ( x ) = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 1.
$BMDVMFSMBEÏSJWÏF f ' EFf.
²UVEJFSMFTJHOFEF f '( x ).
%SFTTFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOEFf TVS −4 3 

2VFMTTPOUMFTFYUSFNBEFfFUFORVFMTQPJOUTTPOUJMTBUUFJOUT
a. TVS −3 2 ?
CTVS −4 3 ?
$PNCJFOEFTPMVUJPOTEBOTMJOUFSWBMMF −3 2 MÏRVBUJPO f ( x ) = 0 QPTTÒEFU
FMMF
Exercice 2


4
Soit f MBGPODUJPOEÏGJOJFTVS −4 0  ∪  0 4  par f ( x ) = 2x + 1− .
x
²UVEJFSMFTJHOFEF f '( x ) .
%SFTTFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOEFf TVS −4 4  
Exercice 3

Soit fMBGPODUJPOEÏGJOJFTVS > − ∞øø−2ø<∪> − 2øø+∞ø< par f ( x ) =
3x − 1
.
x +2
²UVEJFSMFTJHOFEF f '( x ) .
%SFTTFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOEFf TVS > − ∞ øø − 2<∪> − 2øø+ ∞<
Exercice 4
0O DPOTJEÒSF MFT EFVY GPODUJPOT f et H EÏGJOJFT QBS f ( x ) = x
2x 2 − 3x + 3
H(Y ) =
.
2
et
5SBDFS MFT DPVSCFT EF DFT EFVY GPODUJPOT TVS MB DBMDVMBUSJDF PV Ë MBJEF EF
(FPHFCSB.
a. $POKFDUVSFSMFTDPPSEPOOÏFTEFMFVSQPJOUEJOUFSTFDUJPOPOOPUFSBA, ce point).
C7ÏSJGJFSQBSMFDBMDVMMBDPOKFDUVSF
0O EJU RVF EFVY DPVSCFT TPOU UBOHFOUFT FO VO QPJOU P MPSTRVF MF QPJOU P est
DPNNVOËDFTDPVSCFTFURVBVQPJOU PMFTESPJUFT
UBOHFOUFTËDIBDVOFEFT
DPVSCFTTPOUMFTNÐNFT
.POUSFSRVBVQPJOUA,MFTEFVYDPVSCFTTPOUUBOHFOUFT
Exercice 5
26
7BMFOUJOFU-FOJUBEJTDVUFOUËMBGJOEVDPVSTEFNBUIÏNBUJRVFT
7BMFOUJOFYQMJRVFË-FOJUBVOUIÏPSÒNFEVDPVST
« Si f '( x ) ≥ 0 QPVS UPVU x ∈I DFTU RVFO UPVT MFT QPJOUT M EF MB DPVSCF C f
EBCTDJTTF x ∈I MBUBOHFOUFË C f BVODPFGGJDJFOUEJSFDUFVSQPTJUJGEPODDFTUVOF
ESPJUFRVJjNPOUFxEPODMBGPODUJPOf est croissante ».
-FOJUBFYQMJRVFBMPSTË7BMFOUJODFRVVOUIÏPSÒNFEVDPVSTTJHOJGJFQPVSFMMF
j4JMBGPODUJPO fFTUDSPJTTBOUFBVWPJTJOBHFEFDIBRVFQPJOUEFMBDPVSCF C f
BMPSTMBDPVSCFjNPOUFxEPODMBUBOHFOUFjOFQFVUBVTTJRVFNPOUFSxEPOD
f '( x ) ≥ 0 ».
&OPODFSMFUIÏPSÒNFFYQMJRVÏQBS-FOJUB%FNÐNFQPVSDFMVJEF7BMFOUJO
Exercice 6
7SBJ'BVY
« Si f ′(a ) = 0 BMPSTMBUBOHFOUFBVQPJOUEBCTDJTTFaFTUQBSBMMÒMFËx) ».
« Si f ′(a ) = 0 BMPSTMBGPODUJPOBENFUVOFYUSFNVNDFTUËEJSFVONBYJNVN
PVVONJOJNVN
BVQPJOUEBCTDJTTFa ».
Exercice 7
0ODPOTJEÒSFVOFGPODUJPOfEÏGJOJFTVS > − ∞øø0<∪>0 ø + ∞ <
0OTBJUEFQMVTRVFMBGPODUJPOfFTUEÏDSPJTTBOUF
1FVUPOBGGJSNFSRVF f ( −1) ≥ f (1) ?
1FVUPOBGGJSNFSRVF f ( −1) > f (1) ?
Exercice 8
-FT USPJT DPVSCFT C1 , C 2 , C 3 DJEFTTPVT TPOU DFMMFT EF USPJT GPODUJPOT f, H et I
EÏGJOJFTFUEÏSJWBCMFTTVS >1øø8>
7
C1
6
C3
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
–3
–4
–5
–6
C2
–7
27
La fonction fFTUMBEÏSJWÏFEFMBGPODUJPO HFUMBGPODUJPO HFTUMBEÏSJWÏFEFMB
fonction I.
"UUSJCVFSËDIBDVOFEFTGPODUJPOTf, H et IMBDPVSCFRVJFTUMBTJFOOF
28
5
Synthèse
de la séquence
Dérivées
des fonctions usuelles
Fonction f
Dérivée f’
Intervalle I
f ( x ) = c (cFTUVOFDPOTUBOUF
f '( x ) = 0
I =
f ( x ) = mx + p
f '( x ) = m
f (x ) = x 2
f '( x ) = 2x
f (x ) = x 3
f '( x ) = 3x 2
f ( x ) = x n , n ∈ − {0 }
f '( x ) = nx n −1
f (x ) = x
f (x ) =
1
x
Dérivation
f '( x ) =
1
I = >0 øø+ ∞<
2 x
f '( x ) =
I = > − ∞øø0 ø<
PV
I = >0 øø+ ∞ø<
−1
x2
et opérations sur les fonctions
Soient V et vEFVYGPODUJPOTEÏGJOJFTFUEÏSJWBCMFTTVSVONÐNFJOUFSWBMMFI-FVST
EÏSJWÏFTTPOU V ' et v '.
Fonction
Dérivée
V +W
(V + W )' = V '+ W '
L V où k ∈.
(L V )' = L V '
VW
(VW )' = V 'W + VW '
V2
(V 2 )' = 2 ⋅ V ⋅ V '
V3
(V 3 )' = 3 ⋅ V 2 ⋅ V '
V n où n ∈ − {0 }
(V n )' = O ⋅ V n −1 ⋅ V '
29
1
(VFTUVOFGPODUJPOOFTBOOVMBOUQBTTVSI)
V
V
(vFTUVOFGPODUJPOOFTBOOVMBOUQBTTVSI)
v
Applications
 1 ' −V '
  =
 V 
V2
 V ' V '⋅W −V ⋅W '
  =
 v 
v2
de la dérivation
*DJPODPOTJEÒSFVOFGPODUJPOfEÏSJWBCMFTVSVOJOUFSWBMMFI.
0OQFVUSFHSPVQFSMFTÏOPODÏTEFTUIÏPSÒNFTFUEFMBNBOJÒSFTVJWBOUF
Théorèmes
1 et 2
¾« fFTUDPOTUBOUFTVSI xÏRVJWBVUËjQPVSUPVUSÏFM x ∈I , f '( x ) = 0 ».
¾« fFTUDSPJTTBOUFTVSI x ÏRVJWBVUËjQPVSUPVUSÏFM x ∈I , f '( x ) ≥ 0 ».
¾« fFTUEÏDSPJTTBOUFTVSI xÏRVJWBVUËjQPVSUPVUSÏFM x ∈I , f '( x ) ≤ 0 ».
Théorème 3
0ODPOTJEÒSFVOFGPODUJPOfEÏSJWBCMFTVSVOJOUFSWBMMFPVWFSUI.
Si fBVOFYUSFNVNFOVOQPJOUEBCTDJTTFaBMPST f '(a ) = 0.
30
5
Exercice I
Exercices
d’approfondissement
%ÏNPOTUSBUJPOEVUIÏPSÒNFEVDPVST
I– Démontrons d’abord le premier point du théorème à savoir :
Si fFTUDSPJTTBOUFTVSI BMPSTQPVSUPVUSÏFM x ∈I , f '( x ) ≥ 0.
1PVSDFMBOPVTDPOTJEÏSPOTVOFGPODUJPOfEÏSJWBCMFTVSVOJOUFSWBMMF*
4VQQPTPOTRVFfTPJUVOFGPODUJPODSPJTTBOUF/PVTBMMPOTEÏNPOUSFSRVF
1PVSUPVUSÏFM x ∈I , f '( x ) ≥ 0.
'JYPOTEBCPSEBSCJUSBJSFNFOUVOSÏFM a ∈I .
3BQQFMFSMBEÏGJOJUJPOEF f '(a ).
a)%ÏNPOUSFSRVFQPVSUPVU I > 0, f (a + I ) ≥ G (a ).
C
&OEÏEVJSFRVFQPVSUPVU I > 0,
f (a + I ) − G (a )
≥ 0.
I
a)%ÏNPOUSFSRVFQPVSUPVU I < 0, f (a + I ) ≥ G (a ).
C
&OEÏEVJSFRVFQPVSUPVU I < 0,
f (a + I ) − G (a )
≥ 0.
I
%ÏNPOUSFSGJOBMFNFOURVF f '(a ) ≥ 0.
$PODMVSFRVFQPVSUPVUSÏFM x ∈I , f '( x ) ≥ 0.
II– Démontrons ensuite le second point du théorème 1, à savoir :
Si fFTUEÏDSPJTTBOUFTVS*BMPSTQPVSUPVUSÏFM x ∈I , f '( x ) ≤ 0.
.POUSFSRVFMBGPODUJPO −f FTUDSPJTTBOUFTVS*
&OBQQMJRVBOUMFSÏTVMUBUEÏNPOUSÏEBOTMBQBSUJF*ËMBGPODUJPO −f DPODMVSF
Exercice II
0ODPOTJEÒSFMBGPODUJPOfEÏGJOJFQBS f ( x ) = (2x + 2) x + 1 − 2 − x −
x2
.
4
a)"MBJEFEVMPHJDJFM(FPHFCSBUSBDFSMBDPVSCFEFf.
C
1BSMFDUVSFHSBQIJRVFEPOOFSMFTJHOFEF f '( −1).
-BGPODUJPOj[PPNxEFMBNPMFUUFEFMBTPVSJTGBDJMJUFMBHSBOEJTTFNFOUEVOF
[POFEVHSBQIJRVF
31
c)%POOFSVOFWBMFVSBQQSPDIÏFEFMBQMVTQFUJUFWBMFVS a UFMMFRVF f '(a ) ≥ 0.
E
%ÏUFSNJOFSVOJOUFSWBMMFMFQMVTHSBOEQPTTJCMF
TVSMFRVFMMBGPODUJPOf est
croissante.
"MBJEFEVMPHJDJFM(FPHFCSBUSBDFSMBDPVSCFEF f '.
-BTBJTJFBVDMBWJFSEFGY
BQPVSFGGFUEFDBMDVMFS f '( x ) FUEFUSBDFSTBDPVSCF
x
− 1.
2
C
+VTUJGJFS HSBQIJRVFNFOU RVF QPVS x ∈ø<a øø+ ∞< MJOÏHBMJUÏ TVJWBOUF FTU
x
vraie 3 x + 1 ≥ + 1.
2
a)7ÏSJGJFSRVF f '( x ) = 3 x + 1 −
Exercice III
6OFFOUSFQSJTFDPNNFSDJBMJTBOUEFMBQVSÏFEFTBVDFUPNBUFWFVUBNÏMJPSFSTB
DIBJOF EF QSPEVDUJPO 1PVS OF QBT USPQ BCÔNFS MFT GSVJUT MPST EF MFVS BDIFNJ
OFNFOUEVQPTUFEFMBWBHFBVQPTUFEFCSPZBHFFMMFEÏDJEFEFQMBDFSVOQMBO
JODMJOÏQPVSGBJSFMBKPODUJPOMBNPJOTBOHVMFVTFQPTTJCMFFOUSFMBTPSUJFEVer
QPTUFFUMFSÏDFQUBDMFEVOE poste.
$JEFTTPVTFTUSFQSÏTFOUÏVOFWVFFODPVQFEFTEFVYQPTUFTGPODUJPOTf et H) et
EVQMBOTPVIBJUÏTFHNFOUFOQPJOUJMMÏT
16
15
14
13
12
Cf
S
11
10
9
8
7
R
6
5
4
3
2
1
0
Cg
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
La fonction fFTUEÏGJOJFTVS <0 2> par f ( x ) = − x 2 + 15.
2
1
La fonction HFTUEÏGJOJFTVS <5 12> par H ( Y ) = ( x − 12)2.
7
0ODIFSDIFËWÏSJGJFSRVFMBESPJUF (SR ) BTTVSFVOSBDDPSETBOTCPTTFOJBOHMF
a)%ÏUFSNJOFSMÏRVBUJPOEFMBUBOHFOUFËMBDPVSCF C BVQPJOU STPOBCT
f
DJTTFFTUÏHBMFË
32
C
%ÏUFSNJOFSMÏRVBUJPOEFMBUBOHFOUFËMBDPVSCF C H BVQPJOU RTPOBCT
DJTTFFTUÏHBMFË
"MBJEFEVMPHJDJFM(FPHFCSB
a)3FQSÏTFOUFSMFTEFVYQBSBCPMFTEFTGPODUJPOTf et H.
0OQPVSSBVUJMJTFSMBDPNNBOEF Fonction[f,a,b]EF(FPHFCSBQPVSOBGGJDIFS
MBDPVSCFEFMBGPODUJPOGRVFTVSMJOUFSWBMMF<BC>
C
2VFWBVUMFDPFGGJDJFOUEJSFDUFVSEFMBESPJUF (SR ) .
c)5SBDFSMFTUBOHFOUFTÏUVEJÏFTËMBRVFTUJPO
E
2VFQFVUPOFODPODMVSF
Exercice IV
6ODZMJOESFEFSÏWPMVUJPOEFSBZPOxDNFTUJOTDSJUEBOTVODÙOFEFSÏWPMVUJPOEF
SBZPODNFUEFIBVUFVSDN-FWPMVNFEFDFDZMJOESFFYQSJNÏFODN3, est
EPOOÏQBSMBGPSNVMFTVJWBOUF
 x
V = 30π x 2 1−  où 0 ≤ x ≤ 10.
 10 
Déterminer xQPVSRVFMFWPMVNFEVDZMJOESFTPJUNBYJNVN
Exercice V
-F OPNCSF EF TBOHMJFST EF DFSGT FU EF DIFWSFVJMT FO 'SBODF FTU EPOOÏ QBS
24t + 10
f (t ) =
où t FTU MF OPNCSF EBOOÏFT ÏDPVMÏFT EFQVJT FU f (t ) est
t +8
MFOPNCSFEFNJMMJFSTEBOJNBVY
-BEÏSJWÏF f '(t ) FTUBQQFMÏSZUINFEFDSPJTTBODFEFMBQPQVMBUJPOEBOJNBVY
a)$PNQMÏUFSMFUBCMFBVTVJWBOU
t
Année 1980 + t
10
30
2008
2009
/PNCSFEBOJNBVY
C
$BMDVMFSMBWBSJBUJPOEV OPNCSFEBOJNBVYFOUSFFU
$BMDVMFSMBEÏSJWÏFEF føQVJTFOEÏEVJSFMÏWPMVUJPOEFMBQPQVMBUJPOEBOJ
NBVY
a)%POOFSVOFWBMFVSBQQSPDIÏFEFø f '( 28 ) FUEF f '( 29 ).
C
$PNQBSFSMFTWBMFVSTBQQSPDIÏFTQSÏDÏEFOUFTËMBWBSJBUJPODBMDVMÏFBVC
2VFMOPNCSFEBOJNBVYQFVUPOQSÏWPJSQPVSMBOOÏF
Exercice VI
4VJUFËMÏUVEFTVSQMVTJFVSTBOOÏFTEFMÏWPMVUJPOEVWJSVTEFMBHSJQQFMFTBVUP
SJUÏTTBOJUBJSFTPOUBEPQUÏMFNPEÒMFTVJWBOUWBMBCMFBVDPVSTEVQSFNJFSNPJT
33
4JM TFTU ÏDPVMÏ x KPVST EFQVJT MBQQBSJUJPO EV er DBT BMPST MF OPNCSF EF QFS
TPOOFTBZBOUDPOUSBDUÏFTMFWJSVTFTUÏHBMË G ( x ) = 50 x 2 − 1, 5x 3 , où 0 ≤ x ≤ 31.
-BEÏSJWÏFEFGFTUBQQFMÏWJUFTTFEFQSPQBHBUJPOEFMBHSJQQF.
Déterminer G ′( x ).
$PNQMÏUFSMFUBCMFBVTVJWBOU
x
0
1
2
3
5
10
15
20
25
30
G ′( x )
%POOFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOEFMBGPODUJPOG.
%ÏUFSNJOFSMFKPVSPáMFOPNCSFEFNBMBEFTBVHNFOUFMFQMVTFUEPOOFSMF
OPNCSFEFOPVWFBVYNBMBEFTDFKPVSMË■
34

Fonctions dérivées - Académie en ligne

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