Corrigé de l`exercice 12

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 12 – Probabilités
Dans un lot de 100 pièces de monnaies, toutes de même apparence,
ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.
La probabilité d’apparition de "Pile" lors d’un jet de pièce truquée est
La probabilité d’appartition de "Pile" lors d’un jet de pièce
1
équilibrée est
2
Les différents lancers sont indépendants les une des autres.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
3
4
4
10
3
4
P
T
1
4
6
10
Ò
P
1
2
P
Ò
T
1. On prend une pièce au hasard et on la lance.
On appelle T l’événement "la pièce est truquée" et P l’événement :"on obtient Pile"
1
D’après l’énoncé
p(T)=0,4
pT (P)= 3
et
pÒ
T (P)=
4
2
1
2
Ò
P
a. Calculer la probabilité d’obtenir " Pile"
P est la réunion des événements incompatibles P∩T et P∩Ò
T
donc p(P)=p(P∩T)+p (P∩Ò
T )= pT (P)×p(T)+pÒ
T )= 4 × 3 + 6 × 1 = 3
T (P)×p (Ò
10 4 10 2 5
La probabilité d’obtenir "PILE" est donc 3
5
b. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l’on a obtenue "PILE" ?
4 3
×
p(P∩T) 10 4 1
1
pP (T)=
=
=
La probabilité que la pièce soit truquée sachant que l’on a obtenue "P" est
3
p(P)
2
2
5
2. On prend une pièce au hasard et on la lance 4 fois. Si, au cours des 4 lancers, on obtient 4 fois "PILE",
on décide d’éliminer la pièce. Dans le cas contraire, on conserve la pièce. On note E l’événement "la
pièce est éliminée". Alors E=(P,P,P,P)
a. Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est équilibrée ?
La pièce choisie est équilibrée. Lors d’un lancer, la probabilité d’obtenir "PILE" est donc 1 donc la probabilité
2
4
d’obtenir 4 fois "PILE", sachant que les lancers successifs sont indépendants et identiques, est  1  = 1 donc
 2  16
1
PÒ
.
T (E)=
16
La probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est équilibrée est donc 1 .
16
b. Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu’elle est truquée ?
La pièce étant truquée, la probabilité d’obtenir "PILE" est 3 donc la probabilité d’obtenir 4 fois "PILE", sachant
4
4
que les lancers successifs sont indépendants et identiques, est  3 
4
C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD
Proba – Correction ex 12
1/2
4
175
La probabilité qu’elle soit conservée est donc 1− 3  =
=PT (Ò
E)
256
4
c. Quelle est la probabilité d’avoir pris une pièce équilibrée et de l’avoir éliminée ou d’avoir pris
une pièce truquée et de l’avoir conservée ?
L’événement "la pièce est équilibrée et éliminée" est l’événement Ò
T ∩E.
L’événement "la pièce est truquée et conservée" est l’événement T∩Ò
E.
Les événements Ò
T ∩E et T∩Ò
E sont incompatibles donc la probabilité p cherchée est
T ∩E)+p(T∩Ò
E)=p(Ò
T )×PÒ
E)= 6 × 1 + 4 × 175 = 199
p=p(Ò
T (E)+p(T)×PT (Ò
10 16 10 256 640
La probabilité qu’une pièce équilibrée soit éliminée ou truquée soit conservée est
C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD
199
640
Proba – Correction ex 12
2/2