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Correction d’exercice Exo 105 page 224 (Déclic 1ère S - Hachette Éducation 2011) Correction de l’exercice 105 page 224 (Déclic Mathématiques 1re S - Hachette Éducation 2011) 1) On conjecture que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . En violet sont représentées les médiatrices du triangle , en vert ses médianes et en orange ses hauteurs. 2) a) D’après la relation de Chasles, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Ainsi, il vient que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires donc la droite est parallèle à la droite perpendiculaire à la droite . Par conséquent, est la hauteur du triangle , issue de . D’après la relation de Chasles, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , qui est ⃗⃗⃗⃗⃗ . Ainsi, il vient que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires donc la droite est parallèle à la droite perpendiculaire à la droite . Par conséquent, est la hauteur du triangle , issue de . , qui est Correction de l’exercice 105 page 224 (Déclic Mathématiques 1re S - Hachette Éducation 2011) © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 En définitive, est le point d’intersection de deux hauteurs du triangle l’orthocentre du triangle . On peut alors écrire que . . Par définition, est donc ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ b) D’après la relation de Chasles, ⃗⃗⃗⃗⃗ Comme ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ est le centre de gravité du triangle Il vient alors que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . c) donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D’après la question 1), D’après la question 2), ⃗⃗⃗⃗⃗ Par conséquent, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ . Le centre du cercle circonscrit au triangle sont donc alignés. , l’orthocentre et le centre de gravité du triangle Remarque : On appelle droite d’Euler la droite passant par ces 3 points. Correction de l’exercice 105 page 224 (Déclic Mathématiques 1re S - Hachette Éducation 2011) © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2
