Chapitre 2. Cinématique du mouvement rectiligne


 r =v⋅ t
CHAPITRE 2. CINEMATIQUE DU MOUVEMENT
RECTILIGNE.
1. Mouvement rectiligne
On appelle mouvement rectiligne, un mouvement pour
lequel la trajectoire du mobile est une droite ou plus
exactement un segment de droite. Pour repérer la
position d'un mobile ayant une trajectoire rectiligne,
il convient de choisir un repère qui est tel qu'un des
axes de coordonnées (par exemple l'axe OX) est
parallèle à la trajectoire.
Ainsi choisi, seule la
coordonnée x du mobile variera dans le temps et
la coordonnée y
étant constante peut être
ignorée.
Dans ce cas, les composantes v y et
ay
des vecteurs vitesse et accélération sont
invariablement nulles et leurs écritures pourront
également être omises.
On écrira donc plus
simplement
⃗r =( x , constante)=x
⃗
Δ r=(Δ x , 0)=Δ x
⃗v =( v x , 0)=v
⃗a=( a y , 0)=a
Pour tout intervalle de temps considéré, les vecteurs
déplacements sont donc parallèles. Par conséquent la
trajectoire d'un tel mobile est nécessairement une
ligne droite.
Ce type de mouvement est appelé
mouvement rectiligne uniforme (MRU). Les adjectifs
rectiligne et uniforme précisent que la trajectoire
est une droite et que la vitesse est constante.
2.2 Lois du MRU
Comme la trajectoire d'un mobile animé d'une
vitesse constante est rectiligne, un repère ayant un
unique axe OX parallèle à la trajectoire permet de
décrire le mouvement.
Dans ce cas le vecteur
vitesse a une seule composante non nulle notée
simplement v
v=
(2.1)
(2.4)
Δx
=constante
Δt
(2.5)
Cette relation est la loi de la vitesse dans le cas d'un
MRU. La représentation graphique de la vitesse en
fonction du temps est une droite horizontale.
Les grandeurs x , Δ x , v et a désignant
des composantes de vecteurs sont donc des réels
positifs ou négatifs. Pour désigner l'intensité de ces
vecteurs on écrira
∥⃗r ∥=∣x∣
∥⃗
Δ r∥=∣Δ x∣
∥⃗v∥=∣v∣
∥⃗
a∥=∣a∣
(2.2)
Figure 2.1
Dans le repère où l'axe OX est parallèle à la
trajectoire la relation (2.5) se réécrit simplement
2. Mouvement rectiligne uniforme
2.1. Définition
Considérons un mobile dont la vitesse instantanée
est constante c.à.d qu'elle a la même valeur à tout
instant. En conséquence, pour un tel mouvement la
vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne
sur n'importe quel intervalle de temps.

r
v =
v m=
=constante
t
Δ x=v⋅Δ t
Ou encore
x (t )− x 0=v⋅( t−t 0)
(2.7)
x (t ) désigne la position à l'instant quelconque
t et x 0 désigne la position à l'instant initiale
t 0 . De plus, si l'on suppose que l'instant auquel
où
(2.3)
Le vecteur déplacement est donc le produit du
vecteur vitesse et de la durée.
débute le mouvement est 0, la dernière relation se
réécrit simplement
x (t )= x 0+v⋅t
Physique 5e
(2.6)
Chapitre 2. Le mouvement rectiligne
(2.8)
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Cette dernière relation est la loi de la position d'un
mobile animé d'un mouvement rectiligne se déplaçant
parallèlement à l'axe OX.
Si l'on représente graphiquement l'évolution de la
coordonnée x en fonction du temps (figure 2.2),
on obtient une droite dont le coefficient angulaire
correspond à la vitesse du mobile. Si la vitesse du
mobile est positive, la droite sur le graphique est
croissante. Cela signifie que le mobile se déplace
dans le même sens que le sens positif du repère. Si
la vitesse est négative, cela signifie que le mobile se
déplace dans le sens négatif du repère. La position
initiale est l'ordonnée à l'origine de la droite.
Figure 2.2
Exemple numérique
Ci-dessous sont représentées à intervalles de temps réguliers les positions d'un mobile se déplaçant à vitesse
constante dans le sens des x positifs en mauve et dans le sens des x négatifs en vert.
Les différentes positions occupées dans le temps peuvent être représentées graphiquement.
La vitesse instantanée du mobile est égale au coefficient angulaire de la droite représentant la position en
fonction du temps. Elle est également égale à la vitesse moyenne sur un intervalle de temps au choix.
v=
x ( t=3s)−x (t=1s) 9−5
=
=2m / s
Δt
3−1
v=
x(t =3s)−x ( t=1s ) −1−5
=
=−3m / s
Δt
3−1
Connaissant la vitesse et la position initiale (à l'instant t = 0s), on peut alors écrire la loi de la position
x (t )= x 0+v⋅t =3+2⋅t
x (t )=x 0+v⋅t =8−3⋅t
La loi de la position permet de calculer la position du mobile à tout instant, par exemple à l'instant t = 2s
x (t=2s)=3+2⋅2=7m
Physique 5e
x (t =2s)=8−3⋅2=2m
Chapitre 2. Le mouvement rectiligne
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3. Mouvement rectiligne uniformément accéléré
(MRUA)
3.1 Définition
Considérons un mouvement accéléré pour lequel la
trajectoire est rectiligne et l’accélération est
constante.
Ce type de mouvement est appelé
mouvement rectiligne uniformément accéléré
(MRUA). Puisqu'il s'agit d'un mouvement rectiligne,
un repère muni d'un axe OX parallèle à la trajectoire
permet d'étudier le mouvement. Dans ce repère, les
vecteurs position, vitesse et accélération auront une
seule composante non nulle.
v
=constante
t
(2.9)
La représentation graphique de l'accélération en
fonction du temps est une droite horizontale.
3.3 Loi de la vitesse
La relation permet de déterminer la loi de la vitesse.
Si nous considérons la variation de vitesse entre
l'instant initial t 0 et l'instant t quelconque,
 v v t−v t 0 
a=
=
t
t −t 0
(2.10)
3 0
-5 0
2 0
1 5
1 0
5
0
Notons v 0 la vitesse à l'instant initial et supposons
que l'instant initial est nul, nous avons alors
1 0
-10
-15
-20
-30
2 5
0
2 0
-5
1 5
1 0
5
0
0
5
t (s)
1 0
t (s)
0
5
1 0
-10
-15
-20
-25
(2.12)
La représentation graphique de la vitesse en fonction
du temps est une droite dont l'accélération est le
coefficient angulaire (voir figure 3.3). La droite est
donc croissante lorsque l'accélération est positive et
décroissante lorsque l'accélération est négative. La
vitesse initiale est l'ordonnée à l'origine de la droite.
Physique 5e
1 0
v (m/s)
En isolant v (t ) dans cette dernière relation, nous
obtenons la loi de la vitesse donnant l'évolution de la
vitesse dans le temps
v t =v0a⋅t
5
t (s)
3 0
(2.11)
5
-25
0
v (m/s)
v (t)−v 0
a=
t
t (s)
0
2 5
v (m/s)
a=a m=
Accélération ou décélération?
Dans le chapitre précédent consacré à l’étude du
mouvement rectiligne uniforme nous avons vu que la
vitesse est considérée comme positive lorsque le
mobile se déplace dans le sens du système de
référence et négative dans le cas contraire. Pour
l’accélération, quelle est la signification du signe ?
Pour répondre à cette question considérons les 4
graphiques ci-dessous représentant la vitesse en
fonction du temps de 4 mobiles animés d’un
mouvement rectiligne uniformément accéléré.
v (m/s)
3.2 Loi de l’accélération
L’accélération étant constante, sa valeur instantanée
est égale à la valeur moyenne sur un intervalle de
temps quelconque. On a
Figure 2.3
Dans les deux premiers cas l’accélération est de 2
m/s² : on observe que la vitesse augmente avec le
temps. Mais dans le second cas, l’intensité de la
vitesse diminue.
Dans les deux derniers cas
l’accélération est de – 2m/s² : on observe que la
vitesse diminue avec le temps. Mais dans le dernier
Chapitre 2. Le mouvement rectiligne
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cas l’intensité de la vitesse augmente avec le temps.
Nous retiendrons donc que si l’accélération est
positive la vitesse augmente et inversement si
l’accélération est négative. Mais cela ne signifie pas
nécessairement que l’intensité de la vitesse
augmente ou diminue.
2.4 Loi de la position
Pour trouver comment la position varie dans le temps
no u s a ur o n s r e c o ur s à d e s c on s i d é r at io n s
géométriques. Supposons dans un premier temps que
la vitesse du mobile varie non pas de manière
régulière comme sur les graphiques de la figure 2.3,
mais par paliers comme le montre la figure 2.4. Ce
mouvement n'est pas réaliste mais permet
d'approcher le mouvement réel.
Figure 2.5
Donc le déplacement du mobile entre les instants
0 et t est égal à la surface de ce trapèze.
Δ x=Surface du trapèze
Δ x=
( grande base+ petite base )∗hauteur
2
(v 0+v (t ))⋅t
Δ x=
2
(2.13)
En remplaçant v (t ) par son expression tirée de
(2.12) on obtient
Figure 2.4
Le déplacement effectué par le mobile entre deux
changements de vitesse (sur un palier) est égal au
produit de l’intervalle de temps et de la vitesse
constante du mobile pendant ce palier. Il est donc
égal à la surface du rectangle se trouvant sous le
palier.
Donc le déplacement du mobile entre les
instants 0 et t est égal à la somme des surfaces
des rectangles compris entre les instants 0 et t .
Si nous supposons que le mobile effectue des paliers
de plus en plus petits, le mouvement sera de plus en
plus proche du mouvement réel et finalement, la
somme des surfaces des rectangles sera égale à la
surface du trapèze hachuré sur la figure 2.5.
Physique 5e
v 0v 0a⋅t ⋅t
2
1
2
 x=v 0⋅t  ⋅a⋅t
2
 x=
(2.14)
Comme la coordonnée du mobile à l’instant t est égale
à la coordonnée du mobile à l’instant initial plus le
déplacement effectué par le mobile entre ces
instants, nous obtenons finalement
1
2
x t =x 0v 0⋅t  ⋅a⋅t
2
(2.15)
Cette dernière expression correspond à une fonction
du second degré. La représentation graphique de la
position en fonction du temps est donc un morceau
de parabole comme le montre la figure (2.6). Si
l'accélération est positive la concavité de la parabole
est tournée vers le haut, si l'accélération est
négative, la concavité de la parabole est tournée vers
le bas.
Chapitre 2. Le mouvement rectiligne
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Dans le chapitre suivant nous verrons que ces lois
permettent de décrire un assez grand nombre de
mouvements réels tels que ceux liés à la chute des
corps lorsque les frottements sont négligeables.
Figure 2.6
Les lois (2.9), (2.12) et (2.15) reprises ci-dessous
sont les lois du mouvement rectiligne uniformément
accéléré (M.R.U.A) lorsque l'instant initial est nul.
Elles nous indiquent comment l’accélération, la
vitesse et la position d’un mobile évoluent dans le
temps.
a=a m=
v
=constante
t
v (t )=v 0 +a⋅t
1
2
x t =x 0v 0⋅t  ⋅a⋅t
2
Dans le cas où l'accélération est nulle, ces lois sont
celles du M.R.U.
Dans le cas où l'instant initial est non nul ces lois
s'écrivent
a=a m=
v
=constante
t
v(t )=v0 +a⋅(t−t 0 )
1
2
x (t)= x 0+v 0⋅(t−t 0 )+ ⋅a⋅(t−t 0)
2
Physique 5e
Chapitre 2. Le mouvement rectiligne
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Exemple numérique
Considérons le mouvement d'une bille roulant sur un plan incliné et lâchée sans vitesse initiale. En choisissant
correctement la pente, la bille sera animée d'un M.R.U.A dont l'accélération est de 1 m/s 2. Dans un repère
parallèle à la pente, orienté positivement vers le bas de la pente et ayant pour origine l'endroit où la bille est
libérée, les lois du mouvement s'écrivent de la manière suivante.
Loi de l'accélération:
a t =1
(m/s2)
Loi de la vitesse:
v t =v0a⋅t=01⋅t=t
(m/s)
Loi de la position :
2
2
t
t
=0+0+1
2
2
(m)
2
t
y (t )=
2
y (t)= y 0+v 0⋅t +a
Les évolutions dans le temps de la vitesse et de la position sont représentées graphiquement ci-dessous.
Sur la figure ci-dessous sont représentées les positions et les vitesses de la bille toutes les 0,5 s.
Physique 5e
Chapitre 2. Le mouvement rectiligne
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