Cours Mécanique des fluides - e

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTI FIQUE
Université Kasdi Merbah-Ouargla
Faculté des Sciences Appliquées
Département de Génie Civil et Hydraulique
Cours
Mécanique des fluides
Par Samir KATEB
Maitre de conférence –B- à l'Université kasdi merbeh - Ouargla
Année Universitaire 2014-2015
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Sommaire
I. RAPPELS DE PROPRIETE DES FLUIDES ............................................................................................................ 4
INTRODUCTION .......................................................................................................................................................... 5
2 DEFIINITIONS....................................................................................................................................................... 5
I-2. LE POIDS SPECIFIQUE Γ ............................................................................................................................................. 6
I-3. LA COMPRESSIBILITE VOLUMETRIQUE DU LIQUIDE 𝜷𝒄 ............................................................................................. 6
I-4. LE MODULE D’ELASTICITE K .................................................................................................................................... 7
II. RAPPELS DE STATIQUE DES FLUIDES ............................................................................................................ 10
II.1 PROPRIETES GENERALES DES LIQUIDES .......................................................................................................... 10
II.1.1 Notion de contrainte ...................................................................................................................................... 10
II.1.2 Homogénéité et isotropie ............................................................................................................................... 10
II.1.3 Compressibilité et viscosité ............................................................................................................................ 10
I.2 NOTIONS DE PRESSION ............................................................................................................................................. 10
I.2.1 Définition ........................................................................................................................................................ 10
I.2.2 Equations générales de la statique .................................................................................................................. 11
I.2.3 Fluides soumis à la seule action de la pesanteur ............................................................................................ 11
I.2.4 Différentes échelles de pression ...................................................................................................................... 12
III. RAPPELS D'HYDRODYNAMIQUE ..................................................................................................................... 6
III.1 DYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS ...................................................................................................................... 6
III.1.1 Equations générales du mouvement : équations d'Euler ................................................................................ 6
III.1.2 Equation de continuité .................................................................................................................................... 7
III.1.3 Equation caractéristique du fluide ................................................................................................................. 8
III.1.4 Equations intrinsèques ................................................................................................................................... 8
III.2 RELATIONS DE BERNOULLI ...................................................................................................................................... 9
III.2.1 Première formulation ..................................................................................................................................... 9
III.2.2 Deuxième formulation .................................................................................................................................... 9
III.2.3 Représentation géométrique et interprétation énergétique du théorème de Bernoulli ................................. 10
III.3 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS ............................................................................................... 10
III.3.1 Rappels sur la viscosité : formule de Newton ............................................................................................... 10
III.3.2 Equations de Lamé ....................................................................................................................................... 11
III.3.3 Equations de Navier-Stokes .......................................................................................................................... 11
III.3.4 Extension du théorème de Bernoulli au cas des fluides réels ....................................................................... 13
III.4 THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT ........................................................................................ 13
III.5 APPLICATIONS DU THEOREME DE BERNOULLI ....................................................................................... 14
III.5.1 Pression dans une conduite : tubes piézométriques ..................................................................................... 14
III.5.2 Pression en un point d'arrêt : tube de Pitot .................................................................................................. 15
III.5.3 Ajutage de Venturi ........................................................................................................................................ 15
III.6 APPLICATION DU THEOREME D'EULER ...................................................................................................... 16
III.6.1 Action d'un fluide sur un coude de conduite ................................................................................................. 16
III.6.2 Ecoulement dans un élargissement brusque ................................................................................................. 17
IV. REGIMES D'ECOULEMENT............................................................................................................................... 18
IV.1 NOMBRE DE REYNOLDS ................................................................................................................................. 18
IV.1.1 Définition ...................................................................................................................................................... 18
IV.1.2 Signification physique du nombre de Reynolds ............................................................................................ 18
IV.2 REGIME LAMINAIRE ....................................................................................................................................... 19
IV.2.1 Conditions d'existence .................................................................................................................................. 19
IV.2.2 Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique...................................................................................... 19
IV.2.3 Ecoulement entre deux plans parallèles. Analogie Hele-Shaw..................................................................... 20
IV.3 REGIME TURBULENT .............................................................................................................................................. 23
IV.3.1 Fluctuations du vecteur vitesse ..................................................................................................................... 23
IV.3.2 Echange latéral de quantité de mouvement .................................................................................................. 23
IV.3.3 Influence de la turbulence sur la répartition des vitesses ............................................................................. 23
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V. ECOULEMENTS PAR LES ORIFICES, AJUTAGES ET DEVERSOIRS ...................................................... 25
IV.1 ECOULEMENT PAR LES ORIFICES ................................................................................................................ 25
IV.1.1 Orifices non noyés ........................................................................................................................................ 25
V.1.2 Orifices noyés ................................................................................................................................................. 26
V.2 ECOULEMENT PAR LES AJUTAGES ............................................................................................................... 26
V.2.1 Ajutage cylindrique sortant ............................................................................................................................ 26
V.2.2 Ajutage cylindrique rentrant ou ajutage de Borda ......................................................................................... 27
VI. ECOULEMENT DANS LES CANALISATIONS EN CHARGE ....................................................................... 28
VI.1 ECOULEMENT EN CHARGE............................................................................................................................ 28
VI.1.1 Définition ...................................................................................................................................................... 28
VI.1.2 Charge dans une section ............................................................................................................................... 28
VI.2 EXPRESSION GENERALE DE LA PERTE DE CHARGE LINEAIRE............................................................. 28
VI.2.1 Facteurs explicatifs ....................................................................................................................................... 28
VI.2.2 Etude expérimentale ..................................................................................................................................... 29
VI.2.3 Cas des conduites réelles .............................................................................................................................. 30
VI.2.4 Généralisation aux conduites non circulaires .............................................................................................. 31
VI.2.5 Formules empiriques .................................................................................................................................... 31
VI.3 PERTES DE CHARGES SINGULIÈRES LE LONG D'UNE CONDUITE ........................................................ 32
VI.3.1 Changement de section ................................................................................................................................. 32
VI.3.2 Coudes .......................................................................................................................................................... 33
VI.4 ETUDES DE QUELQUES CAS PARTICULIERS ............................................................................................ 34
VI.4.1 Canalisation assurant un service mixte ........................................................................................................ 34
VI.4.2 Calcul économique d'une conduite de refoulement....................................................................................... 34
VI.4.3 Choix du diamètre d'une conduite gravitaire................................................................................................ 35
VI.4.4 Remarque ...................................................................................................................................................... 37
VI.5 TABLES DE COLEBROOK ....................................................................................................................................... 38
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Avant propos
Ce cours est destiné aux étudiants de graduation spécialisés en hydraulique et génie civil del' Université Kasdi MerbahOuargla Faculté des Sciences Appliquées Département de Génie Civil et Hydraulique et qui a pour objectif de donner
un aspect général sur l’hydraulique qui est une science qui étudie tous les phénomènes et lois qui s’intéresse à l’eau.
L’hydraulique est une branche de la mécanique des fluides dont lequel la majorité des lois et équations rencontrées
s’inspirent de cette discipline.
Généralement on troue l’hydraulique dans plusieurs domaines de l’ingénieur telle que :
L’alimentation en eau potable, l’assainissement, l’irrigation, le drainage, le traitement des eaux, l’épuration des eaux et
les ouvrages hydrauliques…etc.
L’importance de l’étude de l’hydraulique devient de plus en plus grande à cause des problèmes rencontrés dans la
pratique comme : le coups de bélier dans les conduites, les ondes de crue, les inondations, la remonté et pollution des
nappes souterraines…etc.
Cet ouvrage est composé de six chapitres et qui donne une vision générale sur l’hydraulique et qui touche la majorité
des points critiques que l’ingénieur à besoin.
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I. RAPPELS DE PROPRIETE DES FLUIDES
INTRODUCTION
La mécanique des fluides est la science des lois de I ‘écoulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des
conduites de fluides et des mécanismes de transfert des fluides. C’est une branche de la physique qui étudie les
écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle
comprend deux grandes sous branches:
- la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est historiquement le début de la mécanique
des fluides, avec la poussée d'Archimède et l'étude de la pression.
- la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mécanique des fluides.
On distingue également d’autres branches liées à la mécanique des fluides : l'hydraulique, l'hydrodynamique,
l'aérodynamique, …Une nouvelle approche a vu le jour depuis quelques décennies: la mécanique des fluides
numérique (CFD ou Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'écoulement des fluides en résolvant les
équations qui les régissent à l'aide d'ordinateurs très puissants : les supercalculateurs.
La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme l'ingénierie navale, l'aéronautique,
mais aussi la météorologie, la climatologie ou encore l'océanographie.
2 DEFIINITIONS
Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand nombre de particules matérielles, très
petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. C’est donc un milieu matériel continu, déformable, sans
rigidité et qui peut s'écouler. Les forces de cohésion entres particules élémentaires sont très faibles de sorte que le
fluide est un corps sans forme propre qui prend la forme du récipient qui le contient, par exemple: les métaux en fusion
sont des fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pièces brutes de formes complexes. On insiste sur le fait
qu’un fluide est supposé être un milieu continu : même si l'on choisit un très petit élément de volume, il sera toujours
beaucoup plus grand que la dimension des molécules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de brouillard, aussi
petite soit-elle à notre échelle, est toujours immense à l'échelle moléculaire. Elle sera toujours considérée comme un
milieu continu. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.
Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur viscosité. La viscosité est une de leur
caractéristique physico-chimique qui sera définie dans la suite du cours et qui définit le frottement interne des fluides.
Les fluides peuvent être classés en deux grande familles : La famille des fluides "newtoniens" (comme l'eau, l'air et la
plupart des gaz) et celle des fluides "non newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les pâtes,
les suspensions, les émulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosité constante ou qui ne peut varier qu'en
fonction de la température. La deuxième famille est constituée par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularité
d'avoir leur viscosité qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent lorsque ceux-ci s'écoulent. Ce
cours est limité uniquement à des fluides newtoniens qui seront classés comme suit.
2.1 Fluide parfait
Soit un système fluide, c'est-à-dire un volume délimité par une surface fermée Σ
fictive ou non. Considérons Fdr la force d’interaction au niveau de la surface élémentaire dS de normale nr
entre le fluide et le milieu extérieur.
On peut toujours décomposer Fdr en deux composantes:
- une composante Fd Tr tangentielle à dS.
- une composante Fd Nr normale à dS.
En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte
les effets de frottement. C’est à dire quand la composante Fd Tr est nulle. Autrement dit, la force Fdr est normale à
l'élément de surface dS.
2.2 Fluide réel
Contrairement à un fluide parfait, qui n’est qu’un modèle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la
nature, dans un fluide réel les forces tangentielles de frottement interne qui s’opposent au glissement relatif des couches
fluides sont prise en considération. Ce phénomène de frottement visqueux apparaît lors du mouvement du fluide.
C’est uniquement au repos, qu’on admettra que le fluide réel se comporte comme un fluide parfait, et on suppose que
les forces de contact sont perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquels elles s’exercent. La statique des fluides
réels se confond avec la statique des fluides parfaits.
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2.3 Fluide incompressible
Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donné ne varie pas en fonction de la pression
extérieure. Les liquides peuvent être considérés comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)
2.4 Fluide compressible
Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée varie en fonction de la pression
extérieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple, l’air, l’hydrogène, le méthane à l’état gazeux, sont
considérés comme des fluides compressibles.
Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se
déplacer les unes par rapport aux autres.
Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. On distingue les fluides
aqueux comme l’eau, le pétrole, l’essence, le mercure, etc. et les fluides gazeux comme les gaz.
Les fluides aqueux n’occupent pas tout l’espace d’une capacité comme le fond les gaz.
Ils peuvent avoir une surface libre en contact avec un milieu gazeux (le plus souvent c’est l’atmosphère).
Ils sont peu compressible et sont volume change peu à la température et de la pression, alors que le volume des fluides
gazeux change d’une façon notable en fonction de la température et de la pression.
Le fluide aqueux est mobile, il est caractérisé par une fluidité et adopte le forme du récipient ou il est versé.
Dans ce cours, nous allons examiner seulement les fluides aqueux, en les appelants simplement liquides et en premier
chef l’eau.
I-1. La masse volumique ρ
C’est le rapport de la masse du liquide (M) à son volume (W).
ρ = M/W
Le liquide est considéré comme homogène si sa masse volumique est égales en tous les points. Les
différents liquides ont les différentes valeurs de la masse volumique. La masse volumique de l’eau
ordinaire pure ne diffère pratiquement pas de celle de l’eau distillée et elle est prise pour les calculs
hydrauliques égaux à 1000 kg/m3
Au chauffage, la masse volumique de l’eau dont la valeur maximale est observée à 4°c diminue d’une façon
insignifiante.
Au chauffage de l’eau jusqu’à 30°c, ρ diminue de 0,47 %, c’est pourquoi dans les calculs pratiques la masse volumique
de l’eau peut être considérée constante.
I-2. Le poids spécifique γ
On appelle poids spécifique d’un liquide homogène le rapport de la force due à la masse du liquide à son volume :
γ =G/W
Le poids spécifique et la masse volumique sont liés de la façon suivante :
γ =G/W=
mg/W = ρ g
Dans ces expressions, g est l’accélération de la pesanteur.
Le poids spécifique de l’eau change peu en fonction de la température, comme d’ailleurs la masse volumique, et dans
les calculs on le prend constant.
I-3. La compressibilité volumétrique du liquide 𝜷𝒄
Elle est égale à la variation relative du volume survenue à la variation de la pression d’une unité autrement dit :
𝛽𝑐 =
𝑑𝑤/𝑤
1 𝑑𝑤
=−
𝑑𝑝
𝑑𝑝 𝑤
ou
W : est le volume initial du liquide à la pression atmosphérique.
dW : est la diminution du volume du liquide à l’augmentation de la pression de dp.
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I-4. Le module d’élasticité K
C’est la grandeur inverse du coefficient de compressibilité volumétrique.
I-5. La viscosité
Les liquides ont les propriétés de résister aux efforts tangentiels qui tendent à faire déplacer les couches du liquide les
unes par rapport aux autres. Cette propriété s’appelle viscosité.
La viscosité se manifeste par le fait qu’au déplacement des couches du liquide voisines naissent des forces de frottement
interne entre les couches. Par suite du frottement, la couche la plus rapide entraîne la couche de liquide plus lente et vice
versa.
Newton proposa une hypothèse conformément à laquelle la force de frottement interne T dans un liquide ne dépend pas
de la pression mais proportionnelle à la surface de contact des couches, à la vitesse relative du mouvement des couches
et des fonctions de la nature du liquide.
La véracité de l’hypothèse de Newton fut démontée par N.Pétrov, qui avait proposé la formule suivante pour la
contrainte tangentielle lors d’un écoulement laminaire :
ou
𝑇
𝑑𝑢
𝜏= =𝜇
𝑆
𝑑𝑦
τ : c’est la contrainte tangentielle.
T : c’est la force de frottement interne.
S : c’est la surface de contact de deux couches voisines.
μ : c’est la viscosité dynamique du liquide.
du : c’est la différence de vitesses de deux couches en contact.
dy : c’est la distance entre ces deux couches suivant la normale par rapport au sens de l’écoulement.
du/dy : c’est le gradient de vitesse.
Remarque : Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique
est le Pascal seconde (Pas) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pas = 1 Pl = 1 kg/ms
I-6. La viscosité cinématique ν :
C’est le rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du liquide :
𝜇
𝜈=
𝜌
La viscosité cinématique de l’eau à la pression atmosphérique peut être calculée à l’aide de la formule empirique de
Poiseuille (en stokes) :
Remarque 1 (unité):
On utilise souvent le Stokes (St) comme unité de mesure de la viscosité cinématique. 1 St= 10-4 m2/s
Remarque 2 (Influence de la température) :
Lorsque la température augmente, la viscosité d'un fluide décroît car sa densité diminue.
Remarque 3 (différence entre viscosité dynamique et viscosité cinématique)
La viscosité cinématique caractérise le temps d'écoulement d’un liquide. Par contre, la viscosité dynamique correspond
à la réalité physique du comportement d’un fluide soumis à une sollicitation (effort). En d’autre terme, cette dernière
exprime la « rigidité » d’un fluide à une vitesse de déformation en cisaillement
I-7. La tension superficielle
Les particules des liquides se trouvant à sa surface libre en contact avec un milieu gazeux sont soumises à l’action des
forces d’attraction. C’est pourquoi toute la surface libre du liquide se trouve en état d’une tension superficielle uniforme
qui dépend de la température et en diminuant avec son accroissement.
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Exercice N01:
Déterminer le poids volumique de l’essence sachant que sa densité d=0,7.
On donne :
- l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2
- la masse volumique de l’eau ρ =1000 kg /m3
Exercice N02:
Calculer le poids P0 d’un volume V=3 litres d’huile d’olive ayant une densité
d=0,918.
Exercice N03:
Déterminer la viscosité dynamique de l’huile d’olive sachant que sa densité est 0,918 et sa viscosité cinématique est
1,089 Stockes.
Exercice N04:
Du fuel porté à une température T=20°C a une viscosité dynamiqueμ = 95.10−3 Pa.s . Calculer sa viscosité cinématique
υ en stockes sachant que sa densité est d=0,95. On donne la masse volumique de l’eau est ρ eau 1000 kg /m3
Exercice N05:
Un fluide de viscosité dynamique égale à 4.88 x 10 -4 kg.s/m3et une densité de 0.913, se trouve entre deux plaques
superposées dont la plaque inférieure est fixe et la plaque supérieure se trouve en mouvement avec une vitesse de 1.125
m/s
- Calculer le poids spécifique de ce liquide ?
- Calculer le gradient de vitesse dans les A et B et la contrainte tangentielle ?
Exercice N06:
Un cylindre de 12 cm de rayon tourne à l’intérieur d’un cylindre fixe de même axe et de 12.6 cm de rayon. La longueur
des deux cylindres est de 30 cm (Fig.1-2).
- Déterminer la viscosité du liquide qui remplit l’espace entre les deux cylindres s’il est nécessaire d’appliquer un
couple de 9.0 cm.kg pour maintenir la vitesse angulaire à 60 tr/min.
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Exercice N01:
w = d.ρ.g A.N. ϖ = 0,7×1000×9,81 = 6867 N /m3
Exercice N02:
P= d×ρ ×V× g A.N. P o = 0,918×1000×3×10−3×9,81 = 27 N
Exercice N03:
μ = ρ.υ A.N. μ = 918×1,089×10−4 = 0,1 Pa.s
Exercice N04:
𝜈=
𝜇
𝑑×𝜌
𝜈=
95×10−3
0.95×1000
1.10−4 𝑚2
=
𝑠
= 1 𝑠𝑡𝑜𝑐𝑘𝑒𝑠
Exercice N05:
Poids spécifique
γliq =0.913 x 9810 = 8956.53kg /m3
- Puisque la variation des vitesses est linéaire donc le gradient des vitesses dv/dy est toujours constant et est égale a :
v/y = 1.125/0.075 = 15. 1−s
-La contrainte tangentielle
τ =μ.dv/dy =4.88 x x15=0.0732 310−2 N/m
Exercice N06:
-La vitesse tangentielle du cylindre intérieur égale à r.w = 0.12 x 2 x π=0.755 m/s.
puisque la distance entre les deux cylindres est petite, on peut admettre que le gradient des vitesses est rectiligne, donc :
dv/dy = 0.755/(0.126-0.12) =125.83 s−1
et d’une autre part en a
Le couple appliqué = le couple résistant
0.09 = τ. s. L
0.09 = τ. (2 x π x r moy.0.30) 0, 1 23
τ = 3,15 kg /m2
et on aura la viscosité dynamique :
μ=τ.dy/dv = 0.025 kg.s/m2
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II. RAPPELS DE STATIQUE DES FLUIDES
La matière peut se présenter sous différents états en fonction de la façon dont ils peuvent se déformer. On
distingue principalement les solides des fluides, eux-mêmes subdivisés en liquides et gaz.
En première approximation, les solides sont des corps non-déformables, ils ont une forme propre et résistent à la
traction et à la compression. Les liquides n'ont pas de forme propre, ils prennent la forme du contenant et sont donc
éminemment déformables. La distinction entre liquides et gaz tient en leur compressibilité. Les liquides ont un volume
donné, alors que les gaz occupent tout le volume qui leur est offert.
II.1 PROPRIETES GENERALES DES LIQUIDES
II.1.1 Notion de contrainte
Prenons un élément cubique de matière,
infiniment petit ; à un instant donné il s'exerce des
forces sur les différents éléments de surface.
Sur l'élément de surface dx dy s'exerce une force
:
dF . On appellera contrainte


dF
dF

ds dx dy
dF = dF
ds dx dy
Une contrainte est donc une force (en grandeur
et direction) par unité de surface. Cette contrainte
comprend une composante  normale à la surface et
une composante tangentielle.
A la différence des solides, les liquides ne supportent pas de composantes tangentielles des contraintes au
repos.
II.1.2 Homogénéité et isotropie
En première approximation, on pourra admettre que les fluides sont homogènes, c'est à dire qu'ils présentent
pour nous les mêmes caractéristiques mécaniques en tout point. De même ils sont isotropes et leurs propriétés
mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions.
II.1.3 Compressibilité et viscosité
La masse volumique  d'un liquide est sensiblement une constante (pour l'eau, elle ne varie quasiment pas
avec la pression et très peu avec la température). Comme on le verra plus loin, la viscosité traduit le fait qu'il existe des
forces résistantes aux déplacements dans un fluide. Lorsque l'on s'intéresse à la statique, l'absence de mouvement fait
que tous les fluides peuvent être considérés comme parfaits, c'est à dire sans viscosité.
I.2 NOTIONS DE PRESSION
I.2.1 Définition
Nous avons vu qu'un fluide ne supportait pas de contraintes tangentielles  au repos.
n ext
La seule contrainte  est donc normale à l'élément
de surface ds = dx dy, et on peut la caractériser par une
valeur algébrique P que l'on appellera pression sur
l'élément de surface ds.
dF
z
ds
dz
Soit next le vecteur unitaire perpendiculaire à ds
et orienté vers l'extérieur de l'élément de fluide, on
appellera par convention force de pression exercée sur
l'élément de surface ds, le vecteur dF tel que :
dF = - P ds next
0
dy
dx
y
x
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I.2.2 Equations générales de la statique
Reprenons un élément cubique de fluide infiniment petit ; cet élément étant au repos la résultante des forces qui
s'exercent sur lui est donc nul. Ces forces sont de deux natures : des forces extérieures (de volume) et des forces de
pression. Soit F la force extérieure par unité de masse du fluide, les forces extérieures se ramènent à :
 X dx dy dz
 F dx dy dz =
 Y dx dy dz
 Z dx dy dz
Les forces de pression sont normales aux six faces de ce cube, ainsi en projection sur oy les forces de pression
sont P dx dy sur la face ADHE et

P 
 P 
dy dx dz sur la face BCGF.
y 

La somme algébrique des forces de pression sur oy est donc :
P dx dz -

P
P 
dy dx dz
 P 
dy dx dz = y
y 

Il en serait de même sur les deux autres axes. La résultante des forces s'exerçant sur cet élément de fluide est
nulle et on a donc :

0=

P
dx dy dz = 0
x
P
dx dy dz = 0
 Y dx dy dz y
P
 Z dx dy dz dx dy dz = 0
z
 X dx dy dz -
Soit encore :
I.2.3 Fluides soumis à la seule action de la pesanteur
Les forces extérieures sont donc exclusivement le poids et on a alors :
0
 F dx dy dz = 
-  g dx dy dz
 1
F  grad P

P
dx dy dz = 0
x
P
dx dy dz = 0
d'où l'on tire :0 =  ===>
y
P
-  g dx dy dz dx dy dz = 0
z
-
P
=0
x
P
=0
y
P
+ g = 0
z
La pression P ne dépend donc que de z et l'on a la relation :
P +  g z= C
te
Il en résulte que les courbes à pression constante sont des horizontales. Une autre façon de le dire revient à
admettre que les pressions sont les mêmes en deux points au même niveau dans un même fluide. Le terme P + gz =


P, est appelé pression piézométrique, ou encore pression étoilée. Le terme P, /g = P/g + z , homogène à une
longueur, est appelé hauteur piézométrique.
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I.2.4 Différentes échelles de pression
La pression P est donc une grandeur essentiellement positive (nulle à la limite ce qui correspondrait au vide
absolu) qui représente une force par unité de surface. Dans le système S.I. les pressions s'exprimeront donc en
newton par mètre carré, unité appelée pascal et notée Pa.
Cette unité est très petite puisque la pression atmosphérique normale Pat est de 1,013 10 5 Pa. On utilise
fréquemment aussi le bar et surtout son sous-multiple le millibar (1 bar = 105 pascal, 1 millibar = 1 hecto pascal =
100 pascal). Dans la pratique courante de l'hydraulique il est fréquent encore d'exprimer les pressions en hauteur de
fluide P/g et donc généralement en mètre d'eau ( 1 m. d'eau à 4° = 1,02 104 pascal). En première approximation
on pourra donc admettre que la pression atmosphérique est de 10 m. d'eau.
Nous avons vu que l'équation fondamentale de la statique était P + gz = Cte. Cette constante dépend du niveau
de référence pris pour les mesures de z. Dans la mesure où l'on travaille le plus souvent sur des liquides
incompressibles, il est possible également de changer le zéro des pressions. Comme la surface des fluides est très
souvent au niveau de la pression atmosphérique, on travaillera le plus souvent en pression relative :
Pression relative = pression absolue - pression atmosphérique
Ceci est si fréquent que sous le vocable pression on sous-entend en hydraulique pression relative et que l'on
précise alors pression absolue lorsque l'on veut parler de la "vraie" pression. Les pressions relatives évolueront donc
de - 1,013 105 Pa à l'infini. Une pression négative signifie alors que l'on est en dépression par rapport à Patm.
p ascal
Pre s s io n abs o lu e
Pre s s io n re l a ti ve
m illibar m . d'eau p ascal
m illibar m . d'eau
5
P ression
1 ,01 3 10 pa 1 01 3 mb 1 0 m
at mo sph érique
0
0
0
-12-
0
0
5
0
-1 ,01 3 10 pa-1 01 3 m b-1 0 m
Exercice N01:
Un tube cylindrique vertical de 1 cm2 de section contient 2 l d'eau. On place sur cette eau un piston pesant 200 g.
Calculer la pression en un point situé à 10 cm du fond.
Calculer la pression effective sur le fond du tube ainsi que la force pressante.
On met sur le piston une masse de 100 g. Trouver les nouvelles pressions, ainsi que la force pressante sur le fond.
Exercice N02:
Un récipient contient de l’eau sur 30 cm de haut et de l’huile sur 50 cm.
La pression au point A est égale à la pression atmosphérique.
Calculer les pressions en B et en C.
Exercice N03:
La figure représente une vue arrière d’un camion transportant du butane liquide.
( Masse volumique du butane liquide : 520 kg.m3 ; Pression au-dessus du liquide : PB = 2 bar )
1- Calculer la pression au point A le plus
bas de la cuve.
2- Calculer l’intensité de la force
pressante exercée sur une vanne
circulaire de 80 mm de diamètre dont
le centre est placé au point A.
Exercice N04:
Un tube en U de section uniforme contient du mercure. Dans la branche A, on verse de l'eau;
dans la branche B, on verse de l'alcool. On constate que les surfaces libres de l'eau et de l'alcool
sont dans un même plan horizontal et que le mercure présente une différence de niveau de 0,5
cm entre les deux branches.
Calculer les hauteurs h et h' d'eau et d'alcool.
On donne : masse volumique du mercure 13,6 g.cm-3 masse volumique de l'alcool 0,8 g.cm -3
Exercice N05:
Un parallélépipède rectangle en laiton est immergé dans l’eau suivant le schéma ci-contre.
Sa hauteur est égale à 14 cm et sa base a la forme d’un carré de 4 cm de côté. La face supérieure est à 20 cm de la
surface libre de l’eau.
1- Calculer la pression exercée par l’eau et la force pressante exercée
sur la face supérieure du parallélépipède.
2- Refaire le calcul pour la face inférieure.
-13-
Exercice N06:
Déterminer la grandeur de la force F, agissant au point A, nécessaire pour maintenir la vanne carrée AB dans sa position
fermée. La vanne est fixée en B par une rotule.
Le liquide considéré est de l'eau (  = 10 kN/m3)
On ne tiendra pas compte du poids de la vanne.
F
z
z
m
A
m
A
B
45°

m
figure 9
Exercice N07:
La cloison AB séparant les deux réservoirs, représentés sur la figure 11 est fixée en A.
Sa largeur est de 1,2 m.
Le manomètre indique -1,5 N/cm² (pression effective).
On demande de déterminer la force horizontale à appliquer en B pour que la cloison soit en équilibre.
On donne :
 a   alcool  8.10³ N / m³
 h   huile  7,5.10³ N / m³
ha = 4,50 m
he = 1,50m
hh = 2 m
air
C
L=1,2 m
alcool
ha
A
D
huile
eau
hh
he
B
F
figure 11
-14-
Exercice N01:
hauteur du liquide h = V/S = 2000/10 = 200 cm = 2 m
En un point du liquide, la pression P vaut : P = P 0 + Peau + Ppiston
Peau = ρgh = 1×1000×10 = 104 Pa = 0,1.105 Pa
Ppiston = F/S = mg/S = 2´10/10-4 = 2.105 Pa
P = 105 + 0,1.105 +2,1.105 = 3,1.105 Pa
Exercice N02:

soit

soit
D’après le principe fondamental de l’hydrostatique :
Erreur ! avec  =huile.g
PB – PA = 900  9,81  0,5 = 4 414 Pa
PB
= PA + 4 414 = 101 300 + 4 414
PB
= 105 714 Pa
D’après le principe fondamental de l’hydrostatique :
Erreur ! avec  = eau.g
PC – PB = 1 000  9,81  0,3 = 2 943Pa
PC
= PB + 4 414 = 105 714 + 2 943
PC
= 108 657 Pa
Exercice N03:
La figure représente une vue arrière d’un camion transportant du butane liquide.
(Masse volumique du butane liquide : 520 kg.m3 ; Pression au-dessus du liquide : PB = 2 bar)
1- Calculer la pression au point A le plus bas de la cuve.
PA – PB = r.g.h d’où
PA = 520  9,81  2 + 2.105
PA = 210 202 Pa = 2,1 bar
2- Calculer l’intensité de la force pressante exercée sur une vanne circulaire de 80 mm de diamètre dont le centre
est placé au point A.
Erreur ! soit FA = 210 202  0,04²  
FA = = 1 057 N
-15-
Exercice N04:
Les points M et N sont à la même pression car ils sont dans le même liquide (mercure) et dans le même plan horizontal.
PM = P0 + Peau = P0 + gh
PN = PHg + Palcool + P0 = "gh" + 'gh' + P0
d'où :
gh = "gh" + 'gh'
h = "h" + 'h'
(1)
h = h' + h"
h' = h – h"
(2)
Portons cette valeur dans (&) :
h = "h" + '(h – h")
h = "h" + 'h – 'h"
h( - ') = h"(" - ')
h = h"(" - ')/( - ')
Application numérique :
h = 0,5(13,6 – 0,8)/(1 – 0,8) = 0,512,8/0,2
h = 32 cm
de (2) : h' = 32 –0,5
h' = 31,5 cm
Exercice N05:
Un parallélépipède rectangle en laiton est immergé dans l’eau suivant le schéma ci-contre. Sa hauteur est égale à 14 cm et sa
base a la forme d’un carré de 4 cm de côté. La face supérieure est à 20 cm de la surface libre de l’eau.
1Calculer la pression exercée par l’eau et la force pressante exercée sur la face supérieure du parallélépipède.
Un point A sur la face supérieure du solide est à 20 cm au dessous du niveau de l’eau :
PA – 101 300 = 1000  9,81  0,2 soit PA = 103 262 Pa
FA = PA  S
soit
FA = 103 262  0,04²
soit
FA = 165,2 N
2Refaire le calcul pour la face inférieure.
Un point B sur la face inférieure du solide est à 20 + 14 = 34 cm au dessous du niveau de l’eau :
PB – 103 262 = 1000  9,81  0,34 soit PB = 106 597 Pa
FB = PB  S
soit
FB = 106 597  0,04²
soit
FB = 170,6 N
1
Exercice N06:
L'équation fondamentale de l'hydrostatique nous permet de déduire :
pB - pA = ρ g Z
=  Z, dans le cas de l'eau.
En connaissant la valeur de la pression en un point, on peut donc en déduire les pressions en tout point dans le fluide.
En A, à la surface "dite" libre règne la pression atmosphérique.
Cette pression vaut 0 si l'on travaille en pression effective.
Dès lors,
p A = p o +  ZA
pB = po +  ZB
Or
ZA = 5 - 2 - 2 cos 45° = 1,586m
ZB = 5 - 2= 3 m
pB = 3 104 N/m²
Donc
pA = 1,586104 N/m²
po = 0
La distribution des pressions sur la vanne AB est linéaire entre A et B (cf. l'équation fondamentale de l'hydrostatique).
On obtient ainsi un diagramme de pressions élémentaires trapézoïdal, tracé perpendiculairement à la surface de la vanne
( les pressions élémentaires s'exercent toujours perpendiculairement à l'élément de surface sur lequel elle s'appliquent).
Pour déterminer l'effort F à appliquer en A pour réaliser l'équilibre de la vanne, il suffit d'écrire l'équilibre des moments par
rapport au point B (on élimine ainsi la réaction en B).
Pour plus de facilité, on remplace d'abord le diagramme des pressions élémentaires par sa résultante R, appliquée en C.
R
PA  PB
. AB.1
2

2PA  PB AB
.
PA  PB 3
où "l" est la largeur de la vanne AB
fournit le point d'application de la résultante par rapport à la grande base du trapèze (c.-à-d. B).
NB. : ceci correspond à déterminer le centre de gravité du trapèze.
Numériquement, on trouve : R = 45858 N.
D = 0,897 m.
L'équilibre des moments par rapport à B donne :
R. - F . ‫׀‬AB ‫ =׀‬0
R. 4,58610 4 N.0,897m
D'où F 

 20572 N c-à-d 20,572 kN
AB
2m
Exercice N07:
La cloison AB séparant les deux réservoirs, représentés sur la figure 11 est fixée en A.
Sa largeur est de 1,2 m.
Le manomètre indique -1,5 N/cm² (pression effective).
2
On demande de déterminer la force horizontale à appliquer en B pour que la cloison soit en équilibre.
On donne :
 a   alcool  8.10³ N / m³
 h   huile  7,5.10³ N / m³
ha = 4,50 m
he = 1,50m
hh = 2 m
air
C
L=1,2 m
alcool
ha
A
D
huile
eau
hh
he
B
F
figure 11
Pour trouver l'effort à appliquer en B pour que la cloison AB soit en équilibre, il faut tout d'abord déterminer les diagrammes
de pression agissant sur la cloison, de part et d'autre de celle-ci.
Les pressions seront perpendiculaires à la cloison verticale c.-à-d. horizontales.
A droite de la cloison, se trouve de l'huile à l'air libre.
Le diagramme des pressions effectives élémentaires est donc triangulaire.
P1 = PA + dhuile Z1
Or P = 0
(pression atmosphérique)
A
Z1 =AB = hh = 2 m
D'où P1 = 15.10³ N/m²
A gauche de la cloison, on connaît la pression régnant dans l'air.
Celle-ci vaut :
P2 = - 1,5 N/cm² (pression effective (ou relative)) c-à-d P2 = - 15.103³ N/m²
A partir de celle-ci, on peut déterminer les pressions en tout point des liquides se trouvant à gauche de la cloison par la relation
fondamentale de l'hydrostatique.
3
P3 = p2 + alcool CA = - 15 1 03 N/m2 + 8 103 N/m3 . (4,5 + 1,5 - 2) m = 17 1 03 N/m2
P4 = p2 + alcool CD = - 15 1 03 N/m2 + 8 103 N/m3 . 4,5 m = 21 1 03 N/m2
P5 = p4 + eau DB = 21 1 03 N/m2 + 104 N/m3 . 1,5 m = 36 1 03 N/m2
Il reste à calculer l'équilibre des moments par rapport à A de toutes les pressions élémentaires s'appliquant à la cloison, et de
l'effort F inconnu.
De nouveau, on remplacera d'abord les diagrammes de pressions par des résultantes et leur point d'application par rapport à A.
- à droite :
p1
15 103 N/m2
- . hh . l = ------------------------------ . 2 m . 1,20 m = 18 kN
- Rhuile = ----2
2
h
h
- huile = hh = 1.333 m
3
- à gauche :
P3 + P4
17 103 N/m2 + 21 103N/m2
Ralcool = -------------------. AD . l = ------------------------------------------------------------------ . 0,50m . 1,20 m = 11,4 kN
2
2
h h  h e 2P3  P4
.
3
P3  P4
0,50 m 2,17 1 03 N/m2 + 21 103 N/m2
= 0,50 m .
3
17 103 N/m2 + 21 103 N/m2
 alcool  h h  h e 
=0,259 m
3
3
2
2
Reau = P4 + P5 . DB . 1 = 21 10 N/m + 36 10 N/m . 1,50m . 1,20 m = 51,3 kN
2
2
3
3
2p +p
e = hh -he . p 4+p 5 = 2m - 1.5 . 2.21. 10 +36. 10 = 1.316 m
3
4
5
3
21. 103 +36. 103
L'équation des moments par rapport à A s'écrit :
F ‫׀‬AB ‫׀‬+ Rhuile .Δhuile = Ralcool Δalcool + Reau . Δeau
4
On en déduit que F = 23,2347 kN, dirigée de la droite vers la gauche.
5
III. RAPPELS D'HYDRODYNAMIQUE
L'hydrodynamique a pour but d'étudier les mouvements des liquides en fonction des forces qui leur donnent naissance.
Parmi ces forces, celles de viscosité n'interviennent que pour les fluides réels. Cette remarque conduit à faire donc la
distinction entre les liquides réels et les liquides parfaits.
Dans tout ce qui suit, nous travaillerons en variable d'Euler, c'est-à-dire que nous étudierons en chaque point de
l'écoulement la vitesse et la pression du fluide en fonction du temps.
III.1 DYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS
III.1.1 Equations générales du mouvement : équations d'Euler
Les différentes forces qui agissent sur un élément de fluide en mouvement se ramènent à :
- des forces extérieures (forces de volume) ;
- des forces de pression (forces de surface) ;
- des forces d'inertie.
Cet ensemble de forces satisfait à l'équation générale de la mécanique :
F = m
c'est-à-dire, si X, Y, Z sont les composantes, suivant les trois axes, de la force de volume

1 P
 x
1 P
y = Y  y
1 P
z = Z  z

F par unité de masse :
x = X -
 = F - 1 grad P

L'équilibre suivant l'axe des y d'un élément de volume parallélépipédique s'établit ainsi :
- force extérieure :
y
z
Y  dx dy dz
- force de pression :

dx dz - [P +
- force d'inertie :
P
dy] dx dz
y
P
P + P/ y dy
Y
dz
y  dx dy dz
dy
dx
y
x

f = m   y  dx dy dz = Y  dx dy dz -
y  Y 
Soit
V
P
dx dy dz
y
1 P
 y
la vitesse d'une particule fluide ; ses composantes u, v, w dépendent du temps et de la position de la particule.
On a donc :
u = f1 (x,y,z,t)
V = v = f2 (x,y,z,t)
w = f3 (x,y,z,t)
6




2
x
x = d 2 = du et u = dx
dt
dt
dt
u dx u dy u dz u
x =
+
+
+
x dt y dt z dt t
On aurait des formulations analogues suivant les autres axes, ce qui donne la relation :

u
u
u
u
 g x  t  u x  v y  w z

v
v
v
v w
 g y   u  v  w
w

t
x
y
z z

w
w
w
g z 
u
v

t
x
y

... soit sous forme vectorielle :
V
 = dV = Ž + 1 grad V2 + rot V V
dt  t 2
En effet :
u
v
+v
+w
x
x
u
v
u
+v
+w
y
y
u
v
u
+v
+w
z
z
u
1 grad V2
2
rot V
w v
y z
u  w
z  x
v u
x y
w
x
w
et
y
w
z
u
V
v
w
u
u
w
v
-w
-v
+v
z
x
x
y
u
w
v
v
u
-u
-w
+w
x
z
y
y
w
u
w
v
v
-v
-u
+u
z
x
z
y
w
rot V V
III.1.2 Equation de continuité
Cette équation traduit la conservation de la masse. Durant un instant dt, l'augmentation de la masse du parallélépipède
élémentaire est :
 ( rdxdydz)

dt =
dx dy dz dt
t
t
Le volume entrant par les six faces associées deux par deux est :
 u
dx] dy dz dt =
x
 v
v dz dx dt - [v +
dy] dz dx dt =
y
w
w dx dy dt - [w +
dz] dx dy dt =
z
u dy dz dt - [u +

 u
dx dy dz dt
x
 v
dx dy dz dt
y
w
dx dy dz dt
z
-
Soit qv le débit par unité de volume des puits ou sources situés dans l'élément de volume (qv> 0 pour une source et qv <
0 pour un puits), l'équation de continuité se met alors sous la forme :
7
 u v w
+
+
+
=   qv
t
z
x
y
Soit encore :

+ div  V =   qv
t
Dans le cas où
div
V
  qv = 0, on dira que l'écoulement est conservatif et si de plus le liquide est incompressible :
= 0.
III.1.3 Equation caractéristique du fluide
Cette équation traduit les caractéristiques physiques du fluide : f (P, , T) = 0
Pour les fluides supposés incompressibles, l'équation s'écrit :  = Cte
III.1.4 Equations intrinsèques
Ce sont les équations du mouvement le long de la trajectoire. Pour les obtenir, on projette l'équation d'Euler
1

= F-
grad P sur la direction du vecteur vitesse et sur sa normale :
T rajectoire
V + V
C
O
s

M
M'
I
V + V
Vs Vs

dV
t
s
=
dt gn  Vn  Vn
t
s
Or :

Vn
V = Vs
V
gs 
V
Vs
ds Vs
Vs

 Vs
dt
t
s
s Vn
Vn

 Vs
t
t
s
Soit R le rayon de courbure de la trajectoire en M et s
l'abscisse curviligne de M, le vecteur F le long d'une
trajectoire est fonction de s et du temps t ; on a donc
suivant les deux directions définies plus haut :
Vn Vs
=
(voir hodographe)
R
s
Vs
Vs
 Vs
s
 t
Vn Vs 2

t
R
F | N,T :
Vs
Vs
Vs
r

s
t
  =  F - grad P
V 2 s rVn
P

 N 
R
t
n
Les projections de l'équation d'Euler s'écrivent donc si
(dans cette expression V est égal à Vs)
8
III.2 RELATIONS DE BERNOULLI
III.2.1 Première formulation
Nous reprenons les équations intrinsèques en faisant l'hypothèse que nous avons un fluide parfait en écoulement
permanent, rotationnel ou non. L'écoulement étant permanent, les dérivées partielles, par rapport au temps, sont nulles.

= 0 
t
V
P
 T 
s
s
V 2
P
 N 
R
s
V
Supposons de plus que les forces dérivent d'un potentiel, nous avons alors :
U
u
, N=s
n
F = - grad U  T = -
Le plus souvent, les forces de volume se réduisent aux forces de pesanteur ; on a : U = gh, d'où :

 V
 (P  gh ) V 2   (P  gh )

,

V
s

R
s

Le long d'une ligne de courant (confondue avec la trajectoire en régime permanent), on peut intégrer l'expression...
V
... sous la forme :

V  ( P  gh)
s
s
V2
 P  gh

ds  Cte
2
s
Ce qui donne le long d'une ligne de courant :
2
V + h + P = Cte
g
2g
... et entre deux points d'une même ligne de courant :
2
2
V 1 + h + P1 = V 2 + h + P2
1
2
g
g
2g
2g
III.2.2 Deuxième formulation
Les équations d'Euler peuvent se mettre sous la forme vectorielle :
V 1
dV
=
+ grad V2 + rotV  V
t 2
dt
En supposant le fluide incompressible et l'écoulement permanent et irrotationnel, on a :
rotV

=0
et

=0
t
dV 1
= grad V2
dt 2
Par ailleurs, les forces dérivant d'un potentiel U = gh, on a :

dV
=  F - grad P
dt

dV
= - grad( P  gh)
dt
Ce qui donne, en combinant avec l'expression précédente...

2
grad V2 = - grad( P  gh)
9
... et en intégrant dans tout le domaine de l'écoulement :
2
V + h + P = Cte
2g
g
III.2.3 Représentation géométrique et interprétation énergétique du théorème de Bernoulli
En chaque point A du filet liquide MN, on a la relation :
2
P + z + V = Cte
2g
g
Si, à partir d'un plan horizontal de référence
HH', on porte la cote z du point A considérer, le lieu des
points A est la trajectoire (ou ligne de courant en
régime permanent). Au-dessus de A, on porte le
segment AB représentant la hauteur de fluide
correspondant à la pression : AB = P/g ; le lieu des
points B correspond à la ligne des niveaux
piézométriques. Enfin, le segment BC représentera la
hauteur correspondant à la vitesse : BC = V2/2g. Le
lieu des points C est situé dans un plan horizontal et est
appelé "ligne d'énergie".
Ligne d'énergie
nivea u p
i
tra je
éz ométr
i
ctoir
e
que
C
V2 / 2g
B
P /g
A
P*/g
2
z +V / 2g+ P /g
= Cte
z
H
H'
plan horizontal de référence
En écrivant le théorème de Bernoulli sous la forme suivante :
2
V + P + gz = Cte
2

On remarque, que le terme V2/2 représente l'énergie cinétique par unité de masse du fluide, les termes P/ et gz
représentent l'énergie due à la pression et à la position. La constante représente donc bien l'énergie mécanique totale par unité
de masse de fluide :
2
V + P + gz = E
2

Le théorème de Bernoulli traduit donc la conservation de l'énergie mécanique le long d'une ligne de courant ou
dans tout le fluide si le mouvement est irrotationnel.
Dans le cas particulier où, entre un point 1 et un point 2, le fluide traverse une machine hydraulique, on a la relation :
2
V1
2
+ P1 + gz1 = V

2
2
2
+ P2 + gz2 + E

... E représentant l'énergie absorbée par la machine et par unité de masse du fluide.
V1
P1
z1
m achine
hydraulique
V2
P2
z2
E > 0  turbine
E < 0  pompe
E
III.3 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS
III.3.1 Rappels sur la viscosité : formule de Newton
On montre que la force de frottement dF qui s'exerce sur l'élément de surface d, séparant deux couches de liquide
animées des vitesses V et V + dV, est donnée par la relation :
dF = - µ dV
d
dn
10
Le coefficient µ de dimensions [M L-1 T-1] est caractéristique de la viscosité dynamique du fluide (Unité SI :
décapoïse). Eau à 20º C : µ = 10-3 décapoïse.
On peut définir également un coefficient de viscosité cinématique  tel que :
 = eau à 20º C :  = 10-6 myriastokes - eau à 10º C :  = 1,3 10-6 myriastokes

1,8 10-6
1 + 0,0368  + 0,000221 
2
( température de l'eau en °C)
III.3.2 Equations de Lamé
Les équations de Lamé donnent les éléments de la matrice des composantes du tenseur des contraintes :
x xy
yx y
zx zyy
xz
yz
z
Les composantes tangentielles sont proportionnelles aux vitesses de déformation angulaire
 w 
+
yz = -  (
 y 
 u 
xz = -  ( + 
z
 v 
xy = -  ( +
x
v
)
z
w
)
x
u
)
y
Les composantes normales sont des fonctions des vitesses de déformation linéaire :
u
 hq
x
v
y  2µ  hq
y
w
z  2µ
 hq
z
x  2µ
représentant la dilatation cubique si le fluide est incompressible :
=
u  v  w
+
+
= div ( V ) = 0
x y z
u
x
v
 y  2µ
y
w
 z  2µ
z
 x  2µ
III.3.3 Equations de Navier-Stokes
Ces équations sont obtenues, comme pour les équations d'Euler, en écrivant l'équilibre des forces agissant sur un
élément de fluide. Aux forces extérieures, aux forces de pression et aux forces d'inertie s'ajoutent, donc des forces de viscosité
qui ont pour expression en projection sur l'axe ox :
11
z
xz
yz
dz
y
yx
face
perpendiculaire 0
à oy
dx
dy
xy
face
x
perpendiculaire
à ox
y
z
face
x
Fµox = [x-x -
zy perpendiculaire
zx
à oz
zx
 x
yx
dx] dy dz + [yx - yx dy] dx dz + [zx-zx dz] dx dy
z
x
y
Fµox = - [
 x yx zx
+
+
] dx dy dz
z
x
y
Ce qui donne en remplaçant par les valeurs de  et de  :
 u  w
Fox
 2U
 v u
=2µ
+µ
[
+
]+µ
[
+
]
2
dx dy dz
 x z  x
y x y
x
Fox
 2u  2u  2u
 u  v  v
=µ[
+
]+µ
[
+
+
]
2
2
2
dx dy dz
 x y z
x
y z
-
Or :
u  v  w
 2u  2u  2u
+
+
= u ;
+
+
= div ( V ) = 0
2
2
2
x y z
x
z
y
Fµox = - µ
On trouverait de même sur les autres axes :
Fµox = - µ
Fµox = - µ
Enfin, en posant  =
 u dx dy dz
 v dx dy dz
 w dx dy dz

, les équations de Navier-Stokes s'écrivent :


 1 r
 X   x  nu



x

 1 r

 Y   y  nv
  y
 1 r

 Z   z  nw

  z
Soit sous forme vectorielle :

  1
  F  gradP  V

12
III.3.4 Extension du théorème de Bernoulli au cas des fluides réels
En appliquant les équations de Navier-Stokes en
plan de charge
projection sur la trajectoire d'une particule fluide, on
Ligne d'é
J
démontre qu'en régime permanent, les équations du
ne rgie
mouvement du fluide incompressible, mais visqueux et
soumis aux seules forces de la pesanteur sont telles
nivea u p
2
ié zomét
V / 2g
que :
r
i
q
u
e
tra je
ctoir
2
e
P V

z+
+
 (  u dx +  v dy +  w dz) =
P /g
g 2 g g
Cte = H
H
P*/g
Le dernier terme :
z
J=-
H

 (  u dx +  v dy +  dz) homogène à une
g
longueur, sera appelé perte de charge.
H'
plan horizontal de référence
III.4 THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT
Ce théorème, également appelé théorème d'Euler, s'applique aussi bien aux fluides réels qu'aux fluides parfaits. Il
présente l'avantage de s'appliquer à des volumes fluides de dimensions finies sans qu'il soit nécessaire de connaître les champs
de vitesse et de contrainte à l'intérieur du domaine.
On appelle impulsion ou quantité de mouvement d'une masse ponctuelle m, le produit m V de sa masse par sa
vitesse :
mu
m V = mv
mw
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
 F =m  =d[
mV
]
dt
La résultante des forces extérieures est donc égale à la dérivée par rapport au temps de l'impulsion.
On applique alors ce principe à un tube de
B
B'
P1
courant dans un écoulement permanent d'un fluide
incompressible :
A

V1
A'
C
C'
P2
D
F dt = d (  m V )
Le tube de courant est supposé suffisamment fin pour
que les quantités P et F puissent être considérées
comme constantes dans une section.
Durant l'instant dt, le fluide est venu en A'B'C'D'
mais le régime étant permanent, la quantité de
mouvement de l'élément A'B'CD n'a pas changé.
V2
D'
Soit q le débit en masse du tube de courant considéré, les masses des éléments ABB'A' et CDD'C' sont égales à qdt. La
variation de quantité de mouvement durant l'intervalle de temps dt est donc :
d
 mV   q dt V
2
13

 V 1   m Fdt

F représente la résultante des forces extérieures qui sont :
- les forces de pression sur les parois et sur les bases du tube ;
- les forces de volume telles que la pesanteur ;
- les forces de parois exercées sur le fluide par les surfaces
solides.
On peut généraliser ce théorème à une surface quelconque :
Le débit masse sortant par dS par unité de temps est :
dq =  ds Vn
Le débit de mouvement est :
dq V =  dS Vn
Le théorème d'Euler s'écrit alors :
Dom aine S
dS
Vn
V
V
 F    dsVn V
s
III.5 APPLICATIONS DU THEOREME DE BERNOULLI
III.5.1 Pression dans une conduite : tubes piézométriques
La répartition des pressions est hydrostatique le long d'une ligne normale aux lignes de l'écoulement. Aussi, dans une
section droite S d'une canalisation, nous avons :
P+gh = Cte = P*
La quantité P*/g peut être mesurée à l'aide d'un tube piézométrique. Le tube communique avec la canalisation par une
ouverture parallèle à l'écoulement, appelée prise de pression statique.
P*
g
S
La quantité P +  gh demeure constante dans la
section S ; il en est de même à l'intérieur du tube
piézométrique quelle que soit sa forme. Au voisinage
de la prise de pression, il se produit une discontinuité
des vitesses mais on peut faire l'hypothèse que P ne
subit pas de discontinuité, la cote z étant la même de
part et d'autre de la prise de pression ; la quantité P + 
gh est la même dans toute la section S et dans tout tube
piézométrique débouchant dans cette section.
14
III.5.2 Pression en un point d'arrêt : tube de Pitot
Si un obstacle est interposé dans l'écoulement du
fluide, il existe une ligne de courant qui s'arrête le long
de cet obstacle. Le point où s'arrête la ligne de courant
est appelé point d'arrêt. La vitesse y est nulle.
En appliquant le théorème de Bernoulli le long
de la ligne de courant AB, on a :
2
V
2g
P *B
g
2
PB
P
+ hB + V = A + hA
2g g
g
P*A P*B V 2
=
+
2g
g
g
*
PA
g
Cette remarque a été appliquée dans la
réalisation du tube de Pitot qui permet de mesurer les
vitesses. L'appareil comporte une portion allongée que
l'on oriente parallèlement à l'écoulement. A l'extrémité
de celle-ci se trouve une prise de pression totale (A est
un point d'arrêt). Le long de cette partie se trouve
également une prise de pression statique (S). Les deux
prises sont reliées à deux tubes piézométriques ou à un
manomètre différentiel.
A
V
B
ra nt
e cou
d
e
n
lig
P lan de référence
La différence de lecture H représente le terme
2
V d'où : V =
2g
2gH
III.5.3 Ajutage de Venturi
Un Venturi est composé d'un élément conique convergent, suivi d'un court élément cylindrique (le col) puis d'un
divergent. Deux tubes piézométriques correspondent avec des prises de pression statique situées à l'amont du convergent et au
col.
15
Soit S la section en amont et s la section au col ;
le théorème de Bernoulli appliqué entre ces deux
sections s'écrit :
P 1* H
g
1
2
2
P1* + V1 = P2* + V2
2g  g
2g
g
nt
s
2
P 2*
g
col
L'égalité des débits entre les deux sections se
traduit par la relation :
div
er g
e
con
ve
rge
nt
2
S
2
P1 + h1 + V1 = P2 + h2 + V2
2 g g
2g
g
q = V 1 S = V2 s
2
 2 Q (S2  S2)
  H = P1*  P2* = V2 V1 =
2 2
2
g
Q=
2g
Ss
S s
2
2
2g S s
2 gH
En posant s = [ d ]2 = m, on obtient :
S
D
Q=
s
1  m2
2 gH
III.6 APPLICATION DU THEOREME D'EULER
III.6.1 Action d'un fluide sur un coude de conduite
Soit un coude de conduite horizontale compris entre deux sections S 1 et S2 identiques ; nous appliquons à cet élément
le théorème d'Euler.
Par raison de symétrie R est orientée sur la bissectrice
de l'angle du coude.
La projection des forces sur l'axe oy est :
0:
0:
- P2 S2 sin 
+ PQV2 sin 
pression sur S1,
flux à travers S1,
pression sur S2,
quantité de mouvement
à travers S2,
R cos:action des parois sur le fluide.
S1
P1
QV1

/2
y
F = Q
R
S2
P2
QV2

V Rcos  - P2S2 sin  =  QV2 sin R cos  = ( QV2 + P2S2) sin 
2
2

R = 2 ( QV + PS) sin
2
La poussée exercée par le fluide sur le coude est - R .
16
III.6.2 Ecoulement dans un élargissement brusque
B
d P1
s V1
C
A
D
P2
A'
S
V2
B'
C'
Soit une conduite cylindrique de section s
débouchant dans une autre conduite de section S. A
la sortie de la section s, il se forme un jet qui ne
recolle pas immédiatement aux parois de la section
élargie. Il se forme alors une zone morte où on
observe un mouvement tourbillonnaire intense.
Entre la section s et la section S, distance d'environ
20 D, on observe une perte de charge H que l'on va
essayer de calculer.
2
2
2
 2
 H = [ P1* + V1 ] - [ P2* + V2 ] = V1 V2 + P1*  P2*
g
2g
g
2g
2g
g
L'action de la paroi sur le fluide est obtenue par application du théorème d'Euler au volume ABC C'B'A'.
V2 2  S - V 1 2  s = P 1 * s - P 2 * S + R
Débit de mouvement
Forces extérieures
R est l'action de la paroi sur le fluide, mais si on admet que P* est constant suivant BAA'B', on sait alors que :
R = (S - s) P1* d'où :
V2 2 S - V1 2 s =
S(P1*  P2*)
; V1 s = V 2 S

2
P1*  P2* = V2 - V1 V2
g
g
g
2
2
2
2
 2
 2

 H = V1 V2 + P1*  P2* = V1 V2 2V2 2V1
2g
g
2g
2
[V1 - V2]
H=
2g
17
IV. REGIMES D'ECOULEMENT
L'écoulement d'un fluide, peut se produire de deux façons différentes, selon les conditions locales de vitesse. En effet,
depuis très longtemps, on a observé qu'à faible vitesse, l'écoulement se faisait de telle façon qu’en régime permanent, les
lignes de courant sont stables et ne se mélangent pas. Dans cet écoulement, appelé laminaire, les couches fluides glissent les
unes sur les autres et il n'y a pas de transfert de particules d'un filet fluide à un autre.
Par ailleurs, lorsque la vitesse croît, les filets fluides paraissent osciller et vibrer, puis ils perdent leur identité propre.
Dans ce régime, appelé turbulent, les particules oscillent rapidement autour de leur trajectoire.
IV.1 NOMBRE DE REYNOLDS
IV.1.1 Définition
Le passage d'un régime à l'autre dépend de la valeur d'un paramètre adimensionnel, le nombre de Reynolds.
Re = VD

où
V est une vitesse caractéristique de l'écoulement,
D est une des dimensions géométriques,
et
 est le coefficient de viscosité cinématique du fluide.
Par exemple, dans le cas de l'écoulement dans une conduite circulaire, si on prend pour valeur de V la vitesse moyenne du
fluide [ V =
Q
] et pour D la valeur du diamètre de la conduite, le nombre critique de Reynolds est de 2000.
S
Si Re
<
2000
Régime laminaire
Si Re >>
2000
Régime turbulent
Une autre façon de présenter la condition pour que le régime soit laminaire est de poser :
V < 2000  = Vc
,
D
Vc étant appelé vitesse critique.
Pour le cas d'une conduite de 10 cm de diamètre transportant de l'eau à 20º C, on a :
6
Vc = 2000 10 = 2.10-2 m/s
0,1
On voit alors que dans la plupart des problèmes pratiques d'hydraulique, on aura affaire au régime turbulent (exception
importante pour l'hydraulique souterraine).
 = 10-6 maSk 
D = 0,1m
IV.1.2 Signification physique du nombre de Reynolds
Les principales forces qui interviennent en hydraulique sont les forces d'inertie, de turbulence, de pesanteur, de viscosité
et de capillarité.
Lors de l'établissement des formules de Navier-Stokes, les forces d'inertie avaient pour composantes :
u
 = du =  u
+ .....
x
dt
2
Ces forces étaient donc proportionnelles à  V .
D
Les forces de viscosité avaient pour composantes...
µ
 2U
+ ...
x 2
... elles étaient donc proportionnelles à µ V2 .
D
On montre alors que...

 V

2
proportionnel aux forces d'inertie
D
V
µ 2 proportionnel aux forces de viscosité
D
2
... et on a :
V
D =  V D = V D = Re


D
Le nombre de Reynolds est donc une quantité proportionnelle au rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité.
18
IV.2 REGIME LAMINAIRE
IV.2.1 Conditions d'existence
Comme on l'a vu précédemment, le régime laminaire existe pour de faibles valeurs du nombre de Reynolds, c'est-à-dire
:
- si le fluide est très visqueux ;
- si les vitesses sont lentes ;
- si les dimensions sont faibles.
Ces conditions sont peu fréquentes dans l'hydraulique classique et on ne les rencontre guère que dans les domaines de la
lubrification, et des écoulements en milieux poreux.
IV.2.2 Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique
Soit un tube rectiligne de section circulaire constante de rayon r ; le fluide s'y déplace en régime laminaire et
permanent. Dans ces conditions, le mouvement est uniforme, l'écoulement reste le même dans tous les plans passant par
l'axe du tube. Nous étudierons cet écoulement dans le plan vertical passant par l'axe du tube.
Soit  l'angle de la verticale avec l'axe du tube ;
l'équilibre du cylindre de rayon y entre les sections S1 et S2
s'écrit en projection sur l'axe du tube :
- le poids est :
-  g  y2 l cos  = -  g  y2 (z2 - z1)
- la résultante des pressions est : (P1 - P2)
- la réaction sur la surface latérale est :
-  2  y l = µ du 2
dy


y2
yl
L'équilibre de ces forces permet d'écrire :
 g  y2 (z2 - z1) + µ du 2  y l + (P1 - P2)
dy
- du =
dy

y2 = 0
 gy
y
(z2 - z1) + (P1 - P2)
2l
2 l
P*1 = P1 +  gz1 et P*2 = P2 +  gz2
y
(P*1 – P*2)
2 l
P*1 - P*2
- du =
y dy
2l
P*1 - P*2 2 te
-u=
y +C
4l
- du =
dy
Or, comme condition à la limite, on a : r = y
U = 0
U=
P*1 - P*2 2 2
(r + y )
4l
La vitesse croît donc selon un rayon de façon parabolique ; le débit s'obtient en intégrant la vitesse sur toute la surface :
r
Q=

2  y dy U
r
2 y
o
Q=

o
P*1 - P*2 2 2
(r + y ) dy
4l
Q=
 r 4 P*1  P*2
8
l
19
Q P*1  P*2 r 2
=
S
l
8
P*1 - P*2 2
Soit Vm la vitesse maximale :
Vm =
r =2V
4l
P*1 - P*2
Le régime étant permanent, les vitesses en S1 et S2 sont les mêmes et
représente la perte de charge entre ces deux
g
Soit V la vitesse moyenne :
V=
sections :
En posant j =
 V2
2gD
P*1 - P*2
=jl
g
P*1 - P*2
j=
g l
P*1 - P*2 8V
2gD P*1 - P*2
=
Or :
=
2
2
l
g l
V
r
8V
 = 2D2
r= D
2
2
V
r
64
l = 64
l=
= 64
Re
VD
VD

 = 64
Re
IV.2.3 Ecoulement entre deux plans parallèles. Analogie Hele-Shaw
Soit un écoulement laminaire permanent d'un fluide incompressible entre
deux plaques planes et parallèles. L'équation de Navier-Stokes s'écrit :
y
1

gradP  F 
dV
 V
dt
Dans le système d'axe choisi : F | o, -g, o
e
x
1 P
= - du +   u
dt
 x
1 P
= - g - dv +   v
dt
 y
1 P
= - dw +   w
dt
 z
z
La vitesse demeurant parallèle aux plaques, w est nul et l'équation de continuité qui s'écrivait...
div 
... se ramène à :
V
= 0 ;  = Cte
 div V
u  v
+
=0
x y
En régime permanent :
u  v
=
=0
t  t
20
=0=
u  v  w
+
+
x y z
u
u
 du
 dt  u x  v y
 dv
v
v
 u v
x
y
 dt
d'où :
En faisant apparaître la pression étoilée = P* = P*1 +  gy1, les équations s'écrivent :
1

gradP*  
dV
 V
dt
Cet écoulement laminaire se faisant à faible vitesse et avec une faible courbure des filets liquides, on peut négliger les
forces d'inertie devant les forces de viscosité, d'où l'équation :
1

gradP*  V
 P *
 2u  2u  2u
 µ[ 2  2  2 ]

x
y
z
 x
2
2
 v  v  2v
 P *
 µ[ 2  2  2 ]

x
y
z
 y
2
2
 w  w 2w
 P *

µ
[


]
 z
x 2 y 2 z 2

Or, les filets fluides étant peu courbés, la vitesse varie beaucoup plus vite dans la direction Oz que dans les deux autres.
Il en résulte que...
 2u  2u
 2v  2v
+
et
+
z 2 y 2
x 2 y 2
... sont négligeables devant :
 2u  2 v
et
z 2 z 2
Comme par ailleurs w = 0, les équations de Navier-Stokes se ramènent à :
 P *
 2u
µ 2

z
 ?x
 2v
 P *
µ 2

z
 y
 P *  0
 z
Cet écoulement satisfait l'équation de Laplace. En effet, on a :
u  v
+
=0
x y
 2u
 2v

[
]

[
]
2
2
2
 P*
2P *

z

z
=µ
; 
=µ
x
x 2
y
? y2
 P*  P*
+
= µ
y 2
x 2
2
2
2[
Si on intègre deux fois par rapport à z :
21
u v
 ]
x y
= 0 =  P*
z 2
 2 u 1 P *
=
[
]
z 2  x
u 1 P *
=
z + C (x,y)
z µ x
1 P * 2
u=
z + C (x,y) z + D (x,y)
2 µ x
La distribution des vitesses étant symétrique : C (x,y) = 0
1 P * 2
z  D( x , y )
2µ x
1 P * 2
V v
z  G ( x , y)
2µ y
w0
u
Pour z = ± e , u = v = 0 et pour z = 0, u = u max, v = v max
2
2

1  P *  e 
 
u max   
2µ  x  2 


2
v max   1  P *  e 

2µ  y  2 
V
2

e / 2  z 2
u  u max 
e / 22
e / 22  z 2
v  v max 
e / 22
w0
Les vitesses moyennes s'obtiennent alors en faisant :
Umoy 
e
2
1
U  xyzdz
e e

2
 U moy = 2
3
*
2
e  P 
3 8  x 
U max = - 2

e 2 P *
Umoy



12µ x
V moy 
2
Vmoy   e P *

12µ y
L'écoulement dans un milieu poreux se met sous la forme :
v=-
k
 P*
µ
Il y a donc analogie avec la forme de l'écoulement entre deux plaques rapprochées où
V
et les éléments correspondants sont les suivants :
Milieu poreux
P* =  gy + P
q
moy = -
e2
 P*
12µ
Milieu Hele Shaw
P* =  gy + P
<--o-->
<--o-->
V moy
22
q =-
k
 P*
µ
<--o-->
V
moy = -
e2
 P*
12µ
IV.3 REGIME TURBULENT
A partir d'une certaine valeur du nombre de Reynolds, les trajectoires des différentes particules s'enchevêtrent. Ceci
provient du fait que les molécules, se heurtant aux aspérités des parois solides, sont renvoyées au sein de la masse liquide.
IV.3.1 Fluctuations du vecteur vitesse
Même en régime permanent, le vecteur vitesse n'est constant ni en grandeur ni en direction. Si les conditions aux limites
sont maintenues constantes, on obtient un écoulement permanent en moyenne et on définit en tout point un vecteur vitesse
moyenne :
t T

1
u   U dt
T t

t T
 
1
V v   V dt
T t

t T

1
w   W dt
T t

A tout instant et en tout point, on peut donc exprimer le vecteur vitesse
V
sous la forme :
u  u'  u
V v  v'  vavec u '  v'  w'  0
w  w'  w
On peut donc appliquer à l'étude du régime turbulent les mêmes équations que celles du régime laminaire en
remplaçant U,V,W par u, v, w ainsi qu’en ajoutant les tensions supplémentaires dues aux fluctuations de vitesse. Ces tensions
supplémentaires sont généralement suffisamment élevées pour que les tensions d'origine visqueuse soient négligeables devant
elles.
IV.3.2 Echange latéral de quantité de mouvement
Les tensions supplémentaires dues à la turbulence s'expliquent par l'échange latéral de quantité de mouvement. En effet,
les filets fluides ne "glissent" plus les uns contre les autres, mais des éléments liquides animés de vitesses différentes
s'interpénètrent profondément. Cet échange se produit également au régime laminaire, mais à l'échelle moléculaire. Dans le
régime turbulent, ce sont des éléments fluides de dimensions finies qui s'échangent latéralement.
IV.3.3 Influence de la turbulence sur la répartition des vitesses
En régime laminaire, le profil des vitesses est parabolique mais en régime turbulent, les vitesses tendent à s'égaliser
plus rapidement ; le profil devient plus aplati. Dans une canalisation circulaire, le rapport de la vitesse maximum à la vitesse
moyenne est voisin de 1,2 (pour 2 en régime laminaire).
23
régime pleinement
turbulent
V
0,99 V
Couche limite
d'épaisseur 
Sous-couche laminaire
Dans un liquide en écoulement turbulent, on peut
distinguer deux zones.
La première, non au contact des parois, présente un
faible gradient de vitesse.
La seconde, au contact des parois, et de très faible
épaisseur, présente un fort gradient de vitesse.
Cette dernière zone constitue la couche limite d'épaisseur .
L'écoulement se faisant à fort nombre de Reynolds,
l'écoulement dans la couche limite devient également turbulent,
sauf au voisinage des parois où les fluctuations latérales des
vitesses sont gênées par la présence des parois et où la pente du
profil des vitesses est très grande, ce qui donne des contraintes
visqueuses très importantes.
Dans cette zone appelée "sous-couche laminaire", le
régime demeure laminaire puisque les forces de viscosité n'y
sont plus négligeables devant les forces d'inertie et de
turbulence.
24
V. ECOULEMENTS PAR LES ORIFICES, AJUTAGES ET DEVERSOIRS
IV.1 ECOULEMENT PAR LES ORIFICES
IV.1.1 Orifices non noyés
L'écoulement se fait à partir d'un bassin de grande dimension dont le niveau est supposé constant. A travers un orifice
ménagé dans la paroi, l'écoulement se fait à l'air libre.
A une certaine distance de la paroi, la veine
A
fluide s'est contractée. Dans cette section, dite
contractée, les vitesses sont parallèles entre elles et le
terme P* est constant. On peut alors appliquer le
H
théorème de Bernoulli entre un point A à la surface
libre et un point B de la section contractée.
m
Soit  la surface de l'orifice et m la surface de
B
la section contractée ; m est appelé coefficient de
contraction (m < 1).
H
En A :
VA = 0
PA = Patm
zA = H
En B :
V
PB = Patm
zB = h

2
Patm
Patm
h
+H=
+ V +H
g
g
2g
V=
2g (H - h) =
2 g (H )
Cette formule est appelée formule de Toricelli
où  H représente la charge sur l'orifice.
P lan de référence
Le débit est obtenu en intégrant la vitesse sur toute la section contractée, d'où :
Q=

2g (Hh) ds
mω
Cette intégrale est généralement difficile à calculer et on fait l'approximation suivante : la vitesse moyenne dans la
section contractée est celle de la molécule qui passe au centre de gravité de cette section.
Q = m
2 gH
Cette formule est d'autant moins approchée que l'orifice est petit par rapport à la charge.
La valeur du coefficient m dépend de la nature de l'orifice et on distingue :
- les orifices en mince paroi où l'épaisseur e de
la paroi est plus petite que la moitié de la plus petite
e
dimension transversale de l'orifice. Dans ce cas, le
coefficient de contraction dépend encore de la forme
e < d/2
d
de l'orifice, position par rapport à la verticale et par
l'acuité des arêtes.
En première approximation et pour un orifice
circulaire, on peut admettre m = 0,62.
- les orifices à veine moulée, où la paroi
intérieure de l'orifice épouse la forme de la veine de
manière à ce que la section contractée soit à l'intérieur
de la paroi.

Dans ce cas, on aurait théoriquement m=1 mais
en fait, il se produit toujours des pertes de charge et on
ne dépasse jamais m=0,98.
25
V.1.2 Orifices noyés
A
On applique le théorème de Bernoulli entre les
points A de la surface et B de la section contractée.
PA = Patm
V=0
zA
PB =  g H1 + Patm
V
zB
2
Patm
Patm
+ zA =
+ H1 + z B + V
g
g
2g
H
H
zA
1
2
V =z -z -H
A B
1
2g
B
2
V =H
2g
zB
On obtient une formule analogue à celle du
régime dénoyé mais H représente ici la différence de
cote entre les plans d'eau amont et aval.
V = 2g H
Les valeurs des coefficients de contraction sont légèrement inférieures en régime noyé qu'en régime dénoyé. Par
exemple, pour une vanne de fond noyée : m = 0,61 (au lieu de 0,70).
V.2 ECOULEMENT PAR LES AJUTAGES
Un ajutage est un petit conduit de forme variable, généralement circulaire, dont on munit un orifice.
V.2.1 Ajutage cylindrique sortant
A
Soit un ajutage suffisamment long pour que la
veine fluide recolle aux parois après la section
contractée.
2
Patm
Patm
+z+H=
+z+ V +J
g
g
2g
Sect ion cont ractée
H
B
(Charge en A = Charge en B + Pertes de charge entre A
et B)
La perte de charge entre A et B résulte
essentiellement de la variation des sections offertes à
l'écoulement et on peut l'estimer à :

z
2
J = 0,49
2
d'où :
H = 1,49
V
2g
=>
V = 0,82
2g H
=>
Q = 0,82 
V
2g
2g H
0,82 n'est pas un coefficient de contraction mais le coefficient de débit. On montre par ailleurs que le coefficient de
contraction de la veine fluide est légèrement augmenté par rapport à la valeur de 0,62. La pression qui règne en C est inférieure
à la pression atmosphérique (phénomène de Venturi) et on montre que la dépression y est de 0,75 H.
26
V.2.2 Ajutage cylindrique rentrant ou ajutage de Borda
IV.2.2.1 : Ajutage court
Si la longueur de l'ajutage est suffisamment
courte, le jet sort sans toucher les parois et le même
calcul que pour les orifices en mince paroi est possible.
On montre que le coefficient de contraction est ici de
m = 0,5.
Q = 0,5 
H
2g H

IV.2.2.2 : Ajutage long
Si la longueur est suffisamment grande pour que la veine recolle aux parois, le coefficient de débit passe à 0,7 et le
coefficient de contraction demeure de 0,5.
27
VI. ECOULEMENT DANS LES CANALISATIONS EN CHARGE
L'objet de ce chapitre, est d'étudier les conditions d'écoulement des fluides incompressibles, dans des conduites en
charge et en régime permanent en moyenne. Nous évoquerons en premier lieu, les pertes de charges dans les conduites
cylindriques longues, puis celles provoquées par les singularités du réseau.
VI.1 ECOULEMENT EN CHARGE
VI.1.1 Définition
Un écoulement en charge se définit par des conditions aux limites particulières. Elles font intervenir des frontières
géométriques solides, des conditions de vitesses et de pressions (constantes dans un plan horizontal). Il n'intervient pas de
surfaces libres à moins qu'elles ne soient horizontales. En général, le terme g n'intervient pas explicitement dans les équations.
VI.1.2 Charge dans une section
On définit la charge en un point M comme la quantité :
2
2
*
H = V + P +z = V + P
2g g
2g g
(H représente l'énergie mécanique du fluide en M par unité de poids, et est exprimée en hauteur de fluide)
Dans une section droite d'une conduite rectiligne la répartition des pressions est hydrostatique donc P* est constant
dans toute la section. Par contre la répartition des vitesses n'est pas uniforme et dépend de la géométrie de conduite. La charge
moyenne dans une section peut se mettre sous la forme suivante :
H=1
S
S
Hds = 1
S
S
P* + V2 ds = P* + 1
g 2g
g S
S
V2 ds
2g
Si U est la vitesse moyenne dans la section, et si on pose ,un coefficient tenant compte de la section de la conduite et
de la nature de la paroi on a :
*
H= P +1
g S
K=
S
V2 ds
2g
P*
2
+ U
g
2g
Soit H la charge moyenne dans une section :
2
H= P +z +  U
g
2g
Pour les conduites circulaires en régime turbulent  est de l'ordre de 1,04 avec (0,2 < Ø < 1 m). Il diminue avec la
taille de la conduite pour atteindre 1,01 pour les aqueducs de section circulaire. En général, on ignore la valeur exacte de  et
on pose  = 1, ce qui n'introduit qu'une erreur mineure dans les calculs.
VI.2 EXPRESSION GENERALE DE LA PERTE DE CHARGE LINEAIRE
Nous étudierons les pertes de charges provoquées par l'écoulement d'un fluide en régime permanent dans une
conduite cylindrique.
VI.2.1 Facteurs explicatifs
La différence de charge,  H = H1 - H2 entre deux sections distantes de L, est fonction de :
- la nature du fluide caractérisée par et µ ;
- la vitesse moyenne du fluide V (ou le débit puisque V = Q/S) ;
- la taille du tuyau connue à travers son diamètre D ;
- la rugosité des parois que l'on peut supposer caractérisée par la dimension  des aspérités et leur écartement
moyen e.
 H = f (L,  , µ, V, D, , e)
ou encore :
f (  H, L,  , µ, V, D, , e) = 0
28
On démontrera plus loin que cette fonction de huit paramètres s'exprimant à partir de trois unités [L] [M] [T] peut se
ramener à une fonction de 8 - 3 = 5 paramètres adimensionnels composés à partir des 8 paramètres initiaux. On peut construire
ainsi une série complète de nombres sans dimension :
 VD
H
e  L
f 
, 2
, , ,   0
  V 2g D D D 
V 2  VD  e 
d'où : H 
f
, , 
2 g   D D 
Par ailleurs  H est manifestement directement proportionnel à L ; or L n'intervient que dans le paramètre
adimensionnel
L
. On peut donc écrire :
D
H 
Le terme
V 2L
2g
 VD  e 
f 
, , 
  D D
VD
représente le nombre de Reynolds Re de l'écoulement. En faisant apparaître le coefficient de perte de charge

linéaire j et le coefficient universel de perte de charge  on obtient :
2
8  Q2
j = H =  V =
L 2 g D g 2 D5
d'où :


  f  Re,
 e
, 
D D
On retiendra donc que le coefficient universel de perte de charge  ne dépend que du nombre de Reynolds et des
caractéristiques relatives de la rugosité.
VI.2.2 Etude expérimentale
La détermination expérimentale de a été effectuée par Nikuradse vers 1930. Pour cela, il réalisa une rugosité
artificielle des tuyaux, en y collant, une couche uniforme et continue de grains de sables calibrés. La rugosité était donc définie
à partir d'un seul paramètre  représentant la taille des grains de sable :
 = f Re, 
D

En jouant sur  et sur D, Nikuradse fit varier D de 0,1 à 0,0001 et Re de 200 à 108. L'ensemble des résultats donnait

dans un graphique log = f (log Re, D ) le schéma suivant :
Le schéma se caractérise par trois zones rectilignes 1, 3 et 5, de pentes respectives -1, -1/4 et 0. Les zones 2 et 4
assurent le raccordement entre les précédentes.
Pour les zones 1, 2 et 3, ne dépend que de Re, la conduite sera considérée comme hydrauliquement lisse.
Dans la zone 4, dépend à la fois de Re et de /D, on qualifiera alors l'écoulement de semi-rugueux.
Enfin, dans la zone 5, ne dépend plus que de Re, la conduite se comporte alors comme hydrauliquement rugueuse.
Le passage de l'écoulement hydrauliquement lisse, à l'écoulement rugueux s'explique très bien en considérant la
couche limite laminaire. En effet pour des nombres de Reynolds légèrement supérieurs à 2000, l'écoulement est bien turbulent
mais il se développe une couche limite laminaire qui englobe les aspérités. La conduite se comporte alors comme une conduite
lisse. Lorsque Re croît l'épaisseur de la couche limite diminue et les aspérités "dépassent". La conduite a alors un
comportement hydrauliquement rugueux.
29

e/D
0,1
0,1
0,05
0,04
0,03
Zone 1
0,02
Zone 5
Zones 4
0,01
Zone 2
0,001
Zones 3
0,0001
0,01
0,005
102
103
104
105
106
Pour les zones 1, 3 et 5, différentes formules ont été proposées pour la fonction = f (Re,
107
108
Re

).
D
- Dans la zone 1 on a :  = 64 , Loi de Hagen Poiseuille valable pour Re < 2000.
Re
- Dans la zone 3 deux formules ont été proposées :
* La formule de Blasius, simple mais valable uniquement pour Re < 10 5 :

0,316
Re
1
4
 100Re 

1
4
* et la première formule de Von Karman, située légèrement au-dessus de la droite de Blasius pour Re > 10 5.
Cette formule implicite est d'un emploi moins commode puisque l'on a :
1 = 2 log Re  - 0,8 = 2 log Re 
2,51

Pour la zone 5 où ne dépend que de

, Von Karman a proposé sa deuxième formule explicite :
D
1 = 2 log D + 1,14 = 2 log 3,71 D



VI.2.3 Cas des conduites réelles
Contrairement aux conduites de Nikuradse dont les aspérités étaient homogènes, les aspérités des conduites réelles
sont hétérogènes dans leurs tailles et leur espacement. Les expériences menées à partir des conduites réelles ont abouti à un
schéma assez semblable à celui de Nikuradse.
- en particulier pour l'écoulement rugueux ne dépend pas de Re. Il est possible alors de définir pour une conduite
réelle, sa rugosité homogène équivalente, en utilisant la seconde formule de Von Karman.
- par contre, une conduite réelle de rugosité équivalente , comporte des aspérités de dimensions supérieures à .
Aussi, ces "grandes" aspérités "dépasseront" plus tôt de la couche limite et l'apparition du régime semi-rugueux sera plus
précoce. Ce régime apparaît pour une valeur supérieure au du régime rugueux, par conséquent la zone 4 devient une zone
où  diminue lorsque Re croît, contrairement à ce qu'avait observé Nikuradse.
L'ensemble des résultats peut être reporté sur un graphique appelé diagramme de Moody qui n'est que la
représentation de la formule empirique de Colebrook :
30

1 = -2 log D + 2,51
3,71 Re 

Cette formule rend compte de l'écoulement dans les zones 3, 4 et 5. Son emploi est difficile du fait de sa formulation
implicite mais il existe des abaques et des tableaux d'un emploi plus simple.

e/D
hydrauliquement
rugueux
0,1
0,1
0,05
0,05
0,04
0,03
0,01
0,005
0,02
0,001
0,0005
hydrauliquement
lisse
0,0001
0,01
idéa
leme
nt lis
se
0,005
102
103
104
105
106
107
1 0 8 Re
Pour utiliser ces abaques, il faut disposer de la rugosité équivalente de ces conduites. Pour les différents matériaux
utilisés dans la fabrication des conduites, les valeurs de  suivantes, sont généralement admises :
Pour toutes les conduites de conception récente (acier endoplasté, béton centrifugé, fonte revêtue de ciment
centrifugé, P.V.C., polyéthylène, ...) on admet que leur rugosité équivalente est  = k = 3 10-5 m. En fait, ces conduites
connaissent toujours un encrassement au bout de quelques années, il est recommandé d'évaluer les pertes de charge en prenant
une rugosité équivalente en service de  = k = 10-4 m.
On rencontre encore sur le terrain des conduites très anciennes en fonte ou en acier non revêtu il est alors recommandé
de prendre une rugosité équivalente en service de  = k = 2 10-3 m.
On trouvera en fin de chapitre des tables donnant les valeurs de j en fonction du débit et du diamètre pour les deux
rugosités équivalentes  = k = 10-4 m et  = k = 2 10-3 m. Dans la pratique les vitesses de l'eau transitant dans les conduites
varient de l'ordre de 0,4 m/s à 2 m/s. Dans cette gamme de vitesse la formule de Colebrook pour des conduites de 40 à 1000
mm est équivalente à :
j = 0,00111 Q1,89 D-5,01 pour  = k = 10-4 m (erreur inférieure à 3,5%)
j = 0,00191 Q1,99 D-5,32 pour  = k = 2 10-3 m (erreur inférieure à 4,5%)
(Q en m3/s, D en m, j en m/m,)
VI.2.4 Généralisation aux conduites non circulaires
Les résultats obtenus précédemment peuvent être appliqués aux conduites de section non circulaire. A cet effet, il
convient de définir le nombre de Reynolds de l'écoulement à partir du diamètre hydraulique.
DH = 4 RH = 4 S
P
S section mouillée, P périmètre mouillé, RH rayon hydraulique
VI.2.5 Formules empiriques
Il existe une foule de formules empiriques. Elles présentent toutes l'inconvénient de n'être valables que dans le
domaine où elles ont été établies. Parmi celles-ci les plus fréquemment utilisées sont :
VI.2.5.1 Formule de Chezy
V = C RH j
C coefficient de Chezy dépend de la nature de la paroi (100 pour la fonte lisse, 40 pour les conduites rugueuses).
31
VI.2.5.2 Formule de Lechapt et Calmont
j = 0,0011 Q1,89
D-5,01 (j en mètre par mètre, Q en m3/s, D en mètre)
formule très commode, utilisable pour de l’eau et une rugosité équivalente de 10 -4m
VI.2.5.3 Formule de Manning-Strickler
V = K RH2/3 j 1/2
(K

1
, K coefficient de Strickler, n coefficient de Manning )
n
Cette formule est principalement utilisée pour les gros diamètres (assainissement). Le coefficient K dépend de la
nature des parois et l'on retiendra comme ordre de grandeur de K :
K = 20 à 40, tunnel rocheux en mauvais état
K = 80 à 100, béton lisse, fonte revêtue.
On peut remarquer qu'entre ces deux formules on a la relation C = K RH 1/6 donc C dépend de RH ce qui est gênant
lorsque l'on veut appliquer la formule de Chezy aux écoulements à surface libre ou RH dépend de Q.
VI.2.5.4 Formule de Hazen-Williams
Cette formule en usage encore dans les pays anglo-saxons Coefficient de Hazen Williams
s'appuie sur des travaux anciens (1905 à 1933). Elle présente l'avantage 145
140
de permettre l'évaluation de j de façon directe :
135
j = 6,84 ( V )1,85 D-1,17
CHW
(V est la vitesse en m/s, D le diamètre en m
et CHW le coefficient de Hazen Williams)
Comme le montre la figure ci-contre il est possible de retrouver
les pertes de charge de la formule de Colebrook en faisant varier CHW
en fonction du diamètre autour des valeurs 95 et 137.
rvi ce
te en s e
n
e
c
é
r
te
Co nd ui = 0 ,0 00 1 m )
(k
130
125
120
115
110
105
100
95
90
85
80
75
e en
ci ennm )
n
a
s
rè
2
ui te t ( k =0, 00
Co nd
ce
serv i
50
100
200 300
Diamètre de la conduite en mm
1000
VI.3 PERTES DE CHARGES SINGULIÈRES LE LONG D'UNE CONDUITE
Par opposition aux pertes de charges linéaires qui sont proportionnelles à la longueur de la conduite, les pertes de
charges singulières sont provoquées par des singularités de dimensions restreintes telles que chargement de section,
coude...
En écoulement turbulent, toutes ces pertes de charges se mettent sous la forme :
2
j=K V
2g
où K est un coefficient sans dimension, caractérisant la singularité. Ces pertes de charge singulière présentent également la
particularité d'être parfois non additives.
VI.3.1 Changement de section
VI.3.1.1 Elargissement brusque
Par application du théorème des quantités de mouvement, on a démontré précédemment que la perte de charges dans
un élargissement brusque était :
Section amont s
V1
J=
Section avale S
( V21 - V22 )2 V21
=
( 1 - s )2
2g
2g
S
K = ( 1 - s )2
S
V2
32
VI.3.1.2 Rétrécissement brusque
Sect ion am ont S
Sect ion avale s
V
S ection contractée m s
La perte de charges, dans la partie où les filets
liquides convergent, est négligeable par contre après
avoir passé la section contractée, la veine s'élargit et on
observe une perte de charges comparable à celle
provoquée par un élargissement brusque. m est appelé
coefficient de contraction et il varie au voisinage de
0,62.
J=
( 1 - m )2 V2
2g
m2
 K=
m et K
1
0,9
0,8
des arêtes vives les valeurs de m et k en fonction de s
S 0,7
0,6
sont données par le graphique ci-contre.
Dans le cas d'un réservoir alimentant une 0,5
0,4
conduite, la perte de charge est :
0,3
2
0,2
J=1V
2 2g
0,1
0
( 1 - m )2
m2
Le coefficient m ne dépend que du rapport s/S
et de la nature de l'arête au changement de section. Pour
m
K
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1 s/S
VI.3.2 Coudes
VI.3.2.1 Coudes arrondis

Le coefficient K est fonction de l'angle du coude , du diamètre
de la canalisation D, et du rayon de courbure Ro à l'axe de la canalisation.
Parmi les formules expérimentales proposées, la plus utilisée est
celle de Weisbach :
Ro
K = 0,13 + 1,85
D
2 Ro
7/2

90
VI.3.2.2 Coudes à angles vifs
Ces coudes fréquents sont obtenus par soudure de deux
tuyaux, Weisbach a proposé la formule suivante :
K = s in 2  + 2 s in 4 
2
2

 20° 40° 60° 80° 90° 100° 120° 140°
K 0,046 0,039 0,364 0,740 1 1,26 1,861 2,41
33
VI.4 ETUDES DE QUELQUES CAS PARTICULIERS
VI.4.1 Canalisation assurant un service mixte
lig
ne
de
c
har
Q 0+ q L
j(Q) dl
ge
Q0 + q ( L - l )
Q0
Il est fréquent qu'un tronçon de conduite serve
à la fois à faire transiter un débit d'extrémité Qo jusqu'à
son extrémité avale, et à distribuer uniformément tout au
long du tronçon un débit de route q (en m3/s/m).
Dans ces conditions, à une distance l de
l'amont, le débit Q(l) est Qo + q ( L - l ).
Sur une courte distance dl autour de l, la perte
de charge linéaire est :
j(l) =
dl
0
8  Q(l)2
g 2 D5
axe des distances L
l
La perte de charge totale dans le tronçon de longueur L sera donc l'intégrale :
L
J=
L
j(l) dl =
0
0
8  Q(l)2
dl
g 2 D5
On peut supposer que l varie lentement avec le débit Q et qu'en première approximation il peut être considéré comme
constant. On a alors :
L
J=
8
g 2 D5
L
Q(l)2 dl =
0
8
g 2 D5
(Q0 +qL - ql)2 dl
0
2 2
QL
J = 8  L (Q20 + Q0qL + 0 )
2
5
3
g D
Supposons maintenant que ce tronçon soit traversé par un débit uniforme Q' avec la même perte de charge J on devrait
alors avoir :
J = 8  L Q' 2
g 2 D5
La relation liant Q' à Qo, L et q est donc :
Q' 2 = Q20 + Q0 qL +
Q20 L2
3
On peut remarquer alors que cette expression est bornée par :
Q20 + Q0 qL +
q2 L2
q2 L2
q2 L2
< Q20 + Q0 qL +
< Q20 + 2 Q0 qL +
4
3
3
3
qL 2
qL 2
2
( Q0 +
) < Q' < ( Q0 +
)
2
3
Q0 + 0,50 qL < Q' < Q0 + 0,58 qL
d'où
Q'  Q0 + 0,55 qL
On peut calculer la perte de charge dans une conduite assurant un service mixte, en considérant qu'elle assure
seulement un service d'extrémité en majorant le service d'extrémité de 55 % du service assuré en route.
VI.4.2 Calcul économique d'une conduite de refoulement
Dans une conduite de refoulement, l'énergie est fournie à l'eau par une pompe. Cette énergie sert, d'une part à élever le
fluide, et d'autre part, à compenser les pertes de charge. Pour un débit Q imposé, on peut mettre en place n'importe quel
diamètre de conduite, si la pompe peut compenser les pertes de charge. Il faut alors calculer le "diamètre économique" qui
permettra d'obtenir le prix de revient minimal de l'ensemble de l'installation en exploitation.
Pour établir ce diamètre économique, il faut étudier chaque cas particulier et tenir compte par exemple :
- du prix des conduites,
- du loyer de l'argent,
- du prix des pompes,
- de la durée d'amortissement,
34
- du prix de l'énergie,
- ...
Chacun de ces éléments sera exprimé en fonction du diamètre D, on calcule le prix total en fonction de D et on annule
sa dérivée par rapport à D. Ce type de calcul est donc long et à refaire pour chaque cas particulier. Cependant, Bresse a essayé,
moyennant quelques simplifications, d'établir une formule standard moyennant quelques hypothèses simples :
En premier lieu on suppose que le prix P' de la conduite posée est proportionnel au diamètre D et à la longueur l :
P' = K x D x l
La puissance W à fournir lors du pompage sert à relever l'eau sur une hauteur H et à vaincre les pertes de charge J.
Celle-ci s'écrit :
W =  g Q (H + J)
2
8 Q2 l
J=V l=
2 gD g2 D5
Si  représente le rendement de l'ensemble moteur-pompe et si K' est le prix de revient de la station élévatoire
augmenté des dépenses d'exploitation capitalisées, ramené à un watt on a pour prix P" de l'élévement :
P" =
K' gQ H + J

Le prix total de l'installation est alors :
P = P' + P"
P =KD l+
K' gQ
8Q2l
H+

g2D5
3
dP = 0  Kl - 40 qQ K' l = 0
dD
g2D6
6
40 6 K' 
D=
Q
K
2
Le coefficient de Q ne dépend ni de H ni de l, mais uniquement de K K'  et . Par ailleurs ces paramètres
n'interviennent qu'à la puissance 1/6, par conséquent, leur influence est relativement faible. De fait, pour les valeurs usuelles de
ces quatre paramètres, on trouve des valeurs du coefficient de
suivante :
Q comprises entre 1,3 et 1,5. Bresse a donc formulé la relation
D = 1,3 à 1,5 Q
(Q en m3/s et D en m.)
Cette formule très simple a été établie il y a près d'un siècle, mais elle n'en demeure pas moins toujours valable pour
une évaluation rapide des diamètres.
D'après la formulation proposée, on peut voir qu'il existe une vitesse économique puisque :
D = 1,3 à 1,5
Q , V=
4Q
 Véco. = 0,56 à 0,75 m/s
 D2
VI.4.3 Choix du diamètre d'une conduite gravitaire
Supposons, que l'on connaisse, le débit Q qui transite dans un tronçon de conduite de longueur L. Très souvent,
on connaît également la charge maximale H, que l'on peut consacrer à la compensation des pertes de charge J.
Le problème consiste alors à choisir le ou les diamètres des conduites à installer sur ce tronçon en respectant la
relation : J <= H.
Classiquement on choisira la conduite de diamètre Dopti, plus petit diamètre ayant une perte de charge
linéaire j(D opti,Q) inférieure à H/L pour le débit Q envisagé.
Mais généralement, on constate que pour ce D opti on a J < H, ce qui signifie que l'on aurait pu encore
économiser si un diamètre plus petit était commercialisé. Une autre façon d'économiser consiste à ne plus utiliser un seul
diamètre de conduite, mais plusieurs.
Supposons que l'on envisage d'utiliser trois diamètres au plus. Parmi ces trois diamètres, le plus petit (D 1) doit
être tel que j(D1,Q) > H/L et le plus grand (D3) tel que j(D3,Q) < H/L. Soit l1, l2 et l3 les longueurs dans chaque diamètre,
les conditions techniques se résument en une succession d'inégalités linéaires en l.
35
l1<=L
l2<=L
l3<=L
l1>=0
l2>=0
l3>=0
J = j(D1,Q)*l1 + j(D2,Q)*l2 + j(D3Q)*l3 <= H
l1 + l2 + l3 = L
Soient C1 C2 et C3 les prix du mètre linéaire de conduite posée dans ces trois diamètres, le coût total du tronçon CT est :
CT = C1 * l1 + C2* l2 + C3 * l3
Le problème est donc de minimiser CT par rapport à l 1, l2 et l3 tout en respectant les 8 équations et inéquations. C'est un
problème de programmation linéaire qui se résout graphiquement dans ce cas où il y a trois inconnues liées par une
équation.
l1<=L
l1>=0
l2<=L
l2>=0
J = j(D1,Q)*l1 + j(D2,Q)*l2 + j(D3,Q)*(L - l1 - l2) <= H
l1 + l2 <= L
Suivant les pertes de charge engendrées par la conduite de diamètre D 2, ces inéquations délimitent le domaine des
solutions techniquement possibles. Différents cas de figures sont possibles :
Charge
j(D1,Q)
H
j(D2,Q)
j(D3,Q)
D1
D2
l2
l1
D3
l3
L
Domaines possibles
pour les solutions
techniques
L2
Interdit car L1>0
Interdit car L1+L2<L
Interdit
J<H
E
F
Interdit carL2>0
36
L1
La fonction à minimiser CT = C1 * l1 + C2 * l2 + C3 * ( L - l1 - l2) est, elle aussi, linéaire et les courbes
isovaleurs de CT sont des droites de pentes négatives. Les CT décroissent lorsque l'on s'éloigne du point 0,0 dans le
premier quadrant. Il est évident que le point (l1,l2) correspondant au plus petit CT est donc un des angles du polygone
délimitant les solutions techniquement possibles. Suivant les cas de figure (dépendant des pertes de charge et des coûts) six
points optimum sont possibles :
- A : l1=x
l2 = L-x
l3 = 0
- D : l1=y
l2 = 0
l3 = L - y
- B : l1=y
l2 = O
l3 = L - y
- E : l1=0
l2 = x
l3 = L - x
- C : l1=0
l2 = x
l3 = L - x
- F : l1=y
l2 = 0
l3 = L - y
On constate que dans tous les cas de figure seuls deux diamètres sont utilisés. Il est évident que ceci est vrai quel
que soit le nombre de diamètres (supérieur à 3) envisageables. On retiendra donc que le choix de l'équipement d'un tronçon
débitant un débit unique pour une perte de charge donnée se ramène au choix de deux seuls diamètres. Ce choix se fait en
ajoutant un critère économique de moindre coût et la recherche de cet optimum se fait par programmation linéaire.
En conclusion, on retiendra qu'un tronçon ayant un débit uniforme, ne peut être constitué que de deux diamètres au plus.
VI.4.4 Remarque
Il faut noter qu'il existe des vitesses maximales admissibles en fonction de la nature et de la taille des tuyaux.
Pour avoir une idée de ces vitesses limites à ne pas dépasser, on pourra utiliser la formule de Flamant qui a pour expression :
V max. = 0,40 x 2 D
si
D < 0,20 m
V max. = 0,60 + D
si
D > 0,20 m
D en m, V max. en m/s.
37
VI.5 TABLES DE COLEBROOK
Pertes de charge linéaires j évaluées par la formule de Colebrook pour de l'eau à 10°C.
J est donné en mètre par mètre pour deux rugosités équivalentes :
k = 0,0001 mm valeur préconisée pour toutes les conduites de conception récente en service
k = 0,002 mm valeur possible pour des conduites très anciennes (fonte non revêtue...)
D=
40
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,0093
0,0124
0,0159
0,0197
0,0240
0,0287
0,0338
0,0393
0,0453
0,0516
0,0583
0,0654
0,0729
0,0809
0,0892
0,0979
0,1071
0,1166
0,1265
0,1369
0,1476
0,1588
0,1703
0,1823
0,1946
0,2074
0,2205
0,2341
0,2480
0,2624
0,2772
0,2923
0,3079
0,3239
0,3402
0,0212
0,0288
0,0375
0,0474
0,0584
0,0706
0,0839
0,0984
0,1141
0,1309
0,1488
0,1679
0,1882
0,2096
0,2322
0,2559
0,2808
0,3068
0,3340
0,3623
0,3918
0,4224
0,4542
0,4871
0,5212
0,5565
0,5929
0,6304
0,6692
0,7090
0,7500
0,7922
0,8355
0,8800
0,9256
D=
80
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
16,0
17,0
17,5
18,0
18,5
19,0
19,5
0,0042
0,0058
0,0078
0,0100
0,0125
0,0152
0,0182
0,0215
0,0250
0,0288
0,0328
0,0371
0,0417
0,0466
0,0570
0,0627
0,0685
0,0747
0,0811
0,0878
0,0947
0,1019
0,1094
0,1171
0,1251
0,1333
0,1418
0,1596
0,1689
0,1785
0,1883
0,1984
0,2087
0,0085
0,0122
0,0166
0,0217
0,0274
0,0338
0,0408
0,0486
0,0569
0,0660
0,0757
0,0861
0,0972
0,1089
0,1344
0,1481
0,1625
0,1776
0,1934
0,2098
0,2269
0,2446
0,2630
0,2821
0,3019
0,3223
0,3434
0,3876
0,4107
0,4344
0,4589
0,4840
0,5098
V m/s
0,48
0,56
0,64
0,72
0,80
0,88
0,95
1,03
1,11
1,19
1,27
1,35
1,43
1,51
1,59
1,67
1,75
1,83
1,91
1,99
2,07
2,15
2,23
2,31
2,39
2,47
2,55
2,63
2,71
2,79
2,86
2,94
3,02
3,10
3,18
V m/s
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,99
1,09
1,19
1,29
1,39
1,49
1,59
1,69
1,79
1,99
2,09
2,19
2,29
2,39
2,49
2,59
2,69
2,79
2,88
2,98
3,08
3,18
3,38
3,48
3,58
3,68
3,78
3,88
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,17
0,19
0,20
0,22
0,24
0,25
0,27
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,40
0,42
0,44
0,47
0,49
0,52
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,09
0,10
0,11
0,13
0,15
0,16
0,20
0,22
0,24
0,27
0,29
0,32
0,34
0,37
0,40
0,42
0,45
0,48
0,52
0,58
0,62
0,65
0,69
0,73
0,77
D=
50
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
0,0052
0,0079
0,0111
0,0147
0,0189
0,0236
0,0288
0,0344
0,0406
0,0473
0,0544
0,0621
0,0703
0,0789
0,0881
0,0977
0,1079
0,1185
0,1297
0,1413
0,1534
0,1661
0,1792
0,1928
0,2069
0,2216
0,2367
0,2523
0,2684
0,2850
0,3020
0,3196
0,3377
0,3563
0,3753
0,0112
0,0174
0,0250
0,0340
0,0443
0,0560
0,0690
0,0834
0,0992
0,1164
0,1349
0,1548
0,1760
0,1986
0,2226
0,2480
0,2747
0,3027
0,3322
0,3630
0,3952
0,4287
0,4636
0,4999
0,5376
0,5766
0,6170
0,6587
0,7018
0,7463
0,7921
0,8393
0,8879
0,9379
0,9892
D= 100
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
18,0
18,5
19,0
19,5
20,0
20,5
0,0026
0,0033
0,0041
0,0050
0,0059
0,0070
0,0081
0,0093
0,0106
0,0120
0,0135
0,0150
0,0166
0,0184
0,0220
0,0240
0,0260
0,0281
0,0303
0,0326
0,0349
0,0374
0,0399
0,0425
0,0452
0,0479
0,0508
0,0567
0,0598
0,0630
0,0662
0,0696
0,0730
0,0050
0,0066
0,0083
0,0102
0,0123
0,0146
0,0172
0,0199
0,0228
0,0260
0,0293
0,0328
0,0365
0,0405
0,0489
0,0535
0,0582
0,0631
0,0683
0,0736
0,0791
0,0849
0,0908
0,0970
0,1033
0,1098
0,1166
0,1307
0,1380
0,1456
0,1533
0,1612
0,1694
V m/s
0,41
0,51
0,61
0,71
0,81
0,92
1,02
1,12
1,22
1,32
1,43
1,53
1,63
1,73
1,83
1,94
2,04
2,14
2,24
2,34
2,44
2,55
2,65
2,75
2,85
2,95
3,06
3,16
3,26
3,36
3,46
3,57
3,67
3,77
3,87
V m/s
0,45
0,51
0,57
0,64
0,70
0,76
0,83
0,89
0,95
1,02
1,08
1,15
1,21
1,27
1,40
1,46
1,53
1,59
1,66
1,72
1,78
1,85
1,91
1,97
2,04
2,10
2,16
2,29
2,36
2,42
2,48
2,55
2,61
38
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
0,09
0,10
0,12
0,14
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,26
0,28
0,30
0,33
0,36
0,39
0,41
0,44
0,48
0,51
0,54
0,58
0,61
0,65
0,69
0,72
0,76
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,07
0,08
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,19
0,20
0,21
0,22
0,24
0,27
0,28
0,30
0,31
0,33
0,35
D=
60
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
8,2
V m/s
0,0127
0,0165
0,0209
0,0257
0,0311
0,0370
0,0434
0,0503
0,0576
0,0655
0,0740
0,0829
0,0923
0,1022
0,1127
0,1236
0,1351
0,1470
0,1595
0,1725
0,1860
0,2000
0,2145
0,2295
0,2450
0,2610
0,2775
0,2946
0,3121
0,3302
0,3487
0,3678
0,3874
0,4074
0,4280
0,50
0,57
0,64
0,71
0,78
0,85
0,92
0,99
1,06
1,13
1,20
1,27
1,34
1,41
1,49
1,56
1,63
1,70
1,77
1,84
1,91
1,98
2,05
2,12
2,19
2,26
2,33
2,41
2,48
2,55
2,62
2,69
2,76
2,83
2,90
D= 125
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
V m/s
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
21,0
22,0
23,0
24,0
25,0
26,0
27,0
28,0
29,0
30,0
31,0
32,0
33,0
35,0
36,0
37,0
38,0
39,0
40,0
0,0059
0,0076
0,0095
0,0115
0,0138
0,0162
0,0188
0,0216
0,0246
0,0279
0,0312
0,0348
0,0386
0,0426
0,0467
0,0511
0,0556
0,0603
0,0653
0,0704
0,0757
0,0812
0,0868
0,0927
0,0988
0,1050
0,1114
0,1181
0,1249
0,1319
0,1391
0,1465
0,1541
0,1618
0,1698
0,0023
0,0031
0,0039
0,0049
0,0060
0,0072
0,0084
0,0098
0,0113
0,0129
0,0145
0,0163
0,0182
0,0202
0,0245
0,0268
0,0292
0,0317
0,0342
0,0369
0,0397
0,0426
0,0456
0,0487
0,0519
0,0552
0,0586
0,0657
0,0694
0,0732
0,0771
0,0811
0,0852
0,0044
0,0060
0,0079
0,0099
0,0123
0,0148
0,0176
0,0206
0,0239
0,0275
0,0312
0,0352
0,0395
0,0440
0,0537
0,0589
0,0644
0,0701
0,0760
0,0822
0,0886
0,0953
0,1022
0,1094
0,1168
0,1244
0,1323
0,1488
0,1574
0,1662
0,1753
0,1846
0,1942
0,49
0,57
0,65
0,73
0,81
0,90
0,98
1,06
1,14
1,22
1,30
1,39
1,47
1,55
1,71
1,79
1,87
1,96
2,04
2,12
2,20
2,28
2,36
2,44
2,53
2,61
2,69
2,85
2,93
3,02
3,10
3,18
3,26
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
0,06
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,15
0,16
0,17
0,19
0,20
0,21
0,23
0,25
0,26
0,28
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,39
0,41
0,43
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,15
0,16
0,18
0,19
0,21
0,23
0,25
0,27
0,28
0,30
0,33
0,35
0,37
0,41
0,44
0,46
0,49
0,51
0,54
Pertes de charge linéaires j évaluées par la formule de Colebrook pour de l'eau à 10°C.
J est donné en mètre par mètre pour deux rugosités équivalentes :
k = 0,0001 mm valeur préconisée pour toutes les conduites de conception récente en service
k = 0,002 mm valeur possible pour des conduites très anciennes (fonte non revêtue...)
D=
150
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
22,0
24,0
26,0
28,0
30,0
32,0
34,0
36,0
38,0
40,0
42,0
44,0
46,0
48,0
50,0
52,0
54,0
56,0
58,0
60,0
62,0
64,0
66,0
68,0
70,0
72,0
74,0
76,0
0,0016
0,0024
0,0034
0,0045
0,0058
0,0073
0,0089
0,0106
0,0126
0,0146
0,0169
0,0192
0,0218
0,0245
0,0273
0,0303
0,0335
0,0368
0,0403
0,0439
0,0477
0,0517
0,0558
0,0600
0,0644
0,0690
0,0737
0,0786
0,0836
0,0888
0,0941
0,0996
0,1053
0,1111
0,1170
0,0030
0,0046
0,0067
0,0090
0,0118
0,0149
0,0184
0,0222
0,0264
0,0310
0,0359
0,0412
0,0469
0,0529
0,0593
0,0661
0,0732
0,0807
0,0885
0,0967
0,1053
0,1142
0,1235
0,1332
0,1432
0,1536
0,1644
0,1755
0,1870
0,1989
0,2111
0,2237
0,2366
0,2499
0,2636
D=
300
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
35,0
40,0
45,0
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
80,0
85,0
90,0
95,0
100,0
105,0
110,0
115,0
120,0
125,0
130,0
135,0
140,0
145,0
150,0
155,0
160,0
165,0
170,0
175,0
180,0
190,0
195,0
200,0
205,0
0,00080
0,00103
0,00128
0,00156
0,00187
0,00220
0,00256
0,00294
0,00335
0,00379
0,00425
0,00474
0,00526
0,00580
0,00637
0,00696
0,00759
0,00823
0,00890
0,00960
0,01033
0,01108
0,01186
0,01266
0,01349
0,01434
0,01522
0,01613
0,01706
0,01802
0,02002
0,02106
0,02212
0,02321
0,00141
0,00184
0,00232
0,00286
0,00346
0,00411
0,00482
0,00558
0,00641
0,00728
0,00822
0,00921
0,01026
0,01136
0,01252
0,01374
0,01501
0,01634
0,01773
0,01917
0,02067
0,02222
0,02383
0,02550
0,02722
0,02900
0,03084
0,03273
0,03468
0,03669
0,04087
0,04305
0,04528
0,04757
V m/s
0,45
0,57
0,68
0,79
0,91
1,02
1,13
1,24
1,36
1,47
1,58
1,70
1,81
1,92
2,04
2,15
2,26
2,38
2,49
2,60
2,72
2,83
2,94
3,06
3,17
3,28
3,40
3,51
3,62
3,73
3,85
3,96
4,07
4,19
4,30
V m/s
0,50
0,57
0,64
0,71
0,78
0,85
0,92
0,99
1,06
1,13
1,20
1,27
1,34
1,41
1,49
1,56
1,63
1,70
1,77
1,84
1,91
1,98
2,05
2,12
2,19
2,26
2,33
2,41
2,48
2,55
2,69
2,76
2,83
2,90
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,07
0,08
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
0,19
0,21
0,24
0,26
0,29
0,32
0,35
0,38
0,41
0,44
0,48
0,51
0,55
0,59
0,63
0,67
0,71
0,75
0,80
0,85
0,89
0,94
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,05
0,06
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,15
0,16
0,17
0,19
0,20
0,21
0,23
0,25
0,26
0,28
0,29
0,31
0,33
0,37
0,39
0,41
0,43
D= 200
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
15,0
17,5
20,0
22,5
25,0
27,5
30,0
32,5
35,0
37,5
40,0
42,5
45,0
47,5
50,0
52,5
55,0
57,5
60,0
62,5
65,0
67,5
70,0
72,5
75,0
77,5
80,0
82,5
85,0
87,5
90,0
92,5
95,0
97,5
100,0
0,0012
0,0016
0,0021
0,0026
0,0032
0,0038
0,0045
0,0052
0,0060
0,0069
0,0078
0,0087
0,0098
0,0108
0,0119
0,0131
0,0143
0,0156
0,0169
0,0183
0,0198
0,0213
0,0228
0,0244
0,0261
0,0278
0,0296
0,0314
0,0333
0,0352
0,0372
0,0392
0,0413
0,0434
0,0456
0,0022
0,0030
0,0040
0,0050
0,0062
0,0075
0,0089
0,0104
0,0121
0,0139
0,0158
0,0178
0,0199
0,0222
0,0246
0,0271
0,0298
0,0325
0,0354
0,0384
0,0415
0,0448
0,0481
0,0516
0,0552
0,0590
0,0628
0,0668
0,0709
0,0751
0,0795
0,0840
0,0886
0,0933
0,0981
D= 350
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
110,0
120,0
130,0
140,0
150,0
160,0
170,0
180,0
190,0
200,0
210,0
220,0
230,0
240,0
250,0
260,0
270,0
280,0
290,0
300,0
310,0
320,0
330,0
350,0
360,0
370,0
380,0
0,00048
0,00073
0,00102
0,00136
0,00175
0,00219
0,00267
0,00320
0,00378
0,00441
0,00508
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0,01009
0,01109
0,01213
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0,01436
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0,02514
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0,03518
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0,00127
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0,00322
0,00407
0,00502
0,00607
0,00722
0,00847
0,00982
0,01126
0,01281
0,01445
0,01620
0,01805
0,01999
0,02203
0,02418
0,02642
0,02876
0,03120
0,03374
0,03638
0,03912
0,04196
0,04490
0,04794
0,05108
0,05431
0,06109
0,06462
0,06826
0,07199
V m/s
V2/2g
0,48
0,56
0,64
0,72
0,80
0,88
0,95
1,03
1,11
1,19
1,27
1,35
1,43
1,51
1,59
1,67
1,75
1,83
1,91
1,99
2,07
2,15
2,23
2,31
2,39
2,47
2,55
2,63
2,71
2,79
2,86
2,94
3,02
3,10
3,18
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,17
0,19
0,20
0,22
0,24
0,25
0,27
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,40
0,42
0,44
0,47
0,49
0,52
V m/s
0,42
0,52
0,62
0,73
0,83
0,94
1,04
1,14
1,25
1,35
1,46
1,56
1,66
1,77
1,87
1,97
2,08
2,18
2,29
2,39
2,49
2,60
2,70
2,81
2,91
3,01
3,12
3,22
3,33
3,43
3,64
3,74
3,85
3,95
39
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,03
0,04
0,04
0,06
0,07
0,08
0,09
0,11
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,27
0,29
0,32
0,34
0,37
0,40
0,43
0,46
0,50
0,53
0,56
0,60
0,67
0,71
0,75
0,80
D= 250
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
V m/s
V2/2g
0,0017
0,0024
0,0031
0,0039
0,0048
0,0058
0,0069
0,0081
0,0094
0,0108
0,0123
0,0139
0,0155
0,0173
0,0192
0,0211
0,0232
0,0253
0,0276
0,0299
0,0323
0,0349
0,0375
0,0402
0,0430
0,0459
0,0489
0,0520
0,0552
0,0585
0,0619
0,0654
0,0690
0,0726
0,0764
0,49
0,57
0,65
0,73
0,81
0,90
0,98
1,06
1,14
1,22
1,30
1,39
1,47
1,55
1,63
1,71
1,79
1,87
1,96
2,04
2,12
2,20
2,28
2,36
2,44
2,53
2,61
2,69
2,77
2,85
2,93
3,02
3,10
3,18
3,26
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,14
0,15
0,16
0,18
0,19
0,21
0,23
0,25
0,27
0,28
0,30
0,33
0,35
0,37
0,39
0,41
0,44
0,46
0,49
0,51
0,54
D= 400
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
V m/s
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,17
0,19
0,20
0,22
0,24
0,25
0,27
0,29
0,31
0,33
0,35
0,37
0,40
0,44
0,47
0,49
0,52
24,0
28,0
32,0
36,0
40,0
44,0
48,0
52,0
56,0
60,0
64,0
68,0
72,0
76,0
80,0
84,0
88,0
92,0
96,0
100,0
104,0
108,0
112,0
116,0
120,0
124,0
128,0
132,0
136,0
140,0
144,0
148,0
152,0
156,0
160,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
110,0
120,0
130,0
140,0
150,0
160,0
170,0
180,0
190,0
200,0
210,0
220,0
230,0
240,0
250,0
260,0
270,0
280,0
290,0
300,0
310,0
320,0
330,0
340,0
350,0
370,0
380,0
390,0
400,0
0,0010
0,0013
0,0017
0,0021
0,0025
0,0030
0,0036
0,0042
0,0048
0,0055
0,0062
0,0070
0,0078
0,0086
0,0095
0,0104
0,0114
0,0124
0,0135
0,0146
0,0158
0,0170
0,0182
0,0195
0,0208
0,0222
0,0236
0,0250
0,0265
0,0280
0,0296
0,0313
0,0329
0,0346
0,0364
0,00053
0,00070
0,00090
0,00112
0,00137
0,00164
0,00194
0,00225
0,00259
0,00296
0,00335
0,00376
0,00419
0,00465
0,00513
0,00563
0,00616
0,00671
0,00729
0,00788
0,00850
0,00915
0,00981
0,01051
0,01122
0,01196
0,01272
0,01350
0,01431
0,01514
0,01686
0,01776
0,01869
0,01963
0,00090
0,00122
0,00159
0,00201
0,00248
0,00300
0,00356
0,00418
0,00484
0,00556
0,00632
0,00713
0,00799
0,00890
0,00986
0,01086
0,01192
0,01303
0,01418
0,01538
0,01663
0,01794
0,01929
0,02068
0,02213
0,02363
0,02517
0,02677
0,02841
0,03011
0,03364
0,03548
0,03737
0,03930
0,48
0,56
0,64
0,72
0,80
0,88
0,95
1,03
1,11
1,19
1,27
1,35
1,43
1,51
1,59
1,67
1,75
1,83
1,91
1,99
2,07
2,15
2,23
2,31
2,39
2,47
2,55
2,63
2,71
2,79
2,94
3,02
3,10
3,18
Pertes de charge linéaires j évaluées par la formule de Colebrook pour de l'eau à 10°C.
J est donné en mètre par mètre pour deux rugosités équivalentes :
k = 0,0001 mm valeur préconisée pour toutes les conduites de conception récente en service
k = 0,002 mm valeur possible pour des conduites très anciennes (fonte non revêtue...)
D=
500
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
80,0
100,0
120,0
140,0
160,0
180,0
200,0
220,0
240,0
260,0
280,0
300,0
320,0
340,0
360,0
380,0
400,0
420,0
440,0
460,0
480,0
500,0
520,0
540,0
560,0
580,0
600,0
620,0
640,0
660,0
680,0
700,0
720,0
740,0
760,0
0,00030
0,00045
0,00064
0,00085
0,00109
0,00137
0,00167
0,00200
0,00236
0,00275
0,00317
0,00362
0,00410
0,00461
0,00514
0,00571
0,00630
0,00693
0,00758
0,00826
0,00897
0,00971
0,01048
0,01128
0,01211
0,01296
0,01385
0,01476
0,01571
0,01668
0,01768
0,01871
0,01977
0,02086
0,02198
0,00049
0,00077
0,00110
0,00149
0,00195
0,00246
0,00303
0,00367
0,00436
0,00511
0,00593
0,00680
0,00774
0,00873
0,00978
0,01090
0,01207
0,01331
0,01460
0,01596
0,01737
0,01885
0,02038
0,02197
0,02363
0,02534
0,02712
0,02895
0,03085
0,03280
0,03482
0,03689
0,03903
0,04122
0,04348
D=
800
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1 000
1 050
1 100
1 150
1 200
1 250
1 300
1 350
1 400
1 450
1 500
1 550
1 600
1 650
1 700
1 750
1 850
1 900
1 950
0,00025
0,00035
0,00046
0,00059
0,00074
0,00091
0,00109
0,00128
0,00150
0,00172
0,00197
0,00223
0,00250
0,00279
0,00310
0,00343
0,00376
0,00412
0,00449
0,00488
0,00528
0,00570
0,00613
0,00658
0,00704
0,00753
0,00802
0,00853
0,00906
0,00961
0,01017
0,01133
0,01194
0,01256
0,00040
0,00057
0,00078
0,00102
0,00128
0,00158
0,00191
0,00228
0,00267
0,00309
0,00355
0,00404
0,00456
0,00511
0,00569
0,00630
0,00694
0,00762
0,00833
0,00906
0,00983
0,01064
0,01147
0,01233
0,01323
0,01415
0,01511
0,01610
0,01712
0,01817
0,01925
0,02151
0,02269
0,02390
V m/s
0,41
0,51
0,61
0,71
0,81
0,92
1,02
1,12
1,22
1,32
1,43
1,53
1,63
1,73
1,83
1,94
2,04
2,14
2,24
2,34
2,44
2,55
2,65
2,75
2,85
2,95
3,06
3,16
3,26
3,36
3,46
3,57
3,67
3,77
3,87
V m/s
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0,99
1,09
1,19
1,29
1,39
1,49
1,59
1,69
1,79
1,89
1,99
2,09
2,19
2,29
2,39
2,49
2,59
2,69
2,79
2,88
2,98
3,08
3,18
3,28
3,38
3,48
3,68
3,78
3,88
V2/2g
0,01
0,01
0,02
0,03
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
0,09
0,10
0,12
0,14
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,26
0,28
0,30
0,33
0,36
0,39
0,41
0,44
0,48
0,51
0,54
0,58
0,61
0,65
0,69
0,72
0,76
V2/2g
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,09
0,10
0,11
0,13
0,15
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,27
0,29
0,32
0,34
0,37
0,40
0,42
0,45
0,48
0,52
0,55
0,58
0,62
0,69
0,73
0,77
D= 600
mm
k= 0,0001
0,002
q (l/s) j(m/m)
j(m/m)
125,0
150,0
175,0
200,0
225,0
250,0
275,0
300,0
325,0
350,0
375,0
400,0
425,0
450,0
475,0
500,0
525,0
550,0
575,0
600,0
625,0
650,0
675,0
700,0
725,0
750,0
775,0
800,0
825,0
850,0
875,0
900,0
925,0
950,0
975,0
0,00028
0,00039
0,00052
0,00067
0,00084
0,00102
0,00123
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0,00169
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0,00251
0,00282
0,00315
0,00349
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0,00423
0,00463
0,00505
0,00548
0,00593
0,00640
0,00688
0,00739
0,00791
0,00845
0,00900
0,00957
0,01017
0,01078
0,01140
0,01205
0,01271
0,01339
0,01408
0,00046
0,00066
0,00089
0,00116
0,00147
0,00181
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0,00260
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0,00354
0,00406
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41