Berechnungsmethoden der Energie- und

Institute of Fluid Dynamics
Berechnungsmethoden der
Energie- und Verfahrenstechnik
Prof. Dr. Leonhard Kleiser
Transition zur Turbulenz in einem drahlbehafteten Freistrahl. S. Müller, ETH
Zürich, 2008.
c L. Kleiser, ETH Zürich
°
I
Vorwort
Die Vorlesung “Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik”
ist eine der fünf Vorlesungen des wählbaren Fokus “Energie, Strömungen und
Prozesse” des 5. und 6. Semesters im Bachelor-Studium in Maschinenbau und
Verfahrenstechnik an der ETH Zürich. Sie baut auf den vorgängigen Vorlesungen über Analysis und lineare Algebra, Fluiddynamik und Thermodynamik
sowie Numerische Mathematik und Informatik auf. In methodischer Hinsicht ist
sie innerhalb des Fokus das Gegenstück zur Vorlesung “Experimentelle Methoden für Ingenieuranwendungen”. Die Lehrveranstaltungen des Fokus, der von
etwa 12 Professuren des Departements getragen wird, bilden eine gemeinsame
Grundlage für verschiedene spätere Spezialisierungen auf der Master-Stufe in
den Bereichen Fluiddynamik, Energietechnik und Verfahrenstechnik.
Ziel der Vorlesung ist es, Grundwissen und praktische Erfahrungen mit der
Anwendung der wichtigsten Diskretisierungs- und Lösungsverfahren für Berechnungsaufgaben der Fluiddynamik, Energie- und Verfahrenstechnik zu vermitteln
und an einfachen Beispielen auszuprobieren. In den Übungen werden diesem
Ziel entsprechende theoretische und praktische (Programmier-)Aufgaben gestellt. Eine aktive Teilnahme an den Übungen ist unerlässlich. Ich bin der festen
Überzeugung, dass es für eine sachgerechte Lösung von Berechnungsaufgaben
durch den Ingenieur erforderlich ist, zu verstehen, “was dahinter steckt”, und
nicht ausreicht, nur die Bedienung von schönen Benutzeroberflächen fertiger
Programmpakete kennenzulernen, die mit ein paar Mausklicks bunte “Lösungen” fabrizieren.
Dieses Skript hat sich entwickelt aus Mitschriften meiner Assistenten zur
früheren Vorlesung “Einführung in die Numerische Strömungsberechnung”
(später “Grundlagen der Numerischen Fluiddynamik”), die ich seit 1994 an
der ETH gehalten habe. Eine erste Version wurde von Carlos Härtel notiert und
später von Nikolaus Adams ergänzt. Steffen Stolz und Philipp Schlatter haben
im Jahr 2002 eine wesentlich erweiterte Fassung entwickelt. Seither habe ich
regelmässig weitere Überarbeitungen und Ergänzungen vorgenommen. Dabei
haben mich die Assistenten Jörg Ziefle und Giuseppe Bonfigli unterstützt.
Zürich, im Februar 2008
Leonhard Kleiser
Nomenklatur
Zeit
t
räumliche Koordinaten (kartesisch)
x, y, z
x1 , x2 , x3
x
Geschwindigkeiten
u, v, w
u 1 , u2 , u3
u
Wirbelstärke
ω 1 , ω2 , ω3
ω = rot u
Potential der Geschwindigkeit
φ
u = grad φ
Schallgeschwindigkeit
a
a2 =
Dichte
̺
Druck
p
Temperatur
T
³
∂p
∂̺
´
s=const.
innere Energie
p
s = cv ln ̺γ
e
Enthalpie
h = e + p/̺
Totalenergie
E = e + |u|2 /2
Totalenthalpie
H = h + |u|2 /2
Entropie
Frühjahrssemester 2010
p
= γ ̺ (id. Gas)
II
Vektor der Erhaltungsgrössen
U = (̺, ̺u, ̺v, ̺w, ̺E)T
Vektoren der konvektiven Flüsse
(in x1 , x2 , x3 )
F , G, H
Vektoren der diffusiven (molekularen)
Flüsse (in x1 , x2 , x3 )
III
Kennzahlen
Reynoldszahl
Re
Machzahl
Ma
F d , Gd , H d
Froudezahl
Fr
Wärmestrom
qi = −κ ∂T
∂xi
q = −κ ∇T
Prandtlzahl
c µ
Pr = pκ
Äussere Volumenkräfte
fx , fy , fz
f1 , f2 , f3
f
Tensor der molekularen Spannungen
(s. Gleichungen Kap. 2)
Operatoren
τij
τ
Konstanten und Koeffizienten
Isentropenexponent
∂j =
Nabla
∇ = (∂x , ∂y , ∂z )T
Gradient
gradφ = ∇φ = (∂x φ, ∂y φ, ∂z φ)T


∂y u z − ∂z u y
rotu = ∇ × u = ∂z ux − ∂x uz 
∂x u y − ∂y u x
γ
p
̺γ = const.
id. Gas: γ = cp /cv
Rotation
Wärmeleitfähigkeit
κ
Laplace-Operator
dynamische Zähigkeit
µ
spezifische Wärme bei konstantem Volumen
µ
ν= ̺
1
cv = γ−1
R
spezifische Wärme bei konstantem Druck
cp =
Gaskonstante
R = cp − cv
kinematische Zähigkeit
∂
∂xj
Ableitung
Divergenz
divu = ∇ · u = ∂x u + ∂y u + ∂z u
Betrag eines Vektors
Substantielle Ableitung im
Geschwindigkeitsfeld u
γ
γ−1 R
∂2
∆ =∇ · ∇=
= ∂j ∂j
∂xj ∂xj
p
|a| = a21 + a22 + a23
∂
∂
D
Dt = ∂t + uj ∂xj
Mathematische Symbole
O() Landausches Ordnungssymbol
23. Februar 2010
a(x) = O(xp ), x → x0
bedeutet: Es gibt eine
Konstante
K, so dass
¯
¯
¯ a(x) ¯
≤
K
für x → x0 .
¯ xp ¯
Frühjahrssemester 2010
V
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Numerische Fluiddynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen
2.1 Navier-Stokes-Gleichungen und Euler-Gleichungen . .
2.2 Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung . . . . . .
2.3 Diffusionsgleichung und Grenzschichtgleichungen . .
2.4 Advektionsgleichung und Wellengleichung . . . . . .
2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen .
2.5.1 Elliptische partielle Differentialgleichungen . .
2.5.2 Parabolische partielle Differentialgleichungen .
2.5.3 Hyperbolische partielle Differentialgleichungen
1
1
3
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27
3 Diskretisierungsverfahren
3.1 Finite-Differenzen-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Gitter Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Standard-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Matrix-Darstellung der numerischen Ableitung . . . . . .
3.1.4 Kompakte Finite-Differenzen-Verfahren . . . . . . . . .
3.1.5 Modifizierte Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Finite-Differenzen-Verfahren für nicht-äquidistante Gitter
3.2 Finite-Volumen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren . . . . . .
3.3.1 Grundprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Wahl der Gewichtsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Wahl der Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Pseudospektrale Auswertung nichtlinearer Terme . . . .
3.4 Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Eigenschaften und Analyse von Diskretisierungsverfahren . . . .
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74
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VI
Inhaltsverzeichnis
3.5.1
3.5.2
3.5.3
Konsistenz und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Stabilitätsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Methoden zur Stabilitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . 85
4 Grundtypen von Lösungsverfahren
4.1 Hyperbolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Wichtige Diskretisierungsschemata . . . . . . . .
4.1.2 Analyse von Verfahren für lineare Gleichungen . .
4.1.3 Nichtlineare Gleichungen und unstetige Lösungen
4.2 Elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Iterative Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Konvergenzbeschleunigung . . . . . . . . . . . .
4.3 Parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Berechnung inkompressibler Strömungen
5.1 Grundgleichungen in primitiven Variablen . . . . . . .
5.2 Druckprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Lösungsmethoden in primitiven Variablen . . . . . .
5.3.1 Volldiskretisierte Gleichungen . . . . . . . . .
5.3.2 Einflussmatrix-Methode . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Zwischenschritt-Methode . . . . . . . . . . .
5.3.4 Druckkorrektur-Methoden . . . . . . . . . . .
5.3.5 Methode der künstlichen Kompressibilität . .
5.4 Alternative Formulierungen der Bewegungsgleichung .
5.4.1 Wirbelstärke-Vektorpotential-Formulierung . .
5.4.2 Wirbelstärke-Geschwindigkeits-Formulierung .
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6 Turbulente Strömungen
6.1 Direkte Numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Reynolds-gemittelte Gleichungen und Turbulenzmodelle . . .
6.2.1 Wirbelzähigkeitsmodelle (eddy-viscosity models) . . .
6.2.2 Reynoldsspannungs-Modelle (Second-Order Closures)
6.3 Grobstruktur-Simulation (Large-Eddy Simulation) . . . . . .
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A Mathematische Grundlagen
A.1 Vektor-Normen und Matrix-Normen . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Normen für Funktionen und Gitterfunktionen . . . . . . . . .
A.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23. Februar 2010
VII
Inhaltsverzeichnis
A.3.1 Kontinuierliche Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.2 Diskrete Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.4 Thomas-Algorithmus zur Lösung eines tridiagonalen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
B Finite-Differenzen-Schemata
B.1 Finite-Differenzen-Verfahren zur Integration von gewöhnlichen
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 FD-Schemata zur Diskretisierung von Ableitungsoperatoren . .
B.3 FD-Schemata zur Diskretisierung der Advektionsgleichung . .
C Literaturverzeichnis
161
. 161
. 162
. 164
167
151
. 151
. 153
. 154
Frühjahrssemester 2010