Basen im Funktionen-Vektorraum 1. Polynom

Basen im Funktionen-Vektorraum
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, MuPAD 4, http://haftendorn.uni-lueneburg.de Aug.06
Automatische Übersetzung aus MuPAD 3.11, Mrz 06 Update 22.04.06
Es fehlen nocht textliche Änderungen, die MuPAD 4 direkt berücksichtigen, das ist in Arbeit.
Web: http://haftendorn.uni-lueneburg.de
www.mathematik-verstehen.de
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1. Polynom-Vektorräume PVR(n)
der Polynome bis zum Grad n
1a. PVR(2) Vektorraum der Parabeln und Geraden
1b. PVR(3) Vektorraum der Polynome bis zum 3. Grad
1b (i) Lagrange Interpolations-Polynom
1b (ii) Newton Interpolations-Polynom
1b (iii) Bernstein-Polynome, Bezér-Splines
2. Sin-Cos-Vektorraum
3. VR beliebiger Funktionen und DGLn
############################################
1a. PVR(2) Vektorraum der Parabeln und Geraden
-------------------------------------------------------------------------------e0:=x->1:
e1:=x->x:
e2:=x->x^2:
e0(x),e1(x), e2(x)
1, x, x2
Die Standardbasis im PVR(2)
Jede Parabel oder Gerade lässt sich eindeutig als Linearkombination
der Standardbasis beschreiben:
p:=x->a0*e0(x)+a1*e1(x)+a2*e2(x);
p(x)
() () ()
x ® a0 × e0 x + a1 × e1 x + a2 × e2 x
a2 × x2 + a1 × x + a0
p(1)
a0 + a1 + a2
Es kann auch repräsentiert werden durch
pv:=matrix([a0,a1,a2])
a0
a1
a2
Ã!
r*p(x);
expand(%);
r*pv;
1
r*pv;
r × a2 × x2 + a1 × x + a0
(
)
a2 × r × x2 + a1 × r × x + a0 × r
à !
a0 × r
a1 × r
a2 × r
Hier sieht man, dass das r-fache eines Polynoms
repräsentiert wird durch das r-fache des zugehörigen Vektors.
pi:=x->-p(x); pi(x)
x ® -p x
()
() ()
- a2 × x2 - a1 × x - a0
N:=x->p(x)+pi(x); N(x)
x ® p x + pi x
0
(q+N)(x)-q(x)
0
Nullpolynom ist die Null-Funktion,
die jedem x die Zahl 0 zuordnet, deren Graph ist die x-Achse.
Summe von zwei Polynomen
q:=x->b0*e0(x)+b1*e1(x)+b2*e2(x);
q(x);
qv:=matrix([b0,b1,b2])
() () ()
x ® b0 × e0 x + b1 × e1 x + b2 × e2 x
b2 × x2 + b1 × x + b0
à !
b0
b1
b2
(p+q)(x)
a0 + b0 + a2 × x2 + b2 × x2 + a1 × x + b1 × x
pplusq:=x->p(x)+q(x);
pplusq(x)
() ()
x®p x +q x
2
() ()
x®p x +q x
a0 + b0 + a2 × x2 + b2 × x2 + a1 × x + b1 × x
Man sieht, dass in MuPAD die Summe zweier Funktionen
richtig gebildet wird. In (p+q)(x) ist das + schon im VR der Polynome
gebildet, während in p(x)+q(x) das + in den reellen Zahlen gebildet wird.
--------------------------------------------------------------------------------------------------Linearkombination und lineare Unabhängigkeit
r*p(x) +s*q(x);
collect(expand(%),x)
r × a2 × x2 + a1 × x + a0 + s × b2 × x2 + b1 × x + b0
(
(
) (
)
a2 × r + b2 × s × x2 + a1 × r + b1 × s × x + a0 × r + b0 × s
) (
)
Dies ist eine Linearkombination aus zwei Vektoren.
Es werden Skalar mit den Vektoren multipliziert und dann
diese Produkte addiert.
Eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig,
wenn aus der Information, dass einne Linearkombination dieser
Vektoren den Nullvektor ergibt, geschlossen werden kann, dass
sämtliche Skalare Null sind.
--------------------------------------------Beh.: Die Standardbasis ist linear unabhängig. Zu zeigen ist:
p(x);
[p(0)=0,p(1)=0,p(2)=0] //drei beliebige Einsetzungen
a2 × x2 + a1 × x + a0
[
{[
]
a0 = 0, a0 + a1 + a2 = 0, a0 + 2 × a1 + 4 × a2 = 0
solve({p(0)=0,p(1)=0,p(2)=0},{a0,a1,a2})
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0
]}
###############################################
1b. PVR(3) Vektorraum der Polynome bis zum 3. Grad
------------------------------------------------------------------------------------e0:=x->1:
e1:=x->x:
e2:=x->x^2: e3:=x->x^3:
e0(x),e1(x), e2(x),e3(x)
1, x, x2, x3
3
Die Standardbasis im PVR(2)
Jede Parabel oder Gerade lässt sich eindeutig als Linearkombination
der Standardbasis beschreiben:
der Standardbasis beschreiben:
p:=x->a0*e0(x)+a1*e1(x)+a2*e2(x)+a3*e3(x);
p(x)
() () () ()
x ® a0 × e0 x + a1 × e1 x + a2 × e2 x + a3 × e3 x
a3 × x3 + a2 × x2 + a1 × x + a0
Alles andere gilt entsprechend
Andere Basen im PVR(3) an Beispielen
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1b. (i) Lagrange-Interpolationspoylnom
Stützpunkte:
datenPunkte:=[1,2], [2,1],[3,2],[5,3];
[ ][ ][ ][ ]
1, 2 , 2, 1 , 3, 2 , 5, 3
graphDatenPunkte:=plot::Listplot([datenPunkte],
LinesVisible=FALSE, PointSize=3,Scaling=Constrained,
GridVisible=TRUE,ViewingBox=[0..6,0..4]):
plot(graphDatenPunkte):
y4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x
le0:=x->(x-2)*(x-3)*(x-5);
le1:=x->(x-1)*(x-3)*(x-5);
le2:=x->(x-1)*(x-2)*(x-5);
le3:=x->(x-1)*(x-2)*(x-3);
x® x-2 × x-3 × x-5
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
x® x-1 × x-3 × x-5
x® x-1 × x-2 × x-5
4
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
x® x-1 × x-2 × x-5
x® x-1 × x-2 × x-3
le0(x),le1(x),le2(x),le3(x)
x-2 × x-3 × x-5 , x-1 × x-3 × x-5 , x-1 × x-2 × x-5 , x-1 × x-2
le0g:=plot::Function2d(le0(x),x=-1..6,LineColor=RGB::Blue):
le1g:=plot::Function2d(le1(x),x=-1..6,LineColor=RGB::Magenta):
le2g:=plot::Function2d(le2(x),x=-1..6,LineColor=RGB::Green):
le3g:=plot::Function2d(le3(x),x=-1..6,LineColor=[0.5,0.5,0]):
xachse:=plot::Function2d(0,x=-1..6,LineColor=[0,0.5,0.5]):
plot(le0g,le1g,le2g,le3g,graphDatenPunkte,xachse,
LineWidth=1, ViewingBox=[0..6,-3.1..4])
y
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
5
6
x
Man kann sich leicht überlegen, warum diese 4 Polynome
linear unabhängig sind. Das blaue Polynom kann man nicht
durch die anderen linear kombinieren, da alle Linearkombinationen
von rot-grün-braun die Nullstelle x=1 haben werden, die das
blaue P. aber nicht hat. Ebenso für alle anderen.
p:=x->c0*le0(x)+c1*le1(x)+c2*le2(x)+c3*le3(x):
p(x)
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
c0 × x - 2 × x - 3 × x - 5 + c1 × x - 1 × x - 3 × x - 5 + c2 × x - 1 × x - 2 × x - 5 + c
p(1)=0,p(2)=0,p(3)=0,p(5)=0
- 8 × c0 = 0, 3 × c1 = 0, - 4 × c2 = 0, 24 × c3 = 0
Ist p das Nullpolynom, dann sind alle ci=0.
Nochmal:
solve({p(1)=0,p(2)=0,p(3)=0,p(5)=0})
{[
]}
c0 = 0, c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0
Soll aber p an der Stützstellen die Stützwerte erreichen, so ist
5
Soll aber p an der Stützstellen die Stützwerte erreichen, so ist
zu lösen
p(1)=2,p(2)=1,p(3)=2,p(5)=3
- 8 × c0 = 2, 3 × c1 = 1, - 4 × c2 = 2, 24 × c3 = 3
Man sieht es sofort. Nochmal:
lp:=solve({p(1)=2,p(2)=1,p(3)=2,p(5)=3})
c0 = - 14 , c1 = 13 , c2 = - 12 , c3 = 18
lp[1][1]
c0 = - 14
Damit ist das Lagrange-Interpolationspolynom:
pl:=x->subs(p(x),lp[1][i]$i=1..4 ):pl(x)
x-1 × x-2 × x-3
x-1 × x-2 × x-5
x-1 × x-3 × x-5
x-2 ×
+
8
2
3
plxg:=plot::Function2d(pl(x),x=-1..6,LineColor=[1,0,0]):
plot(le0g,le1g,le2g,le3g,plxg,graphDatenPunkte,xachse,
LineWidth=1, ViewingBox=[0..6,-3.1..4])
nh Å Å Å Å io
Å
( ) ( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( ) ( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( ) ( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅ
( )(
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
y
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
5
6
x
Das Interpolationspolynom (rot) verläuft, wie geplant,
durch die Punkte
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1b. (ii) Newton-Interpolationspoylnom
für die Punkte
ne0:=x->1;
ne1:=x->(x-1);
ne2:=x->(x-1)*(x-2);
6
ne2:=x->(x-1)*(x-2);
ne3:=x->(x-1)*(x-2)*(x-3);
x®1
x®x-1
( )( )
( )( )( )
x® x-1 × x-2
x® x-1 × x-2 × x-3
Newton-Basis Sukzessive Nullstellen an den ersten Stützstellen.
q:=x->n0*ne0(x)+n1*ne1(x)+n2*ne2(x)+n3*ne3(x):
q(x)
( ) ( )( ) ( )( )( )
0B
1C
@
A
n0 + n1 × x - 1 + n2 × x - 1 × x - 2 + n3 × x - 1 × x - 2 × x - 3
Ist die "Newtonbasis" eine Basis: sind die Polynome linear unabhängig?
matrix([q(1)=0,q(2)=0,q(3)=0,q(5)=0])
n0 = 0
n0 + n1 = 0
n0 + 2 × n1 + 2 × n2 = 0
n0 + 4 × n1 + 12 × n2 + 24 × n3 = 0
Ist q das Nullpolynom, dann sind alle ni=0, wie man sieht.
Ja, sie sind l.u..
Nochmal:
solve([q(1)=0,q(2)=0,q(3)=0,q(5)=0])
{[
]}
nh
ÅÅÅio
( )( )( )
( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( )( )( )( )( )
n0 = 0, n1 = 0, n2 = 0, n3 = 0
Soll aber q an der Stützstellen die Stützwerte erreichen, so ist
zu lösen
lq:=solve([q(1)=2,q(2)=1,q(3)=2,q(5)=3])
7
n0 = 2, n1 = - 1, n2 = 1, n3 = - 24
ql:=x->subs(q(x),lq[1][i]$i=1..4 ):ql(x)
x-1 × x-2 × x-3 ×7
x-1 × x-2 -x+3
24
ne0(x),ne1(x),ne2(x),ne3(x)
1, x - 1, x - 1 × x - 2 , x - 1 × x - 2 × x - 3
ne0g:=plot::Function2d(ne0(x),x=-1..6,LineColor=RGB::Blue):
ne1g:=plot::Function2d(ne1(x),x=-1..6,LineColor=RGB::Magenta):
ne2g:=plot::Function2d(ne2(x),x=-1..6,LineColor=RGB::Green):
ne3g:=plot::Function2d(ne3(x),x=-1..6,LineColor=[0.5,0.5,0]):
7
qlxg:=plot::Function2d(ql(x),x=-1..6,LineColor=[1,0,0]):
xachse:=plot::Function2d(0,x=-1..6,LineColor=[0,0.5,0.5]):
plot(ne0g,ne1g,ne2g,ne3g,graphDatenPunkte,xachse,
plot(ne0g,ne1g,ne2g,ne3g,graphDatenPunkte,xachse,
LineWidth=1, ViewingBox=[0..6,-1..4])
y
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
plot(ne0g,ne1g,ne2g,ne3g,qlxg,graphDatenPunkte,xachse,
LineWidth=1, ViewingBox=[0..6,-1..4])
y
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
Das Interpolationspolynom (rot) verläuft, wie geplant,
durch die Punkte
############################################
Vergleich
pl(x);
ql(x);
x-1 × x-2 × x-3
x-1 × x-2 × x-5
x-1 × x-3 × x-5
x-2 ×
+
8
2
3
( ) ( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( ) ( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( ) ( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅ
( )(
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
( )( )( )
( ) ( ) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
x-1 × x-2 × x-3 ×7
x-1 × x-2 -x+3
24
expand(pl(x));
8
expand(pl(x));
expand(ql(x));
3
2
173 + 27
- x24× 7 + 114× x - x ×24
4
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅ
3
2
173 + 27
- x24× 7 + 114× x - x ×24
4
Das Auflösen der Klammern ist numerisch nicht sinnvoll,
Es dient hier nur dem Vergleich in der Standardbasis.
plot(graphDatenPunkte,LineWidth=1)
y4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x
#############################################
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1b. (iii) Bernstein-Poylnome
sie sind die Grundlage der Beziér-Splines
siehe Extraseite mit Herleitung
B0:=t->
(1-t)^3:
B1:=t->3*t* (1-t)^2:
B2:=t->3*t^2*(1-t):
B3:=t-> t^3:
3
( )
( )
( )
- t-1
B0(t);
B1(t);
B2(t);
B3(t);
3×t× t- 1
2
- 3 × t2 × t - 1
t3
dp:=datenPunkte;
[ ][ ][ ][ ]
1, 2 , 2, 1 , 3, 2 , 5, 3
9
[ ][ ][ ][ ]
1, 2 , 2, 1 , 3, 2 , 5, 3
x0:=dp[1][1]:x1:=dp[2][1]:x2:=dp[3][1]:x3:=dp[4][1]:
y0:=dp[1][2]:y1:=dp[2][2]:y2:=dp[3][2]:y3:=dp[4][2]:
graphDatenPunkte:=plot::Listplot([datenPunkte],
LinesVisible=FALSE, PointSize=3,Scaling=Constrained,
GridVisible=TRUE,ViewingBox=[0..6,0..4]):
Für eine Parameterdarstellung werden die Koordinaten der
Datenpunkte direkt als Skalare in einer Linearkombination der
Bernsteinpolynome verwendet. (Vektorieller Beweis auf der Extraseite)
Das ist der Grund für die breite Verwendung der Bezierkurven in
Computerwerkzeugen (Malprogramme, Notensatz, Schriften....)
xb:=t->x0*B0(t)+x1*B1(t)+x2*B2(t)+x3*B3(t):
yb:=t->y0*B0(t)+y1*B1(t)+y2*B2(t)+y3*B3(t):
[xb(t),yb(t)]
5 × t3 + 6 × t × t - 1 2 - t2 × t - 1 × 9 - t - 1 3, 3 × t3 + 3 × t × t - 1 2 - t2 × t - 1 × 6 - t - 1
[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Beim Beziér-Spline werden von 4 Punkten zwei als Randpunkte
und 2 als Steuerpunkte augefasst.
grbez:=plot::Curve2d([xb(t),yb(t)],t=0..1,
LineWidth=1, LineColor=[1,0,0]):
tang1:=plot::Line2d([x0,y0],[x1,y1],LineWidth=0.5):
tang2:=plot::Line2d([x2,y2],[x3,y3],LineWidth=0.5):
plot(grbez,graphDatenPunkte,tang1,tang2)
y4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x
Dieses Beispiel sollte auf denselben Datenpunkten
Basieren wie die obigen Interpolationspolynome.
Darum seien beide nun verglichen:
plg:=plot::Function2d(pl(x),x=0..6,
LineWidth=0.5, LineColor=[1,0,1]):
plot(grbez,graphDatenPunkte,plg)
y4
10
3
y4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x
#######################################
2. Sin-Cos-Vektorraum
r*sin(x)+s*cos(x)=0
s × cos x + r × sin x = 0
() ()
Einsetzen von PI/2 und PI ergibt sofort r=0 und s=0.
Die Funktionen f ung g mit
spannen einen 2-Dimensionalen VR auf .
Eine andere Basis in diesem VR wäre
expand(sin(x+a));
expand(sin(x+b));
cos a × sin x + sin a × cos x
() () () ()
() () () ()
cos b × sin x + sin b × cos x
Dagegen ist
kein Element dieses VR, denn
gl:=sin(2*x)=r*sin(x)+s*cos(x);
( ) () ()
{[ ]}
{[ ]}
sin 2 × x = s × cos x + r × sin x
solve(subs(gl, x = 0),{s,r});
solve(subs(gl, x = PI/2),{s,r});
r = z, s = 0
r = 0, s = z
Sin(2x) lässt sich nicht in dieser Basis ausdrücken.
11
Sin(2x) lässt sich nicht in dieser Basis ausdrücken.
Alle Funktionen dieses VR haben 2*PI als (minimale) Periode.
Sie lassen sich auch schreiben als
plotfunc2d(2*sin(x)+3*cos(x))
y
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
5
x
-2
-3
################################
3. VR beliebiger Funktionen
Bei der Lösung von lineare DGL belibiger Ordnung,
hier 2. Ordnung
mit der sogenannten Störfunktion g ist beim Lösungsverfahren
ein Ansatz G zu machen, der ein allgemeines Element eines
VR, dem g angehört, darstellt
Daher lohnt sich die Kenntnis von Funktions-Vektorräumen.
Weiteres zum Lösen von DGLn auf einer Extraseite
12
13