Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control

Transcription

Fuzzy Logic & Control
Warum einfach, wenn es auch schwer geht?
Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger
Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff
Fuzzy Prädikatenlogik
• Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik
mit den Junktoren ∧,∨ und ¬ um den Existenzquantor ∃ und den „Für Alle“-Quantor ∀.
• Dies gestattet Aussagen der Form „es gibt ein x mit
der Eigenschaft P(x)“ oder „für alle x gilt P(x)“.
• Wahrheitswerte τ (truth values) von Aussagen die
Quantoren enthalten lassen sich üblicherweise
bestimmen als:
∀ x : P  x = inf {  P  x }
x∈
∃ x : P  x = sup {  P  x }
x∈
Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff
2
Fuzzy Relationen
• Es seien Ω und Ψ zwei Mengen. Das Kreuzprodukt
ΩΨ ist die Menge aller geordneten Tupel (x,y) mit
x ∈ Ω und y ∈ Ψ . Eine fuzzy Relation R(x,y) ist
eine Teilmenge R ⊆ ΩΨ mit Werten in [0,1],
welche die Beziehung zwischen x und y beschreibt.
– Für diskrete Mengen lässt sich R als fuzzy Matrix
schreiben.
• Relationen lassen sich verketten. Sei Ξ eine weitere
Menge und U(y,z) eine Relation auf ΨΞ dann gilt
für die Relation V = R°U mit V(x,z) ⊆ ΩΞ:
V  x , z = sup R  x , y∧U  y , z
y∈
3
Bemerkungen: Fuzzy Relationen
• Bei diskreten Mengen kann die Verkettung durch
die Matrizenmultiplikation abgebildet werden.
– Die Elemente ajk sind Wahrheitswerte. Die Multiplikation wird per AND- und die Addition per ORVerknüpfung berechnet. Meistens max-min...
• Der Fuzzy Vergleich ist ein Beispiel für eine
Equivalenzrelation ≃ R(Ω,Ω). Ähnliche Relationen
sind <, ≤, etc. die sich auch fuzzy definieren lassen.
• Auch der klassische Implikationsoperator (P→Q)
ist eine Relation aus Prämisse und Konklusion.
• Relationen sind i.A. nicht kommutativ und das
Rechnen mit ihnen ist uns nicht so geläufig...
4
Fuzzy Vergleich als Relation
• Wie groß ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist
(ungefähr) gleich B, d.h. τ(A≃B)?
• Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies
gleich dem Wert der maximalen Übereinstimmung
von A und B.
 A≃B = sup A x∧B  x
x∈
• Der Wahrheitsgehalt von W(A≃B) ist bei dem
Wert x0 mit der größtmöglichen Übereinstimmung
von A und B gegeben, z. B mit dem Min-Operator
bei dem größten Wert für den A(x0)=B(x0) gilt.
5
Fuzzy Logik
• Ein Objekt x gehört nicht nur eindeutig zu einer
Menge A, sondern kann auch zugleich zu deren
Komplement gehören, falls
•
•
A x ∉ { 0,1 }
• Dies bedeutet in der Fuzzy-Logik gilt kein Satz vom
Widerspruch (dies hängt von der T-Norm ab!):
•
•
∃ x∈ : ¬ A x∧ A x ≠0
• Auch der Satz vom ausgeschlossenem Dritten ist nicht
mehr uneingeschränkt gültig:
∃ x∈ : ¬ A x∨ A x ≠1
6
Unscharfe Logik

Klassische Logik
1.0

1.0
Fuzzy Logik
f
w
0.5
falsch
wahr
falsch
„jein“
wahr
• Klassische Logik kennt nur die Werte 0 oder 1.
• Fuzzy Logik definiert Wahrheitsgehalt als Menge mit
einer Zugehörigkeit μw(x) ∈[0,1] mit μf = ¬μw = 1 - μw
• Epimenides: μw = μf  1 - μw  μw = 0.5
7
Vergleich Fuzzy Logik & Control
• Wodrin liegt der wesentliche Unterschied zwischen
logischen Aussagen und Fuzzy Reglern?
• Regler arbeiten meist auf einer Strecke mit scharfen
Eingängen und Rückführung der defuzzifizieren
Ausgangs.
• Fuzzy Logik benötigt Algorithmen, die mit Fuzzy
Mengen Mehrfachverkettungen ermöglichen, ohne
sofortiger Defuzzifizierung und Rückführung.
• Logik System müssen daher mit unscharfen Fuzzy
Mengen und nicht nur auf scharfen Eingangswerten
operieren können!
8
Kühlung mit „scharfer Regelung“
Das Beispiel einer Kühlung soll den Vorteil von Fuzzy
Regeln erläutern.
• Häufig sind scharfe Regeln unangemessen:
R1 if (temp<30)
R2 if (30<=temp<60)
R3 if (60<=temp<90)
R4 if (temp>120)
then „fan off = 0 mA“
then „fan low = 50 mA“
then „fan high =100 mA“
then „fan very high=150mA“
9
Scharfe Laptop Kühlung
Fan current
150 mA
very
high
100 mA
high
50 mA
low
AC/DC
0 mA
off
30
60
90
120
T /°C
• 59°C  „low“ jedoch 61°C  „high“ unstetig.
• Kühlung wird bei 60°mit „low-high“ oszillieren.
10
Regeln mit linguistischen Variablen
• Die Regeln werden „unscharf“ formuliert:
R1 if „very cold“
then „fan off“
R2 if „cold“
then „fan low“
R3 if „warm or hot“ then „fan high“
R4 if „hot“
then „fan very high“
• „off“, „low“, „high“ etc. bezeichnen linguistische
Variablen, die durch Fuzzy Mengen beschrieben
werden.
11
Linguistische Variablen
(T)
1.0
cold
warm
hot
very hot
0.5
Zuordnung der Temperatur
zu den Fuzzy Mengen...
off
30
60
90
120
T /°C
Fuzzyfizierung
• 59°C 
• 61°C
12
Fuzzy Fan Status
(I)
1.0
off
low
high
very high
Dieselben „sprunghaften Regeln“
erlauben unscharf formuliert eine
stetige Regelung!
0.5
off
50
100
150
200
Fan current I/mA
Defuzzifizierung
• 59°C low  high = 98 mA
• 61°Chigh  very =102 mA
13
Truth Value
• Der Wahrheitswert τ(A) wird in der Fuzzy Logik
mit dem Grad an Zugehörigkeit τ(A)(x) = μA(x) zur
Fuzzy Menge A identifiziert. Kleinbuchstaben
stehen häufig für den jeweiligen Wahrheitswert.
• In einer Regel „if x ∈ P then y ∈ Q“, wird der
Implikationsoperator I(p, q) nur aus den Wahrheitswerten p und q der Prämisse und Implikation für
eine gewählte Belegung (x,y) berechnet:
 P  Q = I  p , q
p := P  x
q :=Q  y
14
Fuzzy Implikation
• Die Übersetzung der klassischen Implikation in
eine Fuzzy Logik ist nicht eineindeutig. Es gibt
mehrere Vorschläge für die Implikation P → Q:
„klassisch wahr“
P  Q ⇔ ¬P∨Q ⇔ ¬P∨ P∧Q P Q P→Q
0 0 1
 P  Q = max 1− p , q
0 1 1
1 0 0
 P  Q = max 1− p , min  p , q
1 1 1
• Obige Formeln, sind abgeleitet mit Min-Max als tund s-Norm, auch dies ist frei wählbar! Allgemein
wird P → Q mit einer Funktion I(p,q) berechnet.
15
Implikationsoperatoren
• Bereits bei der klassischen Implikation, gibt es
verschiedene Definitionen, entsprechend existieren
unterschiedliche Varianten des fuzzifizierten
Implikationsoperators, z.B. Gödel, Łukasiewicz.
 P  Q = min 1,1− pq
• Für den Schluss P∧(P → Q), mit approximativer
 ≃Q erfolgen:
 ≃P , soll als Konklusion Q
Prämisse P
=P
 ∧ P  Q
Q
• Mamdani ersetzt (P → Q) durch min(P,Q) und
• Larsen wählt das Produkt (P → Q) = P*Q.
• Beide sind für P=0 falsch(!) da klassisch I(0,Q)=1.
16
Mamdani Approximation
• Die Rechtfertigung für die Vereinfachung nach
Mamdani/Larsen lautet, in einem Expertensystem
wird eine Regel mit τ(P)=0 nicht feuern und der
„falsche Implikationsoperator“ trägt nichts zum
Ergebniss bei...
• Hierdurch „vereinfacht“ sich der Ausdruck für die
Implikation
=P
 ∧ P  Q
Q
auf Grund der Assoziativität von ∧ zu:
≈
 ∧P ∧Q = q ∧Q
Q
P
=: q
17
Der generalisierte Modus Ponens
=P
 ∧ P  Q in
• Die klassische Implikation Q
fuzzyfizierter Version lautet:
–
  –y
Q
–
  x , I  P  x ,Q  y
= sup T  P
x∈
• Im Fall der vereinfachten Mamdani Implikation mit
MinMax Norm ergibt dies:
  y = sup min  P
  x , min  P  x ,Q  y
Q
x∈
  y = min p , Q  y
Q
  x , P  x
p = sup min P
D.h. der Träger
von Q bleibt erhalten!
x∈
18
Übung
 zur Regel
Berechnen Sie das Ausgabe Fuzzy Set B
A  x= A xc
if A then B, wenn das Eingabedatum 
gegen A, um eine Konstante c verschoben ist, für
die Fälle:
• Mamdani Implikation mit I(x,y)=T(x,y)= min(x,y).
• Wie lautet der Algorithmus falls der Wenn-Teil aus
einer Konjunktion if A1 ∧ A2 then B besteht?
• Larsen Implikation mit I(x,y)=T(x,y)=x*y.
– Tip: Wählen Sie für A(x) eine Dreiecksfunktion.
– Machen Sie gegebenenfalls Fallunterscheidungen für
Kern/Träger in Abhängigkeit von c.
19
Fuzzy Inferenz
• Für eine gegebene Fuzzy Regel
R: if x is A then y is B
A  x
• mit Fuzzy Mengen A und B, und einer Eingabe 
lautet der verallgemeinerte fuzzy modus ponens
=
B
A ° A B
• Die Ausgabe wird berechnet mit Hilfe einer T-Norm
und dem Implikationsoperator  p  q=: I  p , q

B  y = sup T  
A  x , I  A x , B y 
x∈
20
Fuzzy Regelbasis
Eine fuzzy Regelbasis mit n Regeln
Rj:
Aj Bj
j=1, , n
wird bestimmt als System von Relationsgleichungen
B j= A j ° R
j=1, , n
und die Lösung ist gegeben, wenn die Konjunktion
n
C = ∩  A j Gö B j 
j=1
nicht leer und eine Lösung für jede Regel Rj ist.
21
Fuzzy Approximations
A lautet die Lösung
• Zu gegebener (fuzzy) Eingabe 

n

B=
A ° ∩  A j Gö B j 
j=1

• Ein Expertensystem führt die Regeln unabhängig aus
und eine approximative Obermenge der Lösung ist:
n

= ∩
B
A ° A j  B j  ⊇ B
j=1
• Fuzzy Control erweitert(!) meistens die Lösungsmenge durch eine disjunktive Verknüpfung:
n
= ∪

C
A ° A j  XY B j  ⊇ B
j=1
Zadeh's compositional
rule of inference
22
Offene Fragen
• Die OR Aggregation der Ergebnisse hat sich in
zahlreichen Anwendungen der Fuzzy Control
bewährt, meistens mit Mamdani Inferenz...
• Die Wahl AND oder OR Aggregation zu verwenden
hängt vom Anwendungsfall ab: Sind die Regeln
unabhängige Aussagen oder sind sie streng
gekoppelt? Letzteres ist vermutlich der Fall für
Anwendungen von Fuzzy Logic, wo die AND
Aggregation erforderlich ist.
•
• Zur Illustration dient das fuzzy computer experiment
der Lab4Jefis Site...
23
Fuzzy Experiment
• Wir wollen y = 1 – x mit Fuzzy Logik regelbasiert
berechnen. Hierzu nehmen wir eine Fuzzy Partition
mit drei Mengen und der Regelbasis:
Rule Base for y = 1 – x
R1: if x is „low“ than y is „high“
R2: if x is „med“ than y is „med“
R3: if x is „high“ than y is „low“
24
Fuzzy Partition
• Eine natural fuzzy partition ist eine Menge von n
eindeutig überlappenden Mengen Aj , mit:
0 ≡  A j ∩ Ak  x ∀ x∈ ,∣ j−k ∣1
n
1≡
∑
j=1
A j  x ∀ x∈
• In unserem Beispiel ist n=3 und die Regeln erfüllen
Rk : if x is Ak then y is An-k+1
– Korrelar: Mindestens n-2 Regeln haben kein Match egal
welchen Wert x annimmt.
25
Mamdani sup-Min ∪ - Inference
input
value
I(p,q)=min(p,q)
OR-aggregation:
Die Ausgabe passt
gut zu y =1- x
output
sets
final result
with COG
26
Larsen sup-Prod ∪- Inference
I(p,q)= p·q
OR-aggregation:
Auch die sup-*
Interferenz
funktioniert...
27
Łukasiewicz ∪ - Inference
min(1,1-p+q)
OR-aggregation:
Falls eine Regel
keinen Match hat,
so wird die bei
Fuzzy Logik die
universelle Menge
geschlussfolgert.
28
Łukasiewicz ∪ - Inference
min(1,1-p+q)
OR-aggregation:
Auch das AusSchließen nicht
erfüllter Regeln
in einer RE
hilft nicht...
29
Was ist passiert...?
• Die Mamdani Min-/Larsen Produkt Implikationen
sind keine „richtigen Inferenz“ Operatoren, da sie
beide eine (falsche) Implikation liefern:
I(0,q) = 0 falls die Premise p Null ist.
• Genau deshalb sind sie geeignet für die OR Aggregation, da sich eine nicht feuernde Regel nicht
bemerkbar macht.
• Implikationsoperatoren mit I(0,q)=1 werden im Fall
einer OR-Aggregation überall eine „1“ liefern.
• Daher ist AND-Aggregation für diese Operatoren
die einzig mögliche Wahl...
30
Łukasiewicz ∩ - Inference
min(1,1-p+q)
AND-aggregation:
Für „logische
Implikation“
ist ∩ Aggregation
die richtige Wahl.
31
Gougen ∩ - Inference
min(1,q/p)
AND-aggregation:
Die Form der
Lösungsmenge
ändert sich je
nach dem geWählten I(p,q)...
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Gödel ∩ - Inference
{
1
I=
q
p≤q
else
AND-aggregation:
Gödel bietet die
kleinste Lösungsmenge
33
Vorläufiges Resultat
Obgleich dies keine mathematisch schwierige und aussagekräftige Demonstration ist, stellt sich die Frage
• Wie sind regelbasierte Systeme, die logische
Entscheidungen treffen, zu entwerfen?
– Für eine OR-Aggregation von Regeln sind nur die
Mamdani- und Larsen Implikationen brauchbar.
– AND-Aggregation funktioniert am Besten mit I(0,q)=1
Operatoren, selbst wenn Rule-Engines für p=0 nicht
feuern.
• Gibt es noch weitere Möglichkeiten der Inferenz?
• Die Antwort ist: Ja, aber dies ist abhängig vom
gewählten Wahrheitsbegriff!
34

Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control

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