Eine polyedrische Studie des Asymmetrischen Travelling Salesman

Transcription

Einleitung
Notation und Modellierung
Poyedrische Analyse
Klassen von gültigen Ungleichungen
Eine polyedrische Studie des
Asymmetrischen
Travelling Salesman Problems
mit Zeitfenstern
von Maik Müller
8. Januar 2007/ Seminar ILP, Bayreuth
Einleitung
Gliederung
1
Einleitung
Poyedrische Analyse
Einleitung
Gliederung
1
Einleitung
2
Poyedrische Analyse
Einleitung
Gliederung
1
Einleitung
2
3
Poyedrische Analyse
Poyedrische Analyse
Einleitung
Poyedrische Analyse
Gliederung
1
Einleitung
2
3
Poyedrische Analyse
4
Unzulässige Pfade-Elimination Nebenbedingungen
Ein ”Lifting” Verfahren
Verstärkte Vorgänger/Nachfolger-Ungleichungen
Separation
Einleitung
Poyedrische Analyse
Überblick
Basisform der Nebenbedingungen
Einleitung
Poyedrische Analyse
Überblick
Herleitung anderer Klassen gültiger Ungleichungen aus ATSP
Einleitung
Poyedrische Analyse
Überblick
Studium des ATSP-TW-Polytops PTW
Einleitung
Poyedrische Analyse
Überblick
Bestimmung von DimPTW ist N P-vollständiges Problem
Einleitung
Poyedrische Analyse
Überblick
Bestimmung von DimPTW ist N P-vollständiges Problem
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
ATSP-TW ”open path” Version:
Daten:
vollständiger Digraph G=(V,A)
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Anzahl der Knoten: n = |V |
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
Einrichtungszeit (Setup): ti,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
Prozesszeit: pi ≥ 0
∀i ∈ V
∀ (i, j) ∈ A
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
∀i ∈ V
Freigabezeit:ri ≥ 0
∀i ∈ V
∀ (i, j) ∈ A
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
∀i ∈ V
∀i ∈ V
Deadline: di ≥ ri
∀i ∈ V
∀ (i, j) ∈ A
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
∀ (i, j) ∈ A
∀i ∈ V
∀i ∈ V
Deadline: di ≥ ri
∀i ∈ V
Zeitfenster (TW) für Knoten i: Intervall
[ri , di ] aktiv : ri > 0 ∨ di < +∞ relaxiert : [0, +∞)
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
∀ (i, j) ∈ A
∀i ∈ V
∀i ∈ V
Deadline: di ≥ ri
∀i ∈ V
Minimale Zeitverzögerung beim Abarbeiten von Knoten j direkt
nach Knoten i: ϑi,j := pi + ti,j
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
∀ (i, j) ∈ A
∀i ∈ V
∀i ∈ V
Deadline: di ≥ ri
∀i ∈ V
(1.1) Dreiecksungleichung auf ϑ : ϑi,j ≤ ϑi,k + ϑk ,j
∀i, j, k ∈ V
Einleitung
Poyedrische Analyse
1. Einleitung
Daten:
Kosten: ci,j ≥ 0
∀ (i, j) ∈ A
∀ (i, j) ∈ A
∀i ∈ V
∀i ∈ V
Deadline: di ≥ ri
∀i ∈ V
(1.1) Dreiecksungleichung auf ϑ : ϑi,j ≤ ϑi,k + ϑk ,j
∀i, j, k ∈ V
Einleitung
Poyedrische Analyse
Problem: Finde Minimale-Kosten-Hamilton-Pfad, der die
TW-Restriktionen erfüllt: d.h.(Startzeit am Knoten i ∈ V ) ∈ [ri , di ]
Einleitung
Poyedrische Analyse
Varianten:
Einführung eines zusätzlichen Knotens (Depot), d.h.
Transformation des Problems in seine Geschlossene-Tour-Version
Einleitung
Poyedrische Analyse
Varianten:
Einführung eines zusätzlichen Knotens (Depot), d.h.
Transformation des Problems in seine Geschlossene-Tour-Version
TW relaxiert, d.h. ATSP-TW reduziert sich auf Standart ATSP
Einleitung
Poyedrische Analyse
Anwendung:
Ziel der Industrie, die Zeit zu minimieren, die für die
Entladevorgänge eines Stabler-Krans in einem automatischen
Lagersystem (Hochregallager) gebraucht wird
Einleitung
Poyedrische Analyse
Anwendung:
Version des ATSP-TW: 1-Fahrzeug-Routen-Problem
Einleitung
Poyedrische Analyse
Anwendung:
Version des ATSP-TW: 1-Fahrzeug-Routen-Problem
weiche TW, d.h. Verletzung der TW erlaubt, aber Strafkosten
Einleitung
Poyedrische Analyse
2. Notation und Modellierung
hier:
Vermeidung zusätzlicher Variablen wie ”Big M”
Einleitung
Poyedrische Analyse
hier:
TW-NBen werden implizit durch eine Klasse von
unzulässige-Pfade-NBen modelliert
Einleitung
Poyedrische Analyse
hier:
TW-NBen werden implizit durch eine Klasse von
unzulässige-Pfade-NBen modelliert
die Unzulässigkeit ist nicht nur auf den Fall von TW beschränkt:
Kapazitäts-NBen könnten z.B. auch in der selben Art und Weise
modelliert werden
Einleitung
Poyedrische Analyse
Nachfolgend benutzte Notation:
Knotenmenge W ⊆ V : A (W ) := {(i, j) ∈ A|i, j ∈ W } Menge aller
Bögen mit Start und Ziel in W
Einleitung
Poyedrische Analyse
2 Knotenmengen U, W ⊆ V : (U : W ) := {(i, j) ∈ A|i ∈ U, j ∈ W }
Menge der Bögen mit Start in U und Ziel in W
Einleitung
Poyedrische Analyse
2 Knotenmengen U, W ⊆ V : (U : W ) := {(i, j) ∈ A|i ∈ U, j ∈ W }
Menge der Bögen mit Start in U und Ziel in W
geg. Knotenmenge W ⊂ V , W 6= ∅ :
δ − (W ) = {(i, j) ∈ A|i ∈ V \ W , j ∈ W } Bögen nach W
δ + (W ) = {(i, j) ∈ A|i ∈ W , j ∈ V \ W } Bögen aus W heraus
δ (W ) = δ − (W ) ∪ δ + (W ) heißt cut
Einleitung
Poyedrische Analyse
P = (v1 , v2 , ..., vk ) Pfad bestehend aus der Knotenmenge
{(vi , vi+1 ) |i = 1, ..., k − 1} |P| = k − 1, vi 6= vj für i 6= j
Einleitung
Poyedrische Analyse
[P] := {(vi , vj ) ∈ A|1 ≤ i < j ≤ k } transitiver Abschluss von P
Einleitung
Poyedrische Analyse
tvi früheste Startzeit
an Knoten vi (i = 1, ..., k ) in P : tv1 :=
rv1 , tvi := max tvi−1 + ϑvi−1 vi , rvi i = 2, ..., k
Einleitung
Poyedrische Analyse
dies führt Wartezeiten
ein:
wvi := max 0, rvi−1 − tvi−1 + ϑvi−1 vi wi = 0 ∀i = 2, ..., k , dann
ist der Pfad minimal
Einleitung
Poyedrische Analyse
dies führt Wartezeiten
ein:
wvi := max 0, rvi−1 − tvi−1 + ϑvi−1 vi wi = 0 ∀i = 2, ..., k , dann
ist der Pfad minimal
ϑ (P) := tvk ist früheste Startzeit am letzten Knoten von
P = (v1 , v2 , ..., vk ), für einen minimalen Pfad gilt:
Pk −1
ϑ (P) = rv1 + i=1 ϑvi vi+1
Einleitung
Poyedrische Analyse
Definition:
Ein Hamilton-Pfad P = (v1 , ..., vn ) heißt zulässig, wenn jeder
Knoten innerhab der TW besucht wird, d.h.
rvi ≤ tvi ≤ dvi (i = 1, ..., n)
Ein Pfad P = (v1 , ..., vk ) mit 2 ≤ k ≤ n heißt unzulässig, wenn er
nicht als Teilpfad in einem bel. zulässigen Hamilton-Pfad
vorkommt.
Einleitung
Poyedrische Analyse
Lemma (2.1):
Ein Pfad P = (v1 , ..., vk ) ist unzulässig, wenn mind. eine der
folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1
P verletzt die Deadline für seinen letzten Knoten vk , d.h.
ϑ (P) > dvk .
2
Die Dreiecksungleichung (1.1) auf ϑ ist erfüllt und es gibt einen
Knoten w, der nicht zu P gehört, so dass beide Pfade
P1 = (w, v1 , ..., vk ) und P2 = (v1 , ..., vk , w) die geg. Deadlines
ihres letzten Knotens verletzen, d.h.
ϑ (P1 ) > dvk und ϑ (P2 ) > dw .
Einleitung
Poyedrische Analyse
Basis-Modell für ”open-path”-Version:
∀ Bögen
(i,j)∈ A sei xij ∈ {0, 1} mit
1 , wenn (i, j) ∈ A gew ählt wird
xij =
0 , sonst
Einleitung
Poyedrische Analyse
∀ Bögen
xij =
0P , sonst
x (Q) = (i,j)∈Q xij für bel. Q ⊆ A
Folgendes Modell garantiert, dass die gewählten Bögen einen
zulässigen Hamiltonpfad formen:
Einleitung
Poyedrische Analyse
∀ Bögen
xij =
0P , sonst
x (Q) = (i,j)∈Q xij für bel. Q ⊆ A
Folgendes Modell garantiert, dass die gewählten Bögen einen
zulässigen Hamiltonpfad formen:
X
min
cij xij
(i,j)∈A
(1)
Einleitung
s.t.
x(A) = n − 1
Poyedrische Analyse
(2)
Einleitung
s.t.
Poyedrische Analyse
x(A) = n − 1
x(δ − (i)) ≤ 1
(2)
∀i ∈ V
(3)
Einleitung
s.t.
Poyedrische Analyse
x(A) = n − 1
(2)
x(δ − (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(3)
x(δ + (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(4)
Einleitung
s.t.
Poyedrische Analyse
x(A) = n − 1
(2)
x(δ − (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(3)
x(δ + (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(4)
x(A(W )) ≤ |W | − 1 ∀W ⊂ V , |W | ≥ 2
(5)
Einleitung
s.t.
Poyedrische Analyse
x(A) = n − 1
(2)
x(δ − (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(3)
x(δ + (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(4)
x(A(W )) ≤ |W | − 1 ∀W ⊂ V , |W | ≥ 2
(5)
x(P) ≤ |P| − 1
(6)
∀ unzulaessigen Pfade P
Einleitung
s.t.
Poyedrische Analyse
x(A) = n − 1
(2)
x(δ − (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(3)
x(δ + (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(4)
x(A(W )) ≤ |W | − 1 ∀W ⊂ V , |W | ≥ 2
(5)
x(P) ≤ |P| − 1
(6)
xij ∈ {0, 1}
∀(i, j) ∈ A
(7)
Einleitung
s.t.
Poyedrische Analyse
x(A) = n − 1
(2)
x(δ − (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(3)
x(δ + (i)) ≤ 1
∀i ∈ V
(4)
x(A(W )) ≤ |W | − 1 ∀W ⊂ V , |W | ≥ 2
(5)
x(P) ≤ |P| − 1
(6)
xij ∈ {0, 1}
∀(i, j) ∈ A
(7)
Einleitung
Poyedrische Analyse
(5) Subtourverbot
(2)...(5),(7) zwingt die Lösung einen Hamilton-Pfad zu
repräsentieren
(6) unzulässige-Pfade-NBen: verbietet unzulässige Pfade als Teil
der Lösung, hier: schwache Formulierung, Verstärkung in
Abschnitt 4.1
Einleitung
Poyedrische Analyse
3. Polyedrische Analyse
Ziel: Analysieren
der Dimension des ATSP-TW-Polytops
PTW := conv x ∈ R A |x erf üllt (2) − (7)
Einleitung
Poyedrische Analyse
Ziel: Analysieren
hier: Fall, dass nur TW [r1 , d1 ] verbunden mit Knoten 1 aktiv ist
und alle anderen TW zu [0, +∞) relaxiert sind
Einleitung
Poyedrische Analyse
Ziel: Analysieren
Dreiecksungleichung (1.1) auf ϑ sei erfüllt
Einleitung
Poyedrische Analyse
Ziel: Analysieren
Partitionierung der Knotenmenge: V = {1} ∪ Q ∪ W
Q := j ∈ V \ {1} |ϑ(j, 1) = rj + ϑj1 > d1 Knoten, die nicht vor
Knoten 1 kommen können ohne dessen TW zu verletzen (sind isoliert
in GF )
W := V \ ({1} ∪ Q)
Einleitung
Poyedrische Analyse
Ziel: Analysieren
Partitionierung der Knotenmenge: V = {1} ∪ Q ∪ W
Q := j ∈ V \ {1} |ϑ(j, 1) = rj + ϑj1 > d1 Knoten, die nicht vor
Knoten 1 kommen können ohne dessen TW zu verletzen (sind isoliert
in GF )
W := V \ ({1} ∪ Q)
definiere einen ungerichteten Zulässigkeitsgraph:
GF = (V \ {1} , E) mit
E := {(i, j)|i, j ∈ V \ {1} , i 6= j, min {ϑ(i, j, 1), ϑ(j, i, 1)} ≤ d1 }
enthält alle Knotenpaare i,j, so dass entweder (i,j,1) oder (j,i,1) oder
beide zulässige Pfade sind.
Einleitung
Poyedrische Analyse
Betrachte folgende Gleichungen:
xj1 = 0
∀j ∈ Q(3.1)
Einleitung
Poyedrische Analyse
xj1 = 0 ∀j ∈ Q(3.1)
x(δ + (1)) = 1, wenn Knoten 1 nicht der letzte Knoten eines
zulässigen Hamilton-Pfades sein kann (3.2)
Einleitung
Poyedrische Analyse
xj1 = 0 ∀j ∈ Q(3.1)
zulässigen
Hamilton-Pfades sein kann (3.2)
P
−
x(δ
(j)) = |Sh | − x(Sh : 1), h=1,...,m (3.3)
j∈Sh
S1 , ..., Sm sind die m Zusammenhangs-Komponenten von GF
Einleitung
Poyedrische Analyse
xj1 = 0 ∀j ∈ Q(3.1)
zulässigen
Hamilton-Pfades sein kann (3.2)
P
−
x(δ
(j)) = |Sh | − x(Sh : 1), h=1,...,m (3.3)
j∈Sh
S
1 , ..., Sm sind die m Zusammenhangs-Komponenten von GF
Pm P
Pm
Pm
−
h=1 (
h=1 |Sh | −
h=1 x(Sh : 1)
j∈Sh x(δ (j))) =
⇔ x(A) = n − 1
Einleitung
Poyedrische Analyse
Lemma (3.4):
Die Gleichungen (3.1)-(3.3) sind gültig für PTW .
Einleitung
Poyedrische Analyse
Lemma (3.5):
Die Gleichungen (3.1)-(3.3) sind linear unabhängig.
Einleitung
Poyedrische Analyse
Jetzt wird gezeigt, dass (3.1)-(3.3) ein minimales Gleichungssystem
für das Polytop PTW definiert, d.h. es gibt keine andere linear
unabhängige,
gültige Gleichung.
1 , wenn Bed. (3.2) erf üllt ist
Sei µ =
0 , sonst
Einleitung
Poyedrische Analyse
Theorem (3.6)
Betrachte ein bel. ATSP-TW, definiert auf einem vollständigen
Digraph G=(V,A) mit n ≥ 4 Knoten. Wenn das TW nur für einen
Knoten aktiv ist, dann gilt: dim(PTW ) = |A| − (|Q| + m + µ)
Einleitung
Poyedrische Analyse
Problem ”Dimension”:
Theorem (3.6) ⇒Bestimmung der Dimension von PTW ist ein
schwieriges Problem. Folgendes Entscheidungsproblem:
Einleitung
Poyedrische Analyse
Fall: Ein bel. ATSP-TW definiert auf einem vollständigen Digraph
G=(V,A) mit ganzzahligen Bogenlängen ϑij ≥ 0, das die
∆-Ungleichung erfüllt.
Einleitung
Poyedrische Analyse
Fall: Ein bel. ATSP-TW definiert auf einem vollständigen Digraph
G=(V,A) mit ganzzahligen Bogenlängen ϑij ≥ 0, das die
∆-Ungleichung erfüllt.
Frage: dim(PTW ) = |A| − 1?
Einleitung
Poyedrische Analyse
Theorem (3.7):
Das Problem ”Dimension” ist stark N P-vollständig, sogar wenn alle
TW bis auf eines relaxiert sind.
Einleitung
Poyedrische Analyse
4. Klassen von gültigen Ungleichungen
4.1 Unzulässige Pfade-Elimination
Nebenbedingungen
4.1.1 Tournament-Nebenbedingungen
Einleitung
Poyedrische Analyse
Lemma (4.1):
Für alle unzulässigen einfachen Pfade P = (v1 , ..., vk ) ist die
Pk −1 Pk
Tournament-NB x([P]) := i=1
j=i+1 xvi vj ≤ k − 2 (= |P| − 1)
(4.2) gültig für PTW .
Einleitung
Poyedrische Analyse
Theorem (4.3):
Für jede Knotenmenge Q = {v1 , ..., vk −1 } ⊂ V und jeden Knoten
vk ∈ V \ Q, so dass alle Pfade der Form (Φ [Q] , vk ) unzulässig sind,
ist die Ungleichung
x(A(Q)) + x(Q : vk ) ≤ k − 2 (= |Q| − 1)
(4.4) gültig für PTW .
Einleitung
Poyedrische Analyse
Theorem (4.5):
Für jede Knotenmenge S = {v2 , ..., vk −1 } ⊂ V und 2 beliebigen
Knoten v1 , vk ∈ V \ S, v1 6= vk , so dass alle Pfade der Form
(v1 , Φ [S] , vk ) unzulässig sind, ist die Ungleichung
x(v1 : S) + x(A(S)) + x(S : vk ) + xv1 vk ≤ k − 2
(4.6) gültig für
PTW .
Einleitung
Poyedrische Analyse
Lemma (4.7):
(a) Wähle ein bel.
vk ∈ V \ Q. Wenn
P Q ⊂ V und
minvi ∈Q {rvi } + vi ∈Q min ϑvi vj |vj ∈ Q ∪ {vk } > dk , dann sind alle
Pfade der Form (Φ [Q] , vk ) unzulässig.
(b) Wähleein bel. S ⊂ V und
V \ S, v1 6= vk . Wenn
P v1 , vk ∈
rv1 + min ϑv1 vj |vj ∈ S + vi ∈S min ϑvi vj |vj ∈ S ∪ {vk } > dk , dann
sind alle Pfade der Form (v1 , Φ [S] , vk ) unzulässig.
Einleitung
Poyedrische Analyse
4.1.2 Verallgemeinernde
Tournament-Nebenbedingungen
Theorem (4.8): Seien S1 , ..., Sk k ≥ 2 disjunkte Knotenmengen
und setze voraus, dass ein bel. Pfad der Form (Φ [S1 ] , ..., Φ [Sk ])
Pk −1 Pk
unzulässig ist. Dann ist die Ungleichung i=1
j=i+1 x(Si :
Pk
Pk
P
k
Sj ) + i=1 x(A(Si )) ≤ k − 2 + i=1 (|Si | − 1) = i=1 |Si | − 2 gültig
für PTW .
Einleitung
Poyedrische Analyse
Theorem (4.9):
Sei P = {P1 , P2 , ..., Pk } eine Familie von Knotendisjunkten einfachen
Pfaden und setze voraus, dass die Dreiecksungleichung (1.1) auf ϑ
erfüllt ist. Wenn ϑ(P) > dw für eine bel. Konkatenation P=(...,w) der
Pk
Pk
Pfade in P, dann ist die Ungleichung i=1 x([Pi ]) ≤ i=1 |Pi | − 1
gültig für PTW .
Einleitung
Poyedrische Analyse
4.1.3 Andere ”Lifted”-Pfad-Ungleichungen
Theorem (4.10): Wenn P = (v1 , ..., vk ) ein unzulässiger
Pfad ist, dann sind die folgenden Ungl. gültig für PTW :
P −2
P −2 Pj−1
(a) x(P) + kj=1
xvj vk + kj=2
xv v ≤ k − 2
Pk
Pk −1 Pkl=1 j l
(b) x(P) + j=3 xv1 vj + j=3 l=j+1 xvl vj ≤ k − 2
P −1 Pj−1
(c) x(P) + kj=2
xvj vl ≤ k − 2
Pk −1 Pl=1
k
(d) x(P) + j=2 l=j+1 xvl vj ≤ k − 2.
Einleitung
Poyedrische Analyse
Ein ”Lifting” Verfahren
4.2 Ein ”Lifting” Verfahren
Das ”V-Lifting” wird zur Konstruktion neuer Familien von gültigen
Unzulässige-Pfade-Eliminations-Ungleichungen für das ATSP-TW
benutzt. Annahme: geg. 2 Ungleichungen mit ganzzahligen
Koeffizienten:
αx ≤ α0
βx ≤ β0
β0 = α0 + 1
βij ≥ αij ∀(i, j) ∈ A.
3 versch. Knoten u,w,h geg. mit:
βuh ≥ αuh + 1
βhw ≥ αhw + 1
xuh + xhw + 2xuw ≤ 2
aufaddieren und gewichten mit
0.5:
αx + xuh + xhw + xuw ≤ α0 + 32 = α0 + 1
⇒ α-Koeffizient der 3 Bögen (u,h),(h,w),(u,w) um 1 erhöht auf Kosten
einer Erhöhung um 1 auf der rechten Seite.
Einleitung
Poyedrische Analyse
4.3 Verstärkte Vorgänger/Nachfolger-Ungleichungen
π(v ) := {i ∈ V |(i, v ) ∈ A} Vorgänger, σ(v ) := {j ∈ V |(v , j) ∈ A}
Nachfolger
V
S eines Knotens v ∈ S
π(X ) := v ∈X π(v ), σ(X ) := v ∈X σ(v ) ∀X ⊆ V ;
x(S \ W : S \ W ) ≥ 1 (π, σ)-Ungl. (4.11)
Einleitung
Poyedrische Analyse
Theorem (4.12):
Seien X und Y zwei disjunkte Knotenmengen, so dass i < j
∀i ∈ X , j ∈ Y , und definiere
W := π(X ) ∪ σ(Y ). Setze voraus, dass die Dreiecksungleichung (1.1)
auf ϑ erfüllt ist und definiere
f := W ∪ {k ∈ V \ (X ∪ Y )|∃i ∈ X , j ∈ Y : ϑ(i, k , j) > dj } und
W
Q := {(u, v ) ∈ δ + (S)|∃i ∈ X , j ∈ Y : ϑ(i, u, v , j) > dj }.
Dann ist für alle S ⊂ V , so dass X ⊆ S und Y ⊆ S := V \ S, die
Ungleichung
f ) \ Q) ≥ 1 (4.13) gültig für PTW .
f :S\W
x((S \ W
Einleitung
Poyedrische Analyse
Separation
4.4 Separation
Separationsproblem für allgem. Klassen von Ungleichungen
schwer zu lösen
Tournament-NBen (4.2) u. spezielle Versionen d. verstärkten
(π, σ)-Ungleichungen (4.13) in polynomialer Zeit trennbar

Eine polyedrische Studie des Asymmetrischen Travelling Salesman

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