Ubungen zu “Differentialgeometrie II”

Mathematisches Institut
der Universität Tübingen
Prof. Dr. Frank Loose
SS 2004
11.06.2004
Blatt 8
Übungen zu “Differentialgeometrie II”
1. Sei (V, h·, ·i) ein euklidischer Vektorraum und V ∗ ⊗ V ∗ ∼
= Bil(V ) mit dem induzierten
Skalarprodukt versehen. Zeigen Sie:
(a) Bil(V ) = Sym(V ) ⊕ Alt(V ) ist sogar eine orthogonale, O(V )-invariante direkte Summenzerlegung;
(b) Sym(V ) = Rh·, ·i ⊕ Sym0 (V ) ist ebenfalls eine orthogonale, O(V )-invariante direkte
Summenzerlegung.
2. Sei (V, h·, ·i) ein euklidischer Vektorraum. Wir betrachten für jede symmetrische Bilinearform B auf V die 4-lineare Abbildung TB auf V , wie sie in der Vorlesung definiert wurde.
Zeigen Sie:
(a) TB ist ein Levi-Civita-Tensor;
(b) die lineare Abbildung Φ: Sym(V ) → LC(V ), B 7→ TB ist O(V )-äquivariant;
(c) das Bild von Φ liegt im orthogonalen Komplement von LC 0 (V ) ⊆ LC(V ).
3. Sei T : (Rn)4 → R ein Levi-Civita-Tensor. Zeigen Sie, dass es auf M = Bn eine Riemannsche Metrik g gibt, so dass ihr Riemannscher Krümmungstensor im Nullpunkt p = 0
unter der üblichen Identifikation von T Mp mit Rn gerade T ist, Rmp = T . (Hinweis: Setzen Sie gij (x) = aijkl xk xl mit geeigneten aijkl ∈ R an.)
4. Sei V ein Vektorraum der Dimension n. Zeigen Sie, dass für den Raum der Levi-CivitaTensoren LC(V ) gilt:
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dim LC(V ) = n2 (n2 − 1)
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Abgabe: Freitag, 18. Juni 2004