Euler-Approximation

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Euler-Approximation

Euler-Approximation
Leonie van de Sandt
TU Dortmund
Prof. Dr. Christine Müller
5. Juni 2012
Leonie van de Sandt (TU Dortmund)
Euler-Approximation
5. Juni 2012
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
Euler-Approximation
5. Juni 2012
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
Definition der Euler-Approximation
Euler-Approximation
5. Juni 2012
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
3
Simulation der Euler-Approximation
Euler-Approximation
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2 / 26
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
3
4
Vorstellung des Milstein-Schemas
Euler-Approximation
5. Juni 2012
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
3
4
5
Zusammenfassung
Euler-Approximation
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Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
3
4
5
Zusammenfassung
6
Literatur
Euler-Approximation
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Einleitung
Einleitung
Gegeben: stochastische Differentialgleichung
dXt = b(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt
Gesucht ist stetige Lösung Xt , 0 ≤ t ≤ T
Es kann eine diskrete Approximation für Lösung gefunden werden
Euler-Approximation bietet häufig verwendetes numerisches
Simulationsverfahren
Euler-Approximation
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Einleitung
Zunächst formale Definition der Euler-Approximation
Anschließend Simulationen anhand von zwei Beispielen:
Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Cox-Ingersoll-Ross-Prozess
Vorstellung des Milstein-Schemas als Alternative zur
Euler-Approximation mit Simulation
Euler-Approximation
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Gegeben sei stochastische Differentialgleichung
dXt = b(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt
mit determinischtem Anfangswert Xt0 = X0 und Diskretisierung
ΠN ([0, T ])
Die Lösung dieser Gleichung sei der Prozess Xt , 0 ≤ t ≤ T
mit T > 0
Euler-Approximation von X ist stetiger stochastischer Prozess Y
genügt iterativem Schema
Yi+1 = Yi + b(ti , Yi )(ti+1 − ti ) + σ(ti , Yi )(Wi+1 − Wi )
i = 0, 1, ..., N − 1 und Y0 = X0
Euler-Approximation
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konstante Schrittweite ∆t = ti+1 − ti =
1
N
zwischen den Zeitpunkten ti und ti+1 kann man
linear interpolieren:
Y (t) = Yi +
t − ti
Yi+1 − Yi für t ∈ [ti , ti+1 )
ti+1 − ti
Euler-Approximation konvergiert gegen die Lösung der
stochastischen Differentialgleichung
schwach mit Ordnung β = 1
stark mit Ordnung γ = 12
Euler-Approximation
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Zur Simulation nur der Wiener Prozess zu simulieren:
Yi+1 = Yi + b(ti , Yi )(ti+1 − ti ) + σ(ti , Yi )(Wi+1 − Wi )
Als Lösung der stochastischen Differentialgleichung zwei Beispiele,
welche zu simulieren sind:
Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Cox-Ingersoll-Ross-Prozess
Euler-Approximation
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Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess
Eindeutige Lösung der stochastischen Differentialgleichung
dXt = (θ1 − θ2 Xt )dt + θ3 dWt
Explizite Lösung ist dann gegeben durch:
θ1
θ1 −θ2 t
Xt =
+ x0 −
e
+ θ3 e −θ2 t
θ2
θ2
Z t
e −θ2 (u) dWu
0
hier: b(t, x ) = (θ1 − θ2 x ) und σ(t, x ) = θ3
Euler-Approximation
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Simulation des OU-Prozesses mit Euler
>set.seed(123)
>T <- 1
>x <- 10
>theta <- c(0, 5, 3.5)
>Z <- BM(x=x,T=T,N=100)
>N <- 100
>Dt <- T/N
>t <- seq(0,T,by=Dt)
>Y <- numeric(N+1)
>Y[1] <- x
>for(i in 1:N){
+ Y[i+1] <- Y[i] + (theta[1] - theta[2]*Y[i])*Dt +
+
theta[3]*(Z[i+1]-Z[i])}
>Y <- ts(Y,start=0, deltat=T/N)
>plot(Y)
Euler-Approximation
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10
0
2
4
Y
6
8
N=10
N=100
N=1000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
Abbildung: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mithilfe der
Euler-Approximation
Euler-Approximation
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Ornstein-Uhlenbeck-Prozess auch mit der Integraldarstellung zu
simulieren:
θ1 −θ2 t
θ1
+ x0 −
e
+ θ3 e −θ2 t
θ2
θ2
Xt =
Z t
e −θ2 (u) dWu
0
Zur Veranschaulichung der Approximationsgüte der
Euler-Approximation werden beide Simulationen mit verschiedenen
Schrittweiten in je einer Grafik dargestellt
Euler-Approximation
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Simulation des OU-Prozesses via Integral
>T <- 1
>x <- 10
>theta <- c(0, 5, 3.5)
>N <- 100
>Dt <- T/N
>t <- seq(0,T,by=Dt)
>itosumOU.N <- 0
>XOU.N <- rep(x,N+1)
>for(i in 1:N){
+ itosumOU.N<-itosumOU.N+exp(theta[2]*t[i])*(Z[i+1]-Z[i])
+ XOU.N[i+1]<-theta[1]/theta[2]+(x-theta[1]/theta[2])*
+ exp(-theta[2]*t1[i])+theta[3]*exp(-theta[2]*t[i])*
+ itosumOU.N}
>XOU.N <- ts(XOU.N,start=0, deltat=Dt)
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−2
0
2
4
Y
6
8
10
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via Integral
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
Abbildung: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mit
Euler-Approximation und via Integral mit 10 Schritten
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10
0
2
4
Y
6
8
via Integral
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
Euler-Approximation
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10
0
2
4
Y
6
8
via Integral
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
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Der Cox-Ingersoll-Ross-Prozess
Lösung der stochastischen Differentialgleichung
p
dXt = (θ1 − θ2 Xt )dt + θ3 Xt dWt
Explizite Lösung ist dann gegeben durch:
Z t
θ1
θ1 −θ2 t
Xt =
+ x0 −
e
+ θ3 e −θ2 t
θ2
θ2
√
hier: b(t, x ) = (θ1 − θ2 x ) und σ(t, x ) = θ3 x
Euler-Approximation
e θ2 u Xu dWu
p
0
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Simulation des CIR-Prozesses mit Euler
>T <- 10
>x <- 10
>theta <- c(1, 1, 1)
>Z <- BM(x=x,T=T,N=100)
>N <- 100
>Dt <- T/N
>Y <- numeric(N1+1)
>Y[1] <- x
>for(i in 1:N){
+ Y[i+1] <- Y1[i] + (theta[1] - theta[2]*Y[i])*Dt +
+
theta[3]*sqrt(Y[i])*(Z[i+1]-Z[i])}
>Y <- ts(Y,start=0, deltat=T/N)
>plot(Y)
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10
0
2
4
Y
6
8
N=50
N=100
N=1000
0
2
4
6
8
10
Time
Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mithilfe der
Euler-Approximation
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0
2
4
Y
6
8
10
via Integral
0
2
4
6
8
10
Time
Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mit Euler-Approximation
und via Integral mit 50 Schritten
Euler-Approximation
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10
0
2
4
Y
6
8
via Integral
0
2
4
6
8
10
Time
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0
2
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Y
6
8
via Integral
0
2
4
6
8
10
Time
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Das Milstein-Schema ist ebenfalls eine Methode, um Lösungen
stochastischer Differentialgleichungen zu approximieren
Definition des Milstein-Schemas:
Yi+1 = Yi + b(ti , Yi )∆t + σ(ti , Yi )(Wi+1 − Wi ) +
1
2
2 σ(ti , Yi )σx (ti , Yi ){(Wi+1 − Wi ) − ∆t}
Es wird Gebrauch vom Itô-Lemma gemacht, wodurch der Term
σx (ti , Yi ) als Ableitung nach x von σ(ti , Yi ) hinzukommt
Für den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit b(t, x ) = θ1 − θ2 x und
σ(t, x ) = θ3 stimmen Euler-Approximation und Milstein-Schema
überein
Als Beispiel zum Vergleich der beiden Approximations-Schemen kann
man den Cox-Ingersoll-Ross-Prozess verwenden
Hierbei ist dann σx =
√1
x
für θ3 = 2
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R Code für die Simulation des CIR-Prozesses mit dem Milstein-Schema
>N <- 100
>x <- 10
>T <- 10
>Dt <- T/N
>theta <- c(1, 1, 1)
>X <- numeric(N+1)
>X[1] <- x
>for(i in 1:N){
+ X[i+1] <- X[i] + (theta[1] - theta[2]*X[i])*Dt +
+ theta[3]*sqrt(X[i])*
+ (Z[i+1]-Z[i])+(1/2)*theta[3]*
+ sqrt(X[i])*(1/sqrt(X[i]))*((Z[i+1]-Z[i])^2-Dt)}
>X <- ts(X,start=0, deltat=T/N)
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3
1
2
X1
4
5
Euler
Milstein
Integral
0
2
4
6
8
10
Time
Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mit Euler-Approximation,
Milstein-Schema und via Integral mit 100 Schritten
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Zusammenfassung
Zusammenfassung
Euler-Approximation häufig verwendetes numerisches Verfahren zur
Simulation von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen
Iteratives Schema, welches Wiener Prozess beinhaltet
Zu simulieren ist der Wiener Prozess
Je kleiner die Schrittweite gewählt wird, desto besser die
Approximation
Milstein-Schema ebenfalls gut für Approximation und Simulation,
enthält weiteren Term σx (t, x )
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Literatur
Literatur
Iacus, S. M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic
Differential Equations: With R Examples. 1. Auflage. New York:
Springer.
Iacus, S. M. (2009): sde: Simulation and Inference for Stochastic
Differential Equations.R package version 2.0.10. url:
http://CRAN.R-project.org/package=sde.
R Development Core Team (2011):R 2.13.1: A Language and
Environment for Statistical Computing.ISBN 3-900051-07-0. R
Foundation for Statistical Computing. Vienna, Austria. url:
http://www.R-project.org/.
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